數(shù)碼相機(jī)定位優(yōu)秀論文(2008A全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽)

1、數(shù)碼相機(jī)定位問題目錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc302835321 HYPERLINK l _Toc302835322 摘要 PAGEREF _Toc302835322 h 2 HYPERLINK l _Toc302835323 關(guān)鍵詞 PAGEREF _Toc302835323 h 2 HYPERLINK l _Toc302835324 一、問題重述 PAGEREF _Toc302835324 h 2 HYPERLINK l _Toc302835325 二、問題分析 PAGEREF _Toc302835325 h 3 HYPERLINK l _Toc30

2、2835326 背景知識(shí) PAGEREF _Toc302835326 h 3 HYPERLINK l _Toc302835327 問題的分析 PAGEREF _Toc302835327 h 3 HYPERLINK l _Toc302835328 三、根本假設(shè) PAGEREF _Toc302835328 h 4 HYPERLINK l _Toc302835329 四、變量解釋說明 PAGEREF _Toc302835329 h 5 HYPERLINK l _Toc302835330 五、模型的建立及求解 PAGEREF _Toc302835330 h 5 HYPERLINK l _Toc3028

3、35331 世界坐標(biāo)系、相機(jī)坐標(biāo)系、物理圖像坐標(biāo)系、圖像像素坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化 PAGEREF _Toc302835331 h 5 HYPERLINK l _Toc302835332 確定靶標(biāo)上圓心的像坐標(biāo) PAGEREF _Toc302835332 h 8 HYPERLINK l _Toc302835333 5.3 對(duì)模型精度和穩(wěn)定性的檢驗(yàn) PAGEREF _Toc302835333 h 9 HYPERLINK l _Toc302835334 兩部固定相機(jī)相對(duì)位置確實(shí)定 PAGEREF _Toc302835334 h 9 HYPERLINK l _Toc302835335 六、模型的評(píng)價(jià)及改良 P

4、AGEREF _Toc302835335 h 9 HYPERLINK l _Toc302835336 6.1 優(yōu)點(diǎn) PAGEREF _Toc302835336 h 9 HYPERLINK l _Toc302835337 缺點(diǎn) PAGEREF _Toc302835337 h 9 HYPERLINK l _Toc302835338 模型的改良 PAGEREF _Toc302835338 h 9 HYPERLINK l _Toc302835339 七、參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc302835339 h 9摘要本文給出了求解靶標(biāo)上圓心在相機(jī)像平面上坐標(biāo)的模型，并進(jìn)行了精度和穩(wěn)定性檢驗(yàn)，最后給出了

5、確定兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的方法。首先，為了方便定位，本文建立了空間世界坐標(biāo)系、相機(jī)坐標(biāo)系、物理圖像坐標(biāo)系、圖像像素坐標(biāo)系。運(yùn)用旋轉(zhuǎn)矩陣及平移矩陣完成了空間世界坐標(biāo)系和相機(jī)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化，高斯成像公式和映射原理得到了相機(jī)坐標(biāo)系和物理圖像坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系，再將物理坐標(biāo)系連續(xù)的坐標(biāo)變換成圖像像素坐標(biāo)系上離散的坐標(biāo)。最后綜合確定了由世界坐標(biāo)系到圖像像素坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系。由于相機(jī)透鏡的平面與實(shí)物圖像平面并非平行，會(huì)使實(shí)物圓點(diǎn)形變成近似的橢圓下稱類橢圓，圓心并不對(duì)應(yīng)圖像上類橢圓的幾何中心。因?yàn)樯溆白儞Q具有保線性，兩圓內(nèi)外公切線的相對(duì)關(guān)系是不發(fā)生改變的，由幾何知識(shí)，像平面上任意兩個(gè)類橢圓的內(nèi)公切線和外公切線交

6、點(diǎn)的連線通過圓心?；谶@一理論，用Matlab讀圖工具讀取像圖，得到像圖中每個(gè)像素點(diǎn)亮度值的矩陣，做出兩圓間的內(nèi)外公切線，將內(nèi)公切線和外公切線的兩個(gè)交點(diǎn)相連，再另外選取一個(gè)橢圓重復(fù)以上工作，那么兩條連線的交點(diǎn)即為類橢圓上對(duì)應(yīng)于實(shí)物圓點(diǎn)的圓心，即得到了像平面上對(duì)應(yīng)于實(shí)物圓點(diǎn)圓心的坐標(biāo)，分別為：,。將實(shí)物圓點(diǎn)圓心坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)的像平面上的圓心坐標(biāo)代入世界坐標(biāo)系到圖像像素坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系中，求解出了旋轉(zhuǎn)和平移矩陣，由此得到了確定靶標(biāo)上圓的圓心的像坐標(biāo)的求解模型。然后，選取4個(gè)像平面上的公切線交點(diǎn)坐標(biāo)代入模型，求解得到對(duì)應(yīng)的實(shí)物坐標(biāo)，與運(yùn)用Matlab讀圖工具讀到的坐標(biāo)進(jìn)行比擬，得到模型的相對(duì)誤差為：3.

7、275%，精度較高。又將像坐標(biāo)變量對(duì)各個(gè)參數(shù)求導(dǎo)，得到個(gè)參數(shù)穩(wěn)定性的圖像，其中，、對(duì)結(jié)果的影響較大，t2對(duì)結(jié)果的影響逐漸減小，t1、對(duì)結(jié)果影響不大由已建立的求解圓心像坐標(biāo)的模型，得到了兩部擺放在不同位置的相機(jī)的旋轉(zhuǎn)和平移矩陣，進(jìn)而求出了兩部相機(jī)的相對(duì)位置。最后，對(duì)模型的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了評(píng)價(jià)，并對(duì)模型中不完善的局部提出了改良方向。關(guān)鍵詞 數(shù)碼相機(jī)雙目定位 矩陣坐標(biāo)變換 公切線法 精度檢驗(yàn) 穩(wěn)定性分析一、問題重述目前，常用雙目定位法對(duì)物體上一個(gè)特征點(diǎn)，用兩部固定于不同位置的相機(jī)攝得物體的像，分別獲得該點(diǎn)在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)，再算得兩部相機(jī)精確的相對(duì)位置，就可用幾何的方法得到該特征點(diǎn)在固定一部相機(jī)的

8、坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，進(jìn)而確定物體外表某些特征點(diǎn)的位置。于是，精確地確定兩部相機(jī)的相對(duì)位置就是關(guān)鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標(biāo)定。 標(biāo)定的做法是在物平面上畫假設(shè)干個(gè)圓稱為靶標(biāo)，它們的像一般會(huì)變形，如圖1所示，所以從靶標(biāo)上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標(biāo)定就可實(shí)現(xiàn)。圖 1 靶標(biāo)上圓的像設(shè)計(jì)靶標(biāo)如下，取1個(gè)邊長為100mm的正方形，分別以四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)為A、C、D、E為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點(diǎn)30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓，如圖2所示。圖 2 靶標(biāo)示意圖用一位置固定的數(shù)碼相機(jī)攝得其像，如圖3所示。圖3 靶標(biāo)的像現(xiàn)在要做的工作是：1建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像

9、平面的像坐標(biāo), 這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的光學(xué)中心，x-y平面平行于像平面；2對(duì)由圖2、圖3分別給出的靶標(biāo)及其像，計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo), 該相機(jī)的像距即光學(xué)中心到像平面的距離是1577個(gè)像素單位(1毫米約為個(gè)像素單位)，相機(jī)分辨率為1024768；3設(shè)計(jì)一種方法檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停⒂懻摼群头€(wěn)定性，并建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的數(shù)學(xué)模型和方法。二、問題分析 背景知識(shí)1針孔成像系統(tǒng)：三位空間物體通過一個(gè)小孔針孔在膠片或者圖像傳感器的圖像平面上形成一個(gè)倒立的像，像的大小隨相機(jī)前后移動(dòng)而改變。2世界坐標(biāo)系：以靶標(biāo)中心為原點(diǎn)O，以靶標(biāo)平面為XW-YW平面，單位為毫米。3相機(jī)坐標(biāo)系：以

10、相機(jī)光心為原點(diǎn)O,其XC軸和YC軸與物理圖像坐標(biāo)系的X軸，Y軸平行，ZC軸與圖像平面垂直。光軸與圖像平面的交點(diǎn)即為物理圖像坐標(biāo)系的原點(diǎn)。4物理圖像坐標(biāo)系：其原點(diǎn)為透鏡光軸與成像平面的交點(diǎn)，X與Y 軸分別平行于攝像機(jī)坐標(biāo)系的X 與Y軸，是平面直角坐標(biāo)系，單位為毫米。5圖像像素坐標(biāo)系：固定在圖像上的以像素為單位的平面直角坐標(biāo)系，其原點(diǎn)位于圖像左上角, u，v 平行于圖像物理坐標(biāo)系的X 和Y軸。對(duì)于數(shù)字圖像，每個(gè)像素點(diǎn)的坐標(biāo)u，v分別表示該像素點(diǎn)在坐標(biāo)系中的行數(shù)與列數(shù)。 問題的分析為方便定位，以靶標(biāo)中心為原點(diǎn)建立空間世界坐標(biāo)系，以數(shù)碼相機(jī)的光心為原點(diǎn)建立相機(jī)坐標(biāo)系，以相機(jī)透鏡光軸與成像平面的交點(diǎn)為原

11、點(diǎn)建立物理圖像坐標(biāo)系，最后以圖像左上角為原點(diǎn)建立圖像像素坐標(biāo)系。下面，分析四種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系。由于相機(jī)可以擺放在環(huán)境中的任意位置，在環(huán)境中應(yīng)該選擇一個(gè)基準(zhǔn)坐標(biāo)來描述數(shù)碼相機(jī)的位置，并用它描述環(huán)境中任何物體的位置，那么經(jīng)過對(duì)世界坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)和平移，就可以得到相應(yīng)的相機(jī)坐標(biāo)系。經(jīng)查閱文獻(xiàn)1可知，雙目立體視覺傳感器技術(shù)是建立在針孔成像系統(tǒng)根底上的，所以只要攝像機(jī)的鏡頭沒有發(fā)生畸變，就可以在像平面上找到與之對(duì)應(yīng)的理想像點(diǎn)，由小孔成像原理，在數(shù)碼相機(jī)內(nèi)凸透鏡的另一側(cè)形成的是倒立等比例縮小的像，運(yùn)用高斯成像公式：和映射原理就可以得到由相機(jī)坐標(biāo)系到物理圖像坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系。最后將物理坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化成圖像像素坐

12、標(biāo)系，就得到了由世界坐標(biāo)系到像素圖像坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系。對(duì)于題中給出的靶標(biāo)及靶標(biāo)的圖像，由于相機(jī)透鏡的平面與實(shí)物圓點(diǎn)所在平面具有一定的夾角，且鏡頭距離圓點(diǎn)上各點(diǎn)的距離不同，所以會(huì)將實(shí)物圓點(diǎn)射影成類似橢圓的圖形以下稱類橢圓，圓心并不對(duì)應(yīng)圖像上類橢圓的幾何中心。而射影成像后，兩圓內(nèi)外公切線的相對(duì)關(guān)系是不發(fā)生改變的，所以由幾何定理：兩圓的兩條外公切線的交點(diǎn)與兩條內(nèi)公切線的交點(diǎn)所確定的直線必通過兩圓的圓心，那么對(duì)任意三個(gè)圓做內(nèi)外公切線，將任意一個(gè)圓的內(nèi)外功切線的兩個(gè)交點(diǎn)相連，即可確定三個(gè)圓的圓心如圖4圖4 內(nèi)外功切線定圓心示意圖 由此，就可以確定圖像上對(duì)應(yīng)于實(shí)物圓點(diǎn)圓心的坐標(biāo)。然后將圖像上對(duì)應(yīng)實(shí)物圓點(diǎn)圓

13、心的坐標(biāo)代入由世界坐標(biāo)系到像素圖像坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系中，就能求解出旋轉(zhuǎn)的角度和平移的距離，也就得到了將靶標(biāo)上的任意點(diǎn)對(duì)應(yīng)到相機(jī)像平面上的點(diǎn)的模型。選取物理圖像上假設(shè)干個(gè)切線的交點(diǎn)，將其坐標(biāo)代入模型，計(jì)算出世界坐標(biāo)系下實(shí)物的坐標(biāo)，再求出其與真實(shí)坐標(biāo)的距離，作為衡量模型精度的標(biāo)準(zhǔn)。穩(wěn)定性假設(shè)在不同位置擺放兩臺(tái)完全相同的數(shù)碼相機(jī)對(duì)題中所給的靶標(biāo)照相，分別得到兩幅圖像，實(shí)物圓點(diǎn)都發(fā)生了不同程度的形變。運(yùn)用上述的找實(shí)物圓心像坐標(biāo)的方法分別得到坐標(biāo)，代入已建立的模型，分別求解出由實(shí)物所在的世界坐標(biāo)系到兩臺(tái)相機(jī)所在的相機(jī)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣A1、A2和平移矩陣T1、T2，即可求得兩臺(tái)計(jì)算兩臺(tái)相機(jī)相對(duì)位置的表達(dá)式。

14、三、根本假設(shè)1兩臺(tái)相機(jī)的配置完全一致，拍攝環(huán)境對(duì)相機(jī)的拍攝效果不產(chǎn)生影響。2兩臺(tái)相機(jī)相對(duì)于地面的高度是等高的。3固定第一臺(tái)相機(jī)的拍攝位置時(shí)，盡最大可能保證它的光軸線平行于路的中間分界線從而也就垂直于靶標(biāo)面(被拍目標(biāo)物的特征點(diǎn)所在平面)。4兩部相機(jī)的型號(hào)、規(guī)格和內(nèi)部參數(shù)完全相同。5假設(shè)相機(jī)鏡頭透鏡很小，光學(xué)系統(tǒng)為針孔成像系統(tǒng)。6攝像機(jī)的鏡頭沒有發(fā)生畸變，即不會(huì)有光學(xué)畸變誤差。7當(dāng)物距遠(yuǎn)大于像距時(shí)，像距近似等于焦距。8不考慮相機(jī)透鏡對(duì)光的反射作用，成像原理為透鏡成像原理，并且成像具有射影幾何的性質(zhì)。四、變量解釋說明變量解釋說明XW,YW,ZWXC,YC,ZCx,y世界坐標(biāo)系下的坐標(biāo)相機(jī)坐標(biāo)系下的坐

15、標(biāo)物理圖像坐標(biāo)系下的坐標(biāo)u,v圖像像素坐標(biāo)系下的坐標(biāo)dx，dy圖像像素坐標(biāo)系下，每個(gè)像素在x軸與y軸方向上的物理尺寸u0，v0圖像像素坐標(biāo)系的原點(diǎn)坐標(biāo)f數(shù)碼相機(jī)焦距A由世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣T由世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的平移矩陣A,B,C,D,E實(shí)物圓點(diǎn)的圓心A,B,C,D,E在像平面上對(duì)應(yīng)的圓心五、模型的建立及求解5.1 世界坐標(biāo)系、相機(jī)坐標(biāo)系、物理圖像坐標(biāo)系、圖像像素坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化5.1.1 物理圖像坐標(biāo)系與圖像像素坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化假設(shè)物理圖像坐標(biāo)系原點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為x，y，每一個(gè)像素在x軸與y軸方向上的物理尺寸為，那么由物理圖像坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到圖像像素坐標(biāo)系如圖1需要做如下變換：圖5

16、物理圖像坐標(biāo)系到圖像像素坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化用齊次坐標(biāo)與矩陣形式將上式表示，即： 通過矩陣變換的知識(shí)可以得到上式逆關(guān)系可表示為： 15.1.2 相機(jī)坐標(biāo)系與物理圖像坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化按透鏡透視投影成像原理，由相機(jī)坐標(biāo)系向圖像坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換過程符合中心映射或透視投影，可用齊次坐標(biāo)與矩陣表示為： 世界坐標(biāo)系與相機(jī)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化由于數(shù)碼相機(jī)可安放在環(huán)境中任何位置，在環(huán)境中應(yīng)該選擇一個(gè)基準(zhǔn)坐標(biāo)來描述數(shù)碼相機(jī)的位置，并用它描述環(huán)境中任何物體的位置，該坐標(biāo)線之間的關(guān)系可以用旋轉(zhuǎn)矩陣A與平移向量T來描述。假設(shè)空間某一點(diǎn)在世界坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為：，在相機(jī)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)為，于是，世界坐標(biāo)系與相機(jī)坐標(biāo)系下存在以下轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖2：

17、 圖6 由世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化可將其表示為：其中，A為正交單位矩陣， 又為旋轉(zhuǎn)矩陣, ,其中，A為正交單位矩陣， 又為旋轉(zhuǎn)矩陣，式中，A1，A2，A3分別表示照相機(jī)坐標(biāo)圍繞空間世界坐標(biāo)系XC,YC,ZC軸的旋轉(zhuǎn)矩陣；與旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)應(yīng)的三個(gè)角度。所以便可以得到矩陣A為：其中， 世界坐標(biāo)系與圖像像素坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化綜合以上三步轉(zhuǎn)化，可以得到空間世界坐標(biāo)系到圖像像素坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換為:(2)其中M1與相機(jī)內(nèi)部有關(guān)，稱為內(nèi)部參數(shù)，M2含有A和T六個(gè)由空間世界坐標(biāo)系與相機(jī)坐標(biāo)系相對(duì)位置所決定的六個(gè)參量。一旦建立給定的世界坐標(biāo)系和物理圖像坐標(biāo)系，實(shí)物圓點(diǎn)和相應(yīng)的圖像坐標(biāo)在均可標(biāo)定，即為常數(shù)。又可以由1式確定

18、其在圖像像素坐標(biāo)系下相應(yīng)的坐標(biāo)，所以共有八個(gè)未知數(shù)。 確定靶標(biāo)上圓心的像坐標(biāo)先對(duì)像平面上的像點(diǎn)圖3與實(shí)物圖對(duì)應(yīng)的圓心進(jìn)行標(biāo)記，分別為A,B,C,D,E，如 TOC o 1-3 h z u 圖7：ABCDE圖7 對(duì)實(shí)物圓心在像平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的標(biāo)定圖 圖像導(dǎo)入Step1: 由于Matlab對(duì)圖像處理的限制，所以要先將原題圖片格式轉(zhuǎn)換成黑白單色圖bmp格式；Step2: 用Matlab中的imread圖像處理工具讀取圖像，得到像圖中每個(gè)像素亮度值的矩陣，對(duì)上述矩陣進(jìn)行二值化處理，黑色的點(diǎn)對(duì)應(yīng)亮度值處理為1，白色的點(diǎn)對(duì)應(yīng)亮度值處理為0。由此得到圖像像素的0-1矩陣。 對(duì)圓形的輪廓進(jìn)行提取下面，引入計(jì)算機(jī)

19、圖像處理技術(shù)中四鄰域的概念：某個(gè)像素的上、下、左、右四個(gè)像素稱為該像素的四鄰域。如圖8所示：FBGCADHEI圖8 四鄰域示意圖那么A的四鄰域?yàn)锽、C、D、E四個(gè)像素。在尋找邊界時(shí)，對(duì)任意一個(gè)值為1的像素，只要其四鄰域中有一個(gè)值為0，那么認(rèn)為這個(gè)像素為邊界上的像素。另外，假設(shè)一個(gè)像素的周圍值都為0，那么視此點(diǎn)為孤立點(diǎn)，予以剔除。因此，我們用如下方法提取5個(gè)圓輪廓的像素坐標(biāo)。Step1:令k=1；Step2:令i=1,j=1；Step3:判斷i,j像素值是否為1，假設(shè)不為1，進(jìn)入Step5，否那么進(jìn)入Step6；Step4:令i=i+1，j=j+1，跳至Step3。假設(shè)i=1024且j=768，

20、終止程序，Step5:將i,j記錄至像素矩陣Bk，并判斷i-1,j,(i+1,j),(i,j+1),(i,j-1),(i-1,j-1),(i-1,j+1),(i+1,j-1),(i+1,j+1)是否等于1，并令(i,j)為以上檢驗(yàn)出等于1的數(shù)值，跳至下一步；Step6:判斷(i,j)像素值是否為1，假設(shè)不為1，將(i,j)記錄至Bk，進(jìn)入下一步，否那么跳至Step5；Step7:令k=k+1，對(duì)整幅圖像剔除孤立點(diǎn)，跳回Step2。通過以上步驟即可得到五個(gè)圓的輪廓的坐標(biāo)源程序見附錄得到類橢圓的輪廓圖圖9：圖9 像平面類橢圓的輪廓圖 求解兩圓的公切線設(shè)第i個(gè)圓的輪廓上共有M個(gè)點(diǎn)，第j個(gè)圓的輪廓上共

21、有N個(gè)點(diǎn)，kmn表示第i個(gè)圓上的第m個(gè)點(diǎn)到第j個(gè)圓上第n個(gè)點(diǎn)的連線的斜率，用矩陣Kij來存儲(chǔ)第i個(gè)圓上所有的點(diǎn)到第j個(gè)圓上所有的點(diǎn)的連線的斜率，Km(max)和Km(min)分別表示矩陣Kij第m行的最大值和最小值。Step1: m=1;( m表示第i個(gè)個(gè)圓上的第m個(gè)點(diǎn))Step2: n=1, ，將存至斜率矩陣Kij，示意圖見圖10；(n表示第j個(gè)圓上的第n個(gè)點(diǎn),為第i個(gè)圓上第m個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，為第j個(gè)圓上第n個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo))ujm,vjmuim,vim 圖10 step2的示意圖Step3: n=n+1，跳回step2，假設(shè)n=N，跳至step4；Step4: 矩陣Kij中尋找Km(max)

22、, Km(min)和對(duì)應(yīng)的，由此確定的可能的切線方程為：斜率最大的直線斜率最小的直線圖11 step4的示意圖Step5: p=1, q=1;Step6:在第i個(gè)圓上任取一點(diǎn)，在第j個(gè)圓上任取一點(diǎn)。分別將其橫縱坐標(biāo)代入Step4中的方程，其中，確定兩個(gè)交點(diǎn)和，又令，將其存入坐標(biāo)差矩陣Ri，Sj；圖12 step6的示意圖Step7：p=p+1,q=q+1，當(dāng)p=M且q=N，跳至Step8，否那么跳回Step6；Step8：在矩陣Ri中尋找最大、最小元素，設(shè)為，在矩陣Sj中尋找最大、最小元素，設(shè)為。假設(shè)滿足且，即兩個(gè)坐標(biāo)差矩陣內(nèi)元素均同號(hào)，那么滿足同側(cè)性，就說明Step4中的切線方程為公切線方程

23、；Step9：m=m+1，假設(shè)m=M+1，程序結(jié)束，否那么跳至Step2。由以上算法確定出各條公切線的方程，聯(lián)立公切線方程即可解得內(nèi)外公切線的交點(diǎn)坐標(biāo)，連接各交點(diǎn)，就得到了實(shí)物圓點(diǎn)圓心的像坐標(biāo)，利用2式就可以依次確定各圓心坐標(biāo)在物理圖像坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。將題中所給圖像圖3按照上述算法代入模型進(jìn)行計(jì)算，算得各圓心在圖像像素坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為：,其對(duì)應(yīng)點(diǎn)在世界坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為：，,。另外，由幾何定理：，再將這五對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)代入2式，即可求得矩陣A和T：,從而得到空間世界坐標(biāo)系到圖像像素坐標(biāo)系任意點(diǎn)的轉(zhuǎn)換模型： 35.3 對(duì)模型精度和穩(wěn)定性的檢驗(yàn)5.3.1 對(duì)模型精度的檢驗(yàn)選取像平面上A與C，A與D，

24、D與E，C與D的公切線的四個(gè)交點(diǎn)，分別設(shè)為點(diǎn)如圖13，BEDCAO4O3O2O1圖13 標(biāo)定示意圖用Matlab算出這四個(gè)點(diǎn)的在圖像像素坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，分別為：將代入3式，算出其在世界坐標(biāo)系下的坐標(biāo)：對(duì)相應(yīng)的實(shí)物靶標(biāo)讀圖，將計(jì)算值與真實(shí)值比照方下表(表1)：表1 確定靶標(biāo)上圓心像坐標(biāo)的模型誤差表圖像像素坐標(biāo)世界坐標(biāo)真實(shí)世界坐標(biāo)絕對(duì)誤差相對(duì)誤差(285,142)(-54.12,53.88)(-56,56)(1.88,2.12)3.5%(241,537)(-56.90,-57.80)(-56,-56)(-0.90,-1.80)2.4%(683,178)(57.34,58.20)(56,56)(1.

25、34,2.20)3.2%(614,539)(55.20,-52.33)(56,-56)(0.80,3.67)4.0%取四點(diǎn)的平均相對(duì)誤差作為模型的誤差，模型誤差為3.275%，精度較高，比擬理想。 對(duì)模型穩(wěn)定性的檢驗(yàn)對(duì)模型進(jìn)行穩(wěn)定性的檢驗(yàn)即是檢驗(yàn)當(dāng)參數(shù)發(fā)生微小擾動(dòng)時(shí)，對(duì)模型結(jié)果的影響程度。在本模型中，是檢驗(yàn)當(dāng)旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣的元素發(fā)生微小的變動(dòng)時(shí)，是否會(huì)對(duì)圓心的像坐標(biāo)產(chǎn)生較大的改變，因此，先將像坐標(biāo)用參數(shù)表示出來，再分別對(duì)各參數(shù)求導(dǎo)。將對(duì)u和v分別對(duì)旋轉(zhuǎn)角度和平移距離t1,t2的偏導(dǎo)。因公式形式太過復(fù)雜，因此本文只給出由Matlab得到的擾動(dòng)圖像：圖14 圖15 的擾動(dòng)圖圖16 t2的擾動(dòng)圖

26、圖17 t1的擾動(dòng)圖圖18 的擾動(dòng)圖觀察擾動(dòng)圖像可知，、對(duì)結(jié)果的影響較大，t2對(duì)結(jié)果的影響逐漸減小，t1、對(duì)結(jié)果影響不大 兩部固定相機(jī)相對(duì)位置確實(shí)定在空間中的任意位置擺放的兩臺(tái)完全相同的相機(jī)，從不同的角度對(duì)靶標(biāo)進(jìn)行拍攝如圖：圖19 兩架相機(jī)對(duì)靶標(biāo)拍照的示意圖靶標(biāo)上的圓發(fā)生不同程度的形變，假設(shè)由第一架相機(jī)拍攝的五個(gè)類橢圓的圓心坐標(biāo)為：第二架相機(jī)拍攝的五個(gè)類橢圓的圓心坐標(biāo)為：將其分別代入2式，得到了兩個(gè)由五個(gè)方程的方程組： 4和 5另外，由于6，所以由456式可以求得旋轉(zhuǎn)矩陣A1、A2和平移矩陣T1、T2。六、模型的評(píng)價(jià)及改良 優(yōu)點(diǎn)1基于矩陣坐標(biāo)變換確定世界坐標(biāo)系下物體坐標(biāo)與像坐標(biāo)的關(guān)系，過程清晰

27、，準(zhǔn)確易行。2基于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中四鄰域概念確定的像平面圖像輪廓較為準(zhǔn)確。3公切線法確定像平面圓心坐標(biāo)具有魯棒性，對(duì)相機(jī)的位置和角度不敏感，準(zhǔn)確度高，穩(wěn)定性好。 缺點(diǎn)1本文模型沒有考慮相機(jī)拍攝時(shí)的畸變情況，結(jié)果存在一定的誤差。2公切線法確定像平面圓心坐標(biāo)的算法較復(fù)雜，程序運(yùn)行時(shí)間較長，且只能在有三個(gè)或者三個(gè)以上的圓時(shí)才能使用。 模型的改良本文假設(shè)相機(jī)鏡頭沒有發(fā)生畸變，而現(xiàn)實(shí)中，由于受到環(huán)境影響，必然會(huì)發(fā)生一定程度的畸變，因此模型的改良就考慮到發(fā)生畸變的情況。傳統(tǒng)的數(shù)碼相機(jī)是利用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)參照物與其圖像的對(duì)應(yīng)約束關(guān)系來確定數(shù)碼相機(jī)的各個(gè)根本參數(shù)。為了提高本文模型中所涉及的計(jì)算精度，還需要確定非線性畸

28、變校正參數(shù)。考慮畸變的非線性模型的根本投影關(guān)系式為：其中x,y為小孔線性模型計(jì)算出來的相點(diǎn)坐標(biāo)理想值，為實(shí)際相點(diǎn)的坐標(biāo)，是非線性畸變，與相點(diǎn)在像中的位置有關(guān)。查閱相關(guān)文獻(xiàn)可知，相機(jī)的畸變主要為徑向畸變，以上兩式說明x方向與y方向的畸變相對(duì)值與徑向半徑的平方成正比，即圖像在邊緣的畸變交大，相機(jī)的外部桉參數(shù)沒有改變，但內(nèi)部參數(shù)就引入了畸變參數(shù)，需要通過的實(shí)物點(diǎn)與該實(shí)物點(diǎn)對(duì)應(yīng)的像點(diǎn)由最小二乘確定參數(shù)。七、參考文獻(xiàn)1 李小平,雙目視覺立體測(cè)量研究，武漢，20212 楊文茂，李全英，空間解析幾何M，武漢：武漢大學(xué)出版社，3 蔡健榮，趙杰文，雙目立體視覺系統(tǒng)攝像機(jī)標(biāo)定J，江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版，20064

29、 鄭毅，劉上乾，利用直線特征的定標(biāo)圖像非線性畸變校正J，儀器儀表學(xué)報(bào)，2007,6附錄程序一：讀取圖片a=imread(tupian.jpg);b=im2bw(a);dat=ones(length(b(:,1),length(b(1,:);for i=1:length(b(:,1) for j=1:length(b(1,:) if b(i,j)=1 dat(i,j)=0; end endenddat;clear a;clear i;clear j;程序二：提取橢圓輪廓坐標(biāo)%求輪廓坐標(biāo)%提取邊界data;bound=zeros(length(dat(:,1),length(dat(1,:);for i=1:length(dat(:,1) for j=1:length(dat(1,:) if dat(i,j)=1 if dat(i-1,j)=1 & dat(i+1,j)=1 & dat(i,j-1)=1 & dat(i,j+1)=1 bound(i,j)=0; else bound(i,j)=1; end else bound(i,j)=0;