第60講 直(正)棱柱與正棱錐、平面

1、1.了解直（正）棱柱、正棱錐的基本了解直（正）棱柱、正棱錐的基本結(jié)構(gòu)特征及基本性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用結(jié)構(gòu)特征及基本性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用.2.能直觀認(rèn)識空間點、線、面的位置能直觀認(rèn)識空間點、線、面的位置關(guān)系，理解空間線、面位置關(guān)系的定義，關(guān)系，理解空間線、面位置關(guān)系的定義，并了解可作為推理依據(jù)的公理并了解可作為推理依據(jù)的公理(13).3.了解空間兩條直線的位置關(guān)系，掌了解空間兩條直線的位置關(guān)系，掌握異面直線所成的角的概念，會用平移法握異面直線所成的角的概念，會用平移法作出異面直線所成的角，并求角的大小作出異面直線所成的角，并求角的大小.1.以下命題中：以下命題中： 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只經(jīng)

2、過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；有一個平面； 經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面；經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面； 兩條平行的直線可以確定一個平面；兩條平行的直線可以確定一個平面； 三點可確定一個平面三點可確定一個平面. 其中正確的命題有其中正確的命題有( )CA.1個個 B.2個個 C.3個個 D.4個個 由平面的基本性質(zhì)知，由平面的基本性質(zhì)知，正確正確.不在同一直線上的三點確定一個不在同一直線上的三點確定一個平面，故不正確，故選平面，故不正確，故選C.2.下列命題中，正確的是下列命題中，正確的是( )DA.有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱B.側(cè)面都是

3、等腰三角形的棱錐是正棱錐側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐C.側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體D.底面為正多面邊形，且有相鄰兩個側(cè)底面為正多面邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱面與底面垂直的棱柱是正棱柱 認(rèn)識棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂認(rèn)識棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，故故A、C都不夠準(zhǔn)確，都不夠準(zhǔn)確，B中對等腰三角形的中對等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明，故也不正確腰是否為側(cè)棱未作說明，故也不正確.3.以下命題中：以下命題中： 點點A、B、C直線直線a,A、B平面平面,則則C; 點點A

4、直線直線a,a平面平面，則，則A; 、是不同的平面，是不同的平面，a,b，則，則a、b異異面；面； 三條直線兩兩相交三條直線兩兩相交,則這三條直線共面；則這三條直線共面； 空間有四點不共面空間有四點不共面,則這四點中無三點共線則這四點中無三點共線. 其中真命題的個數(shù)為其中真命題的個數(shù)為( )CA.0 B.1 C.2 D.3 由公理由公理1知，正確；知，正確；若若a=A,則則A，不正確；，不正確；若若A，Aa,Ab,則則a、b相交，相交，不正確；不正確；若三條直線是長方體相交的三條棱時，若三條直線是長方體相交的三條棱時，它們不共面，不正確；它們不共面，不正確；若空間四點中有三點共線，則這四點共若

5、空間四點中有三點共線，則這四點共面，正確，故選面，正確，故選C.4.給出下列命題：給出下列命題： 若平面若平面上的直線上的直線a與平面與平面上的直線上的直線b為為異面直線，直線異面直線，直線c是是與與的交線，那么的交線，那么c至至多與多與a、b中的一條相交；中的一條相交； 若直線若直線a與與b異面，直線異面，直線b與與c異面，則直異面，則直線線a與與c異面；異面； 一定存在平面一定存在平面同時和異面直線同時和異面直線a、b都平都平行行. 其中正確的命題為其中正確的命題為 ( )CA. B. C. D. 錯，錯，c至多可與至多可與a、b中的兩條相交中的兩條相交;錯，因為錯，因為a、c可能相交也可

6、能平行；可能相交也可能平行；對，例如過異面直線對，例如過異面直線a、b的公垂線段的中的公垂線段的中點且與公垂線垂直的平面即可滿足條件點且與公垂線垂直的平面即可滿足條件.故選故選C.5.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中中.A1B1與與BC所成的角為所成的角為 ;A1C1與與AB所成的角為所成的角為 ;A1C1與與AB1所成的角為所成的角為 .904560一、直棱柱和正棱柱的結(jié)構(gòu)及基本性質(zhì)一、直棱柱和正棱柱的結(jié)構(gòu)及基本性質(zhì)1.直棱柱的定義直棱柱的定義:側(cè)棱側(cè)棱 底面的棱底面的棱柱叫直棱柱柱叫直棱柱.2.正棱柱的定義正棱柱的定義:底面是正多邊形的直棱柱底面是正多邊形的直棱柱叫正棱

7、柱叫正棱柱.3.棱柱的性質(zhì)棱柱的性質(zhì):(1)棱柱的各個側(cè)面都是棱柱的各個側(cè)面都是 ,所所有的側(cè)棱都有的側(cè)棱都 ,直棱柱的各個側(cè)面都是直棱柱的各個側(cè)面都是 .正棱柱的各個側(cè)面都是正棱柱的各個側(cè)面都是 .垂直于垂直于平行四邊形平行四邊形相等相等矩形矩形全等的矩形全等的矩形(2)棱柱的兩個底面與平行于底面的截面棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是是 多邊形多邊形.(3)過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是 . 4.特殊的四棱柱：特殊的四棱柱：平行六面體平行六面體: 的四的四棱柱棱柱;直四棱柱直四棱柱: 的四棱柱的四棱柱;直平行六面體直平行六面體: 的平行的平行六面體六面體;

8、長方體長方體: 的直平行六面體的直平行六面體;正方體正方體: 的方體的方體.對應(yīng)邊互相平行的全等對應(yīng)邊互相平行的全等平行四邊形平行四邊形底面是平行四邊形底面是平行四邊形側(cè)棱垂直于底面?zhèn)壤獯怪庇诘酌鎮(zhèn)壤馀c底面垂直側(cè)棱與底面垂直1111底面是矩形底面是矩形1212棱長都相等棱長都相等 二、正棱錐的結(jié)構(gòu)及基本性質(zhì)二、正棱錐的結(jié)構(gòu)及基本性質(zhì) 1.棱錐的概念：棱錐的概念： 如果一個多面體的一個面是多邊形，其如果一個多面體的一個面是多邊形，其余各面是余各面是 ,那么這那么這個多面體叫做棱錐個多面體叫做棱錐.當(dāng)?shù)酌媸钱?dāng)?shù)酌媸?，且且 . ,是正棱錐是正棱錐. 2.棱錐的性質(zhì)：棱錐的性質(zhì)： 正棱錐各側(cè)棱正棱錐

9、各側(cè)棱 ,各側(cè)面都是各側(cè)面都是 . ，各等腰三角形底邊上的高，各等腰三角形底邊上的高 .(它叫做正棱錐的斜高它叫做正棱錐的斜高)1313有一個公共頂點的三角形有一個公共頂點的三角形1414正多邊形正多邊形1515頂點在底面的射影是底面正多邊形的頂點在底面的射影是底面正多邊形的1616相等相等1717全等全等的等腰三角形的等腰三角形中心時中心時1818相等相等 三、平面的基本性質(zhì)三、平面的基本性質(zhì) 1.公理公理1：如果一條直線上的兩點在一個：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)判斷判斷 的依據(jù)的依據(jù). 2.公理公理2：過不在同一條直線上的三點，：

10、過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面有且只有一個平面(即可以確定一個平面）即可以確定一個平面）判斷判斷 的主要依據(jù)的主要依據(jù). 3.公理公理3:如果兩個不重合的平面有一個如果兩個不重合的平面有一個公共點公共點,那么它們有且只有一條通過這個點的那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線公共直線判斷判斷 的主要的主要依據(jù)依據(jù).1919直線是否在平面內(nèi)直線是否在平面內(nèi)2020點、線共面點、線共面2121線共點與作截面線共點與作截面 四、空間直線四、空間直線 1.空間四邊形空間四邊形:四個頂點不在四個頂點不在 的的四邊形叫做空間四邊形四邊形叫做空間四邊形. 2.等角定理等角定理:空間中空間中,如果

11、兩個角的兩邊分別如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行對應(yīng)平行,那么這兩個角那么這兩個角 . 3.空間直線與直線的位置關(guān)系空間直線與直線的位置關(guān)系: . . 4.異面直線所成的角：是指過空間任意一異面直線所成的角：是指過空間任意一點點O分別作兩條異面直線的平行線，所得的兩分別作兩條異面直線的平行線，所得的兩條相交直線所成的條相交直線所成的 ，它的取值范，它的取值范圍是圍是 .2222同一平面同一平面2323相等或互補相等或互補2424平行、平行、相交、異面相交、異面2525銳角或直角銳角或直角2626(0, 2例例1 下列命題中：下列命題中：若直線若直線a與與b沒有公共點，則沒有公共點，則ab;若直線若

12、直線b平面平面,直線直線a,則則ba;若平面若平面,b，a，則，則ba;若直若直線線a不在平面不在平面內(nèi)，則內(nèi)，則a;長方體長方體ABCD-A1B1C1D1中，平面中，平面ABCD與平面與平面A1BC1只有一個公共點只有一個公共點B;直線直線a、b、c,若若ac,bc，則，則ab.其中真命題的個數(shù)是其中真命題的個數(shù)是( )A.0 B.1 C.3 D.4 平面幾何的知識向立體幾何推廣的時平面幾何的知識向立體幾何推廣的時候，要慎重候，要慎重.在直線與直線的位置關(guān)系中，空在直線與直線的位置關(guān)系中，空間中多了一種全新的異面關(guān)系，復(fù)習(xí)時應(yīng)借間中多了一種全新的異面關(guān)系，復(fù)習(xí)時應(yīng)借助熟悉的空間幾何圖形，理解

13、這種關(guān)系助熟悉的空間幾何圖形，理解這種關(guān)系.A 此題考查的是空間點、線、面的位置此題考查的是空間點、線、面的位置關(guān)系，解決此類問題要概念清晰，逐個分析，關(guān)系，解決此類問題要概念清晰，逐個分析，可借助熟悉的圖形可借助熟悉的圖形. 直線直線a與與b沒有公共點，沒有公共點，a、b可能平行可能平行或異面；直線或異面；直線b平面平面，直線，直線a，a、b可能平行或異面；若平面可能平行或異面；若平面，b，a，可知直線，可知直線b與與a無公共點，則無公共點，則a與與b可平可平行也可異面；若直線行也可異面；若直線a不在平面不在平面內(nèi)，則內(nèi)，則a與與相交或平行；平面與平面如果有公共相交或平行；平面與平面如果有公

14、共點，就不止一個，應(yīng)該有一條過點，就不止一個，應(yīng)該有一條過B的公共直的公共直線線.在空間內(nèi)，考慮問題要脫離平面的束縛，在空間內(nèi)，考慮問題要脫離平面的束縛，長方體的共點的三條棱兩兩垂直，便是反例長方體的共點的三條棱兩兩垂直，便是反例.據(jù)以上分析，故選據(jù)以上分析，故選A. 本題易錯在本題易錯在:（1）分析命題）分析命題時把平面幾何中的結(jié)論直接照搬，不時把平面幾何中的結(jié)論直接照搬，不加分析；（加分析；（2）分析命題時，只看到）分析命題時，只看到表面上只有一個交點，誤以為這兩個表面上只有一個交點，誤以為這兩個面只有一個交點面只有一個交點. 已知已知E,F,G,H是空間中的四個點，設(shè)是空間中的四個點，設(shè)

15、命題命題M:點點E,F,G,H不共面；命題不共面；命題N:直線直線EF和和GH不相交不相交.那么那么( )A.M是是N的充分不必要條件的充分不必要條件B.M是是N的必要不充分條件的必要不充分條件C.M是是N的充要條件的充要條件D.M既不是既不是N的充分條件的充分條件,也不是也不是N的必要條件的必要條件A 首先首先,M EF與與GH不相交不相交,可用反證可用反證法證明法證明;其次，因為若其次，因為若EFGH,點點E,F,G,H共面，共面，故故EF與與GH不相交不相交 / M，故選，故選A.例例2 在三棱錐在三棱錐S-ABC中中,SC=1,其余各棱其余各棱長均為長均為2.如果如果E、F分別是分別是

16、SC與與AB的中點的中點. (1)證明證明:EF與與SA為異面直線；為異面直線； (2)求異面直線求異面直線EF與與SA所成角的余弦值所成角的余弦值. 要求異面直線要求異面直線EF與與SA所成的角，把所成的角，把SA平移至與平移至與EF相交，易知取相交，易知取AC的中點即的中點即可可. (1)證明：假設(shè)證明：假設(shè)EF與與AS共面，則共面，則A、S、E、F.由題設(shè)由題設(shè)A、S、E三點不共線三點不共線,且確定平面且確定平面ASC,則平面則平面與平面與平面ASC為同一個平面為同一個平面.又又A平面平面ASC，F(xiàn)，即，即FASC.同時同時A、F直線直線AB，則，則AB平面平面ASC，所以所以B平面平面

17、ASC，與三棱錐，與三棱錐S-ABC矛盾，矛盾，故故EF與與AS異面異面.(2)如圖如圖,取取AC的中點的中點K,連接連接EK.因為因為E是是SC的中點的中點,故故EKSA,所以所以KEF(或其補角或其補角)是異面直線是異面直線EF與與SA所成的角所成的角.連接連接KF,也有也有KFBC.在在EKF中，中，EK=KF=1.又因為又因為SF=CF EFSC，所以所以EF2=SF2-SE2=3- = ，14114則則EF= ,所以所以cosKEF= = = ，所以異面直線所以異面直線EF與與SA所成角的余弦值為所成角的余弦值為 .1141122222EKEFKFEK EF11411114 (1)判

18、定或證明兩條直線為異面直線，判定或證明兩條直線為異面直線，常用反證法常用反證法.(2)求異面直線所成的角，一般求異面直線所成的角，一般先通過平移作出相關(guān)角（如與中點有關(guān)，大先通過平移作出相關(guān)角（如與中點有關(guān)，大多可通過作中位線平移），再放入三角形中，多可通過作中位線平移），再放入三角形中，運用解三角形的相關(guān)知識求解運用解三角形的相關(guān)知識求解.例例3 如圖，在直三棱柱如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AC=3,BC=4，AB=5，AA1=4. (1)求異面直線求異面直線AC1與與B1C所成的余弦值所成的余弦值; (2)求截面求截面C1AB分該分該 直三棱柱所成的兩部直三棱柱所成的兩部

19、分的體積比分的體積比. (1)取取AB的中點的中點D，連接，連接CD、B1D，設(shè)，設(shè)BC1B1C=E，連接，連接DE，則則DEAC1.所以所以CED為為AC1與與B1C所成的角所成的角.在在CED中，中，ED= AC1= ，CD= AB= ，CE= CB1=2 ，所以所以cosCED= = .所以異面直線所以異面直線AC1與與B1C所成角的余弦值為所成角的余弦值為 .125212521228522 222 252 25(2)由直三棱柱由直三棱柱ABC-A1B1C1可知，可知，CC1平面平面ABC，即，即CC1為直三棱柱的高，也為三棱為直三棱柱的高，也為三棱錐錐C1-ABC的高的高.因此因此 =

20、 = ,從而從而 = = ,即截面分該直三棱柱的體積比為即截面分該直三棱柱的體積比為1 2或或2 1.1111CABCA B CABCVV錐柱1113ABCABCCCSCCS131111CABCA B C ABVV錐多面體11 111CABCA B CABCCABCVVV錐柱錐12 綜合問題中涉及到正棱錐或直綜合問題中涉及到正棱錐或直(正正)棱棱柱柱,其結(jié)構(gòu)特征和基本性質(zhì)往往是解決問題其結(jié)構(gòu)特征和基本性質(zhì)往往是解決問題的依據(jù)的依據(jù). 已知正三棱錐已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為的底面邊長為6，側(cè)棱長為側(cè)棱長為 ，求該三棱錐的體積，求該三棱錐的體積.15 設(shè)設(shè)H是正三角形是正三角形ABC的中心

21、，連接的中心，連接SH,則則SH底面底面ABC，即即SH的長為該正三棱錐的高的長為該正三棱錐的高.連接連接AH交交BC于于E,則則E為為BC的中點的中點,且且AHBC.因為因為ABC是邊長為是邊長為6的正三角形，的正三角形，所以所以AE= 6=3 ,所以所以AH= AE=2 ,所以所以SH= = = .又又SABC= BCAE= 63 =9 ,所以所以V正三棱錐正三棱錐= SABCSH= 9 =9.32323322SAAH15 123121233131333 如圖，四面體如圖，四面體A-BCD中，中，E、G分別分別為為BC、AB的中點，的中點，F(xiàn)在在CD上，上，H在在AD上，上，且有且有DF

22、FC=2 3，DH HA=2 3.求證：求證：EF、GH、BD交于一點交于一點. 連接連接GE、HF.因為因為E、G分別為分別為BC、AB的中點，的中點，所以所以GEAC.又因為又因為DF FC=2 3，DH HA=2 3，所以所以HFAC，GEHF,所以所以G、E、F、H四點共面四點共面.又因為又因為EG= AC，HF= AC，所以所以EF與與GH不能平行不能平行,設(shè)設(shè)EF與與GH交于交于O點點.因為因為O平面平面ABD，O平面平面BCD，而平面而平面ABD平面平面BCD=BD，所以，所以O(shè)BD,所以所以EF、GH、BD交于一點交于一點.1225 證線共點，常采用證兩直線的交點在證線共點，常

23、采用證兩直線的交點在第三條直線的方法，而第三條直線又往往第三條直線的方法，而第三條直線又往往是兩個平面的交線是兩個平面的交線.1.平面的三個基本性質(zhì)是立體幾何的平面的三個基本性質(zhì)是立體幾何的推理依據(jù)，要注意通過作圖（特別是截推理依據(jù)，要注意通過作圖（特別是截面圖）的訓(xùn)練，加深對公理的掌握和理面圖）的訓(xùn)練，加深對公理的掌握和理解解.確定平面的公理及三個推論是將立確定平面的公理及三個推論是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的依據(jù)體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的依據(jù).2.證明若干個點共線的重要方法之一證明若干個點共線的重要方法之一是證明這些點分別是兩個平面的公共點，是證明這些點分別是兩個平面的公共點，再

24、由公理可知它們共線再由公理可知它們共線.3.證明點共面，線共面的基本途徑是由證明點共面，線共面的基本途徑是由滿足確定平面條件的幾個點或幾條直線作滿足確定平面條件的幾個點或幾條直線作出平面，再證明其他元素也在該平面內(nèi)出平面，再證明其他元素也在該平面內(nèi).4.學(xué)習(xí)空間平行直線時，要掌握等角定學(xué)習(xí)空間平行直線時，要掌握等角定理，并能熟練地應(yīng)用公理理，并能熟練地應(yīng)用公理4論證有關(guān)直線平論證有關(guān)直線平行問題行問題.5.理解異面直線的定義理解異面直線的定義,對對“不同在任不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線何一個平面內(nèi)的兩條直線”要有深刻的認(rèn)要有深刻的認(rèn)識識.6.求兩條異面直線所成角的大小的求兩條異面直線所成角的

25、大小的具體步驟是：選點平移；證明所作具體步驟是：選點平移；證明所作角為異面直線的夾角；解三角形求角角為異面直線的夾角；解三角形求角.7.處理異面直線問題，通常的思路處理異面直線問題，通常的思路是將空間問題平面化處理是將空間問題平面化處理.學(xué)例1 ( 全國卷全國卷)已知正四棱錐已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是是SB的中點，則的中點，則AE、SD所成的角的余所成的角的余弦值為（弦值為（ ） CA. B. C. D. 13233323 如圖，連接如圖，連接BD，取，取BD的中點的中點O，連接連接EO、AO，則，則EOSD，所以，所以AEO為異面直線為異面直線AE與與SD所成的角所成的角.設(shè)正四棱錐設(shè)正四棱錐的棱長與底