01年數學真題及解析數學二

1、2001 年入學數學二試題一、填空題（本題共 5 小題，每小題 3 分，滿分 15 分把填在題中橫線上）3 - x - 1+ x（1） limx®1x2 +x-2（2）設函數 yf（x）由方程 e2xycos（xy）e1 所確定，則曲線 yf（x）在點（0，1）處的法線方程為ò（3）(dx 2 2-1y（4）過點( ,2éaê且滿足關系式 y¢arcsin x + = 1的曲線方程為1- x21ùé xé1ù1a1ùê 1 úúêúê&

2、#250;ê x ú =（5）設方程 111有無窮多個解，則aêêë1úê 2 úêúêë- 2úûêúúêúaxû 3 úûêë二、選擇題（本題共 5 小題，每小題 3 分，滿分 15 分每小題給出的四個選項中，只有一題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）ì1,| x |£ 1,f (x) = í（1）設則（x）等于（

3、）î0,| x |> 1,（A）0（B）1| x |£ 1,| x |> 1.| x |£ 1,| x |> 1.ì1,ì0,íí（C） î0,（D） î1,21cosx）ln（1x2）是比 xsinxn 高階的無窮小，xsinxn 是比(ex -1) 高（2）設當 x0 時，（階的無窮小，（A）1整數 n 等于（ ）（B）2（C）3（D）4（3）曲線 y（x1）2（x3）2 的拐點個數為（ ）（A）0（B）1（C）2（D）3（4）已知函數 f（x）在區(qū)間（1d，1d）內具有二階導數，f

4、（x）嚴格單調減少，且 f（1）f（1）1，則（ ）（A）在（1d，1）和（1，1d）（B）在（1d，1）和（1，1d）有 f（x）x有 f（x）x（C）在（1d，1）內，f（x）x，在（1，1d）內，f（x）x（D）在（1d，1）內，f（x）x，在（1，1d）內，f（x）x（5）已知函數 yf（x）在其定義域內可導，它的圖形如右圖所示，則其導函數 y f（x）的圖形為（ ）三、（本題滿分 6 分）dx求ò×(2x +1)2x +12四、（本題滿分 7 分）xsin t求極限lim() sin t -sin x ，記此極限為 f（x），求函數 f（x）的間斷點并其類型sin

5、 xt®x五、（本題滿分 7 分）設rr（x）是拋物線 y =x 上任一點 M（x，y）（x1）處的曲率半徑，ss（x）是該拋d2rdr 2物線上介于點 A（1，1）與 M 之間的弧長，計算3r- () 的值（在直角坐標系下ds2ds| y² |曲率公式為 K =3 )(1 + y¢2 ) 2六、（本題滿分 7 分）設函數 f（x）在0，）上可導，f（0）0，且其反函數為 g（x）f ( x)òg(t)dt = x e ,2 x0若求 f（x）七、（本題滿分 7 分）設函數 f（x），g（x）滿足 f ¢(x) = g(x), g¢(

6、x) = 2ex - f (x) ，且 f（0）0，g（0）2，g(x)f (x)ò-求 ()dx.1+ x(1+ x)20八、（本題滿分 9 分）設 L 是一條平面曲線，其上任意一點 P（x，y）（x0）到坐標原點的距離恒等于該點處的1切線在 y 軸上的截距，且 L 經過點(,0).2（1） 試求曲線 L 的方程；（2） 求 L 位于第一象限部分的一條切線，使該切線與 L 以及兩坐標軸所圍圖形的面積最小九、（本題滿分 7 分）一個半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與半球面面積 S 成正比，比例常數 K0假設在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，已知半徑為 r0 的雪堆在開始融化的 3 小

7、時內，融化了7其體積的 ，問雪堆全部融化需要多少小時？8十、（本題滿分 8 分）設 f（x）在區(qū)間a，a（a0）上具有二階連續(xù)導數，f（0）0，（1）寫出 f（x）的帶日余項的一階林公式；（2）證明在a，a上至少存在一點h，使aòh ) = 3f (x)dx.a f ²3(-a十一、（本題滿分 6 分）é10ùé01ù01已知矩陣 A = ê110ú, B = ê101ú ，且矩陣 X 滿足 AXABXBAXBBXAE，êêë1ú1i úû陣，求 Xêêë1ú10úû其中 E 是 3 階十二、（本