第三章 非慣性參考系

1、第三章 非慣性參考系觀察小球的運(yùn)動觀察小球的運(yùn)動勻速運(yùn)動車上的人觀察勻速運(yùn)動車上的人觀察地面上的人觀察地面上的人觀察豎直上拋運(yùn)動豎直上拋運(yùn)動斜拋運(yùn)動斜拋運(yùn)動 0v同一質(zhì)點(diǎn)對不同參考系的運(yùn)動不同，當(dāng)參考系之間的運(yùn)動已知時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對不同參考系的運(yùn)動服從什么樣的變化規(guī)律？這就是相對運(yùn)動問題。定參考系定參考系: 相對觀察者靜止的參考系相對觀察者靜止的參考系, 或靜參考系或靜參考系 絕對運(yùn)動絕對運(yùn)動: 物體相對定參考系的運(yùn)動物體相對定參考系的運(yùn)動動參考系動參考系: 相對觀察者運(yùn)動的參考系相對觀察者運(yùn)動的參考系 相對運(yùn)動相對運(yùn)動: 物體相對于動參考系的運(yùn)動物體相對于動參考系的運(yùn)動相對運(yùn)動相對運(yùn)動一、一、平動

2、平動參考系參考系在任意時(shí)刻，兩個(gè)相對在任意時(shí)刻，兩個(gè)相對平動參考系的直角坐標(biāo)平動參考系的直角坐標(biāo)軸的相對取向保持不變。軸的相對取向保持不變。注意：平動不一定是直線運(yùn)動！注意：平動不一定是直線運(yùn)動！y o O 系系 z x yo zO系系xy o O 系系 z x y o O 系系 z x y o O 系系 z x ( )( )( )tr tr tr t xyo zO系系P ry o O 系系z x r rt質(zhì)點(diǎn)位矢合成原理質(zhì)點(diǎn)位矢合成原理r指指靜系中靜系中觀察者所看到觀察者所看到動點(diǎn)動點(diǎn)P P的位矢的位矢trr稱為稱為絕對位矢絕對位矢稱為稱為牽連位矢牽連位矢稱為稱為相對位矢相對位矢指指靜系中靜

3、系中觀察者所看到觀察者所看到動系原點(diǎn)動系原點(diǎn)OO的位矢的位矢指指動系中動系中觀察者所看到觀察者所看到動點(diǎn)動點(diǎn)P P的位矢的位矢( )( )( )tr tr tr t QPxyo zO系系 r r rtO 系系y o z x P正交分解式：正交分解式：xiyjzkr ttttx iy jz kr xyzrijk將上式對時(shí)間求導(dǎo)，速度關(guān)系為將上式對時(shí)間求導(dǎo)，速度關(guān)系為( )( )( )tv tv tv t 稱為質(zhì)點(diǎn)稱為質(zhì)點(diǎn)P 相對相對O系的速度系的速度 （絕對速度）（絕對速度） 稱為質(zhì)點(diǎn)稱為質(zhì)點(diǎn)P 相對相對O 系的速度（相對速度）系的速度（相對速度） 稱為稱為O 系相對于系相對于O系的速度系的速度

4、 （牽連速度）（牽連速度）( )v t ( )v t ( )tv t 其中：其中：將上式對時(shí)間求導(dǎo)，加速度關(guān)系為將上式對時(shí)間求導(dǎo)，加速度關(guān)系為( )( )( )ta ta ta t ( )( )( )( ),( ),( )ttdv tdv tdv ta ta ta tdtdtdt 其中：其中：絕對加速度絕對加速度相對加速度相對加速度牽連加速度牽連加速度trrr正交分解式：正交分解式：xiyjzkr ttttx iy jz kr xyzrijk x z yyOOzxrrtrP二、二、 轉(zhuǎn)動參照系轉(zhuǎn)動參照系 對于任意單位旋轉(zhuǎn)矢量對于任意單位旋轉(zhuǎn)矢量 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)先考察先考察0limAAtdeedt

5、t 0t 0當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，Ae將與將與Ae垂直垂直0dlimdAAteett AAee0limAAteet AeAeAeODAeAe注：注：OD線為線為靜系靜系觀察者看觀察者看Ae旋轉(zhuǎn)角度的旋轉(zhuǎn)角度的基線基線ddAAeet求得：求得：為為靜系靜系觀察者看到觀察者看到的的角速度角速度Ae對于任意旋轉(zhuǎn)矢量對于任意旋轉(zhuǎn)矢量AdAdt的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)AdAdtAe()AAdAeAedt*AdAd AedddttAdAAt絕對微商絕對微商 = 相對微商相對微商 + 牽連微商牽連微商A大小恒定時(shí)大小恒定時(shí)dAAdt為為靜系靜系觀察者看到觀察者看到()Ad AedtAAdAetdteAdd*d AdtA的的總角速度

6、總角速度Ae質(zhì)點(diǎn)的速度合成原理質(zhì)點(diǎn)的速度合成原理據(jù)速度定義式據(jù)速度定義式/vdr dttdrdrdtvdttrrr質(zhì)點(diǎn)位矢合成原理質(zhì)點(diǎn)位矢合成原理考慮到考慮到rrr e的大小和方向皆在變化的大小和方向皆在變化可得可得即即tevvvrvvrtdrrdrdtedttrrdrderdtdtdredt絕對速度絕對速度= =相對速度相對速度+ +牽連速度牽連速度 x z yyOOzxrrtrP為為靜系靜系觀察者看到質(zhì)點(diǎn)觀察者看到質(zhì)點(diǎn)P P的的角速度角速度tevvvrvv質(zhì)點(diǎn)速度合成原理質(zhì)點(diǎn)速度合成原理各項(xiàng)物理含義：各項(xiàng)物理含義：vtvvretvvr是是靜系靜系觀察者看到動質(zhì)點(diǎn)觀察者看到動質(zhì)點(diǎn)P的速度，的

7、速度，稱為質(zhì)點(diǎn)稱為質(zhì)點(diǎn)絕對速度絕對速度是是靜系靜系觀察者看到動質(zhì)點(diǎn)觀察者看到動質(zhì)點(diǎn)P跟隨動系的平動速度，跟隨動系的平動速度，稱為質(zhì)點(diǎn)稱為質(zhì)點(diǎn)平動速度平動速度是是靜系靜系觀察者看到動質(zhì)點(diǎn)觀察者看到動質(zhì)點(diǎn)P的轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動角速度角速度，稱為質(zhì)點(diǎn)稱為質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動角速度轉(zhuǎn)動角速度是是動系動系觀察者看到動質(zhì)點(diǎn)觀察者看到動質(zhì)點(diǎn)P的位矢，的位矢，稱為質(zhì)點(diǎn)稱為質(zhì)點(diǎn)相對位矢相對位矢是是動系動系觀察者看到動質(zhì)點(diǎn)觀察者看到動質(zhì)點(diǎn)P的速度，的速度，稱為質(zhì)點(diǎn)稱為質(zhì)點(diǎn)相對速度相對速度稱為質(zhì)點(diǎn)稱為質(zhì)點(diǎn)牽連速度牽連速度質(zhì)點(diǎn)的加速度合成原理質(zhì)點(diǎn)的加速度合成原理據(jù)速度定義式據(jù)速度定義式dvadt()tddddtdtvrtvad質(zhì)點(diǎn)的速度

8、合成原理質(zhì)點(diǎn)的速度合成原理考慮到考慮到tevvvrvvtdddadtdtdvrrt*AdAd AedddttAdAAt可得可得即即()2tecdarrtaaadaav絕對加速度絕對加速度=牽連加速度牽連加速度+科里奧利加速度科里奧利加速度+相對加速度相對加速度tdddadtdtdtrarv( )(tdarravtvd(2)tvdarrdta于是于是質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)加加速速度度合合成成原原理理2()er Oter稱為稱為向軸加速度向軸加速度drdt稱為稱為轉(zhuǎn)動加速度轉(zhuǎn)動加速度2cav稱為稱為科里奧利加速度科里奧利加速度ta是是靜系靜系觀察者看到質(zhì)點(diǎn)觀察者看到質(zhì)點(diǎn)P P隨隨動系的平動加速度，動系的平動加速

9、度，稱為稱為平動加速度平動加速度為為靜系靜系觀察者看到質(zhì)點(diǎn)觀察者看到質(zhì)點(diǎn)P P的的角速度角速度(2)taavdarrdt22sincavv科里奧利加速度產(chǎn)生的原因：科里奧利加速度產(chǎn)生的原因：由由可知可知:0ca 00v v(0, 0)vca是因?yàn)閯酉档霓D(zhuǎn)動和質(zhì)點(diǎn)相對動系運(yùn)動共同引起是因?yàn)閯酉档霓D(zhuǎn)動和質(zhì)點(diǎn)相對動系運(yùn)動共同引起vvcdabOABOABB直觀描述直觀描述(科里奧利加速度分成兩部分科里奧利加速度分成兩部分)：質(zhì)點(diǎn)以相對速度質(zhì)點(diǎn)以相對速度沿著恒定角速度沿著恒定角速度v轉(zhuǎn)動圓盤的半徑運(yùn)動轉(zhuǎn)動圓盤的半徑運(yùn)動3.2 3.2 平動參考系中的慣性力平動參考系中的慣性力 牛頓定律只在慣性系中成立，要

10、在非慣性系中用牛頓定律求解物體的運(yùn)動問題，只要引進(jìn)適當(dāng)?shù)膽T性力就可以。 特例：特例： 如圖1所示，在靜止的火車箱內(nèi)的光滑臺面上，放一小球，當(dāng)火車加速前進(jìn)時(shí)，因小球水平方向不受力，它應(yīng)相對于地面靜止，故相對于火車加速后退。即00F,a.O系：牛頓定律成立。00F,a.O系：牛頓定律不成立。若設(shè)想小球受一力intinfmaFfma . 于是這樣，在平動非慣性系中牛頓第二定律也成立 。OOtaa圖圖1infOOta圖圖2 如圖2所示：當(dāng)火車加速前進(jìn)時(shí)，小球在彈力的作用下，相對于地面加速前進(jìn)，而相對于火車靜止。即tFma ,O系：牛頓第二定律成立。00F,a.O系：而牛頓第二定律不成立。若設(shè)想小球受一

11、力0intinfmaFf. 于是同樣，牛頓第二定律在平動非慣性系中也成立 。Finf一般描述：一般描述：設(shè) 動系 相對于靜系 以加速度 作平動，物體相對于動系以加速度 運(yùn)動。根據(jù)相對性原理有taaaOOtaatFmam aaO系：tFmama則inFfmaO系：intfma 令稱為慣性力 可見，引入慣性力后，就可以在非慣性系中應(yīng)用牛頓定律求解物體的運(yùn)動問題。 慣性力是虛擬力，慣性力是虛擬力，和真實(shí)力不同，它不是物體與物體間和真實(shí)力不同，它不是物體與物體間的相互作用力，沒有施力物體，因而沒有反作用力。的相互作用力，沒有施力物體，因而沒有反作用力。理論依據(jù)理論依據(jù): intinfma ,Ffma

12、. 方法方法: 先分析真實(shí)力,后分析慣性力，其他做法同前。例例 3.2.1 非慣性系中的擺非慣性系中的擺 汽車以加速度 向前行駛，在車中用線懸掛一個(gè)小球。求穩(wěn)定時(shí)懸線與豎直方向的夾角。ta 解：解：取汽車為參考系，穩(wěn)定時(shí)小球所受的合力為零，如圖所示。taTmginf水平方向sin0tTma豎直方向cos0Tmg解得arctantag例例 3.2.2 滑快與光滑斜面的相對運(yùn)動滑快與光滑斜面的相對運(yùn)動 光滑楔子以加速度 沿水平地面滑動,質(zhì)量為 的滑快沿楔子的光滑斜面滑下。求滑快相對于地面的加速度和對斜面的壓力。tam 解：解：取楔子為參考系，沿斜面建立直角坐標(biāo)系，對滑快進(jìn)行受力分析，如圖所示。Nm

13、ginfa0axy滑快的運(yùn)動方程為 sincos1cossin02ttmgmamaNmgma由方程（1）解得sincostaga 由方程（2）解得cos +sintNmgma滑快對斜面的壓力的大小與 相等。N滑快相對于地面的絕對加速度矢量為taaa如圖所示，由幾何關(guān)系可得絕對加速度的大小為0aaa220222cos 180sintttaaaa aga絕對加速度與水平方向夾角 為gsincossintan =coscossintttaaaaga由質(zhì)點(diǎn)的加速度合成原理由質(zhì)點(diǎn)的加速度合成原理()2tdaarrvadt可得可得:()()()( 2)tdaaarrvdt 3.3 3.3 轉(zhuǎn)動參考系轉(zhuǎn)動參

14、考系兩邊同乘被研究對象的質(zhì)量可得兩邊同乘被研究對象的質(zhì)量可得:()()()( 2)tdmamamamrmrmvdt 代入慣性系中牛頓第二定律得到代入慣性系中牛頓第二定律得到:()()()( 2)tdmaFmamrmrmvdt 質(zhì)點(diǎn)的非慣性質(zhì)點(diǎn)的非慣性系動力學(xué)方程系動力學(xué)方程比較比較maF知知:()()()( 2)tdFFmamrmrmvdt 從量綱上看從量綱上看2mv都具有力學(xué)的量綱，于是我們引入都具有力學(xué)的量綱，于是我們引入“慣性力慣性力”的概念的概念dmrdttma()mr，由于參考系本身相對于慣性參考系作加速度運(yùn)動由于參考系本身相對于慣性參考系作加速度運(yùn)動所引起的非相互作用力，所引起的非

15、相互作用力，稱為稱為慣性力慣性力tma平動慣性力平動慣性力dmrdt轉(zhuǎn)動慣性力轉(zhuǎn)動慣性力()mr慣性離心力慣性離心力2mv科里奧利力科里奧利力()()()( 2)itdfmamrmrmvdt 現(xiàn)在具體討論慣性力的方向：現(xiàn)在具體討論慣性力的方向：由動系的轉(zhuǎn)動角速度變化引起的慣性力由動系的轉(zhuǎn)動角速度變化引起的慣性力,方向方向加速轉(zhuǎn)動，則慣性力的方向與轉(zhuǎn)動方向相反加速轉(zhuǎn)動，則慣性力的方向與轉(zhuǎn)動方向相反減速轉(zhuǎn)動，則慣性力的方向與轉(zhuǎn)動方向相同減速轉(zhuǎn)動，則慣性力的方向與轉(zhuǎn)動方向相同tma平動慣性力平動慣性力由平動引起的慣性力由平動引起的慣性力,與平動加速度與平動加速度ta方向相反方向相反dmrdt轉(zhuǎn)動慣性

16、力轉(zhuǎn)動慣性力dmrdtmrOresindmremeddmrdttt Oe()mrr2()mrme 方向沿離心方向方向沿離心方向Ov2mv科里奧利力總是使質(zhì)點(diǎn)偏離原來運(yùn)動的方向科里奧利力總是使質(zhì)點(diǎn)偏離原來運(yùn)動的方向方向與方向與和和v構(gòu)成的平面垂直構(gòu)成的平面垂直,且滿足右手螺旋且滿足右手螺旋()mr慣性離心力慣性離心力2mv科里奧利力科里奧利力由動系的轉(zhuǎn)動角速度引起的慣性力由動系的轉(zhuǎn)動角速度引起的慣性力由動系的轉(zhuǎn)動角速度和相對速度引起的慣性力由動系的轉(zhuǎn)動角速度和相對速度引起的慣性力質(zhì)點(diǎn)的非慣性系動力學(xué)方程質(zhì)點(diǎn)的非慣性系動力學(xué)方程(非慣性系下牛二定律非慣性系下牛二定律):imaFFf()()()( 2)itdfmamrmrmvdt 在非慣性系下，要求解質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)問題時(shí)：在非慣性系下，