金融工程 布萊克斯科爾斯莫頓模型PPT課件

1、內(nèi)容提綱 股票價格和收益的分布性質(zhì) 波動率 布萊克-斯科爾斯-默頓微分方程 風險中性定價 布萊克-斯科爾斯定價公式 隱含波動率 股息對期權(quán)定價的影響1金融工程 第八章第1頁/共46頁金融工程 第八章2維納過程：布朗運動維納過程：布朗運動 假設股票價格的波動為布朗運動（維納過程），在離散情況下，則為隨機游走序列。 ：股票價格在一個很短的時間內(nèi)的變化。 ：股票的年收益率期望 ； ：股價的年波動率。 dz基本維納過程 ：(1) ，其中dz代表影響股票價格變化的隨機因素 標準正態(tài)分布 ；(2)在任何兩個不相重疊的dt內(nèi)，變化量dz相互之間獨立（方差可加）。SdzSdtdSdS)1 ,0( Ndtdzd

2、zdtSdS第2頁/共46頁馬爾科夫過程與維納過程 性質(zhì)1， dz本身服從正態(tài)分布，并且dz的期望值=0， dz的方差=dt；性質(zhì)2意味著變量z服從馬爾科夫過程。 馬爾科夫過程：只有標的變量的當前值與未來的預測有關(guān)，變量的歷史以及變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預測無關(guān)。 馬爾科夫過程與弱有效市場一致：股票的當前價格包含過去價格的所有信息。金融工程 第八章3第3頁/共46頁14.1 股價的對數(shù)正態(tài)分布性質(zhì) 令股價為S 定義： 為股票每年的收益率期望；為股票價格每年的波動率 在 Dt時間段股票收益(DS/S)的均值為 Dt，標準差為 ，股票收益服從正態(tài)分布： 代表期望為m，方差為v的正態(tài)分布。

3、2 ,SttS DDD金融工程 第八章4,m vtD第4頁/共46頁 對數(shù)正態(tài)分布：如果一個隨機變量的對數(shù)服從正態(tài)分布，那么我們就定義這個隨機變量本身服從對數(shù)正態(tài)分布：lnST 服從正態(tài)分布， 則ST 服從對數(shù)正態(tài)分布。52200220lnlnln, 2or lnln, 2TTTSSSTTSSSTT金融工程 第八章第5頁/共46頁對數(shù)正態(tài)分布 )1()(var )(22200TTTTTeeSSeSSE 例14-2 P2126金融工程 第八章第6頁/共46頁14.2 收益率的分布若 x代表從0T之間以連續(xù)復利計的收益率，則金融工程 第八章70022 1=ln , 2xTTTSSeSxTSxT第7

4、頁/共46頁14.3 預期收益率 股價在T時刻的期望值為S0eT； 在一個短期Dt內(nèi)股票價格變化百分比的期望值是Dt； 在所有數(shù)據(jù)覆蓋的區(qū)間上，股票的連續(xù)復利收益率的期望為 2/2；nDt =E(DSi/S)，在每個小區(qū)間上股票價格的平均收益率。金融工程 第八章8201( )=E(ln)= - 2TSE xTS第8頁/共46頁14.4 波動率 volatility 股票的波動率是用來度量股票提供收益的不確定性； 股票價格的波動率可以被定義為股票在1年內(nèi)按連續(xù)復利所提供收益率的標準差。 在Dt時間內(nèi)股票價格百分比變化（收益率）的標準差為： 如果股價為$50 ，波動率為 30% ，對應于每周價格百

5、分比變化的標準差近似地等于：9tD5 0 * (3 0 *1 / 5 2 )5 0 * 4 .1 6 %2 .0 8美 元金融工程 第八章第9頁/共46頁14.4.1 歷史數(shù)據(jù)法1、在時間長度為t年內(nèi)，每個區(qū)間結(jié)束時，觀察到股價為 S0，S1， . . .，Sn 。2、計算第i個區(qū)間結(jié)束時的股票收益率:3、計算ui的標準差 s;4、由（14-2）得： ui的標準差 為 ，因此有：10uSSiiiln1tst金融工程 第八章2122111()111()1(1)niinniiiisuunsuunn n第10頁/共46頁14.4.2 交易日天數(shù)與日歷天數(shù) 交易所開盤交易時的波動率比關(guān)閉時的波動率要高

6、； 因此，由歷史數(shù)據(jù)計算波動率或期權(quán)期限時，采用的是交易日天數(shù)（252天）而不是日歷天數(shù)；金融工程 第八章11第11頁/共46頁14.5 布萊克-斯科爾斯-默頓微分方程的概念 背景：1973年，美國芝加哥大學教授 Fischer Black & Myron Scholes提出了著名的B-S定價模型，用于確定歐式股票期權(quán)價格，在學術(shù)界和實務界引起了強烈反響；同年，Robert C. Merton獨立地提出了一個更為一般化的模型。斯科爾斯和默頓由此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟學獎。我們將循序漸進，盡量深入淺出地介紹布萊克-斯科爾斯-默頓期權(quán)定價模型（下文簡稱B-S-M模型），并由此導出衍生

7、證券定價的一般方法。 12金融工程 第八章第12頁/共46頁基本思路：構(gòu)建無風險交易組合 構(gòu)建：可由期權(quán)與標的股票所組成的無風險組合，組合收益率等于無風險利率r。 原因： 股票價格和期權(quán)價格均受到同一種不定性因素（股價變動）的影響； 在任意短時期內(nèi)，衍生品價格與股價完全相關(guān)性； 在短時間內(nèi)，股票盈虧可抵消期權(quán)帶來的盈虧； 例：假設c=0.4S，可構(gòu)造無風險交易組合： 0.4只股票的多頭； 一個看漲期權(quán)的空頭；13金融工程 第八章第13頁/共46頁14金融工程 第八章第14頁/共46頁假設：金融工程 第八章15 1、股票價格遵循幾何布朗運動，其中 u 和 為常數(shù)； 2、可以賣空證券，并且可以完全

8、使用所得收入； 3、無交易費用和稅收，所有證券均可無限分割； 4、在期權(quán)期限內(nèi)，股票不支付股息； 5、不存在無風險套利機會； 6、證券交易為連續(xù)進行； 7、短期無風險利率r為常數(shù)，并對所有期限都是相同的。 第15頁/共46頁 ：zStSSDDDzSSftSSftfSSffDDD)21(222214.6 布萊克-斯科爾斯-默頓微分方程的推導 （1）由于股票價格S遵循幾何布朗運動，在一個小的時間間隔t中，S的變化值S S： （2）設f是依賴于S的衍生證券的價格，則f是S和t的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得，在一個小的時間間隔中，f的變化值f f為：16金融工程 第八章第16頁/共46頁14.6 布萊克-斯

9、科爾斯-默頓微分方程的推導 （3）為了消除維納過程（風險源）z z ，可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和 單位股票多頭的組合。 令 代表該投資組合當前的價值，則： 在 時間后，該投資組合的價值變化 為： 代入f 和S表達式，可得金融工程 第八章17SfffSStDffSSD DDtSSftfDD)21(2222D第17頁/共46頁tSSftfDD)21(2222 中不含任何風險源，因此組合 在短期t內(nèi)，必須獲得無風險收益無風險收益，即tr DD代入上式可得tSSffrtSSftfDD)()21(2222化簡為rfSfSSfrStf222221這就是著名的布萊克斯科爾斯默頓微分分程微分分程，它

10、適用于其價格取決于標的證券價格S的所有衍生證券的定價。金融工程 第八章1814.6 布萊克-斯科爾斯-默頓微分方程的推導14-16第18頁/共46頁 邊界條件 key boundary conditions 邊界條件定義了衍生產(chǎn)品在S和t的邊界上的取值。 歐式看漲期權(quán)的關(guān)鍵邊界條件為：f = max（ST - K，0） 當t=T時； 歐式看跌期權(quán)的關(guān)鍵邊界條件為：f = max（K- ST ，0） 當t=T時； 例14-5，驗證B-S-M微分方程19金融工程 第八章第19頁/共46頁14.7 風險中性定價 布萊克斯科爾斯默頓微分方程不包含任何影響投資者風險偏好的變量（）。方程中出現(xiàn)的變量包括股

11、票的當前價格、時間、股票價格波動率和無風險利率，它們均與風險偏好無關(guān)。 這意味著，無論風險偏好狀態(tài)如何，都不會對f 的值產(chǎn)生影響。因此我們可以假設：在對衍生證券定價時，所有投資者都是風險中性的。通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風險中性情況，也適用于投資者厭惡風險的所有情況。 風險中性定價原理：假定標的資產(chǎn)的期望收益率為無風險利率（即假定u =r）；計算衍生證券的期望回報；用無風險利率對期望回報貼現(xiàn)。20金融工程 第八章第20頁/共46頁應用于股票遠期合約 遠期合約多頭，到期時刻的價值： 遠期合約在時間0的價值：其在風險中性世界里T時刻的期望價值以無風險利率貼現(xiàn)后的值。金融工程 第八章2

12、1第21頁/共46頁對 右邊求值是一種積分過程，結(jié)果為：其中，012()()rTcS NdKeNd2012021ln(/)(/ 2)ln(/)(/ 2)SKrTdTSKrTddTT N（x）為標準正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)(即這個變量小于x的概率)，根據(jù)標準正態(tài)分布函數(shù)特性，有 。 )(1)(xNxN 這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價公式。max(,0)rTTceESK2214.8 布萊克布萊克-斯科爾斯定價公式斯科爾斯定價公式 金融工程 第八章14-20第22頁/共46頁金融工程 第八章23N()=1；N(-)=0第23頁/共46頁max(,0)TESKmax(,0)rTTceESKE

13、風險中性定價 （1）在風險中性的條件下，無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到期時（T時刻）的期望值為： 其中 ：表示風險中性世界里的期望值。 （2）根據(jù)風險中性定價原理，歐式看漲期權(quán)的價格c等于將此期望值按無風險利率進行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即： 24金融工程 第八章第24頁/共46頁金融工程 第八章25歐式看漲期權(quán) 風險中性世界里期權(quán)到期時回報的期望值： 為風險中性世界中的期望值 ，歐式看漲期權(quán)的價格等于這個期望值以無風險利率貼現(xiàn)后的現(xiàn)值， E max(,0)TSKEmax(,0)rTTceESKmax(,0)max(,0) ()() ()()()TTTTTTTTTTTTKKKESKSKfSdSSK fSdSS

14、 fSdSK fSdS ST概率密度第25頁/共46頁金融工程 第八章2622020lnln() ,2ln,(ln)ln()2(0,1)TTTSSrTTSmWsTSmESSrTWN隨機變量W的概率密度函數(shù)h(W)為：221( )2Wh We令其中第26頁/共46頁金融工程 第八章272222l nl nl nl nl n2l nl n()22l n2l n m a x (, 0 ) ( l n) ( l n)( l n) ( l n)() ()() ()1()() ()21l n()()2()TSTTTTTKKs WmKmKmssWs WmKmKmsssWsmKmssmESKegSdSKgSd

15、Seh WdWKh WdWeedWKh WdWmKeedWK Nseh W0202200l nl n()2()l n()l n()22KmssSr TSrKdWK NTSSrrKKeNK NTT第27頁/共46頁理解BSM定價公式I28fNdS1 可以用股票和負債復制期權(quán)。 可以證明 是構(gòu)造無風險組合時的，是復制投資組合中股票的數(shù)量，S0N(d1)就是股票的市值。 Ke-rTN(d2)是復制交易策略中負債的價值。 因為主要參數(shù)都是時變的，因此這種復制策略是動態(tài)復制策略，必須不斷調(diào)整相關(guān)頭寸的數(shù)量。第28頁/共46頁 在B-S公式中，N N( (d d2 2) )是在風險中性世界中ST大于K的概

16、率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率；K KN N( (d d2 2) )是執(zhí)行價格乘以其被支付的概率，即期望值。 S0 N(d1) erT= ST N(d1)是一個在ST K 時，等于ST ，在其他情形等于0的變量，在風險中性世界的期望值。 因此，這個公式就是期權(quán)到期時期望回報值的貼現(xiàn)。金融工程 第八章29012()K ()rTrTceS N d eN d理解BSM定價公式第29頁/共46頁 根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系平價關(guān)系c + Ke-rT = p+S0 ，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式：201()()rTpKeNdS Nd金融工程 第八章30無收益資產(chǎn)的歐式看

17、跌期權(quán)的定價公式無收益資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)的定價公式 2012021ln(/)(/ 2)ln(/)(/ 2)SKrTdTSKrTddTT14-21第30頁/共46頁B-S-M公式的性質(zhì) （1）當股票價格S0很大，歐式看漲期權(quán)幾乎肯定會執(zhí)行，看漲期權(quán)價格： S0 -K e-rT ，歐式看跌期權(quán)價格趨于0。 （2）當股票波動率接近于0，股票價格幾乎無風險，T時刻股票價格會增長到S0 erT ，看漲期權(quán)的回報為 max（S0 erT K，0）。以無風險利率r貼現(xiàn)，看漲期權(quán)價格： e-rT max（ S0 erT - K,0）= max（ S0 Ke-rT,0） 看跌期權(quán)的價格總是max( Ke-rT

18、S0 ,0 ) （3）當 S0 接近于0時，c 趨向于0，p 趨向于 Ke-rT S0 。金融工程 第八章31第31頁/共46頁 我們已經(jīng)知道，B-S-M期權(quán)定價公式中的期權(quán)價格取決于下列五個參數(shù)：標的資產(chǎn)當前價格、執(zhí)行價格、到期期限、無風險利率和標的資產(chǎn)價格波動率（即標的資產(chǎn)收益率的標準差）。在這些參數(shù)當中，前四個都是很容易獲得的確定數(shù)值。但是標的資產(chǎn)價格波動率則需要通過一定的計算求得估計值。3214.11 隱含波動率隱含波動率 implied volatility金融工程 第八章第32頁/共46頁隱含波動率：資本市場具有強大的信息功能。資本市場上股票價格、債券價格、期權(quán)價格等都包含了重要的

19、信息。在現(xiàn)實中，我們常常已經(jīng)知道了期權(quán)價格，這時我們就可以利用期權(quán)價格來倒推出其中隱含的波動率信息。所謂的隱含波動率，即根據(jù)B-S-M期權(quán)定價公式，將公式中除了波動率以外的參數(shù)和市場上的期權(quán)報價代入，迭代計算得到的波動率數(shù)據(jù)，然后用于其它條件類似的期權(quán)定價、風險管理等。顯然，這里計算得到的波動率可以看作是市場對未來波動率的預期。用市場上交易較為活躍的期權(quán)估算其他期權(quán)的波動率。33金融工程 第八章第33頁/共46頁14.12 股息 Dividend 在收益已知的情況下，我們可以把標的證券的價格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知收益的現(xiàn)值部分（無風險部分）和一個有風險部分。在期權(quán)到期之前，收益現(xiàn)值部分

20、將由于標的資產(chǎn)支付收益而消失。 因此，只要從標的證券當前的價格 S0 中消去收益現(xiàn)值部分（貼現(xiàn)利率為無風險利率, ,貼現(xiàn)日期為除息日），將剩下有風險部分的證券價格作為真正影響期權(quán)價值的標的資產(chǎn)價格，用 表示證券價格中風險部分的波動率，就可直接套用公式分別計算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值。金融工程 第八章3414.12.1有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價公式有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價公式第34頁/共46頁 因此，當標的證券已知收益的現(xiàn)值為d時，我們只要用（S0d）代替公式14-20中的S0 即可求出有收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。 當標的證券的收益為按連續(xù)復利計算的固定收益率q（單位

21、為年）時，我們只要將S S0 0 e e-q-qT T 代替S0 就可求出支付連續(xù)復利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。 一般來說，期貨期權(quán)、股指期權(quán)和外匯期權(quán)都可以看作標的資產(chǎn)支付連續(xù)復利收益率的期權(quán)。其中，歐式期貨期權(quán)可以看作一個支付連續(xù)紅利率為r的資產(chǎn)的歐式期權(quán)；股指期權(quán)則是以市場平均股利支付率為收益率，外匯期權(quán)標的資產(chǎn)的連續(xù)紅利率為該外匯在所在國的無風險利率。3514.12.1有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價公式有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價公式金融工程 第八章第35頁/共46頁金融工程 第八章36 對于發(fā)放股利D的股票期權(quán)的定價： 其中， d是股利用無風險利率折現(xiàn)的現(xiàn)值：012() ()(

22、)rTcSdNdKeNd201p()() ()r TK eNdSdNd201ln(-) /()2SdKrTdT 202ln() /()2SdKrTdT*rtdDe有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價公式（1） 第36頁/共46頁 【例14-9】考慮一個歐式股票看漲期權(quán)，股票在2個月和5個月后分別有一個除息日。預計在每個除息日股息都是 0.5。股票目前價格為40，執(zhí)行價格為40，股票價格的波動率為年率30%，無風險利率為年率9%，期權(quán)期限為6個月。求該期權(quán)的價格。金融工程 第八章37第37頁/共46頁支付連續(xù)股息收益率的歐式股票期權(quán)定價公式（2）(Equations 16.4 and 16.5)TTqrK

23、SdTTqrKSddNeSdNKepdNKedNeScqTrTrTqT)2/2()/ln()2/2()/ln()()()()(0201102210 where 38第38頁/共46頁 12()()r TCS NdK eNd14.12.2 美式期權(quán) (1)無收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)的定價公式 在標的資產(chǎn)無收益情況下，美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行是不合理的，因此C=cC=c，無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價公式同樣是：金融工程 第八章39第39頁/共46頁 當標的資產(chǎn)有收益時，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價較為復雜，布萊克提出了一種近似處理方法。 該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理， 若不合理，則按歐式期權(quán)處理； 若在tn 提前執(zhí)行可能是合理的，則要分別計算在T時刻和tn 時刻到期的歐式看漲期權(quán)的價格，然后將二者之中的較大者