第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程

1、流流 體體 力力 學(xué)學(xué)顧伯勤 主編研 究 生 教 材 退 出中國(guó)科學(xué)文化出版社第二篇 流體動(dòng)力學(xué)基本原理及流體工程 流體動(dòng)力學(xué)微分形式基本方程 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 伯努利方程及其應(yīng)用 量綱分析和相似原理 流動(dòng)阻力與管道計(jì)算 邊界層理論 流體繞過(guò)物體的流動(dòng) 氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 第五章第六章第七章第八章第九章退 出返 回第十章第十一章第十二章 流體動(dòng)力學(xué)的基本方程可以對(duì)系統(tǒng)建立，也可以對(duì)控制體建立，所謂系統(tǒng)是指確定不變的物質(zhì)的組合。所謂控制體是指相對(duì)于某一坐標(biāo)系固定不變的空間體積，它的邊界面稱(chēng)為控制面。三大守恒定律的原始形式是對(duì)系統(tǒng)建立的，但在許多流體力學(xué)實(shí)際問(wèn)題中如對(duì)控制體建立方程，應(yīng)用起來(lái)

2、更為方便。所以流體動(dòng)力學(xué)中討論的基本方程多數(shù)是對(duì)控制體建立的。求解對(duì)有限控制體建立的積分形式基本方程，可以給出流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的總體性能關(guān)系，如流體與物體間作用的合力和總的能量交換等。本章討論流體動(dòng)力學(xué)的積分形式基本方程。 第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第1頁(yè)頁(yè)第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第2頁(yè)頁(yè)第一節(jié) 連續(xù)性方程如圖6.1所示，令為控制體體積，A為控制面面積，n為Ad法線單位向量，w和分別為流體速度和密度。將質(zhì)量守恒定律應(yīng)用于控制體可知，控制面外其數(shù)學(xué)表達(dá)式為ddtAAnw式（6.1）稱(chēng)為積分形式連續(xù)性方程。對(duì)于定常流動(dòng)，上式等號(hào)右邊為零。若控制體由流

3、管及其進(jìn)出口橫截面A1，A2構(gòu)成，且假設(shè)進(jìn)出口1、2、1w、2w均為常數(shù)，則（6.1）式變?yōu)椋?.1）截面上流動(dòng)參數(shù)均勻，即mAwAw222111（6.2）式中m 為流管內(nèi)的質(zhì)量流量（kg/s）。該式僅適用于定常流動(dòng)。如流體是不可壓縮的，則（6.2）式可寫(xiě)成QAwAw2211 （6.3）第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第3頁(yè)頁(yè)第一節(jié) 連續(xù)性方程圖6.1 控制體和控制面wnpndAAn1n2w2A2A1w1qRdRRoFq式中Q為流管內(nèi)的體積流量（m3/s）。應(yīng)該指出，對(duì)不可壓縮流體，0ddtt所以（6.3）式也適用于不定常流動(dòng)。應(yīng)該指出，對(duì)不可壓縮流體，如圖6.1所示，令 為

4、流體應(yīng)力，即外部作用于 控制面上單位面積的力，p為壓力， 為外部作用于 控制體上單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力。在重力場(chǎng)中 ， 為重力加速度。將動(dòng)量守恒定律應(yīng)用于控制體 可知， 第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第1頁(yè)頁(yè)第二節(jié) 動(dòng)量方程 npAdFdgF g一、靜止控制體的動(dòng)量方程作用于控制體上的力為dF作用于控制面上的力為AnAdp單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)動(dòng)量的增量為dwt單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)控制面流入控制體的動(dòng)量為AAdwnw第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第2頁(yè)頁(yè)第二節(jié) 動(dòng)量方程 按照動(dòng)量守恒定律可寫(xiě)出靜止控制體的動(dòng)量方程：ddddwpFwnwtAAAnA對(duì)于定常流動(dòng)0d w

5、t，則（6.4）式變?yōu)锳nAAAdddpFwnw（6.5）（6.4）（6.5）式表示定常流動(dòng)時(shí)作用于控制面和控制體上的力之和等于單位定常流動(dòng)時(shí)作用于控制面和控制體上的力之和等于單位時(shí)間內(nèi)流出控制體的動(dòng)量時(shí)間內(nèi)流出控制體的動(dòng)量。例題例題6.1 如圖6.2所示，不可壓流體定常流過(guò)截面積為A的等截面彎管，求流體作用于彎管上的力F。已知進(jìn)出口截面流動(dòng)均勻，忽略質(zhì)量力，且已知w1，A，p1，p2及出口截面方向。第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第3頁(yè)頁(yè)第二節(jié) 動(dòng)量方程 圖6.2 流體流過(guò)等截面彎管p1w2 yw1Fyxp2Fxo解解：選取流體與彎管壁面的交界面及進(jìn)出口截面為控制面，并選取

6、xoy坐標(biāo)系。已知in1，sincos2jin，111pnnp，222pnnp， inw1111wwsincos2222jinwww，21，21AA ，0dg，bAnAdpF，這里Ab為彎管壁面面積，代入（6.5）式得sincossincos2221212211jiiFjiiAwAwApAp又由連續(xù)性方程（6.3）可知12112wAAww第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第4頁(yè)頁(yè)第二節(jié) 動(dòng)量方程 代入上式得到流體對(duì)彎管的作用力sincos1cos2122121AwpAwppFFyxjijiF二、運(yùn)動(dòng)控制體的動(dòng)量方程控制體速度為u，流體在控制體內(nèi)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)速度為rw，其絕對(duì)速度為

7、rwuw ，參照靜止控制體的動(dòng)量方程（6.4），可推導(dǎo)出 運(yùn)動(dòng)控制體的動(dòng)量方程。流入控制體的動(dòng)量為ArArrArrAAAAAddddnwuwnwwnuwwnw單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)動(dòng)量的增加dddddddtttttttrrruuwuwuww（b）（a）第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第5頁(yè)頁(yè)第二節(jié) 動(dòng)量方程 將式（a），（b）代入式（6.4）得到dddddddtttAAArAnArArruuwpFnwuwnw由連續(xù)性方程可知0ddArAtnwuu，則（c）式變?yōu)閐ddddttAArAnArruwpFwnw（6.6）式稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)控制體的動(dòng)量方程。（c）（6.6）例題例題6.2 求如圖

8、6.3（a）所示的以速度U垂直上升的火箭的加速度。解：首先求火箭發(fā)動(dòng)機(jī)排出氣體對(duì)火箭殼體的作用力。選取燃燒室內(nèi)的氣體作為控制體，由于火箭不需要空氣，所以控制面沒(méi)有進(jìn)口。 第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第6頁(yè)頁(yè)第二節(jié) 動(dòng)量方程 w圖6.3 垂直上升的火箭U p pamRFxAw pAmRgFdFx papm (b)(a)(c)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴嘴的截面積為A，燃燒室內(nèi)氣體的質(zhì)量為mf ，排出氣體的質(zhì)量流率為 、相對(duì)速度為w、壓力為p，火箭殼體對(duì)氣體的作用力為Fx，大氣壓力為pa，如圖6.3（b）所示。若燃燒室內(nèi)的流動(dòng)是穩(wěn)定的，則由（6.6）式可以得到pm tUmwmppAFfpax

9、dd)(現(xiàn)在考慮火箭殼體的受力，火箭的質(zhì)量為mR、受阻力Fd（圖6.3（c），則tUmgmFFRRdxdd第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第7頁(yè)頁(yè)第二節(jié) 動(dòng)量方程 由于燃燒室內(nèi)氣體的質(zhì)量相對(duì)于火箭總質(zhì)量為一微量，則由上面兩式可以求得火箭運(yùn)動(dòng)的加速度為RRdapmgmFAppwmtU)(dd第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第1頁(yè)頁(yè)第三節(jié) 動(dòng)量矩方程 如圖6.1所示，o為某一參考點(diǎn)，R為為o點(diǎn)到控制面Ad或控制體d的向徑，其它符號(hào)同前。將動(dòng)量矩守恒定律應(yīng)用于控制體 可知：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流入控制體的動(dòng)量以及作用于控制體與控制面上的外力對(duì)參考點(diǎn)o之矩等于單位時(shí)間內(nèi)控制體

10、內(nèi)對(duì)同一點(diǎn)的動(dòng)量矩的增量。 作用于控制面上的力矩為AnAdpR作用于控制體上的力矩為dFR通過(guò)控制面流入控制體的動(dòng)量矩為AAdwRnw單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)動(dòng)量矩的增量dwRtddddwRFRpRwRnwtAAAnA按動(dòng)量矩守恒定律得到其數(shù)學(xué)表達(dá)式為（6.7）（6.7）式稱(chēng)為積分形式的動(dòng)量矩方程，對(duì)于定常流動(dòng)，（6.7）式等號(hào)右端為零。 處葉輪進(jìn)出口圓周為控制面，由于對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)對(duì)軸心取力矩時(shí)，重力和壓力的力矩為零。第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第2頁(yè)頁(yè)第三節(jié) 動(dòng)量矩方程 2圖6.4 離心壓縮機(jī)葉輪u2r2u1c2w2 1c1w1r1o例題例題6.3 如圖6.4所示，離心壓縮機(jī)葉

11、輪轉(zhuǎn)速為 ，帶動(dòng)流體一起旋轉(zhuǎn)，圓周速度為 ，流體沿葉片流動(dòng)速度為 ，流量為Q，流體密度為 ，求葉輪傳遞給流體的功率。uw解解：流體絕對(duì)速度為wuc當(dāng)葉片足夠多時(shí)，可認(rèn)為流動(dòng)是穩(wěn)定的。取1r，2r設(shè)葉輪作用于流體的力矩為M，由（6.7）式可以得到0coscos222111rcQrcQM 第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第3頁(yè)頁(yè)第三節(jié) 動(dòng)量矩方程 上式化簡(jiǎn)得到111222coscosrcrcQM因?yàn)镸N 所以所求葉輪傳遞給流體的功率為111222111222coscoscoscosucucQrcrcQN第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第1頁(yè)頁(yè)第四節(jié) 能量方程 一

12、、能量方程的建立如圖6.1所示， 為外部給予控制面 上單位時(shí)間單位面積的傳導(dǎo)熱， 為外部給予控制體 上單位時(shí)間單位質(zhì)量流體非熱傳導(dǎo)的熱, 如輻射熱、化學(xué)生成熱等，e為單位質(zhì)量流體的廣義內(nèi)能，如熱力學(xué)中的內(nèi)能，電磁能等，z為向上度量的鉛垂高度，其它符號(hào)意義同前。將能量守恒定律應(yīng)用于控制體可知：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流入控制體的能量，外部傳入的熱量以及外力所作的功的總和等于單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)能量的增加。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為qAdRqdd2d2dddd22wetAweAqAqAAnRAnwwFwp（6.8）式稱(chēng)為積分形式的能量方程。（6.8）第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第2頁(yè)頁(yè)第四節(jié) 能量方程

13、二、能量方程的簡(jiǎn)化對(duì)于定常（0t）、絕熱（0Rqq）、質(zhì)量力有勢(shì)（UF理想流體（pnnp）的流動(dòng)，（6.8）式簡(jiǎn)化為）、0d2dd2AweUApAAnwwwn但dddwwwUUU而AAUUddwnw由連續(xù)性方程，定常流動(dòng)時(shí)0w，因而0dwU。于是有0d22AAUpwenw（6.9）（廣義高斯定理）第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第3頁(yè)頁(yè)第四節(jié) 能量方程 （6.9）式是定常絕熱理想流體質(zhì)量力有勢(shì)時(shí)的能量方程。式中 可視為單位質(zhì)量流體的總能量，它是內(nèi)能e、動(dòng)能 、壓力勢(shì)能 和質(zhì)量力勢(shì)U 的總和。（6.9）式的物理意義是單位時(shí)間流進(jìn)和流出控制面的總能量的代數(shù)和為零。重力場(chǎng)中 稱(chēng)為單

14、位質(zhì)量的位能。Upwe2222wpgzU 對(duì)于細(xì)小流管，其截面上參數(shù)可認(rèn)為是均勻的，于是由（6.9）式可得到const22Upwe（6.10）式可理解為定常絕熱理想流體質(zhì)量力有勢(shì)條件下，沿流線單位質(zhì)量流體的總能量保持不變。這就是伯努利方程。（6.10）對(duì)于質(zhì)量力為重力、理想不可壓縮流體非絕熱定常流動(dòng)，若滿(mǎn)足0q則控制體內(nèi)流體內(nèi)能的增量將由輻射熱提供，于是有teqRdd，即dddddddetteqR（6.11）第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第4頁(yè)頁(yè)第四節(jié) 能量方程 據(jù)系統(tǒng)導(dǎo)數(shù)公式（輸運(yùn)公式），有AeetetAdddddnw穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)由式（6.11）、（6.12）可得AeqAR

15、ddnw即由熱輻射引起的控制體內(nèi)流體內(nèi)能的增量等于通過(guò)控制面的流體所具有的內(nèi)能之和。將式（6.13）代入式（6.8），有0d22AAgzwpwn（6.14）（6.12）（6.13）對(duì)于微小流管及其任意兩個(gè)流通截面構(gòu)成的控制體，上式為const22gzpw這就是常用的重力場(chǎng)中理想不可壓縮流體的伯努利方程式。（6.15）第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第5頁(yè)頁(yè)第四節(jié) 能量方程 im 圖6.5 充氣中的容器 piTip0，T0，V例題例題6.4 如圖6.5所示一容器體積為V，通過(guò)管道充氣，容器入口處的壓力為ip，溫度為iT，質(zhì)量流量為im ，容器內(nèi)初始狀態(tài)為0p、0T絕熱，不計(jì)重力

16、及進(jìn)口動(dòng)能，求容器內(nèi)溫度的變化規(guī)律。解：解：取容器內(nèi)氣體為控制體。由連續(xù)性方程，AtAd)(dnw即imtmdd上式積分得到t時(shí)刻容器內(nèi)流體的質(zhì)量為：tmmmi0由理想氣體狀態(tài)方程000RTMmVp得到第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第6頁(yè)頁(yè)第四節(jié) 能量方程 000RTVMpm 由題意知0Rqq，0F，022w，則可由（6.8）式得到emtmempiiiiddivvimTCtTCtmmtmetememtdddddddd0因?yàn)閕piiiiiiiiTCmepmmemp所以ipiivviTCmmTCtTCtmmdd0上式化簡(jiǎn)為tmmTkTmtTiii0dd其中k為絕熱指數(shù)，vpCCk （a）第六章 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 退 出返 回第第7頁(yè)頁(yè)第四節(jié) 能量方程 （a）式積分得到CtmmTkTiil