函數(shù)的和差積商的導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、 函函 數(shù)數(shù) 的的和、差、積、和、差、積、商商 的的 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù) 一、復(fù)習(xí)：一、復(fù)習(xí)：1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法是:);()()1(xfxxfy 求求函函數(shù)數(shù)的的增增量量;)()(:)2(xxfxxfxy 的的增增量量的的比比值值求求函函數(shù)數(shù)的的增增量量與與自自變變量量.lim)()3(0 xyxfyx 求求極極限限，得得導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)2.函數(shù)函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線就是曲線y= f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)P(x0 ,f(x0)處的切線的斜率處的切線的斜率.3.常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:公式公式1: .)(0為為常常數(shù)數(shù)CC

2、公式公式2: .)()(1Qnnxxnn 公式公式3: .xxcos)(sin 公式公式4: .xxsin)(cos 二、新課：二、新課： 由上節(jié)課的內(nèi)容可知函數(shù)由上節(jié)課的內(nèi)容可知函數(shù)y=x2的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為y=2x,那那么么,對(duì)于一般的二次函數(shù)對(duì)于一般的二次函數(shù)y=ax2+bx+c,它的導(dǎo)數(shù)又是它的導(dǎo)數(shù)又是什么呢什么呢?這就需要用到函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則這就需要用到函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則.1.和和(差差)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù):法則法則1:兩個(gè)函數(shù)的和兩個(gè)函數(shù)的和(差差)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo) 數(shù)的和數(shù)的和(差差),即即:.)(vuvu 證證:),()()(xvxuxf

3、y ;)()()()()()()()(vuxvxxvxuxxuxvxuxxvxxuy ,xvxuxy );()(limlim)(limlim0000 xvxuxvxuxvxuxyxxxx 即即:.)(vuvuy 2.積的導(dǎo)數(shù)積的導(dǎo)數(shù):法則法則2:兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 乘第二個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)加上第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,即即.)(vuvuuv 證證:),()()(xvxuxfy ),()()()()()()()()()()()(xvxuxxvxuxxvxuxxvxxuxvxuxxvxxuy .)

4、()()()()()(xxvxxvxuxxvxxuxxuxy 因?yàn)橐驗(yàn)関(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x處可導(dǎo)處可導(dǎo),所以它在點(diǎn)所以它在點(diǎn)x處連續(xù)處連續(xù),于是當(dāng)于是當(dāng)x0時(shí)時(shí), v(x+x) v(x).從而從而:);()()()()()(lim)()()()(limlim000 xvxuxvxuxxvxxvxuxxvxxuxxuxyxxx 即即:.)(vuvuuvy 3.商的導(dǎo)數(shù)商的導(dǎo)數(shù):推論推論:常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即即:.)(uCCu 法則法則3:兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù),等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母 的積的積,減去分

5、母的導(dǎo)數(shù)與分子的積減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積,再除以分母再除以分母 的平方的平方,即即:).0()(2 vvvuvuvu考慮考慮:你能否仿照積的導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程你能否仿照積的導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程,證明商的導(dǎo)數(shù)證明商的導(dǎo)數(shù) 公式嗎公式嗎?有了前面學(xué)過(guò)的常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與函數(shù)的四則有了前面學(xué)過(guò)的常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則運(yùn)算的求導(dǎo)法則,就可以直接運(yùn)用這些公式求得由冪就可以直接運(yùn)用這些公式求得由冪函數(shù)的和、差、積、商構(gòu)成的函數(shù)函數(shù)的和、差、積、商構(gòu)成的函數(shù),而不必從導(dǎo)數(shù)定而不必從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)了義出發(fā)了.三、例題選講：三、例題選講：例例1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):.cossinco

6、ssin)7(;)1)(1()6(;sin1cos)5(;1)32()4(;tan)3(;1)2(;21)1(33222222xxxxxyxxxyxxxxyxxyxyxxyxxy 答案答案:;41) 1 (32xxy ;)1 (1)2(222xxy ;cos1)3(2xy ;16)4(23xxxy ;3sin2cossincos2)5(32322xxxxxxxxxy ;)1()1(321)6(422xxxxy .)cos(sincoscossin1)7(22xxxxxxy 例例2:(1)命題甲命題甲:f(x),g(x)在在x=x0處均可導(dǎo)處均可導(dǎo);命題乙命題乙:F(x)= f(x)+g(x)在

7、在x=x0處可導(dǎo)處可導(dǎo),則甲是乙成立的則甲是乙成立的( ) (A)充分不必要條件充分不必要條件 (B)必要不充分條件必要不充分條件 (C)充分必要條件充分必要條件 (D)即不充分也不必要條即不充分也不必要條件件 A(2)下列函數(shù)在點(diǎn)下列函數(shù)在點(diǎn)x=0處沒(méi)有切線的是處沒(méi)有切線的是( ) (A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx (C)y=xsinx (D)y= +cosxxD(3)假設(shè)假設(shè) 則則f(x)可能是下式中的可能是下式中的( ),1)(2xxf 3321)(2)(1)(1)(xDxCxxBxA B(4)點(diǎn)點(diǎn)P在曲線在曲線y=x3-x+2/3上移動(dòng)時(shí)上移動(dòng)時(shí),過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P的曲線的曲

8、線的的 切線的傾斜角的取值范圍是切線的傾斜角的取值范圍是( ),432, 0)( 43,2()2, 0)(),43)( 43, 0)( DCBAD例例3:某運(yùn)動(dòng)物體自始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)某運(yùn)動(dòng)物體自始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)t秒后的距離秒后的距離s滿足滿足s= -4t3+16t2. (1)此物體什么時(shí)刻在始點(diǎn)此物體什么時(shí)刻在始點(diǎn)? (2)什么時(shí)刻它的速度為零什么時(shí)刻它的速度為零?441t解解:(1)令令s=0,即即1/4t4-4t3+16t2=0,所以所以t2(t-8)2=0,解解得得: t1=0,t2=8.故在故在t=0或或t=8秒末的時(shí)刻運(yùn)動(dòng)物體在秒末的時(shí)刻運(yùn)動(dòng)物體在 始點(diǎn)始點(diǎn). 即即t3-12t2+32t=0,

9、解得解得:t1=0,t2=4,t3=8, 0)(,3212)(23 tstttts令令故在故在t=0,t=4和和t=8秒時(shí)物體運(yùn)動(dòng)的速度為零秒時(shí)物體運(yùn)動(dòng)的速度為零.例例4:已知曲線已知曲線S1:y=x2與與S2:y=-(x-2)2,若直線若直線l與與S1,S2均均 相切相切,求求l的方程的方程.解解:設(shè)設(shè)l與與S1相切于相切于P(x1,x12),l與與S2相切于相切于Q(x2,-(x2-2)2).對(duì)于對(duì)于 則與則與S1相切于相切于P點(diǎn)的切線方程為點(diǎn)的切線方程為y-x12=2x1(x-x1),即即y=2x1x-x12.,2,1xyS 對(duì)于對(duì)于 與與S2相切于相切于Q點(diǎn)的切線方程為點(diǎn)的切線方程為y

10、+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即即y=-2(x2-2)x+x22-4.),2( 2,2 xyS因?yàn)閮汕芯€重合因?yàn)閮汕芯€重合,.02204) 2( 222121222121 xxxxxxxx或或若若x1=0,x2=2,則則l為為y=0;若若x1=2,x2=0,則則l為為y=4x-4.所以所求所以所求l的方程為的方程為:y=0或或y=4x-4.注注:此題為此題為p.238第第12題題.例例5:在曲線在曲線y=x3-6x2-x+6上上,求斜率最小的切線所對(duì)應(yīng)求斜率最小的切線所對(duì)應(yīng) 的切點(diǎn)的切點(diǎn),并證明曲線關(guān)于此點(diǎn)對(duì)稱(chēng)并證明曲線關(guān)于此點(diǎn)對(duì)稱(chēng).解解:由于由于 ,故當(dāng)故當(dāng)x=2時(shí)時(shí), 有

11、最小值有最小值.13) 2( 3112322 xxxyy 而當(dāng)而當(dāng)x=2時(shí)時(shí),y=-12,故斜率最小的切線所對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)故斜率最小的切線所對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為為A(2,-12).記曲線為記曲線為S,設(shè)設(shè)P(x,y)S,則有則有y=x3-6x2-x+6.又點(diǎn)又點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q(4-x,-24-y),下證下證QS.將將4-x代入解析式代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x+12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30=-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y.即即Q(4-x,-24-y)的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是S的方程的解的方

12、程的解,于是于是QS.這就證明了曲線這就證明了曲線S關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng).練習(xí)練習(xí)1:已知曲線已知曲線C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲線求曲線C上橫上橫坐坐標(biāo)為標(biāo)為1的點(diǎn)的切線方程的點(diǎn)的切線方程;(2)第第(1)小題中切線與曲線小題中切線與曲線C是是否還有其它公共點(diǎn)否還有其它公共點(diǎn)?如果有如果有,求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)求出這些點(diǎn)的坐標(biāo). 解解:(1)把把x=1代入曲線代入曲線C的方程得切點(diǎn)的方程得切點(diǎn)(1,-4). ,所以切線的斜率所以切線的斜率k=12-6-18=-12.故切線方程為故切線方程為y+4=-12(x-1),即即y=-12x+8.xxxy1861223 .32,

13、 2, 1, 0)23)(2() 1(, 04129238124923)2(2234234 xxxxxxxxxyxxxy即即由由).0 ,32(),32, 2( ,)4, 1(:03244923234 切點(diǎn)切點(diǎn)即公共點(diǎn)為即公共點(diǎn)為，求得求得代入代入yxxxy故除切點(diǎn)以外故除切點(diǎn)以外,還有兩個(gè)交點(diǎn)還有兩個(gè)交點(diǎn)(-2,32),(2/3,0). 事實(shí)上事實(shí)上,在曲線在曲線y=x3+ax2+bx+c是只有橫坐標(biāo)為是只有橫坐標(biāo)為-a/3的唯一一點(diǎn)的唯一一點(diǎn)M,過(guò)該點(diǎn)的切線與曲線除切點(diǎn)外不再有過(guò)該點(diǎn)的切線與曲線除切點(diǎn)外不再有其它公共點(diǎn)其它公共點(diǎn).而點(diǎn)而點(diǎn)M實(shí)際上就是這條三次曲線的對(duì)稱(chēng)中實(shí)際上就是這條三次曲

14、線的對(duì)稱(chēng)中心心.練習(xí)練習(xí)2:設(shè)三次曲線設(shè)三次曲線y=x3-3x2/2-3x過(guò)原點(diǎn)的切線過(guò)原點(diǎn)的切線l1,平行平行 于于l1的另一條切線為的另一條切線為l2. (1)求求l1、l2的方程的方程; (2)當(dāng)當(dāng)l1、l2的斜率為的斜率為m時(shí)時(shí),求斜率為求斜率為-m的兩切線的兩切線 l3、l4的方程的方程. (3)求求l1、l2 、l3、l4所圍成的平行四邊形的面積所圍成的平行四邊形的面積.答案答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2.(2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10.(3).9/8.例例6:用求導(dǎo)的方法求和用求導(dǎo)的方法求和:).1() 1(3221) 2();1(

15、321)() 1 (212 xnxnxSxnxxxxPnnnn對(duì)對(duì)(1)由求導(dǎo)公式由求導(dǎo)公式 可聯(lián)想到它是另一個(gè)和式可聯(lián)想到它是另一個(gè)和式x+x2+x3+xn的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)(1 nnnxx),1(1)1()1(32 xxxxxxxxnn解：解：.)1 () 1(1)1 ()1)()1 ()()1()()(21211132xnxxnxxxxxxxxxxxxxxxPnnnnnnn .)1(2)1()1(2)1( )()2(3121xxnnxnxnnxPSnnnnn 例例7:已知拋物線已知拋物線C1:y=x2+2x和和C2:y=x2+a,如果直線如果直線l 同時(shí)是同時(shí)是C1和和C2的切線的切線,

16、稱(chēng)稱(chēng)l是是C1和和C2的公切線的公切線,公切公切線線 上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段,稱(chēng)為公切線段稱(chēng)為公切線段. ()a取什么值時(shí)取什么值時(shí),C1和和C2有且僅有一條公切線有且僅有一條公切線?寫(xiě)寫(xiě)出出 此公切線的方程此公切線的方程; ()若若C1和和C2有兩條公切線有兩條公切線,證明相應(yīng)的兩條公切線證明相應(yīng)的兩條公切線 段互相平分段互相平分.(2019天津高考天津高考(文文)題題)()()解解: :函數(shù)函數(shù)y=x2+2xy=x2+2x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)y=2x+2,y=2x+2,曲線曲線C1C1在點(diǎn)在點(diǎn)P P (x1,x12+2x1) (x1,x12+2x1)的切線方程是的切線方程是y-y

17、-(x12+2x1)=(2x1+2)(x12+2x1)=(2x1+2) (x-x1), (x-x1),即即 y=(2x1+2)x-x12y=(2x1+2)x-x12; ;函數(shù)函數(shù)y=-x2+a的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)y=-2x,曲線曲線C2 在點(diǎn)在點(diǎn)Q(x2,-x22+a)的切線方程是的切線方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2).即即y=-2x2x+x22+a . 如果直線如果直線l是過(guò)是過(guò)P和和Q的公切線的公切線,那么那么式和式和式式都是都是l的方程的方程. 所以所以 消去消去x2得方得方程程:2x12+2x1+1+a=0. ,222222121 axxxx若判別式若判別式=4=44 42(1

18、+a)=02(1+a)=0時(shí)時(shí), ,即即a=-1/2a=-1/2時(shí)解得時(shí)解得x1=-1/2,x1=-1/2,此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)P P與與Q Q重合重合. . 即當(dāng)即當(dāng)a=-1/2a=-1/2時(shí)時(shí)C1C1和和C2C2有且僅有一條公切線有且僅有一條公切線, ,由由得得公切線方程為公切線方程為y=x-1/4.y=x-1/4. ()()證證: :由由()()可知可知: :當(dāng)當(dāng)a-1/2a-1/2時(shí)時(shí)C1C1和和C2C2有兩條公切線有兩條公切線. .設(shè)一條公切線上切點(diǎn)為設(shè)一條公切線上切點(diǎn)為:P(x1,y1),Q(x2,y2).其中其中P在在C1上上,Q在在C2上上,則有則有: x1+x2=-1,y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x12+2x1-(x1+1)2+a=-1+a.故線段故線段PQ的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為: ).21,21(a 同理同理,另一條公切線段另一條公切線段PQ的中點(diǎn)也是的中點(diǎn)也是).21,21(a 所以公切線段所以公切線段PQ和和PQ互相平分互相平分.四、小結(jié)：四、小結(jié)：五、作業(yè)：五、作業(yè)：第一次第一次p.235236課后強(qiáng)化訓(xùn)練第課后強(qiáng)化訓(xùn)練第110題題;第二次第二次p.23723