第3章 船體數(shù)學(xué)放樣

1、 第三章 船體數(shù)學(xué)放樣第一節(jié) 船體數(shù)學(xué)放樣的基本概念一、概述 船體放樣是船體建造的第一道工序，后續(xù)工序所需要的數(shù)據(jù)一般都取自于船體放樣。船體放樣的方法有兩種：手工放樣和數(shù)學(xué)放樣。1、數(shù)學(xué)放樣的定義 船體數(shù)學(xué)放樣就是數(shù)學(xué)方程定義船體型線或船體型表面而建立數(shù)學(xué)方程，然后通過計(jì)算機(jī)的高速運(yùn)算完成船體放樣工作。2、數(shù)學(xué)放樣的注意內(nèi)容（1）船體型線放樣；（2）船體結(jié)構(gòu)線放樣；（3）船體構(gòu)件展開；（4）零件圖形的生成與后處理。3、數(shù)學(xué)放樣的方法（1）剖面線法 模擬手工放樣原理，建立船體型線的數(shù)學(xué)樣條函數(shù)，并通過計(jì)算機(jī)的運(yùn)算，完成船體型線的修改、光順等放樣工作。（2）曲面法 按幾何要求和物理?xiàng)l件建立描述船體

2、型表面的曲面方程，并通過計(jì)算機(jī)的運(yùn)算完成放樣工作。4、數(shù)學(xué)放樣的優(yōu)點(diǎn)（1）為實(shí)現(xiàn)船體建造的自動(dòng)化奠定了基礎(chǔ)。（2）進(jìn)一步溝通設(shè)計(jì)和建造的關(guān)系。（3）減輕放樣工人的勞動(dòng)強(qiáng)度，縮短放樣周期，降低原材料消耗。（4）提高放樣精度。（5）可以取消造價(jià)昂貴的放樣樓和樣板儲(chǔ)存室。 應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)放樣系統(tǒng)開展造船工作，可以大大節(jié)約人力、物力、財(cái)力，大大縮短造船周期，提高了生成效率。 二、曲線插值1、問題引出 給定一系列離散的點(diǎn)，通過這些點(diǎn)可以建立相應(yīng)的曲線。 一般情況下，我們可以選擇曲線使其點(diǎn)點(diǎn)通過這些點(diǎn)，這種生成曲線的方法，稱為插值方法。2、插值的概念 已知某函數(shù)過點(diǎn)(1,3), (2,5), (4,11)

3、，那么該曲線過點(diǎn)(5,17)嗎，f(2.5)=? 通過一系列點(diǎn)(xi,yi),理論上講應(yīng)存在相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，而且還不一定唯一。 但是，反過來說，如果某函數(shù)通過規(guī)定的一系列點(diǎn)，我們也不能說它就是要求的函數(shù)表達(dá)式。 如對(duì)于函數(shù) ，其曲線經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，(0,0)，(1,1)，但是反過來我們不能說通過上述3點(diǎn)的曲線就是 ，我們知道 ， ，也過上面的3個(gè)點(diǎn)。所謂曲線插值就是選擇的函數(shù)（曲線）表達(dá)式點(diǎn)點(diǎn)通過已知型值點(diǎn)。 它要求曲線必須嚴(yán)格的點(diǎn)點(diǎn)通過已知的點(diǎn)，就像一個(gè)一個(gè)的點(diǎn)“插”了上去。所選的曲線（函數(shù)）必須要點(diǎn)點(diǎn)通過已知的型值點(diǎn)，那么這個(gè)函數(shù)應(yīng)該是什么樣的呢？3、插值函數(shù)的概念要使曲線點(diǎn)點(diǎn)通過已知

4、型值點(diǎn)，我們必須要選取合適的函數(shù)表達(dá)式。 在給的坐標(biāo)系中，給定一系列型值點(diǎn)通過這些型值點(diǎn)必然存在一函數(shù) ，但是這一函數(shù)的表達(dá)式可能很難或者根本無法寫出，我們給出一簡單函數(shù)，使其也點(diǎn)點(diǎn)通過已知型值點(diǎn)，即 ，我們就稱為函數(shù) 的插 數(shù)。曲線插值是一種操作的方法。而插值函數(shù)是利用插值的方法所得到的一個(gè)新的函數(shù)，是插值的一個(gè)應(yīng)用。4、線性插值 如圖某函數(shù) 通過兩點(diǎn) ，現(xiàn)要求出函數(shù)上另一點(diǎn) 處的函數(shù)值。顯然，僅僅有通過兩點(diǎn)這一條件是無法定出函數(shù) 的。 目前，我們所知道的條件只有函數(shù)通過給定的兩個(gè)點(diǎn)，也就是說我們要找到通過這兩點(diǎn)的函數(shù)。顯然，通過兩點(diǎn)最簡單的函數(shù)為線性函數(shù)，也就是直線。通過這兩點(diǎn)的線性函數(shù)為

5、令 為一次多項(xiàng)式：將兩點(diǎn)代入直線方程可以得到：這就是原函數(shù)的插值函數(shù)。5、二次插值 從圖形中可以發(fā)現(xiàn)：用直線段來代替曲線來近似求 處的函數(shù)值誤差是很大的。 如果再增加一個(gè)插值點(diǎn)其插值結(jié)果必然會(huì)更接近原函數(shù)值，效果要比線性插值好。 顯然：通過三點(diǎn)的簡單函數(shù)為二次函數(shù)，圖形為拋物線。我們稱這種插值為二次插值或拋物線插值。6、基函數(shù)通過點(diǎn) 和 的線性插值函數(shù)寫成兩點(diǎn)式為：這里令：顯然有于是，插值函數(shù)寫成：這里稱 為基函數(shù)或者形函數(shù)同樣，對(duì)于通過 三點(diǎn)的二次函數(shù)也可以用上述的基函數(shù)的形式進(jìn)行表達(dá)。這里也顯然有： 滿足通過三點(diǎn)的條件。由上面的基函數(shù)的形式非常方便的就可以寫出相應(yīng)的插值函數(shù)，但是基函數(shù)的形

6、式好像比較復(fù)雜，基函數(shù)的形式有沒有什么規(guī)律可以遵循呢？觀察基函數(shù)的形式：這是一系列的分式。分子中：除了 外全部都出現(xiàn)了；分母中：除了 外全部都出現(xiàn)了；基函數(shù)書寫規(guī)律（1）分子中不出現(xiàn) 項(xiàng)； （2）分母中不出現(xiàn) 項(xiàng)； （3）分子分母項(xiàng)目相同，形式類似。6、拉格朗日插值 由前面的討論，我們可以發(fā)現(xiàn)二次插值比一次插值要精確，那么如果再增加一個(gè)插值點(diǎn)則可以得到三次插值勢必更加精確。 根據(jù)基函數(shù)的形式，我們只要根據(jù)基函數(shù)的書寫規(guī)律，很容易就可以寫出其插值函數(shù)。當(dāng)插值點(diǎn)的個(gè)數(shù)取i+1時(shí)：則三、曲線擬合 曲線插值要求所選用的曲線必須點(diǎn)點(diǎn)通過已知點(diǎn)，但是有些時(shí)候由于種種原因可能致使型值點(diǎn)本身就不準(zhǔn)確，甚至有錯(cuò)

7、誤，這樣插值得到的曲線也必然是不合理的。 在實(shí)際的應(yīng)用中，我們還經(jīng)常采用另外一種得到曲線的方法，即曲線擬合。 這種方法不要求曲線嚴(yán)格的通過所有的型值點(diǎn)，而只是要求曲線符合離散點(diǎn)分布的總體輪廓，同時(shí)保證偏離原始點(diǎn)盡可能的小。最小二乘法 對(duì)m組試驗(yàn)數(shù)據(jù) 找到一個(gè)合適的函數(shù) 來擬合該組數(shù)據(jù)。設(shè)所求的函數(shù)關(guān)系式為n次多項(xiàng)式：應(yīng)用最小二乘法原理可以得到m個(gè)方程： 取右端誤差的平方和的最小值，通過求偏導(dǎo)的方式求出待定系數(shù)。=第二節(jié)船體型線的數(shù)學(xué)光順船體型線光順的數(shù)學(xué)描述，船體型線光順性準(zhǔn)則一、光順的概念1、工程光順 “光順”是一個(gè)工程上的概念，要求曲線要光滑且和順。 目前還沒有一個(gè)確切的定義，它是一個(gè)依據(jù)

8、實(shí)際工作者根據(jù)多年生產(chǎn)實(shí)踐積累的經(jīng)驗(yàn)，用眼睛觀察所繪制的曲線其標(biāo)準(zhǔn)是判斷曲線的變化是否滿足光順且和順。2、數(shù)學(xué)光滑 以三次樣條函數(shù)為例 一個(gè)（段）三次樣條函數(shù)滿足函數(shù)、一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)：兩段曲線連接處滿足函數(shù)、一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件。3、工程光順的要求 除了要求曲線滿足“光滑”的條件外，還要求曲線要“和順”。 所謂“和順”，就是曲線在滿足光滑條件的基礎(chǔ)上， 要其變換趨勢沒有局部凹凸和彎曲程度劇烈變化等現(xiàn)象。二、船體型線光順性判別準(zhǔn)則1、手工放樣光順性判別的方法（1）型線上沒有不符合設(shè)計(jì)要求的間斷和折角點(diǎn)（2）型線的彎曲方向的變化應(yīng)符合設(shè)計(jì)要求（3）型線彎曲程度的變化必須是均勻的2、數(shù)

9、學(xué)光順的型線光順性判別（1）型線的插值或擬合函數(shù)應(yīng)滿足函數(shù)及其一階、二階導(dǎo)數(shù) 的連續(xù)；（2）型線的曲率符號(hào)變化應(yīng)符合設(shè)計(jì)要求，沒有多余拐點(diǎn)；（3）型線的曲率數(shù)值變化均勻。3、型值調(diào)整的準(zhǔn)則型線光順的型值調(diào)整，應(yīng)使調(diào)整量盡可能的小三、型線光順性判別準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)意義（1）型線的插值或擬合函數(shù)應(yīng)滿足函數(shù)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)（1）型線上沒有不符合設(shè)計(jì)要求的間斷和折角點(diǎn)要求函數(shù)應(yīng)該是連續(xù)的。要求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。顯然，三次樣條函數(shù)本身已經(jīng)滿足了這一條件。（2）型線的曲率符號(hào)變化應(yīng)符號(hào)設(shè)計(jì)要求，沒有多余拐點(diǎn)（2）型線的彎曲方向的變化應(yīng)符合設(shè)計(jì)要求什么可以反映曲線的彎曲方向？ 可以反映曲線的彎曲方向！我

10、們約定當(dāng)曲線在某處為凸時(shí)，曲率為負(fù)；為凹時(shí)曲率為正。所以，根據(jù)曲率符號(hào)的變化可以表征曲率彎曲方向的變化！ 則說明曲線在 ， 兩點(diǎn)處彎曲方向相反！何謂拐點(diǎn)？高等數(shù)學(xué)中給出：所謂拐點(diǎn)就是二階導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)可見，曲線的二階導(dǎo)數(shù)可以用曲線的曲率來表示！二階導(dǎo)數(shù)為0點(diǎn)，其實(shí)就是曲率為0點(diǎn)，那么曲率為0點(diǎn)也就必然就是拐點(diǎn)。同時(shí)，我們還注意到：曲率是反映曲線的彎曲方向的。三次樣條函數(shù)本身滿足了二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)當(dāng)曲率由負(fù)變化到正時(shí)，必然要經(jīng)過0點(diǎn)！曲率為0的點(diǎn)就是拐點(diǎn)！其實(shí)，拐點(diǎn)也就是曲線彎曲方向發(fā)生改變的點(diǎn)。于是，曲線有沒有拐點(diǎn)的判別式為：（3）型線的曲率數(shù)值變化均勻（3）型線彎曲程度的變化必須是均勻的甲同學(xué)的

11、英語成績?nèi)缦拢阂弧?3；二、68；三、72；四、8585-720；72-680；68-630我們認(rèn)為其成績總是上升趨勢，變化是均勻的。乙同學(xué)的英語考試成績?nèi)缦拢阂弧?3；二、52；三、72；四、6963-520;52-72=-38.50我們認(rèn)為其成績時(shí)而上升，時(shí)而下降，變化是不均勻的。注：這里說其成績的變化是否均勻，只是看成績是否總是保持 增（變化率大于0）或減（變化率小于0）就可以了，而不管其變化率大小的變化！什么可以表示曲線的彎曲程度？ 表示曲線在i點(diǎn)彎曲半徑。 的正負(fù)可以反映曲線的彎曲方向，那么其數(shù)值的大小還可以反映曲線的彎曲程度。所以，曲線的彎曲程度變化可以用其曲率數(shù)值變化是否均勻來判

12、斷。某曲線的曲率數(shù)值如下：一、；二、；三、；四、；五、；六、可見，該曲線在第五點(diǎn)處曲率數(shù)值變化不均勻。總結(jié)：1、根據(jù)型線光順性的判別準(zhǔn)則（手工放樣），我們可以看出：曲線有沒有（多余）的拐點(diǎn)。2、什么可以反映曲線的彎曲程度，它就可以用來判斷曲線的彎曲程度變化是否均勻。三、型線光順性判別準(zhǔn)則在實(shí)際中的應(yīng)用 根據(jù)型線光順性的判別準(zhǔn)則，可以比較容易的判別曲線的光順性。1、拐點(diǎn)的判別：曲率棒的指向反映了曲線的彎曲方向。該曲線沒有拐點(diǎn)。沒有拐點(diǎn)只能說明曲線達(dá)到了初步光順的程度，還需要判別曲率數(shù)值變化的均勻性2、曲率數(shù)值變化均勻性的判別曲率棒的長度反映了曲線的彎曲程度一般情況下，如果曲率數(shù)值不出現(xiàn)連續(xù)的變號(hào)

13、則認(rèn)為曲率數(shù)值變化是均勻的。滿足曲率數(shù)值變化均勻?yàn)榫忭槨ｏ@然，此曲線不滿足精光順的要求第三節(jié) 船體外板的數(shù)學(xué)展開測地線法展開船體外板測地線展開船體外板的數(shù)值表示一、手工測地線法展開如圖所示一外板，手工展開的步驟是1、做測地線；2、求實(shí)長；3、作展開圖。二、數(shù)值測地線展開數(shù)值展開沿用手工展開的步驟，只是將這些步驟轉(zhuǎn)化為數(shù)值表示。1、板的邊緣線的確定1）求肋骨曲線方程根據(jù)給定的型值和邊界條件可以生成型線圖。如圖，生成的橫剖線圖。肋骨曲線與站線曲線類同，根據(jù)生成的橫剖線通過插值的方式可以得到肋骨曲線。2、外板端接縫的得到 根據(jù)工藝的要求，外板的端接縫要求與肋骨曲線類同，但是不能重合。一般要求端接縫

14、為：肋號(hào) 100同樣，端接縫可以作為半肋骨號(hào)插值得到。 船體上的一塊外板，總是由前后橫（端）接縫和上下縱接縫包圍而成。3、外板縱接縫的得到在外板接縫線中，縱接縫排列最為復(fù)雜。國內(nèi)至今還沒有實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)程序自動(dòng)排列縱接縫線。目前，主要采用在配好船體結(jié)構(gòu)線、端接縫線及首、尾柱縫線的肋骨型線圖上，用類似于手工的方法粗排縱縫線。（1）給定縱接縫與各肋骨交點(diǎn)的高度值。采用插值的方法可以得到各交點(diǎn)的半寬值。（2）給定縱接縫與各肋骨交點(diǎn)的半寬值采用插值的方法可以得到各交點(diǎn)的高度值。這樣就得到了上下縱接縫與各肋骨的交點(diǎn)。2、測地線法展開外板1、求測地點(diǎn)（1）取板內(nèi)中間肋骨號(hào) 由于各肋骨線與縱縫線的交點(diǎn)都是已知的

15、，故Ei，F(xiàn)i的坐標(biāo)值都是知道的。（2）取弦線中點(diǎn)A 取中間弦線的中點(diǎn)坐標(biāo)A，則A點(diǎn)坐標(biāo)也是可求的。（3）過中間肋骨弦線中間A作自身的垂線L 直線L與相鄰前后肋骨2號(hào)肋骨、4號(hào)肋骨的交點(diǎn)分別為O2,O4,與自身肋骨3號(hào)肋骨的交點(diǎn)為O3. 由于直線方程已知，肋骨樣條曲線也是已知的，所以通過求直線與曲線的交點(diǎn)可以求得交點(diǎn)O2,O4和O3.用牛頓迭代法可以求得O3點(diǎn)。同理可以求得O2/O4點(diǎn)。（4）求O1和O5點(diǎn) 過O2點(diǎn)做自身弦線的垂線，與前根肋骨交于a3點(diǎn)，后根肋骨交于b1點(diǎn) a3b1在手工展開中，是反向量取 得到O1點(diǎn)在數(shù)學(xué)展開中，由于弧 很小，可以用（兩點(diǎn)間的直線長）來代替。以b1點(diǎn)為圓心，

16、 為半徑作圓。根據(jù)實(shí)際情況舍棄一個(gè)解同樣的方法可以得到05點(diǎn)這樣，就求得了所有的測地點(diǎn)，完成了第一步工作。012、求實(shí)長所做的這些工作都是在肋骨型線圖中的，而肋骨型線圖是一個(gè)投影圖，所以上下縱縫線、端縫線、測地線也都為投影線。這些線在肋骨型線圖中都沒有反映實(shí)型，為了展開外板必須求出這些線的實(shí)際長度。（1）肋骨線?。▽?shí)）長 在討論辛浦生法的應(yīng)用時(shí)已經(jīng)給出了求取肋骨線實(shí)長的方法。 在求肋骨弧長的實(shí)長時(shí)往往是以測地點(diǎn)為界將肋骨線分為上下兩部分，然后分別利用弧長積分進(jìn)行計(jì)算。（2）求上下縱縫線實(shí)長 在船體的外板布置上，總是盡可能保持板縫線平直；而各測地線之間的曲率也比較小。所以，一般用空間折線來代替這些空間曲線。（3）求中間肋骨彎度3、做展開圖（1）確定坐標(biāo)系展開扇形板的坐標(biāo)系是以展開圖上的測地線為 軸；以中間肋骨的展開弦線為 軸；坐標(biāo)原點(diǎn)取測地線與中間肋骨展開弦線的交點(diǎn)。（2）作展開圖確定各測地點(diǎn)：確定各縱接縫與中間肋骨交點(diǎn)：中間肋骨線與上下縱縫線的交點(diǎn)在中間肋骨展開弦上。為了簡化令：確定