第三節(jié)_函數(shù)的微分及其應(yīng)用PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第三節(jié)第三節(jié)_函數(shù)的微分及其應(yīng)用函數(shù)的微分及其應(yīng)用一、微分概一、微分概念念先來看一個(gè)例子，邊長為先來看一個(gè)例子，邊長為 x 的正方形，的正方形，其面積增加多少？其面積增加多少？面積的增加部分記作面積的增加部分記作 S，則則 S = (x + + x )2 - - x2= 2x x + + ( x) 2，當(dāng)當(dāng) x 很小時(shí)，例如很小時(shí)，例如 x = 1， x = 0.01 ，則，則 2x x = 0.02，設(shè)正方形的面積為設(shè)正方形的面積為 S， 當(dāng)邊當(dāng)邊長增加長增加 x 時(shí)，時(shí)，而另一部分而另一部分 x2 = 0.000 1，當(dāng)當(dāng) x 越小時(shí)，越小時(shí)， x2 部分就比部分就比 2x x小的

2、更多小的更多. 因此，如果要取因此，如果要取 S 的近似值時(shí)，的近似值時(shí)，顯然顯然 2x x 是是 S 的一個(gè)很好的近似，的一個(gè)很好的近似，2x x 就稱為就稱為 S = x2 的微分的微分.第1頁/共23頁定義定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 的一個(gè)鄰的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，域內(nèi)有定義， y = A x + + ， 其中其中 A 與與 x 無關(guān)無關(guān)， 是是 x 的高階無窮小量，的高階無窮小量，則稱則稱 A x 為函數(shù)為函數(shù) y = f (x) 在在 x 處的微分，記處的微分，記作作 dy，即即dy = A x . 這時(shí)也稱函數(shù)這時(shí)也稱函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處處

3、可微可微. 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處的增處的增量量 y = f (x + x ) - - f (x) 可以表示為可以表示為第2頁/共23頁例例 1設(shè)設(shè) y = x3，求，求 x = 1 處的微分處的微分.解解 y = (1 + + x)3 13 = 3 x + + 3( x)2 + + ( x)3.上式可以看成兩部分組成，上式可以看成兩部分組成， 它是它是 x 的高階無窮小量，的高階無窮小量，. 0)3(lim3limlim203200 xxxxxxxxx 所以函數(shù)所以函數(shù) y = x3 在點(diǎn)在點(diǎn) x = 1 處的微分處的微分是是dy = 3 x . 為了方便起見，把自變

4、量的增量為了方便起見，把自變量的增量 x 寫成寫成 dx ，即即 x = dx. 從而從而dy = Adx . 第一部分具有第一部分具有 A x 形式的是形式的是 3 x，第二部分第二部分 是是 3( x)2 + + ( x)3 ，這是因?yàn)檫@是因?yàn)榈?頁/共23頁 則則函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)， 反 之 ，反 之 ，如果函數(shù)如果函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，證證因?yàn)橐驗(yàn)?f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處可微，處可微，. 0lim0 xx 其中其中.)(limlimlim000AxAxxAxyxxx 即即 f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，

5、且處可導(dǎo)，且 A = f (x). y = A x + + . 且且 A = f (x).所以有所以有定理定理 1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 可微，可微，則則 f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 可微可微. .第4頁/共23頁從而有從而有， )( xfxy0lim 0 x其其中中( (這是根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系得出的這是根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系得出的).).得得 y = f (x) x + + x ., 0limlim00 xxxx因因?yàn)闉樗裕瘮?shù)所以，函數(shù) f (x) 可微可微. 且且dy = f (x) x 或或dy = f (x)dx . 反之，因反之，因 f (x) 在在 x

6、 處可導(dǎo)處可導(dǎo)，即即， )(lim0 xfxyx 第5頁/共23頁上述定理可敘述為：上述定理可敘述為： 函數(shù)函數(shù) f (x) 在在 x 處處可微的充要條件是函數(shù)可微的充要條件是函數(shù) f (x) 在在 x 處可導(dǎo)處可導(dǎo). 式也可以寫為式也可以寫為).(ddxfxy 第6頁/共23頁解解因?yàn)橐驗(yàn)椋?12xy 所以所以， d2dxxy .d2d2|d11xxxyxx 例例 2求函數(shù)求函數(shù) y = 2ln x在在x 處的微分，并求處的微分，并求當(dāng)當(dāng) x = 1 時(shí)的微分時(shí)的微分( (記作記作dy | x = 1) ). 第7頁/共23頁NTMP二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義如 圖 所 示如 圖

7、所 示，就是曲線就是曲線 y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) P 處切線的縱坐標(biāo)在相處切線的縱坐標(biāo)在相應(yīng)處應(yīng)處 x 的增量，的增量， 而而 y 就是曲線就是曲線 y = f (x) 的縱的縱坐標(biāo)在點(diǎn)坐標(biāo)在點(diǎn) x 處的增量處的增量 .xx + + xy=f (x)yx OPN = dx，NM = y，所以所以 dy = NT， NT = P N t a n = f (x)dx，即函數(shù)即函數(shù) y = f (x) 的微分的微分 dyMNPNTNdy 第8頁/共23頁1. .基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式dc =三、微分的基本公式及其運(yùn)算法則三、微分的基本公式及其運(yùn)算法則0.dx = x -

8、-1dx.dex =exdx.dax =axlnadx. xdln.d1xx xadlog.dln1xaxdsin x =cos xdx.dcos x = - - sin xdx.dtan x =sec2 xdx.dcot x = - - csc2 xdx.dsec x =sec xtan xdx.dcsc x = - - csc xcot xdx.第9頁/共23頁 xdarccos xdarctan xdarccot xdarcsin.d112xx .d112xx .d112xx .d112xx 第10頁/共23頁2. .微分的四則運(yùn)算微分的四則運(yùn)算定理定理 2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) u、v 可微可微

9、，則則d(u v) = du dv.d(uv) = udv + + vdu. )0(ddd2 uuuvvuuv第11頁/共23頁證證上述三個(gè)公式證法均類似，上述三個(gè)公式證法均類似，其余由讀者作為練習(xí)自證之其余由讀者作為練習(xí)自證之.d(uv) = (uv) dx = (uv + + vu )dx= uv dx + + vu dx .因?yàn)橐驗(yàn)?v dx = = dv， u dx = du .所以有所以有d(uv) = = udv + + vdu .推論推論 1當(dāng)當(dāng) v 為常數(shù)為常數(shù) c 時(shí)，則時(shí)，則 d(cu) = = cdu.推論推論 2當(dāng)當(dāng) v = 1 時(shí)，時(shí)，.d11d2uuu 我們只證第二

10、個(gè)，我們只證第二個(gè)，則則第12頁/共23頁例例 3設(shè)設(shè) y = 3ex tanx，求求 dy .解解dy = d(3ex) dtan x= 3dex sec2 xdx= 3exdx sec2 xdx = (3ex sec2x ) dx . 例例 4設(shè)設(shè) y = excos x，求，求 dy .解解dy = d(excos x) = ex dcos x + + cos xdex= ex (cos x - - sin x)dx .第13頁/共23頁例例 5,11 22xxy 設(shè)設(shè)求求 dy .解解2211ddxxy 222222)1()1)d(1()1d()1(xxxxx .d)1(422xxx

11、第14頁/共23頁3. .復(fù)合函數(shù)的微分復(fù)合函數(shù)的微分定理定理 3設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (u)， u = (x) 均可均可微，微，dy = f (u) (x) dx .則則 y = f ( (x) 也可微，也可微，且且第15頁/共23頁由于由于du = (x) dx， 所以上式可寫為所以上式可寫為dy = f (u) du .從上式的形式看，從上式的形式看， 它與它與 y = f (x) 的微的微分分 dy = f (x)dx 形式一樣，這叫一階微分形式形式一樣，這叫一階微分形式不變性不變性. 其意義是：不管其意義是：不管 u 是自變量還是中間變量，函是自變量還是中間變量，函數(shù)數(shù) y =

12、f (u) 的微分形式總是的微分形式總是 dy = f (u)du .第16頁/共23頁例例 6設(shè)設(shè) y = sin(2x)，求微分，求微分 dy . 解解利用微分形式不變，利用微分形式不變， 有有dy = cos 2x d(2x) = 2cos 2xdx .第17頁/共23頁例例 7設(shè)設(shè) y = e- -3x cos 2x，求，求 dy . 解解 dy = d(e- -3x cos 2x) = e- -3x dcos 2x + + cos 2xde- -3x = - -e- -3x sin 2xd(2x) + + e- -3x cos 2x d(- -3x ) = - -e- -3x (2s

13、in 2x + + 3cos 2x)dx ，由此也可知由此也可知y = - -e- -3x (2sin 2x + + 3cos 2x) .第18頁/共23頁四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)當(dāng) | x | 很小時(shí)很小時(shí)( (記作記作 | x | 1) )， y dy .即即f (x0 + + x) - - f (x0) f (x0) x， 或或f (x) f (x0) + + f (x0)(x - - x0). 有有第19頁/共23頁解解球的體積公式是球的體積公式是.343rv 當(dāng)當(dāng) r 由由 4 m 增加到增加到 4 + 0.1 m ，v 的增加為的增加為 v 時(shí)，時(shí)，

14、v dv . 而而 dv = v dr = 4 r2 dr，即即 v 4 r2 dr . 此處此處 dr = 0.1，r = 4 . 代入上式得體積近似增加代入上式得體積近似增加了了 v 4 3.14 42 0.1 20 (m3) . 例例 8一個(gè)充好氣的氣球，半徑為一個(gè)充好氣的氣球，半徑為 4 m. 升空后，因外部氣壓降低氣球半徑增大了升空后，因外部氣壓降低氣球半徑增大了10 cm，問氣球的體積近似增加多少？問氣球的體積近似增加多少？第20頁/共23頁例例 9計(jì)算計(jì)算 cos 30 12 的近似的近似值值. 解解選函數(shù)選函數(shù) f (x) = cos x，.6300 x，則則 1802 .30 xf (x) = - - sin x，.216sin)(0 xff (x0) = cos 30 ，代入公式代入公式f (x) f (x0) + + f (x0)(x - - x0) ，得得 61802 .3021