新泰一中北校高二數(shù)學(xué)課件數(shù)學(xué)：2.1《合情推理與演繹證明》課件(新人教A版選修1-2)

1、合情推理與演 繹情推.,.,.,證證明明過過程程更更離離不不開開推推理理數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)中中在在其其中中都都包包含含了了推推理理活活動動題題的的真真?zhèn)蝹蔚鹊鹊鹊葦?shù)數(shù)學(xué)學(xué)家家論論證證命命代代考考古古學(xué)學(xué)家家推推斷斷遺遺址址的的年年能能狀狀態(tài)態(tài)氣氣象象專專家家預(yù)預(yù)測測天天氣氣的的可可偵偵破破案案件件警警察察醫(yī)醫(yī)生生診診斷斷病病人人的的病病癥癥例例如如樣樣的的推推理理那那人人們們常常常常需需要要進進行行這這樣樣在在日日常常生生活活中中,;.論論演演繹繹推推理理則則具具有有證證明明結(jié)結(jié)和和方方向向的的作作用用解解決決問問題題的的思思路路提提供供現(xiàn)現(xiàn)新新結(jié)結(jié)論論、探探索索和和合合情情推推理理具具有有猜猜測測和和

2、發(fā)發(fā)推推理理和和演演繹繹推推理理合合情情本本的的推推理理本本章章我我們們將將學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)兩兩種種基基., )()(.,.,理理、論論證證有有據(jù)據(jù)的的習(xí)習(xí)慣慣養(yǎng)養(yǎng)成成言言之之有有作作用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)以以及及日日常常生生活活中中的的感感受受邏邏輯輯證證明明在在解解數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)證證明明的的基基本本方方法法了了特特點點從從中中體體會會證證明明的的功功能能和和反反證證法法如如證證明明的的方方法法和和間間接接法法、數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法合合、綜綜如如分分析析法法明明的的方方法法接接證證直直法法的的兩兩類類基基本本方方同同時時我我們們還還要要學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)證證明明段段本本手手學(xué)學(xué)結(jié)結(jié)論論的的基基成成為為獲獲得得數(shù)數(shù)相相輔輔相相

3、成成因因此此它它們們聯(lián)聯(lián)系系緊緊密密、中中的的基基本本推推理理方方法法是是公公理理體體系系作作用用整整理理和和建建構(gòu)構(gòu)知知識識體體系系的的合情推理與演繹推理合情推理與演繹推理1.2.,理理和和演演繹繹推推理理合合情情推推中中經(jīng)經(jīng)常常使使用用的的兩兩種種推推理理學(xué)學(xué)研研究究紹紹人人們們在在日日常?；罨顒觿雍秃涂瓶平榻楸颈竟?jié)節(jié)將將程程一一個個新新的的判判斷斷的的思思維維過過確確定定個個已已知知的的判判斷斷來來據(jù)據(jù)一一個個或或幾幾是是根根過過程程推推理理是是人人們們思思維維活活動動的的合情推理合情推理1.1.2.?.,.)Fermat()Goldbach(,赫赫提提出出猜猜想想的的過過程程下下面面看

4、看一一下下哥哥德德巴巴嗎嗎學(xué)學(xué)猜猜想想是是怎怎樣樣提提出出來來的的你你知知道道這這些些數(shù)數(shù)生生心心血血的的人人甚甚至至為為之之耗耗費費了了畢畢有有和和數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)愛愛好好者者學(xué)學(xué)家家的的證證明明吸吸引引了了大大批批的的數(shù)數(shù)某某些些猜猜想想等等、歌歌尼尼斯斯堡堡七七橋橋猜猜想想等等四四色色猜猜想想猜猜想想、地地圖圖的的猜猜想想、費費馬馬如如著著名名的的哥哥德德巴巴赫赫想想數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)中中有有各各種種各各樣樣的的猜猜.171330,17320, 7310:,301713,20173 ,1073:寫成他有意把上面的式子改察到據(jù)說哥德巴赫無意中觀.:奇質(zhì)數(shù)奇質(zhì)數(shù)偶數(shù)律其中反映出這樣一個規(guī)?,30,20,10:

5、類似的規(guī)律呢那么其他偶數(shù)是否也有數(shù)都是偶個想法于是哥德巴赫產(chǎn)生了一 ,8631391002,971291000,11516, 7714, 7512, 5510, 538:6, 336, 6,的偶數(shù)再看看超過即之和的偶數(shù)是第一個等于兩個奇質(zhì)數(shù)顯然?,你能提出一個猜想嗎你能提出一個猜想嗎繼續(xù)上述過程繼續(xù)上述過程.,?.6:,而且取得了很好的進展證明這個猜想努力許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家都在多少年來確的嗎這是正數(shù)的和的偶數(shù)都等于兩個奇質(zhì)不小于任何一個哥德巴赫大膽地猜想根據(jù)上述過程.6,.,:,兩個奇質(zhì)數(shù)之和的偶數(shù)都等于任何一個不小于提出猜想是于而且沒有出現(xiàn)反例和以表示成兩個奇質(zhì)數(shù)之他發(fā)現(xiàn)它們總可的驗證通過對一

6、些偶數(shù)過程赫提出猜想的推理我們來考察一下哥德巴現(xiàn)在.,.,一般的推理一般的推理部分到整體、由個別到部分到整體、由個別到歸納推理是由歸納推理是由簡言之簡言之簡稱歸納簡稱歸納為為稱稱一般結(jié)論的推理一般結(jié)論的推理或者由個別事實概括出或者由個別事實概括出論論些特征的推些特征的推這這事物的全部對象都具有事物的全部對象都具有出該類出該類推推對象具有某些特征對象具有某些特征這種由某類事物的部分這種由某類事物的部分歸納推理歸納推理.,.180,180;,00是歸納推理是歸納推理這也這也從而對整體作出推斷從而對整體作出推斷試驗以取得信息試驗以取得信息取一部分進行觀測或取一部分進行觀測或所研究的對象全體中抽所研究

7、的對象全體中抽我們總是從我們總是從在統(tǒng)計學(xué)中在統(tǒng)計學(xué)中這些都是歸納推理這些都是歸納推理是是所有三角形的內(nèi)角和都所有三角形的內(nèi)角和都歸納出歸納出形的內(nèi)角和都是形的內(nèi)角和都是等腰三角形、等邊三角等腰三角形、等邊三角由直角三角形、由直角三角形、一切金屬都能導(dǎo)電一切金屬都能導(dǎo)電歸納出歸納出屬能導(dǎo)電屬能導(dǎo)電金金等等由銅、鐵、鋁、金、銀由銅、鐵、鋁、金、銀例如例如 .,子子下下面面是是一一個個數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)中中的的例例獲獲得得新新結(jié)結(jié)論論新新事事實實應(yīng)應(yīng)用用歸歸納納推推理理可可以以發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)., 2 , 1na1aa, 1a1a1nn1n1n項公式項公式試歸納出這個數(shù)列的通試歸納出這個數(shù)列的通且且項項的第的第已知

8、數(shù)列已知數(shù)列例例 .,.anann算出數(shù)列的前幾項算出數(shù)列的前幾項的遞推公式的遞推公式我們先根據(jù)已知我們先根據(jù)已知為此為此與序號之間的對應(yīng)關(guān)系與序號之間的對應(yīng)關(guān)系項項的第的第是數(shù)列是數(shù)列數(shù)列的通項公式表示的數(shù)列的通項公式表示的分析分析; 1a,1n1 時當解;3121121a,3n3時當;21111a,2n2 時當.4131131a,4n4 時當.n1a,.4,n這個數(shù)列的通項公式為由此猜想數(shù)項都等于相應(yīng)序號的倒數(shù)列的前觀察可得.,.,1一一種種方方向向提提供供們們的的研研究究想想可可以以為為我我但但這這個個猜猜有有待待嚴嚴格格的的證證明明猜猜想想是是否否正正確確還還雖雖然然猜猜想想一一個個了

9、了關(guān)關(guān)于于數(shù)數(shù)列列通通項項公公式式的的我我們們通通過過歸歸納納得得到到中中在在例例.,;,;,.,類類比比生生物物機機制制得得到到的的初初構(gòu)構(gòu)想想都都是是仿仿生生學(xué)學(xué)中中許許多多發(fā)發(fā)明明的的最最事事實實上上等等等等發(fā)發(fā)明明了了潛潛水水艇艇原原理理外外形形和和它它在在水水中中的的沉沉浮浮人人們們仿仿照照魚魚類類發(fā)發(fā)明明了了鋸鋸的的草草葉葉和和蝗蝗蟲蟲的的牙牙齒齒類類比比帶帶齒齒據(jù)據(jù)說說我我國國古古代代工工匠匠魯魯班班例例如如用用類類比比還還常常常常應(yīng)應(yīng)中中在在人人們們的的創(chuàng)創(chuàng)造造發(fā)發(fā)明明活活動動除除了了歸歸納納.:,.,在在火火星星上上也也可可能能有有性性命命存存科科學(xué)學(xué)家家猜猜想想由由此此等等

10、等等生生物物的的生生存存度度適適合合地地球球上上某某些些已已知知的的溫溫而而且且火火星星上上大大部部分分時時間間也也有有季季節(jié)節(jié)的的變變更更在在一一年年中中也也有有大大氣氣層層運運行行、繞繞軸軸自自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的行行星星如如火火星星也也是是圍圍繞繞太太陽陽一一些些與與地地球球類類似似的的特特征征發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)火火星星具具有有作作類類比比科科學(xué)學(xué)家家們們把把火火星星與與地地球球這這個個問問題題火火星星上上是是否否有有性性命命為為了了回回答答又又如如?推理過程是怎樣的推理過程是怎樣的科學(xué)家做出上述猜想的科學(xué)家做出上述猜想的思考思考.,)(,個特征猜測火星也可能具有這出發(fā)有性命存在特征然后從地球的一個已知之間的

11、某些相似特征球科學(xué)家對比了火星與地在提出上述猜想過程中.,).12(,.,.球也可能具有測對于圓的特征因此我們推的點的集合到定點的距離等于定長都是即具有完美的對稱性念上都有類似的地方由球與圓在形狀上和概表了圓的一些性質(zhì)發(fā)現(xiàn)定義了圓的一些概念有了比較充分的研究我們已經(jīng)對于圓我們會自然地聯(lián)想到圓球體時在研究例如這樣的推理數(shù)學(xué)研究中也常常進行 ;,;,半徑到球心的距離等于球的該點與球交于一點這樣的平面我們推測可能存在對于球半徑圓的切點到圓心的距離等于點切線與圓交于一圓有切線例如.;,3等等點確定一個球想空間中不共面的四個由此猜個點確定一個圓平面內(nèi)不共線的 .,的切平面的切平面即球即球在的在的平面是存

12、平面是存道這樣的道這樣的已經(jīng)知已經(jīng)知.,12,并說說推理的過程并說說推理的過程特征特征中球的相關(guān)中球的相關(guān)填寫表填寫表類比圓的特征類比圓的特征探究探究12表表圓圓的的概概念念和和性性質(zhì)質(zhì)球球的的類類似似概概念念和和性性質(zhì)質(zhì)圓圓的的周周長長圓圓的的面面積積.點點的的連連線線垂垂直直于于弦弦中中非非直直徑徑圓圓心心與與弦弦.,;距距圓圓心心較較近近的的弦弦較較長長不不等等與與圓圓心心距距離離不不等等的的兩兩弦弦相相等等與與圓圓心心距距離離相相等等的的兩兩弦弦.ryyxxr ,y,x2202000徑徑的的圓圓的的方方程程為為為為半半為為圓圓心心以以點點.,1n,n.n5、4,得啟發(fā)和聯(lián)想得啟發(fā)和聯(lián)想

13、從中獲從中獲維球的情形維球的情形類比類比總可以總可以維球時維球時研究研究維球維球至至維球直維球直維球維球定義并且研究定義并且研究我們還可以我們還可以根據(jù)同樣的思路根據(jù)同樣的思路.,.,推理推理殊的殊的類比推理是由特殊到特類比推理是由特殊到特簡言之簡言之簡稱類比簡稱類比稱為稱為也具有這些特征的推理也具有這些特征的推理推出另一類對象推出另一類對象些已知特征些已知特征的某的某似特征和其中一類對象似特征和其中一類對象些類些類這種由兩類對象具有某這種由兩類對象具有某類比推理類比推理.,:)16301571,plerKe(界的秘密界的秘密能揭示自然能揭示自然它它賴的老師賴的老師是我最可信是我最可信它它別的

14、東西別的東西比勝過任何比勝過任何我珍惜類我珍惜類說說開普勒開普勒.,.,:Polya,.,等等等等與相等的類比與相等的類比不等不等無限與有限的類比無限與有限的類比量與數(shù)的類比量與數(shù)的類比數(shù)學(xué)中還有向數(shù)學(xué)中還有向平面幾何中的類比問題平面幾何中的類比問題有賴于有賴于求解立體幾何問題往往求解立體幾何問題往往引路人引路人類比是一個偉大的類比是一個偉大的曾指出曾指出利亞利亞數(shù)學(xué)家波數(shù)學(xué)家波例如例如出新問題和作出新發(fā)現(xiàn)出新問題和作出新發(fā)現(xiàn)通過類比而提通過類比而提和已經(jīng)獲得的知識出發(fā)和已經(jīng)獲得的知識出發(fā)問題問題我們可以由已知解決的我們可以由已知解決的在數(shù)學(xué)中在數(shù)學(xué)中.,2運運算算性性質(zhì)質(zhì)列列出出它它們們相相

15、似似的的類類比比實實數(shù)數(shù)的的加加法法和和乘乘法法例例.4. 10,算算個個方方面面來來類類比比這這兩兩種種運運從從上上述述因因此此我我們們可可以以特特殊殊的的地地位位別別在在加加法法和和乘乘法法中中占占有有分分而而且且都都存存在在逆逆運運算算都都滿滿足足一一定定的的運運算算律律由由兩兩個個數(shù)數(shù)參參與與運運算算實實數(shù)數(shù)的的加加法法和和乘乘法法都都是是分分析析 .,1數(shù)得的結(jié)果仍然是一個實所或乘法運算后兩個實數(shù)經(jīng)過加法運算解 bcacabcbacbabaababba,2即律和結(jié)合律加法和乘法都滿足交換從運算律的角度考慮 a1xax0a1ax0 xa,3都有唯一解這就使得方程乘法的逆運算是除法運算是

16、減法加法的逆二者都有逆運算從逆運算角度考慮 a1aa0a,1,01;0,4即等于原來的數(shù)的積都即任意實數(shù)與類似與加法中的法中的乘相加都不改變大小任意實數(shù)與在加法中.,Galois.4這這種種運運算算性性質(zhì)質(zhì)的的集集合合用用來來表表示示具具有有群群的的概概念念提提出出了了數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)家家伽伽羅羅瓦瓦法法國國天天才才的的條條運運算算性性質(zhì)質(zhì)有有這這數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)中中還還有有許許多多集集合合具具.,證明這些猜想的思路證明這些猜想的思路以及以及獲得四面體性質(zhì)的猜想獲得四面體性質(zhì)的猜想象的性質(zhì)象的性質(zhì)通過類比這個對通過類比這個對找一個研究過的對象找一個研究過的對象我們可在平面幾何中尋我們可在平面幾何中尋四面體的性

17、質(zhì)四面體的性質(zhì)為了研究為了研究在立體幾何中在立體幾何中例如例如比對象比對象尋找合適的類尋找合適的類運用類比推理常常先要運用類比推理常常先要?對對象象可可以以作作為為四四面面體體的的類類比比一一類類圖圖形形你你認認為為平平面面幾幾何何中中的的哪哪探探究究.,.)(,3,;)(,4,.,.、,四四面面體體的的類類比比對對象象我我們們可可以以把把三三角角形形作作為為從從這這個個角角度度看看的的封封閉閉圖圖形形圍圍成成直直線線最最少少的的基基本本元元素素三三角角形形是是平平面面內(nèi)內(nèi)由由數(shù)數(shù)目目即即角角形形條條直直線線可可以以圍圍成成一一個個三三而而一一個個封封閉閉的的圖圖形形兩兩條條直直線線不不能能圍

18、圍成成在在平平面面內(nèi)內(nèi)圍圍成成的的封封閉閉幾幾何何體體面面平平的的基基本本元元素素它它是是空空間間中中由由數(shù)數(shù)目目最最少少個個面面圍圍成成四四面面體體由由目目看看從從構(gòu)構(gòu)成成幾幾何何體體的的元元素素數(shù)數(shù)例例如如對對象象選選擇擇適適當當?shù)牡念愵惐缺阮}題的的需需要要本本原原則則是是要要根根據(jù)據(jù)當當前前問問基基度度量量等等位位置置關(guān)關(guān)系系目目四四面面體體的的幾幾何何元元素素的的數(shù)數(shù)如如圍圍成成出出發(fā)發(fā)確確定定類類比比對對象象我我們們可可以以從從不不同同的的角角度度.,想的例子想的例子得到立體圖形性質(zhì)的猜得到立體圖形性質(zhì)的猜比平面的幾何中的結(jié)論比平面的幾何中的結(jié)論我們就來看一個通過類我們就來看一個通過

19、類下面下面.,3空空間間四四面面體體性性質(zhì)質(zhì)的的猜猜想想試試給給出出的的勾勾股股定定理理類類比比平平面面內(nèi)內(nèi)直直角角三三角角形形例例ABCabc 1DEFP1S3S2S 211.2圖圖.,3,對象對象作為直角三角形的類比作為直角三角形的類比個面兩兩垂直的四面體個面兩兩垂直的四面體取有取有所以我們可以選所以我們可以選兩條邊垂直兩條邊垂直角三角形的角三角形的到直到直考慮考慮析析分分;DEFP,ABCRt,11.2是四面體是四面體相對應(yīng)相對應(yīng)與與所示所示如圖如圖;33ABCP,1ABCRt個直二面角個直二面角構(gòu)成構(gòu)成個面在一個頂點處個面在一個頂點處的的是四面體是四面體直角相對應(yīng)的直角相對應(yīng)的個個的兩

20、條邊交成的兩條邊交成與與ABCabc 1DEFP1S3S2S 211.2圖圖;SS,SDPE,FPD,DEFDEFP,b, aRtABC321和和面積面積的的和和的面的面是四面體是四面體相對應(yīng)的相對應(yīng)的的直角邊邊長的直角邊邊長與與.SPEFDEFP,cRtABC的面積的面積的面的面是四面體是四面體應(yīng)的應(yīng)的相對相對的斜邊邊長的斜邊邊長與與.DEFP,RtABC,四個面的面積的關(guān)系四個面的面積的關(guān)系猜想出四面體猜想出四面體中的勾股定理中的勾股定理我們可以類比我們可以類比由此由此.bac,ABCRt,11.2222得由勾股定中在道我們知所示如圖解ABCabc 1DEFP1S3S2S 211.2圖圖.

21、SSSS,DEFP,2322212成立成立們猜想們猜想我我中中在四面體在四面體定理定理類比直角三角形的勾股類比直角三角形的勾股于是于是.?學(xué)們自己證明學(xué)們自己證明請同請同這個結(jié)論是正確的嗎這個結(jié)論是正確的嗎:理理過過程程概概括括為為我我們們把把前前面面所所進進行行的的推推題題出出發(fā)發(fā)從從具具體體問問. )reasoningplausible(,把他們統(tǒng)稱為把他們統(tǒng)稱為我們我們后提出猜想的推理后提出猜想的推理然然再進行歸納類比再進行歸納類比聯(lián)想聯(lián)想、經(jīng)過觀察、分析、比較經(jīng)過觀察、分析、比較理都是根據(jù)已有的事實理都是根據(jù)已有的事實歸納推理和類比推歸納推理和類比推可見可見合情推理合情推理.,:)18

22、271749,Laplace(歸納和類比歸納和類比是是理的主要工具也理的主要工具也發(fā)現(xiàn)真發(fā)現(xiàn)真使在數(shù)學(xué)里使在數(shù)學(xué)里即即曾經(jīng)說過曾經(jīng)說過斯斯法國數(shù)學(xué)家拉普拉法國數(shù)學(xué)家拉普拉比比較較、聯(lián)聯(lián)想想觀觀察察、分分析析、類類比比歸歸納納、猜猜想想提提出出.,;,.,下下面面再再來來看看一一個個例例子子路路和和方方向向明明思思理理常常常常能能為為我我們們提提供供證證合合情情推推證證明明一一個個數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)結(jié)結(jié)論論之之前前和和發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)結(jié)結(jié)論論們們猜猜想想合合情情推推理理常常常常能能幫幫助助我我之之前前得得到到一一個個新新結(jié)結(jié)論論數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)研研究究中中的的推推理理合合乎乎情情理理合合情情推推理理是是指指通通俗俗地地說

23、說.,.,21.24另一根針上另一根針上部移到部移到把金屬片從一根針上全把金屬片從一根針上全按下列規(guī)則按下列規(guī)則干金屬片干金屬片上的若上的若有三根針和套在一根針有三根針和套在一根針所示所示如圖如圖例例21.2圖圖.2;1.1金屬片上面金屬片上面不能放在較小的不能放在較小的較大的金屬片較大的金屬片個金屬片個金屬片每次只能移動每次只能移動?,31n:移移動動多多少少次次最最少少需需要要號號針針號號針針移移到到個個金金屬屬片片從從把把試試推推測測123.n,4, 3 , 2 , 1個個金金屬屬片片所所需需的的次次數(shù)數(shù)進進而而歸歸納納出出移移動動中中的的規(guī)規(guī)律律性性探探究究其其個個金金屬屬片片的的情情

24、形形入入手手我我們們從從移移動動分分析析.1,13,3,1n次共移動了表示用符號號針移到只需把金屬片從一號針時當解:, 2,2n順序是移動的中間針號針作為我們利用金屬片上面片放在較小的為了避免將較大的金屬時當 ;2111號針號針移到個金屬片從將第 ;3122號針號針移到個金屬片從將第 ;3213號針號針移到個金屬片從將第.3,231312次共移動了用符號表示為:,2n,3n移動的順序是的情形結(jié)為則歸一個整體把上面兩個金屬片作為時當 ;211號針號針移到把上面兩個金屬片從 ;3132號針號針移到個金屬片從把第 .323號針號針移到把上面兩個金屬片從 .7,13232113321213.31次共移

25、動了用符號表示為都需要借助中間針和其中:,3,4n順序是移動的個金屬片作為一個整體把上面時當 ;2131號針號針移到個金屬片從把上面 ;3142號針號針移到個金屬片從把第 .3233號針號針移到個金屬片從把上面.15,231312233121231312323112231312次共移動了用符號表示為.15, 7 , 3 , 14, 3 , 2 , 1,構(gòu)成的數(shù)列個金屬片所需次數(shù)我們得到依次移動至此. 1215, 127, 123, 121:,4321下規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)其中蘊含著如觀察這個數(shù)列.Nn12aa,a,31n:nnnn的通項公式為則數(shù)列次最少需要移動針號號針移到個金屬片從若把由此我們猜想?

26、,31n數(shù)數(shù)呢呢才才能能達達到到最最少少的的移移動動次次怎怎樣樣移移動動號號針針號號針針移移到到個個金金屬屬片片從從把把探探究究 ;211n1號針號針移到兩個金屬片從將上面:,n.n,4, 3 , 2 , 1n可分為下列三個步驟個金屬片時當移動方法個金屬片都適用的移動歸納出對我們可以時的移動方法通過探究上述 ;31n2號針號針移到個金屬片從將第 .321n3號針號針移到個金屬片從將上面.n1n,n個金屬片的任務(wù)個金屬片和移動一次第轉(zhuǎn)化為移動兩次個金屬片的任務(wù)這樣就把移動個金移動個金屬片片和移動一次第個金屬個金屬片需要移動兩次而移動2n,1n2n1n可得遞推公式根據(jù)這個過程的情形個金屬片直到轉(zhuǎn)化

27、為移動如此繼續(xù)個金屬片個金屬片和移動一次第需要移動兩次,.1,2nn 3 3.1n1a2a, 1a1nn1.,正確的是可以證明上述通項公式從這個遞推公式出發(fā).,未必可靠猜想僅僅是一種論由合情推理所獲得的結(jié)一般來說波波利利亞亞爭爭議議的的和和暫暫時時的的合合情情推推理理是是冒冒險險的的、有有. .,4177006641297967294412F5,Euler,.Nn12:,5376512,25712,1712, 512,5n43212522222從從而而推推翻翻了了費費馬馬的的猜猜想想不不是是質(zhì)質(zhì)數(shù)數(shù)個個費費馬馬數(shù)數(shù)第第發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)善善于于計計算算的的歐歐拉拉之之后后半半個個世世紀紀這這就就是是著著

28、名名的的費費馬馬猜猜想想數(shù)數(shù)的的數(shù)數(shù)都都是是質(zhì)質(zhì)任任何何形形如如猜猜想想于于是是他他用用歸歸納納推推理理提提出出都都是是質(zhì)質(zhì)數(shù)數(shù)法法國國數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)家家費費馬馬觀觀察察到到例例如如 .F,n記作記作通常稱為費馬數(shù)通常稱為費馬數(shù) .1 ,x2xxf62函函數(shù)數(shù)上上是是增增在在證證明明函函數(shù)數(shù)例例 .xfxf,xx,x,x:xfy,212121則有則有若若量的兩個值量的兩個值在給定區(qū)間內(nèi)任取自變在給定區(qū)間內(nèi)任取自變滿足滿足即函數(shù)即函數(shù)義義提是增函數(shù)的定提是增函數(shù)的定證明本例所依據(jù)的大前證明本例所依據(jù)的大前分析分析 .,1 ,x, x2xxf2這這是是證證明明本本例例的的關(guān)關(guān)鍵鍵的的定定義義滿滿足足增增

29、函函數(shù)數(shù)小小前前提提是是 .2xxxxx2xx2xxfxf,xx,1 ,x,x1212222121212121且任取證明; 0 xx,xx1221所以因為.02xx,xx, 1x,x122121所以因為 .xfxf, 0 xfxf ,2121即因此 .1 ,x2xxf, ,2上是增函數(shù)在得三段論根據(jù)于是.,結(jié)論必定是正確的結(jié)論必定是正確的正確的正確的只要前提和推理形式是只要前提和推理形式是在演繹推理中在演繹推理中 ?2?1.21y,21y,ayxxx為什么為什么推理的結(jié)論正確嗎推理的結(jié)論正確嗎上面的推理形式正確嗎上面的推理形式正確嗎是增函數(shù)是增函數(shù)所以所以是指數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)而而是增函數(shù)是增函

30、數(shù)因為指數(shù)函數(shù)因為指數(shù)函數(shù)思考思考大前提大前提小前提小前提結(jié)論結(jié)論.,1a0,ay,x的所以所得的結(jié)論是錯誤是減函數(shù)因為指數(shù)函數(shù)但大前提是錯誤的正確的形式理推上述 .,10,.推推出出所所有有命命題題演演繹繹推推理理利利用用條條公公理理和和公公設(shè)設(shè)出出發(fā)發(fā)它它從從型型的的演演繹繹系系統(tǒng)統(tǒng)就就是是一一個個典典原原本本歐歐幾幾里里得得的的例例如如系系的的思思想想建建立立各各門門學(xué)學(xué)科科體體推推理理來來多多士士德德還還提提出出了了用用演演繹繹亞亞里里德德創(chuàng)創(chuàng)立立的的是是由由古古希希臘臘的的亞亞里里士士多多三三段段論論.,:.,),(出出盡盡可可能能多多的的結(jié)結(jié)論論推推利利用用盡盡可可能能少少的的前前提提公公理理化化方方法法的的精精髓髓是是法法稱稱為為公公理理化化方方方方法法