等時(shí)圓的妙用

1、問(wèn)題問(wèn)題1：如圖所示，處在半徑為如圖所示，處在半徑為R的豎直圓內(nèi)的的豎直圓內(nèi)的任一任一光滑光滑細(xì)桿細(xì)桿OB,一端一端B在圓周上在圓周上,另另一端一端O在圓在圓的最高點(diǎn)的最高點(diǎn),OB與豎直方向的夾角為與豎直方向的夾角為,質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)m m沿桿沿桿從從O O點(diǎn)由靜止開始下滑點(diǎn)由靜止開始下滑, ,求它在桿上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間求它在桿上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間? ?cosga cos2RxOB221atxOBgRgRaxtOB2coscos222mamgcosgRt2質(zhì)點(diǎn)沿桿下滑所需的時(shí)間質(zhì)點(diǎn)沿桿下滑所需的時(shí)間跟桿與豎直方向的夾角跟桿與豎直方向的夾角無(wú)關(guān)無(wú)關(guān), ,僅由半徑僅由半徑R R決定決定, ,且等且等于質(zhì)點(diǎn)從圓的最高點(diǎn)于

2、質(zhì)點(diǎn)從圓的最高點(diǎn)O O到最到最低點(diǎn)低點(diǎn)A A做自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)做自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間間, ,這個(gè)圓就是重力場(chǎng)中的這個(gè)圓就是重力場(chǎng)中的“等時(shí)圓等時(shí)圓”，這個(gè)性質(zhì)叫這個(gè)性質(zhì)叫做圓的自由弦的做圓的自由弦的等時(shí)性等時(shí)性。gRt2sincosgacos2RxAB221atxABgRggRaxtAB2sincoscos222mamgmgsincos例例2:2:如圖所示如圖所示, ,一傾角為一傾角為的傳送帶上方的傳送帶上方P P點(diǎn)為點(diǎn)為原料輸入口，在原料輸入口，在P P點(diǎn)與傳送帶之間建立一光滑管點(diǎn)與傳送帶之間建立一光滑管道道, ,使原料沿管道能在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)傳送帶上使原料沿管道能在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)傳送帶上,

3、,則管道與豎直方向的夾角則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？應(yīng)為多大？解：以解：以p p點(diǎn)為等時(shí)圓的點(diǎn)為等時(shí)圓的最高點(diǎn)，作出等時(shí)圓最高點(diǎn)，作出等時(shí)圓與皮帶相切，如圖所與皮帶相切，如圖所示示, ,設(shè)切點(diǎn)為設(shè)切點(diǎn)為B,B,圓心為圓心為O,O,連接連接OB,OB,由幾何知識(shí)可由幾何知識(shí)可得得2,AOB例例242AOgtssgACt45. 2101522gRt2通過(guò)空間任一點(diǎn)通過(guò)空間任一點(diǎn)A可作無(wú)限多個(gè)斜面，將若干可作無(wú)限多個(gè)斜面，將若干個(gè)小物體從點(diǎn)個(gè)小物體從點(diǎn)A分別沿這些傾角各不相同的光滑分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，那么在同一時(shí)刻這些小物體所在斜面同時(shí)滑下，那么在同一時(shí)刻這些小物體所在位置

4、所構(gòu)成的面是（位置所構(gòu)成的面是（ ）A.球面球面 B.拋物面拋物面 C.水平面水平面 D.無(wú)法確定無(wú)法確定A解析：由解析：由“等時(shí)圓等時(shí)圓”可知，同一時(shí)刻這些小物體可知，同一時(shí)刻這些小物體應(yīng)在同一應(yīng)在同一“等時(shí)圓等時(shí)圓”上，所以上，所以A正確。正確。作業(yè)作業(yè)1 ：如圖如圖:，位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓，位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓軌道與水平面相切于軌道與水平面相切于M點(diǎn)，與豎直墻相切于點(diǎn)點(diǎn)，與豎直墻相切于點(diǎn)A，豎直墻上另一點(diǎn)豎直墻上另一點(diǎn)B與與M的連線和水平面的夾角為的連線和水平面的夾角為600，C是圓環(huán)軌道的圓心，是圓環(huán)軌道的圓心，D是圓環(huán)上與是圓環(huán)上與M靠得靠得很近的一點(diǎn)（很近的一點(diǎn)（DM遠(yuǎn)

5、小于遠(yuǎn)小于CM）。已知在同一時(shí)刻：）。已知在同一時(shí)刻：a、b兩球分別由兩球分別由A、B兩點(diǎn)兩點(diǎn)從靜止開始沿光滑傾從靜止開始沿光滑傾斜直軌道運(yùn)動(dòng)到斜直軌道運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)點(diǎn)；c球由球由C點(diǎn)自由下落到點(diǎn)自由下落到M點(diǎn)；點(diǎn)；d球從球從D點(diǎn)靜止出發(fā)沿圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)靜止出發(fā)沿圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)。點(diǎn)。則：（則：（ ） A. a球最先到達(dá)球最先到達(dá)M點(diǎn)點(diǎn) B. b球最先到達(dá)球最先到達(dá)M點(diǎn)點(diǎn)C. c球最先到達(dá)球最先到達(dá)M點(diǎn)點(diǎn) D. d球最先到達(dá)球最先到達(dá)M點(diǎn)點(diǎn)ABCDMgRgRta24gRtc2gRTtd24解析：設(shè)圓軌道半徑為解析：設(shè)圓軌道半徑為R，據(jù)，據(jù)“等時(shí)圓等時(shí)圓”理論理論c做自由落體運(yùn)動(dòng)做自由落體運(yùn)動(dòng) d球滾下

6、是一個(gè)單擺模型，擺長(zhǎng)為球滾下是一個(gè)單擺模型，擺長(zhǎng)為R,所以所以c球最先到達(dá)球最先到達(dá)M點(diǎn)點(diǎn)abtt ABCDM作業(yè)作業(yè)2：如圖所示，在同一豎直線上有如圖所示，在同一豎直線上有A、B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，相距為相距為h，B點(diǎn)離地高度為點(diǎn)離地高度為H，現(xiàn)在要在地面上尋，現(xiàn)在要在地面上尋找一點(diǎn)找一點(diǎn)P，使得從，使得從A、B兩點(diǎn)分別向點(diǎn)兩點(diǎn)分別向點(diǎn)P安放的光滑安放的光滑木板，滿足物體從靜止開始分別由木板，滿足物體從靜止開始分別由A和和B沿木板下沿木板下滑到滑到P點(diǎn)的時(shí)間相等，求點(diǎn)的時(shí)間相等，求O、P兩點(diǎn)之間的距離兩點(diǎn)之間的距離OPABPHh O12hRO PH22( )()2hOPRH HhABPHhO O1解

7、析：由解析：由“等時(shí)圓等時(shí)圓”特征可知，當(dāng)特征可知，當(dāng)A、B處于等處于等時(shí)圓周上且時(shí)圓周上且P點(diǎn)處于等時(shí)圓的最低點(diǎn)時(shí)，即能滿點(diǎn)處于等時(shí)圓的最低點(diǎn)時(shí)，即能滿足題設(shè)要求足題設(shè)要求如圖所示，此時(shí)等時(shí)圓的半徑為：如圖所示，此時(shí)等時(shí)圓的半徑為： 所以所以 作業(yè)作業(yè)3:如圖，圓柱體的倉(cāng)庫(kù)內(nèi)有三塊長(zhǎng)度不同如圖，圓柱體的倉(cāng)庫(kù)內(nèi)有三塊長(zhǎng)度不同的滑板的滑板ao、bo、co，其下端都固定于底部圓心，其下端都固定于底部圓心o，而上端則擱在倉(cāng)庫(kù)側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的而上端則擱在倉(cāng)庫(kù)側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為夾角依次為300、450、600。若有三個(gè)小孩同時(shí)。若有三個(gè)小孩同時(shí)從從a、b、c處開始下滑（忽略阻力），則處開始下滑（忽略阻力），則 （ ） aObcA. a處小孩最先到處小孩最先到O點(diǎn)點(diǎn) B. b處小孩最先到處小孩最先到O點(diǎn)點(diǎn)C. c處小孩最先到處小孩最先到O點(diǎn)點(diǎn) D. a、c處小孩同時(shí)到處小孩同時(shí)到O點(diǎn)點(diǎn)2sin21costgR2sin42gRt解析：三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，解析：三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，但但a、b、c三點(diǎn)不可能