2013年普通高考數(shù)學科一輪復習精品學案 第38講 導數(shù)、定積分

1、.2013年普通高考數(shù)學科一輪復習精品學案第38講 導數(shù)、定積分一課標要求：1導數(shù)及其應用（1）導數(shù)概念及其幾何意義 通過對大量實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數(shù)，體會導數(shù)的思想及其內涵；通過函數(shù)圖像直觀地理解導數(shù)的幾何意義。（2）導數(shù)的運算 能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的導數(shù)； 能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)（僅限于形如f（ax+b）的導數(shù)； 會使用導數(shù)公式表。（3）導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 結合實例，借助幾何直觀探索并了解

2、函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調區(qū)間； 結合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)最大值、最小值；體會導數(shù)方法在研究函數(shù)性質中的一般性和有效性。（4）生活中的優(yōu)化問題舉例例如，使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用。（5）定積分與微積分基本定理 通過實例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念； 通過實例（如變速運動物體在某

3、段時間內的速度與路程的關系），直觀了解微積分基本定理的含義。（6）數(shù)學文化收集有關微積分創(chuàng)立的時代背景和有關人物的資料，并進行交流；體會微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價值。具體要求見本標準中"數(shù)學文化"的要求。二命題走向導數(shù)是高中數(shù)學中重要的內容，是解決實際問題的強有力的數(shù)學工具，運用導數(shù)的有關知識，研究函數(shù)的性質：單調性、極值和最值是高考的熱點問題。在高考中考察形式多種多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考察基本概念、運算及導數(shù)的應用，也經(jīng)常以解答題形式和其它數(shù)學知識結合起來，綜合考察利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值，估計2013年高考繼續(xù)以上面的幾種形式考察

4、不會有大的變化：（1）考查形式為：選擇題、填空題、解答題各種題型都會考察，選擇題、填空題一般難度不大，屬于高考題中的中低檔題，解答題有一定難度，一般與函數(shù)及解析幾何結合，屬于高考的中低檔題；（2）2013年高考可能涉及導數(shù)綜合題，以導數(shù)為數(shù)學工具考察：導數(shù)的物理意義及幾何意義，復合函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識。定積分是新課標教材新增的內容，主要包括定積分的概念、微積分基本定理、定積分的簡單應用，由于定積分在實際問題中非常廣泛，因而2013年的高考預測會在這方面考察，預測2013年高考呈現(xiàn)以下幾個特點：（1）新課標考察，難度不會很大，注意基本概念、基本性質、基本公式的考察及簡單的應用；高考中本講的題

5、目一般為選擇題、填空題，考查定積分的基本概念及簡單運算，屬于中低檔題；（2）定積分的應用主要是計算面積，諸如計算曲邊梯形的面積、變速直線運動等實際問題要很好的轉化為數(shù)學模型。三要點精講1導數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x處有增量，那么函數(shù)y相應地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函數(shù)y=f（x）在x到x+之間的平均變化率，即=。 如果當時，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點x處可導，并把這個極限叫做f（x）在點x處的導數(shù)，記作f（x）或y|。即f（x）=。說明：（1）函數(shù)f（x）在點x處可導，是指時，有極限。如果不存在極限，就說函數(shù)在點x處不可導，或說無導數(shù)。（2）是自變量x在x

6、處的改變量，時，而是函數(shù)值的改變量，可以是零。 由導數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f（x）在點x處的導數(shù)的步驟（可由學生來歸納）：（1）求函數(shù)的增量=f（x+）f（x）；（2）求平均變化率=；（3）取極限，得導數(shù)f(x)=。2導數(shù)的幾何意義 函數(shù)y=f（x）在點x處的導數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率是f（x）。相應地，切線方程為yy=f/（x）（xx）。3常見函數(shù)的導出公式（）（C為常數(shù)）（）（）（）4兩個函數(shù)的和、差、積的求導法則法則1：兩個函數(shù)的和(或差)的導數(shù),等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(或差)，即：

7、 (法則2：兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù)，即：若C為常數(shù),則.即常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導數(shù)： 法則3兩個函數(shù)的商的導數(shù)，等于分子的導數(shù)與分母的積，減去分母的導數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函數(shù)稱為復合函數(shù)。復合函數(shù)求導步驟：分解求導回代。法則：y|= y| ·u|5導數(shù)的應用（1）一般地，設函數(shù)在某個區(qū)間可導，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內恒有，則為常數(shù)；（2）曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導數(shù)為0；曲線在極大值點左側切線的斜率為正，右側為負；曲線在極

8、小值點左側切線的斜率為負，右側為正；（3）一般地，在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f在a，b上必有最大值與最小值。求函數(shù)在(a，b)內的極值； 求函數(shù)在區(qū)間端點的值(a)、(b)； 將函數(shù) 的各極值與(a)、(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。6定積分（1）概念設函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點ax0<x1<<xi1<xi<xnb把區(qū)間a，b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間xi1，xi上取任一點i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x為小區(qū)間長度），把n即x0時，和式In的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作：，即(i)x。這里，a與b

9、分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。基本的積分公式：C；C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均為常數(shù)）。（2）定積分的性質（k為常數(shù)）；（其中acb。（3）定積分求曲邊梯形面積由三條直線xa，xb（a<b），x軸及一條曲線yf（x）(f(x)0)圍成的曲邊梯的面積。如果圖形由曲線y1f1(x)，y2f2(x)（不妨設f1(x)f2(x)0），及直線xa，xb（a<b）圍成，那么所求圖形的面積SS曲邊梯形AMNBS曲邊梯形DMNC。四典例解析題型1：導數(shù)的概念例1已知s

10、=，（1）計算t從3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒.各段內平均速度；（2）求t=3秒是瞬時速度。解析：（1）指時間改變量；指時間改變量。其余各段時間內的平均速度，事先刻在光盤上，待學生回答完第一時間內的平均速度后，即用多媒體出示，讓學生思考在各段時間內的平均速度的變化情況。（2）從（1）可見某段時間內的平均速度隨變化而變化，越小，越接近于一個定值，由極限定義可知，這個值就是時，的極限，V=（6+=3g=29.4(米/秒)。例2求函數(shù)y=的導數(shù)。解析：，=-。點評：掌握切的斜率、 瞬時速度，它門都是一種特殊的極限，為學習導數(shù)的定義奠定基礎。題型2：導數(shù)的基本運算例3（1）求的導

11、數(shù)；（2）求的導數(shù)；（3）求的導數(shù)；（4）求y=的導數(shù)；（5）求y的導數(shù)。解析：（1）,（2）先化簡,（3）先使用三角公式進行化簡.（4）y=；（5）yxy*（x）x）*（）。點評：（1）求導之前，應利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；（2）有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡，然后進行求導有時可以避免使用商的求導法則，減少運算量。例4寫出由下列函數(shù)復合而成的函數(shù)： （1）y=cosu,u=1+ （2）y=lnu, u=lnx解析：（1）y=cos(1+)；（2）y=ln(lnx)。點評：

12、通過對y=（3x-2展開求導及按復合關系求導，直觀的得到=.給出復合函數(shù)的求導法則，并指導學生閱讀法則的證明。題型3：導數(shù)的幾何意義例5（1）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）A B C D（2）過點（1，0）作拋物線的切線，則其中一條切線為（ ） （A） （B） （C） （D）解析：（1）與直線垂直的直線為，即在某一點的導數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導數(shù)為4，此點的切線為，故選A；（2），設切點坐標為，則切線的斜率為2，且，于是切線方程為，因為點（1，0）在切線上，可解得0或4，代入可驗正D正確，選D。點評：導數(shù)值對應函數(shù)在該點處的切線斜率。例6（1）半徑為r的圓的面積S(r)r

13、2,周長C(r)=2r，若將r看作(0，)上的變量，則(r2)2r ，式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為R的球，若將R看作(0，)上的變量，請你寫出類似于的式子： ；式可以用語言敘述為： 。（2）曲線和在它們交點處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是 。解析：（1）V球，又 故式可填，用語言敘述為“球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù)。”；（2）曲線和在它們的交點坐標是(1，1)，兩條切線方程分別是y=x+2和y=2x1，它們與軸所圍成的三角形的面積是。點評：導數(shù)的運算可以和幾何圖形的切線、面積聯(lián)系在一起，對于較復雜問題有很好的效果。題型4：借助導數(shù)處理單調性、極

14、值和最值例7（1）對于R上可導的任意函數(shù)f（x），若滿足（x1）³0，則必有（ ）Af（0）f（2）<2f（1） B. f（0）f（2）£2f（1）Cf（0）f（2）³2f（1） D. f（0）f（2）>2f（1）（2）函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內有極小值點（ ）A1個 B2個 C3個 D 4個（3）已知函數(shù)。（）設，討論的單調性；（）若對任意恒有，求的取值范圍。解析：（1）依題意，當x³1時，f¢（x）³0，函數(shù)f（x）在（1，¥）上是增函數(shù)；當x<1時，f¢

15、（x）£0，f（x）在（¥，1）上是減函數(shù)，故f（x）當x1時取得最小值，即有f（0）³f（1），f（2）³f（1），故選C；（2）函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內的圖象如圖所示，函數(shù)在開區(qū)間內有極小值的點即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點，其導數(shù)值為由負到正的點，只有1個，選A。（3）：()f(x)的定義域為(,1)(1,+).對f(x)求導數(shù)得 f '(x)= eax。()當a=2時, f '(x)= e2x, f '(x)在(,0), (0,1)和(1,+ )均大于0, 所以f(x)在(,1), (1,+).為增函數(shù)；()當0&l

16、t;a<2時, f '(x)>0, f(x)在(,1), (1,+)為增函數(shù).；()當a>2時, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= , x2= ；當x變化時, f '(x)和f(x)的變化情況如下表: x(, )(,)(,1)(1,+)f '(x)f(x)f(x)在(, ), (,1), (1,+)為增函數(shù), f(x)在(,)為減函數(shù)。()()當0<a2時, 由()知: 對任意x(0,1)恒有f(x)>f(0)=1；()當a>2時, 取x0= (0,1),則由()知 f(x0)<f(0)=1；()

17、當a0時, 對任意x(0,1),恒有 >1且eax1，得：f(x)= eax >1. 綜上當且僅當a(,2時,對任意x(0,1)恒有f(x)>1。點評：注意求函數(shù)的單調性之前，一定要考慮函數(shù)的定義域。導函數(shù)的正負對應原函數(shù)增減。例8（1）在區(qū)間上的最大值是（ ）(A)2 (B)0 (C)2 (D)4（2）設函數(shù)f(x)= （）求f(x)的單調區(qū)間；（）討論f(x)的極值。解析：（1），令可得x0或2（2舍去），當1£x<0時，>0，當0<x£1時，<0，所以當x0時，f（x）取得最大值為2。選C；（2）由已知得，令，解得 。（）當時

18、，在上單調遞增； 當時，隨的變化情況如下表：0+00極大值極小值從上表可知，函數(shù)在上單調遞增；在上單調遞減；在上單調遞增。（）由（）知，當時，函數(shù)沒有極值；當時，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值。點評：本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。題型5：導數(shù)綜合題例9設函數(shù)分別在處取得極小值、極大值.平面上點的坐標分別為、，該平面上動點滿足,點是點關于直線的對稱點.求(I)求點的坐標；(II)求動點的軌跡方程.解析： ()令解得；當時,， 當時,，當時，。所以,函數(shù)在處取得極小值,在取得極大值,故,。所以, 點A、B的坐標為。（） 設，所以。

19、又PQ的中點在上，所以，消去得。點評：該題是導數(shù)與平面向量結合的綜合題。例10（06湖南卷）已知函數(shù),數(shù)列滿足:證明:()；()。證明: （I）先用數(shù)學歸納法證明，1,2,3, (i).當n=1時,由已知顯然結論成立。(ii).假設當n=k時結論成立,即。因為0<x<1時，,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù)。又f(x)在0,1上連續(xù)，從而.故n=k+1時,結論成立。由(i)、(ii)可知，對一切正整數(shù)都成立。又因為時，所以，綜上所述。（II）設函數(shù)，由（I）知，當時，從而所以g (x)在(0,1)上是增函數(shù)。又g (x)在0,1上連續(xù),且g (0)=0，所以當時，g (x)>

20、;0成立。于是故。點評：該題是數(shù)列知識和導數(shù)結合到一塊。題型6：導數(shù)實際應用題例11請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。解析：設OO1為x m,則由題設可得正六棱錐底面邊長為（單位：m）。于是底面正六邊形的面積為（單位：m2）：。帳篷的體積為（單位：m3）：求導數(shù)，得；令解得x=-2(不合題意，舍去),x=2。當1<x<2時，,V(x)為增函數(shù)；當2<x<4時，,V(x)為減函數(shù)。所以當x=2時,V(x)最大。答：當OO1為2m時，帳篷的體積最大。點評：結合空間幾何體的體積求最值，理解導數(shù)的工具作用。例12已知函數(shù)f(x)=x+ x，數(shù)列x(x0)的第一項x1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f(x)在處的切線與經(jīng)過（0，0）和（x,f (x)）兩點的直線平行（如圖）求證：當n時，()x（）。證明：（I）因為所以曲線在處的切線斜率因為過和兩點的直線斜率是所以.（II）因為函數(shù)當時單調遞增，而，所以，即因此又因為令則因為所以因此 故點評：本題主要考查函數(shù)的導數(shù)、數(shù)列