周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第五節(jié)周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 二、周期為二、周期為2 l 的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 第六章 一、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)一、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)一、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)1. 周期為周期為2 的的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)定理定理1 . 對(duì)周期為 2 的奇函數(shù) f (x) , 其傅里葉級(jí)數(shù)為周期為2的偶函數(shù) f (x) , 其傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù) ,02( )cosd(0,1, 2,) naf xnxxn),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan02( )sind(1, 2,3

2、,)nbf xnxxn它的傅里葉系數(shù)為正弦級(jí)數(shù),它的傅里葉系數(shù)為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 設(shè)的表達(dá)式為 f (x) x , 將 f (x) 展成傅里里葉級(jí)數(shù). f (x) 是周期為2 的周期函數(shù),它在上),解解: 若不計(jì)),2, 1,0() 12(kkx是則)(xf周期為 2 的奇函數(shù), 0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nnyxO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n1根據(jù)收斂定理可得 f (x) 的正弦級(jí)數(shù):)(xf,(x)3sin312sin21(sin2xxx1

3、2nnxnnsin) 1(1(21) ,0,1 ,)xkk級(jí)數(shù)的部分和 , ) 在上逼近 f (x) 的情況見右圖. yxOn2n3n4n5Oxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 定義在定義在0, 上的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)上的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)( ),0,f xx)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0, 上展成周期延拓 F (x)余弦級(jí)數(shù)奇延拓偶延拓xOy正弦級(jí)數(shù) f (x) 在 0, 上展成Oxy( ),(0, f xx0, 0 x(),(, 0)fxx ( ),0, f xx(),(, 0)fxx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyO1例例2. 將函數(shù))0(

4、1)(xxxf分別展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù) . 解解: 先求正弦級(jí)數(shù). 去掉端點(diǎn), 將 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb 0dsin) 1(2xnxx202cossincosxnxnxnxnnn21coscosnnn12 knkn2),2, 1(k22,21k,1k目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nb12,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2( x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端點(diǎn) x = 0, , 級(jí)數(shù)的和為0 ,與給定函數(shù)因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . xyO1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 再求余弦

5、級(jí)數(shù).xy將)(xf則有O0a02(1)dxxna02(1)cosdxnxx2022xx2202sincossinxnxnxnxnnn22cos1nn24,21(21) nkkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓 ,1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 na12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k112x xcosx3cos312(0)xx5cos512說明說明: 令 x = 0 可得2221113582211(21)8nk即412 2141(21)kkxk) 12cos(xyO1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、周期為二、周期為2 l 的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)周期

6、為 2l 的函數(shù) f (x)周期為 2 的函數(shù) F(z)變量代換lxz將F(z) 作傅氏展開 f (x) 的傅氏展開式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )條件條件:1) 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)2) 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)naxlxnxflbllndsin)(1l1xlxnxflldcos)(),2, 1,0(n),2, 1(n設(shè)周期為2l 的周期函數(shù) f (x)滿足收斂定理?xiàng)l件,則它的傅里里葉級(jí)數(shù)展開式為10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處)其中定理定理2.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明證

7、明: 令lxz, 則,llx,z令)(zF, )(z lf則)2()2(zlfzF)2(lzlf)(zlf)(zF所以)(zF且它滿足收斂定理?xiàng)l件,將它展成傅里里葉級(jí)數(shù):10sincos2)(nnnznbznaazF( 在 F(z) 的連續(xù)點(diǎn)處 )(xf變成是以2 為周期的周期函數(shù), 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1令lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsincos2)(10),2, 1,0(n),3,2, 1(n),2, 1,0(n),3,2, 1(n( 在 f (x) 的 連續(xù)點(diǎn)處 )xlx

8、nxflldcos)(證畢 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:1)(nnbxf),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處)lxnsinl20l如果 f (x) 為偶函數(shù), 則有(在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處)2)(0axf),2, 1,0(dcos)(nxlxnxfan其中1nnalxncos注注: 無論哪種情況 ,).()(21xfxf在 f (x) 的間斷點(diǎn) x 處, 傅里里葉級(jí)數(shù)都收斂于l20l如果 f (x) 為奇函數(shù), 則有 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(tftO0d) 1sin() 1sin(ttntn例例3. 交流電壓tEtEsin)(經(jīng)

9、半波整流后負(fù)壓消失,試求半波整流函數(shù)的解解: 這個(gè)半波整流函數(shù)2,它在)(tfna0dcossinttntE,sintE,0傅里里葉級(jí)數(shù).,上的表達(dá)式為0t0 t2E的周期是22目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 000d2sintt21Ea tE2cos212時(shí)1n0d) 1sin() 1sin(ttntn2Eantnn) 1cos() 1(12E0tnn) 1cos() 1(1111) 1(111) 1(21nnnnEnn) 1(1) 1(21nEn32 ,0 kn,)41 (22kE), 1,0(kkn2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 tttEbdsinsin01ttntnEd) 1cos()

10、1cos(20) 1() 1sin(2ntnEbn0) 1() 1sin(0ntnttntEbndsinsin0ttEd)2cos1 (20022sin2ttE2En 1 時(shí)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由于半波整流函數(shù) f ( t ),),(上連續(xù)在)(EtftEsin2tkkEk2cos411212)(t直流部分說明說明:交流部分由收收斂定理可得2 k 次諧波的振幅為,14122kEAk k 越大振幅越小,因此在實(shí)際應(yīng)用中展開式取前幾項(xiàng)就足以逼近 f (x)了.上述級(jí)數(shù)可分解為直流部分與交流部分的和. )(tftO22目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Oyx2例例2. 把展開成)20()(xx

11、xf(1) 正弦級(jí)數(shù); (2) 余弦級(jí)數(shù).解解: (1) 將 f (x) 作奇周期延拓, 則有),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x在 x = 2 k 處級(jí)數(shù)收斂于何值?目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 O 2yx(2) 將 作偶周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xancosd2n xx22022sincos22nxnxxnn224( 1)1nn xxf)(200d22xxa2kn2,0228,(21) k),2, 1(k則有221

12、81(21)1cos(21)2kkxk )20( x12 kn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 O 2yx說明說明: 此式對(duì)0 x也成立,2211(21)8kk由此還可導(dǎo)出121nn2812141nn22116nn12)2(1kk22181(21)( )1cos(21)2kkxf xxk )20( x12) 12(1kk據(jù)此有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時(shí),方法方法1, , )(baxxf令,2abzx即2abxzzabzfxfzF, )2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里葉級(jí)數(shù))(zF周期延拓將2abxz)(xf在,ba代入展開式上的傅里葉級(jí)數(shù) 其展開

13、方法為:xab2ba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方法方法2, , )(baxxf令,azxzazfxfzF, )()()(ab,0在ab,0上展成正弦或余弦級(jí)數(shù))(zF奇或偶式周期延拓將 代入展開式axz)(xf在,ba即axz上的正弦或余弦級(jí)數(shù) xab目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 將函數(shù))155(10)(xxxf展成傅里里葉級(jí)數(shù).解解: 令,10 xz設(shè))55( )10()()(zzzfxfzF將F(z) 延拓成周期為 10 的周期函數(shù), 理?xiàng)l件.由于F(z) 是奇函數(shù), 故),2, 1,0(0nan5052zbnsind5n zznn10) 1(),2,1(n則它滿足收斂定11

14、0( 1)( )sin5nnn zF zn)55(z110( 1)10sin5nnn xxn)155( x)(zFz55O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 周期為 2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 奇函數(shù)正弦級(jí)數(shù) 偶函數(shù)余弦級(jí)數(shù)2. 在 0, 上函數(shù)的傅里葉展開法 作奇周期延拓 , 展開為正弦級(jí)數(shù) 作偶周期延拓 , 展開為余弦級(jí)數(shù)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 周期為2l 的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 間斷點(diǎn))其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n為正弦

15、 級(jí)數(shù). 當(dāng)f (x)為奇 函數(shù)時(shí),(偶)(余弦)4. 在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法變換延拓目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 在 0 , 上的函數(shù)的傅里里葉展開法唯一嗎 ?答答: 不唯一 , 延拓方式不同級(jí)數(shù)就不同 .2. 將函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)為什么最好先畫出其圖形?答答: 易看出奇偶性及間斷點(diǎn), 3. 計(jì)算傅里葉系數(shù)時(shí)哪些系數(shù)要單獨(dú)算 ?答答: 用系數(shù)公式計(jì)算如分母中出現(xiàn)因子 nk從而便于計(jì)算系數(shù)和寫出收斂域 .,時(shí)nnbakkba 或則必須單獨(dú)計(jì)算.習(xí)題課 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題) 11(2)(xxxf將期的傅立葉級(jí)數(shù), 并由此求級(jí)數(shù)121nn