數(shù)值分析實驗指導書

1、數(shù)值分析實驗指導書數(shù)值實驗報告一、實驗名稱誤差傳播與算法穩(wěn)定性二、實驗目的1理解數(shù)值計算穩(wěn)定性的概念。2了解數(shù)值計算方法的必要性。3體會數(shù)值計算的收斂性與收斂速度。三、實驗內(nèi)容計算，四、算法描述 由 ，知 則 可得遞推關系 1 ， 2 ， 下面分別以1，2遞推關系求解 方案1 ， 當時，1.1 , 遞推公式為 （1） 方案2 ， 當時， 則 即取遞推初值 遞推公式為 （2）取遞推公式（1）中的初值 ，得 取遞推公式（2）中的初值 ，得 五、程序流程圖由于實驗方案明顯、簡單，實現(xiàn)步驟及流程圖省略。六、實驗結(jié)果計算結(jié)果如下：n0123456789100.0953100.0469000.031000

2、0.0233330.0166670.033333-0.1666671.8095240.0953100.0468980.0310180.0231530.0184650.0153530.0131380.0114810.0101880.0092320.008678七、實驗結(jié)果分析由遞推公式（1）知當時，應當為精確解，遞推公式的每一步都沒有誤差的取舍，但計算結(jié)果 ，出現(xiàn)負值。由此看出，當較大時，用遞推公式（1）中的近似是不正確的。主要原因是初值不是精確值，設有誤差，由遞推公式（1）知 則有誤差隨的增大而迅速增加，增加到的倍。由此可見，遞推公式計算的誤差不僅取決于初值的誤差，公式的精確性，還依賴于誤差的

3、傳遞即遞推計算的穩(wěn)定性。由遞推公式（2）知 ，為估計值，并不精確，有，而由 得 誤差隨遞推公式逐步縮小。綜上所述，在遞推計算中，數(shù)值計算方法是非常重要的，誤差估計、誤差傳播及遞推計算的穩(wěn)定性都會直接影響遞推結(jié)果。第三部分 數(shù)值實驗本部分列出了七個數(shù)值實驗類型，每個數(shù)值實驗都應在計算機上實現(xiàn)或演示，由實驗者獨立編程實現(xiàn)。要求：（1） 用MATLAB語言或其他算法語言編程，使之盡量具有通用性。（2） 上機前充分準備，復習有關算法，畫出程序流程圖。（3） 完成實驗后寫出實驗報告。（4） 編程語言的種類、運行環(huán)境及程序清單以附錄形式給出。以下分別列出八個數(shù)值實驗的內(nèi)容。實驗一 函數(shù)插值方法 一、問題提

4、出 對于給定的一元函數(shù)的n+1個節(jié)點值。試用Lagrange公式求其插值多項式或分段二次Lagrange插值多項式。數(shù)據(jù)如下： （1） 0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05 0.41075 0.578150.696750.90 1.00 1.25382 求五次Lagrange多項式，和分段三次插值多項式，計算,的值。（提示：結(jié)果為, ） （2） 1 2 3 4 5 6 7 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 試構(gòu)造Lagrange多項式，計算的,值。（提示：結(jié)果為, ）二、要求 1、 利用Lagrange插值公式 編寫出插值多

5、項式程序； 2、 給出插值多項式或分段三次插值多項式的表達式； 3、 根據(jù)節(jié)點選取原則，對問題（2）用三點插值或二點插值，其結(jié)果如何； 4、 對此插值問題用Newton插值多項式其結(jié)果如何。Newton插值多項式如下： 其中： 三、目的和意義 1、 學會常用的插值方法，求函數(shù)的近似表達式，以解決其它實際問題； 2、 明確插值多項式和分段插值多項式各自的優(yōu)缺點； 3、 熟悉插值方法的程序編制； 4、 如果繪出插值函數(shù)的曲線，觀察其光滑性。 四、實驗學時：2學時五、實驗步驟： 1進入C或matlab開發(fā)環(huán)境；2根據(jù)實驗內(nèi)容和要求編寫程序；3調(diào)試程序；4運行程序；5撰寫報告,討論分析實驗結(jié)果.實驗二

6、 函數(shù)逼近與曲線擬合 一、問題提出 從隨機的數(shù)據(jù)中找出其規(guī)律性，給出其近似表達式的問題，在生產(chǎn)實踐和科學實驗中大量存在，通常利用數(shù)據(jù)的最小二乘法求得擬合曲線。 在某冶煉過程中，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的含碳量與時間關系，試求含碳量與時間t的擬合曲線。 t(分)0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64 二、要求 1、用最小二乘法進行曲線擬合； 2、近似解析表達式為；3、打印出擬合函數(shù)，并打印出與的誤差，； 4、另外選取一個近似表達式，嘗試擬合效果的比較； 5、* 繪制出

7、曲線擬合圖。 三、目的和意義 1、掌握曲線擬合的最小二乘法； 2、最小二乘法亦可用于解超定線代數(shù)方程組； 3、探索擬合函數(shù)的選擇與擬合精度間的關系。四、實驗學時：2學時五、實驗步驟： 1進入C或matlab開發(fā)環(huán)境；2根據(jù)實驗內(nèi)容和要求編寫程序；3調(diào)試程序；4運行程序；5撰寫報告,討論分析實驗結(jié)果實驗三 數(shù)值積分與數(shù)值微分一、問題提出 選用復合梯形公式，復合Simpson公式，Romberg算法，計算 （1） （2） （3） （4） 二、要求 1、 編制數(shù)值積分算法的程序； 2、 分別用兩種算法計算同一個積分，并比較其結(jié)果； 3、 分別取不同步長，試比較計算結(jié)果（如n = 10, 20等）；

8、4、 給定精度要求，試用變步長算法，確定最佳步長。 三、目的和意義 1、 深刻認識數(shù)值積分法的意義； 2、 明確數(shù)值積分精度與步長的關系； 3、 根據(jù)定積分的計算方法，可以考慮二重積分的計算問題。 四、實驗學時：2學時五、實驗步驟： 1進入C或matlab開發(fā)環(huán)境；2根據(jù)實驗內(nèi)容和要求編寫程序；3調(diào)試程序；4運行程序；5撰寫報告,討論分析實驗結(jié)果實驗四 線性方程組的直接解法一、問題提出 給出下列幾個不同類型的線性方程組，請用適當算法計算其解。 1、 設線性方程組 2、 設對稱正定陣系數(shù)陣線方程組 3、 三對角形線性方程組 二、要求 1、 對上述三個方程組分別利用Gauss順序消去法與Gauss

9、列主元消去法；平方根法與改進平方根法；追趕法求解（選擇其一）； 2、 應用結(jié)構(gòu)程序設計編出通用程序； 3、 比較計算結(jié)果，分析數(shù)值解誤差的原因； 4、 盡可能利用相應模塊輸出系數(shù)矩陣的三角分解式。 三、目的和意義 1、通過該課題的實驗，體會模塊化結(jié)構(gòu)程序設計方法的優(yōu)點； 2、運用所學的計算方法，解決各類線性方程組的直接算法； 3、提高分析和解決問題的能力，做到學以致用； 4、 通過三對角形線性方程組的解法，體會稀疏線性方程組解法的特點。 四、實驗學時：2學時五、實驗步驟： 1進入C或matlab開發(fā)環(huán)境；2根據(jù)實驗內(nèi)容和要求編寫程序；3調(diào)試程序；4運行程序；5撰寫報告,討論分析實驗結(jié)果實驗五

10、解線性方程組的迭代法一、問題提出 對實驗四所列目的和意義的線性方程組，試分別選用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel迭代法和SOR方法計算其解。 二、要求 1、體會迭代法求解線性方程組，并能與消去法做以比較； 2、分別對不同精度要求，如由迭代次數(shù)體會該迭代法的收斂快慢；3、對方程組2，3使用SOR方法時，選取松弛因子=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，試看對算法收斂性的影響，并能找出你所選用的松弛因子的最佳者； 4、給出各種算法的設計程序和計算結(jié)果。 三、目的和意義 1、通過上機計算體會迭代法求解線性方程組的特點，并能和消去法比較； 2、運用所學的迭代法算法，解決各類線性方程組，

11、編出算法程序； 3、體會上機計算時，終止步驟或k （給予的迭代次數(shù)），對迭代法斂散性的意義； 4、 體會初始解，松弛因子的選取，對計算結(jié)果的影響。四、實驗學時：2學時五、實驗步驟： 1進入C或matlab開發(fā)環(huán)境；2根據(jù)實驗內(nèi)容和要求編寫程序；3調(diào)試程序；4運行程序；5撰寫報告,討論分析實驗結(jié)果 實驗六 非線性方程求根一、問題提出 設方程有三個實根現(xiàn)采用下面六種不同計算格式，求 f(x)=0的根或1、 2、 3、 4、 5、 6、 二、要求 1、編制一個程序進行運算，最后打印出每種迭代格式的斂散情況； 2、用事后誤差估計來控制迭代次數(shù)，并且打印出迭代的次數(shù)； 3、初始值的選取對迭代收斂有何影響

12、； 4、分析迭代收斂和發(fā)散的原因。 三、目的和意義 1、通過實驗進一步了解方程求根的算法； 2、認識選擇計算格式的重要性； 3、掌握迭代算法和精度控制； 4、明確迭代收斂性與初值選取的關系。 四、實驗學時：2學時五、實驗步驟： 1進入C或matlab開發(fā)環(huán)境；2根據(jù)實驗內(nèi)容和要求編寫程序；3調(diào)試程序；4運行程序；5撰寫報告,討論分析實驗結(jié)果實驗七 矩陣特征值問題計算一、問題提出 利用冪法或反冪法，求方陣的按模最大或按模最小特征值及其對應的特征向量。 設矩陣A的特征分布為： 且 試求下列矩陣之一 （1） 求，及 取 結(jié)果（2） 求及 取 結(jié)果： （3） 求及取結(jié)果 (4) 取 這是一個收斂很慢的

13、例子,迭代次才達到結(jié)果 （5） 有一個近似特征值,試用冪法求對應的特征向量，并改進特征值（原點平移法）。取 結(jié)果 二、要求 1、掌握冪法或反冪法求矩陣部分特征值的算法與程序設計； 2、會用原點平移法改進算法，加速收斂；對矩陣B=A-PI取不同的P值，試求其效果； 3、試取不同的初始向量，觀察對結(jié)果的影響； 4、對矩陣特征值的其它分布，如且如何計算。 三、目的和意義 1、求矩陣的部分特征值問題具有重要實際意義，如求矩陣譜半徑，穩(wěn)定性問題往往歸于求矩陣按模最小特征值； 2、進一步掌握冪法、反冪法及原點平移加速法的程序設計技巧； 3、問題中的題（5），反應了利用原點平移的反冪法可求矩陣的任何特征值及

14、其特征向量。 四、實驗學時：2學時五、實驗步驟： 1進入C或matlab開發(fā)環(huán)境；2根據(jù)實驗內(nèi)容和要求編寫程序；3調(diào)試程序；4運行程序；5撰寫報告,討論分析實驗結(jié)果實驗八 常微分方程初值問題數(shù)值解法一、問題提出 科學計算中經(jīng)常遇到微分方程（組）初值問題，需要利用Euler法，改進Euler法，Rung-Kutta方法求其數(shù)值解，諸如以下問題： （1） 分別取h=0.1,0.2,0.4時數(shù)值解。 初值問題的精確解。 （2） 用r=3的Adams顯式和預 - 校式求解 取步長h=0.1，用四階標準R-K方法求值。 （3） 用改進Euler法或四階標準R-K方法求解 取步長0.01,計算數(shù)值解，參考結(jié)果 。（4）利用四階標準R- K方法求二階方程初值問題的數(shù)值解 （I） (II) (III) (IV) 二、要求 1、 根據(jù)初值問題數(shù)值算法，分別選擇二個初值問題編程計