第四章 彈性力學(xué)求解方法.ppt

1、第四章 彈性力學(xué)問題的求解方法7-1 彈性力學(xué)基本方程彈性力學(xué)基本方程1. 平衡微分方程方程平衡微分方程方程000yxxzxxyyzyyzxzzXxyzYxyzZxyz2. 幾何方程幾何方程xyzxyyxyzzyzxxzuxvywzvuxywvyzwuxz)(21,ijjiijuu 3. 物理方程物理方程223222322232xxyyzzxyxyyzyzzxzxGGGGGGGGGGGG 各種彈性常數(shù)之間的關(guān)系各種彈性常數(shù)之間的關(guān)系,2 111 23 1 2EEEGKzyxkk zyx ijijijG 2zxzxyzyzxyxyzzyyxxGGGGGG 2224. 相容方程相容方程222222

2、222222222222222yxyxyyzzxzxzyzxyxzxyyzxyzxyzxyzxzyxx yzyy zxzx zy zxxyzz xyxyzx yzxyz 求解物理量：求解物理量：6個應(yīng)力分量個應(yīng)力分量 6個應(yīng)變分量個應(yīng)變分量 3個位移分量個位移分量共15個未知量用于求解的方程：平衡微分方程用于求解的方程：平衡微分方程 3個個 幾何方程幾何方程 6個個 本構(gòu)方程本構(gòu)方程 6個個共15個方程15個基本方程求解個基本方程求解15個未知量，數(shù)學(xué)上有解。個未知量，數(shù)學(xué)上有解。協(xié)調(diào)方程是應(yīng)變解的條件，保證變形前后物體連續(xù)。協(xié)調(diào)方程是應(yīng)變解的條件，保證變形前后物體連續(xù)。微分方程求解過程需要積

3、分，積分常數(shù)由邊界條件確微分方程求解過程需要積分，積分常數(shù)由邊界條件確定。定。5. 邊界條件：邊界條件：位移邊界條件：對于給定的表面位移邊界條件：對于給定的表面Su，其上沿，其上沿x，y，z方向給定位移為方向給定位移為 ，則，則wwvvuu,wvu,應(yīng)力邊界條件：給定表面上的面力為應(yīng)力邊界條件：給定表面上的面力為zyxTTT,zzyzxzyyzyxyxxzxyxTnmlTnmlTnml 彈性力學(xué)問題求解也稱為彈性力學(xué)邊值問題求解彈性力學(xué)問題求解也稱為彈性力學(xué)邊值問題求解 求解彈性力學(xué)問題有位移法、應(yīng)力法和應(yīng)力函求解彈性力學(xué)問題有位移法、應(yīng)力法和應(yīng)力函數(shù)法三種方法。數(shù)法三種方法。1. 位移法：位

4、移法：以位移作為基本未知量用，位移表述平以位移作為基本未知量用，位移表述平衡方程衡方程位移法控制方程位移法控制方程2. 應(yīng)力法：應(yīng)力法：以應(yīng)力作為基本未知量。將以應(yīng)力作為基本未知量。將相容方程相容方程用用應(yīng)力表示應(yīng)力表示應(yīng)力控制方程應(yīng)力控制方程3. 應(yīng)力函數(shù)法：應(yīng)力函數(shù)法：先引入應(yīng)力函數(shù)，先引入應(yīng)力函數(shù)，相容方程用相容方程用應(yīng)力應(yīng)力函數(shù)表示函數(shù)表示應(yīng)力函數(shù)表示的控制方程。應(yīng)力函數(shù)表示的控制方程。7-2 7-2 彈性力學(xué)求解方法彈性力學(xué)求解方法1. 位移法：位移法：將幾何方程代入物理方程，得到用位移將幾何方程代入物理方程，得到用位移表示的應(yīng)力分量，再將應(yīng)力分量代入平衡方程和應(yīng)力邊表示的應(yīng)力分量，

5、再將應(yīng)力分量代入平衡方程和應(yīng)力邊界條件，即界條件，即得到空間問題的位移法控制方程。得到空間問題的位移法控制方程。不需要用不需要用相容方程。相容方程。222()0()0()0 xyzGuGXxGuGYyGuGZzxyzyxzuuuxyz2222222xyz 力邊界條件也可用位移表述。力邊界條件也可用位移表述。位移控制方程指標(biāo)表示：位移控制方程指標(biāo)表示：2,()0ij jiiGuG uF 3個位移表述的平衡微分方程，包含個位移表述的平衡微分方程，包含3個位個位移未知數(shù)。移未知數(shù)。 結(jié)合邊界條件，解上述方程，可求出位移分結(jié)合邊界條件，解上述方程，可求出位移分量，由幾何方程求應(yīng)變，再由本構(gòu)方程求應(yīng)力。

6、量，由幾何方程求應(yīng)變，再由本構(gòu)方程求應(yīng)力。2. 應(yīng)力解法：將由應(yīng)力表示的應(yīng)變本構(gòu)方程式代應(yīng)力解法：將由應(yīng)力表示的應(yīng)變本構(gòu)方程式代入?yún)f(xié)調(diào)方程式，得應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程入?yún)f(xié)調(diào)方程式，得應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程（應(yīng)力控（應(yīng)力控制方程）。制方程）。222211222221122222112110011110011110011xxyyyzzzxIIxx yIIxy zIIxz x 2,101ijkk ij3. 應(yīng)力函數(shù)法：應(yīng)力函數(shù)法：先引入應(yīng)力函數(shù)，滿足微分平衡方先引入應(yīng)力函數(shù)，滿足微分平衡方程。由微分平衡方程得應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系，程。由微分平衡方程得應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系，再將用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量

7、代入再將用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量代入相容方程相容方程，得到，得到一組用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，即應(yīng)力函數(shù)表示的一組用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，即應(yīng)力函數(shù)表示的控制方程?？刂品匠?。一、解的疊加原理一、解的疊加原理7-1 7-1 彈性力學(xué)解的性質(zhì)彈性力學(xué)解的性質(zhì) 實際結(jié)構(gòu)件往往同時受到幾組載荷作用，如果實際結(jié)構(gòu)件往往同時受到幾組載荷作用，如果直接求所有載荷作用下的彈性力學(xué)問題的解，可直接求所有載荷作用下的彈性力學(xué)問題的解，可能很復(fù)雜。而求單一載荷作用下的彈性力學(xué)問題能很復(fù)雜。而求單一載荷作用下的彈性力學(xué)問題的解，一般更簡單。的解，一般更簡單。 通過求不同單一載荷作用下的彈性力學(xué)問題的通過求不同單一載

8、荷作用下的彈性力學(xué)問題的解，再用疊加方法獲得復(fù)雜載荷的解的過程稱為解，再用疊加方法獲得復(fù)雜載荷的解的過程稱為解的疊加原理。解的疊加原理。 疊加原理：彈性體受幾組外力同時作用時的解疊加原理：彈性體受幾組外力同時作用時的解等于每一組外力單獨作用時對應(yīng)解的和。等于每一組外力單獨作用時對應(yīng)解的和。說明：1、數(shù)學(xué)上可證明, 當(dāng)為線彈性小變形情況，求解的基本方程和邊界條件為線性，疊加原理成立。2、對大變形情況，幾何方程出現(xiàn)二次非線性項，平衡微分方程將受到變形的影響，疊加原理不再適用。3、對非線彈性或彈塑形材料，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的，疊加原理不成立。4、對載荷隨變形而變的非保守力系或邊界為用非線性彈簧支承

9、的情況，邊界條件是非線性的，疊加原理也將失效。二. 解的唯一性定理： 在給定載荷作用下，處于平衡狀態(tài)的彈性體，其內(nèi)部各點的應(yīng)力、應(yīng)變解是唯一的，如物體剛體位移受到約束，則位移解也是唯一的。 無論何方法求得的解，只要能滿足全部基本方程和邊界條件，就一定是問題的真解。證明：（略）自學(xué)：教材【彈性力學(xué)】P：25 教材【彈塑性力學(xué)】P：175三三.圣維南原理圣維南原理: 提法一：若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，則提法一：若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，則 此力系對物體內(nèi)距該力系作用區(qū)域較遠(yuǎn)的部分不產(chǎn)生此力系對物體內(nèi)距該力系作用區(qū)域較遠(yuǎn)的部分不產(chǎn)生影響只在該力系作用的區(qū)域附近才引起應(yīng)力和變形。影響只在該力系作用的區(qū)域附近才引起應(yīng)力和變形。提法二：若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，該提法二：若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，該力系在物體中引起的應(yīng)力將隨離力系作用部分的距離力系在物體中引起的應(yīng)力將隨離力系作用部分的距離的增大而迅速衰減，在距離相當(dāng)遠(yuǎn)處，其值很小，可的增大而迅速衰減，在距離相當(dāng)遠(yuǎn)處，其值很小，可忽略不計。忽略不計。提法三：若作用