第12次課-相關(guān)分析、功率譜分析-副本

1、第12次課 第第 三三 節(jié)節(jié) 相關(guān)分析及其應(yīng)用相關(guān)分析及其應(yīng)用 第第 四四 節(jié)節(jié) 功率譜分析及其應(yīng)用功率譜分析及其應(yīng)用復(fù)習(xí)前面學(xué)過的隨機(jī)信號(hào)的特征及特征參數(shù)一、概述 隨機(jī)信號(hào)是不能用確定的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述的不能預(yù)測(cè)其未來任何瞬時(shí)值，任何一次觀測(cè)值只代表在其變動(dòng)范圍中可能產(chǎn)生的結(jié)果之一，但其值的變動(dòng)服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)過程平穩(wěn)過程非平穩(wěn)過程各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程非各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程二、隨機(jī)信號(hào)的主要特征參數(shù)（一）均值、方差和均方值均值、方差和均方值1、均值為ux. 均值表示信號(hào)的常值分量。 ux2描述了信號(hào)的靜態(tài)量。 dttxTTTx01lim 2、方差描述隨機(jī)信號(hào)的波動(dòng)分量，它是偏離均值

2、ux的平方的均值，即 方差反映了信號(hào)繞均值的波動(dòng)程度。3、均方值2x描述隨機(jī)信號(hào)的強(qiáng)度，它是x(t)平方的均值，即均方值的正平方根稱為均方根值均值、方差、和均方值的相互關(guān)系是222xxx dttxTTTx0221limrmsx在工程信號(hào)測(cè)量中一般儀器的表頭示值顯示的就是信號(hào)的均方值。 一、相關(guān)系數(shù)一、相關(guān)系數(shù)二、自相關(guān)函數(shù)及應(yīng)用舉例三、互相關(guān)函數(shù)及應(yīng)用舉例第第 三三 節(jié)相關(guān)分析及其應(yīng)用節(jié)相關(guān)分析及其應(yīng)用一、一、兩隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)兩隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)對(duì)于變量之間的相關(guān)程度常用相對(duì)于變量之間的相關(guān)程度常用相關(guān)系數(shù)表示之關(guān)系數(shù)表示之yxyxxyyxE意 義目 錄y yxx0y y0 2222yyx

3、xyxyyxxyExEyxyExxExE的標(biāo)準(zhǔn)差，、隨機(jī)變量、的均值，隨機(jī)變量的均值，隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望；又利用柯西-許瓦茲不等式222yxyxyExEyxE1xy接近1，兩量的相關(guān)性愈好接近于0，兩變量之間無關(guān)目 錄二、信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)1、自相關(guān)函數(shù)定義過程設(shè)x(t)是某各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的一個(gè)樣本記錄， 是 x(t) 時(shí)移后的樣本，在任何時(shí)刻 ，從兩個(gè)樣本得到兩個(gè)量值 和 ，而且它們具有相同的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。同時(shí)把 簡寫作 ，那么有txitt itxitx 201limxxTxTxdttxtxT目 錄)()(txtx)(x將分子展開并由于有 xTTxTTdttxTdttxT001lim1lim

4、2021limxTxTxdttxtxT對(duì)各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(hào)及功率信號(hào)定義自相關(guān)函數(shù) 為 xR TTxdttxtxTR01lim目 錄 通過公式可知， 和 均隨 而變化，且兩者成線性關(guān)系。 22xxxxR 2、 自相關(guān)函數(shù)具有的性質(zhì)：1）由上是式有 又由于 所以 22xxxxR 1x 2222xxxxxR2）自相關(guān)函數(shù)在 時(shí)為最大值，等于信號(hào)的均方值0目 錄)(x xR 201lim0 xTTxdttxtxTR3）當(dāng) 足夠大時(shí)或 時(shí)，隨機(jī)變量x(t)和 之間不存在內(nèi)在聯(lián)系，彼此無關(guān)。4）因?yàn)閤(t)提前或滯后，x(t)、x(t+) 、 x(t-) 具有相同的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，即 故自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)

5、5）周期周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)仍為同頻率同頻率的周期周期函數(shù)，其幅值與原周期函數(shù)的幅值有關(guān)，但丟失了相位丟失了相位信息。)(tx)()(xxRR2000 )(lim1lim)(1lim)()(1limlim)(0)(xxxTTTTTTxxdttxTdttxTdttxtxTR解：該正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)為式中 dtttxTdttxtxTRTTTx002000sinsin11lim2,00TT正弦函數(shù)的周期目 錄例5-1求正弦函數(shù)x(t)=x0sin(t+)的自相關(guān)函數(shù)，初始相角為一隨機(jī)變量。例題分析令 ，則 ，于是)(cos2)cos(2)sin40)202(cos2)sin42sin)22sin2

6、1(cos2)sin22sin)22cos1(cos2)sincoscos(sinsin2sinsin22020202020202020202020 xxxxdxdxdxRxtddt 可見，正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)余弦函數(shù)，在=0時(shí)具有最大值，但它不隨的增加而衰減至零。它保留了原正弦信號(hào)的幅值和頻率信息，而丟失了初始相位信息.以下有四種典型信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 分析一個(gè)實(shí)例-關(guān)于某一機(jī)械加工表面粗糙度的波形。3、工程應(yīng)用 區(qū)別信號(hào)類型 檢測(cè)混雜在隨機(jī)信號(hào)中的周期成分。返 回目 錄三、信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)1、互相關(guān)函數(shù)定義過程兩個(gè)各態(tài)歷經(jīng)過程的隨機(jī)信號(hào)x(t)和y (t)的互相關(guān)函數(shù) 定義為

7、 TTxydttytxR0lim xyR當(dāng)時(shí)移足夠大或趨于無窮時(shí)， x(t)和y (t)互不相關(guān)， 而 。 的最大變動(dòng)范圍在 之間，即0 xy yxxyR xyRyxyx yxyxxyyxyxR目 錄 如果x(t)和y (t)兩信號(hào)是同頻率的周期信號(hào)或者包含有同頻率的成分，那么即使趨于無窮，互相關(guān)函數(shù)也不收斂并會(huì)出現(xiàn)該頻率的周期成分。如兩信號(hào)含頻率不等的周期成分，則兩者不相關(guān)。就是說同頻相關(guān)，不同頻不相關(guān)（周期信同頻相關(guān)，不同頻不相關(guān)（周期信號(hào)）號(hào)）。2、性質(zhì)、不是偶函數(shù)、在時(shí)刻取得最大值、若不含同頻周期分量，、若含同頻周期分量， yxxyxyR0, 也表現(xiàn)有同頻成分xyR,目 錄例題5-2設(shè)

8、有兩個(gè)周期信號(hào)x(t)和y (t) tytytxtxsinsin00 的相位差與；初相時(shí)刻的相位角相對(duì)于式中tytxttx)(0試求其互相關(guān)函數(shù) xyR目 錄解： 因?yàn)楹瘮?shù)是周期信號(hào)，可以用一個(gè)共同周期內(nèi)的平均值代替其整個(gè)歷程的平均值，故 cos21sinsin1lim000000yxdtttxTdttytxRTTTxy此例可知，兩個(gè)均值為0且同頻率的信號(hào)，其互相關(guān)函數(shù)保留了圓頻率、幅值、及相位差值信息。目 錄例5-3若兩個(gè)周期信號(hào)的圓頻率不等試求其互相關(guān)函數(shù) tytytxtx2010sinsin解：因?yàn)閮尚盘?hào)不具有共同的周期，所以有 TTTTxydtttyxTdttytxTR021000si

9、nsin1lim1lim根據(jù)正余弦函數(shù)的正交性，可知 0 xyR目 錄例題完例題完互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)目 錄 xyRyxyxyxyxyx0t0（1）、相關(guān)濾波器（2）、測(cè)速（3）、測(cè)距3、應(yīng) 用4、相關(guān)函數(shù)估計(jì) dttytxTRdttxtxTRTxyTx0011目 錄三節(jié)完第四節(jié) 功率譜分析及其應(yīng)用 功率譜分析從頻域 提供相關(guān)技術(shù)所能提供的信息，是研究平穩(wěn)隨機(jī)過程的重要方法。一、自功率譜密度函數(shù)二、互功率譜密度函數(shù)第四節(jié) 功率譜分析及其應(yīng)用一、自功率譜密度函數(shù)1、定義 假定x(t)是零均值的隨機(jī)過程，又假定x(t)中沒有周期分量，那么當(dāng)趨于無窮，自 相關(guān)趨于0，則自相關(guān)函數(shù) 滿足傅立葉變換的條件

10、，有自相關(guān)函數(shù) 的傅立葉變換和其逆變換 定義 為的自功率譜密度函數(shù)，簡稱自譜或自功率譜。 包含著 的全部的信息。因?yàn)?為實(shí)偶函數(shù) 也為實(shí)偶函數(shù)。由此常用在 xR dRx deRfSfjxx2 dfefSRfjxx2 fSx fSx xR fSx xR 0f目 錄 xR范圍內(nèi) 來表示信號(hào)的全部功率譜，并把 稱為信號(hào)x(t)的單邊功率譜， fSfGxx2 fGx 若=0，則根據(jù)自相關(guān)函數(shù)和自功率譜密度函數(shù)的定義，可得到 dffSdttxTRxTTx021lim0 可見，自功率譜密度函數(shù)的曲線下和頻率軸所包圍的面積就是信號(hào)的平均功率。2、物理意義目 錄3、巴塞伐爾定理 在時(shí)域中計(jì)算的信號(hào)總能量，等于

11、在頻域中計(jì)算的總能量，這就是巴塞伐爾定理即 dffXdttx22 能量譜密度幅頻譜密度2fXfX推論： 2221lim1lim1limfXTfSdffSPdffXTdttxTPTxxavTTav目 錄4、功率譜的計(jì)算功率譜的計(jì)算有以下幾種方法。 第一種為布拉克杜開（BlackmanTukey）法。這種方法首先根據(jù)原始信號(hào)計(jì)算出相關(guān)函數(shù)，然后進(jìn)行傅 立葉變換而得到相應(yīng)的功率譜函數(shù)； 第二種為模擬濾波器法。它是采用模擬分析儀進(jìn)行分析計(jì)算的一種方法；第三種是庫立第三種是庫立杜開（杜開（CooleyTukey）法）法，即用FFT計(jì)算功率譜。前兩種方法是較早采用的方法。由于計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，用FFT算法

12、進(jìn)行實(shí)時(shí)、在線信號(hào)處理已經(jīng)成為現(xiàn)實(shí). FFT算法的估計(jì)式: 模擬信號(hào)自譜的估計(jì)式為： 12 , 1 , 012 NkkXNkSx其中單邊譜 22kXNfGx計(jì)算方法目 錄數(shù)字信號(hào)自譜的估計(jì)式為： rRkSkXNkXkXnxtxxIFFTxFFT221平均模平方周期圖法5、工程應(yīng)用 （1）分析信號(hào)的頻域結(jié)構(gòu)FT: X(f) 功率譜： fSx（2）可分析系統(tǒng)的 fH fSfSfxfyfxfyfxfyfHfHfHxy222 fxfyfH返 回目 錄（3）用自譜檢測(cè)信號(hào)中的周期成分二、互譜密度函數(shù)1、定義 如果互相關(guān)函數(shù) 滿足傅立葉變換的條件 ，則定義稱為信號(hào)x(t)和y(t)的互譜密度函數(shù)，簡稱互譜

13、。根據(jù)傅立葉逆變換，有 xyR deRfSfjxyxy2 dfefSRfjxyxy2目 錄2、互譜分析的估計(jì) 對(duì)于模擬信號(hào) 對(duì)于數(shù)字信號(hào) iiyxiixyfYfXTfSfYfXTfS11 iixyiixykYkXNkSkYkXNkS113、工程應(yīng)用 （1）可利用互譜求系統(tǒng)的 （2）可在強(qiáng)噪聲背景下分析系統(tǒng)的傳輸特性 fH fH f fSfSfXfxfXfyfxfyfHxxyX(t)y(t) tn3系統(tǒng)2 tn1系統(tǒng)1 tn2目 錄 tntntntxty321互相關(guān) nxxnxnxxxyRRRRR321 fSfSfSfSfHfSfSRRxxxxxyxxxyxxxy排噪功能目 錄(3)利用功率譜進(jìn)行設(shè)備診斷 圖2.22是汽車變速箱上加速度信號(hào)的功率譜圖.圖（a）是變速箱正常工作譜圖，（b）為機(jī)器運(yùn)行不正常時(shí)的譜圖?？梢钥吹綀D（b）比（a）增加了9.2Hz和18.4Hz兩個(gè)譜峰，這兩個(gè)頻率為設(shè)備故障的診斷提供了依據(jù)。 4、相干函數(shù)目 錄通常相干函數(shù)用2xy