函數(shù)的和差積商的導數(shù)ppt課件

1、 函函 數(shù)數(shù) 的的和、差、積、和、差、積、商商 的的 導導 數(shù)數(shù) 一、復習：一、復習：1.求函數(shù)的導數(shù)的方法是求函數(shù)的導數(shù)的方法是:);()()1(xfxxfy 求求函函數(shù)數(shù)的的增增量量;)()(:)2(xxfxxfxy 的的增增量量的的比比值值求求函函數(shù)數(shù)的的增增量量與與自自變變量量.lim)()3(0 xyxfyx 求求極極限限，得得導導函函數(shù)數(shù)2.函數(shù)函數(shù) y=f(x)在點在點x0處的導數(shù)的幾何意義處的導數(shù)的幾何意義,就是曲線就是曲線y= f(x)在點在點P(x0 ,f(x0)處的切線的斜率處的切線的斜率.3.常見函數(shù)的導數(shù)公式常見函數(shù)的導數(shù)公式:公式公式1: .)(0為為常常數(shù)數(shù)CC

2、公式公式2: .)()(1Qnnxxnn 公式公式3: .xxcos)(sin 公式公式4: .xxsin)(cos 二、新課：二、新課： 由上節(jié)課的內容可知函數(shù)由上節(jié)課的內容可知函數(shù)y=x2的導數(shù)為的導數(shù)為y=2x,那那么么,對于一般的二次函數(shù)對于一般的二次函數(shù)y=ax2+bx+c,它的導數(shù)又是它的導數(shù)又是什么呢什么呢?這就需要用到函數(shù)的四則運算的求導法則這就需要用到函數(shù)的四則運算的求導法則.1.和和(差差)的導數(shù)的導數(shù):法則法則1:兩個函數(shù)的和兩個函數(shù)的和(差差)的導數(shù)的導數(shù),等于這兩個函數(shù)的導等于這兩個函數(shù)的導 數(shù)的和數(shù)的和(差差),即即:.)(vuvu 證證:),()()(xvxuxf

3、y ;)()()()()()()()(vuxvxxvxuxxuxvxuxxvxxuy ,xvxuxy );()(limlim)(limlim0000 xvxuxvxuxvxuxyxxxx 即即:.)(vuvuy 2.積的導數(shù)積的導數(shù):法則法則2:兩個函數(shù)的積的導數(shù)兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)等于第一個函數(shù)的導數(shù) 乘第二個函數(shù)乘第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù) 的導數(shù)的導數(shù) ,即即.)(vuvuuv 證證:),()()(xvxuxfy ),()()()()()()()()()()()(xvxuxxvxuxxvxuxxvxxuxvxuxxvxxuy .)

4、()()()()()(xxvxxvxuxxvxxuxxuxy 因為因為v(x)在點在點x處可導處可導,所以它在點所以它在點x處連續(xù)處連續(xù),于是當于是當x0時時, v(x+x) v(x).從而從而:);()()()()()(lim)()()()(limlim000 xvxuxvxuxxvxxvxuxxvxxuxxuxyxxx 即即:.)(vuvuuvy 3.商的導數(shù)商的導數(shù):推論推論:常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù),等于常數(shù)乘函數(shù)的導數(shù)等于常數(shù)乘函數(shù)的導數(shù),即即:.)(uCCu 法則法則3:兩個函數(shù)的商的導數(shù)兩個函數(shù)的商的導數(shù),等于分子的導數(shù)與分母等于分子的導數(shù)與分母 的積的積,減去分

5、母的導數(shù)與分子的積減去分母的導數(shù)與分子的積,再除以分母再除以分母 的平方的平方,即即:).0()(2 vvvuvuvu考慮考慮:你能否仿照積的導數(shù)的推導過程你能否仿照積的導數(shù)的推導過程,證明商的導數(shù)證明商的導數(shù) 公式嗎公式嗎?有了前面學過的常見函數(shù)的導數(shù)公式與函數(shù)的四則有了前面學過的常見函數(shù)的導數(shù)公式與函數(shù)的四則運算的求導法則運算的求導法則,就可以直接運用這些公式求得由冪就可以直接運用這些公式求得由冪函數(shù)的和、差、積、商構成的函數(shù)函數(shù)的和、差、積、商構成的函數(shù),而不必從導數(shù)定而不必從導數(shù)定義出發(fā)了義出發(fā)了.三、例題選講：三、例題選講：例例1:求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù):.cossinco

6、ssin)7(;)1)(1()6(;sin1cos)5(;1)32()4(;tan)3(;1)2(;21)1(33222222xxxxxyxxxyxxxxyxxyxyxxyxxy 答案答案:;41) 1 (32xxy ;)1 (1)2(222xxy ;cos1)3(2xy ;16)4(23xxxy ;3sin2cossincos2)5(32322xxxxxxxxxy ;)1()1(321)6(422xxxxy .)cos(sincoscossin1)7(22xxxxxxy 例例2:(1)命題甲命題甲:f(x),g(x)在在x=x0處均可導處均可導;命題乙命題乙:F(x)= f(x)+g(x)在

7、在x=x0處可導處可導,則甲是乙成立的則甲是乙成立的( ) (A)充分不必要條件充分不必要條件 (B)必要不充分條件必要不充分條件 (C)充分必要條件充分必要條件 (D)即不充分也不必要條即不充分也不必要條件件 A(2)下列函數(shù)在點下列函數(shù)在點x=0處沒有切線的是處沒有切線的是( ) (A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx (C)y=xsinx (D)y= +cosxxD(3)假設假設 則則f(x)可能是下式中的可能是下式中的( ),1)(2xxf 3321)(2)(1)(1)(xDxCxxBxA B(4)點點P在曲線在曲線y=x3-x+2/3上移動時上移動時,過點過點P的曲線的曲

8、線的的 切線的傾斜角的取值范圍是切線的傾斜角的取值范圍是( ),432, 0)( 43,2()2, 0)(),43)( 43, 0)( DCBAD例例3:某運動物體自始點起經過某運動物體自始點起經過t秒后的距離秒后的距離s滿足滿足s= -4t3+16t2. (1)此物體什么時刻在始點此物體什么時刻在始點? (2)什么時刻它的速度為零什么時刻它的速度為零?441t解解:(1)令令s=0,即即1/4t4-4t3+16t2=0,所以所以t2(t-8)2=0,解解得得: t1=0,t2=8.故在故在t=0或或t=8秒末的時刻運動物體在秒末的時刻運動物體在 始點始點. 即即t3-12t2+32t=0,

9、解得解得:t1=0,t2=4,t3=8, 0)(,3212)(23 tstttts令令故在故在t=0,t=4和和t=8秒時物體運動的速度為零秒時物體運動的速度為零.例例4:已知曲線已知曲線S1:y=x2與與S2:y=-(x-2)2,若直線若直線l與與S1,S2均均 相切相切,求求l的方程的方程.解解:設設l與與S1相切于相切于P(x1,x12),l與與S2相切于相切于Q(x2,-(x2-2)2).對于對于 則與則與S1相切于相切于P點的切線方程為點的切線方程為y-x12=2x1(x-x1),即即y=2x1x-x12.,2,1xyS 對于對于 與與S2相切于相切于Q點的切線方程為點的切線方程為y

10、+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即即y=-2(x2-2)x+x22-4.),2( 2,2 xyS因為兩切線重合因為兩切線重合,.02204) 2( 222121222121 xxxxxxxx或或若若x1=0,x2=2,則則l為為y=0;若若x1=2,x2=0,則則l為為y=4x-4.所以所求所以所求l的方程為的方程為:y=0或或y=4x-4.注注:此題為此題為p.238第第12題題.例例5:在曲線在曲線y=x3-6x2-x+6上上,求斜率最小的切線所對應求斜率最小的切線所對應 的切點的切點,并證明曲線關于此點對稱并證明曲線關于此點對稱.解解:由于由于 ,故當故當x=2時時, 有

11、最小值有最小值.13) 2( 3112322 xxxyy 而當而當x=2時時,y=-12,故斜率最小的切線所對應的切點故斜率最小的切線所對應的切點為為A(2,-12).記曲線為記曲線為S,設設P(x,y)S,則有則有y=x3-6x2-x+6.又點又點P關于點關于點A的對稱點為的對稱點為Q(4-x,-24-y),下證下證QS.將將4-x代入解析式代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x+12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30=-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y.即即Q(4-x,-24-y)的坐標是的坐標是S的方程的解的方

12、程的解,于是于是QS.這就證明了曲線這就證明了曲線S關于點關于點A中心對稱中心對稱.練習練習1:已知曲線已知曲線C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲線求曲線C上橫上橫坐坐標為標為1的點的切線方程的點的切線方程;(2)第第(1)小題中切線與曲線小題中切線與曲線C是是否還有其它公共點否還有其它公共點?如果有如果有,求出這些點的坐標求出這些點的坐標. 解解:(1)把把x=1代入曲線代入曲線C的方程得切點的方程得切點(1,-4). ,所以切線的斜率所以切線的斜率k=12-6-18=-12.故切線方程為故切線方程為y+4=-12(x-1),即即y=-12x+8.xxxy1861223 .32,

13、 2, 1, 0)23)(2() 1(, 04129238124923)2(2234234 xxxxxxxxxyxxxy即即由由).0 ,32(),32, 2( ,)4, 1(:03244923234 切點切點即公共點為即公共點為，求得求得代入代入yxxxy故除切點以外故除切點以外,還有兩個交點還有兩個交點(-2,32),(2/3,0). 事實上事實上,在曲線在曲線y=x3+ax2+bx+c是只有橫坐標為是只有橫坐標為-a/3的唯一一點的唯一一點M,過該點的切線與曲線除切點外不再有過該點的切線與曲線除切點外不再有其它公共點其它公共點.而點而點M實際上就是這條三次曲線的對稱中實際上就是這條三次曲

14、線的對稱中心心.練習練習2:設三次曲線設三次曲線y=x3-3x2/2-3x過原點的切線過原點的切線l1,平行平行 于于l1的另一條切線為的另一條切線為l2. (1)求求l1、l2的方程的方程; (2)當當l1、l2的斜率為的斜率為m時時,求斜率為求斜率為-m的兩切線的兩切線 l3、l4的方程的方程. (3)求求l1、l2 、l3、l4所圍成的平行四邊形的面積所圍成的平行四邊形的面積.答案答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2.(2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10.(3).9/8.例例6:用求導的方法求和用求導的方法求和:).1() 1(3221) 2();1(

15、321)() 1 (212 xnxnxSxnxxxxPnnnn對對(1)由求導公式由求導公式 可聯(lián)想到它是另一個和式可聯(lián)想到它是另一個和式x+x2+x3+xn的導數(shù)的導數(shù).,)(1 nnnxx),1(1)1()1(32 xxxxxxxxnn解：解：.)1 () 1(1)1 ()1)()1 ()()1()()(21211132xnxxnxxxxxxxxxxxxxxxPnnnnnnn .)1(2)1()1(2)1( )()2(3121xxnnxnxnnxPSnnnnn 例例7:已知拋物線已知拋物線C1:y=x2+2x和和C2:y=x2+a,如果直線如果直線l 同時是同時是C1和和C2的切線的切線,

16、稱稱l是是C1和和C2的公切線的公切線,公切公切線線 上兩個切點之間的線段上兩個切點之間的線段,稱為公切線段稱為公切線段. ()a取什么值時取什么值時,C1和和C2有且僅有一條公切線有且僅有一條公切線?寫寫出出 此公切線的方程此公切線的方程; ()若若C1和和C2有兩條公切線有兩條公切線,證明相應的兩條公切線證明相應的兩條公切線 段互相平分段互相平分.(2019天津高考天津高考(文文)題題)()()解解: :函數(shù)函數(shù)y=x2+2xy=x2+2x的導數(shù)的導數(shù)y=2x+2,y=2x+2,曲線曲線C1C1在點在點P P (x1,x12+2x1) (x1,x12+2x1)的切線方程是的切線方程是y-y

17、-(x12+2x1)=(2x1+2)(x12+2x1)=(2x1+2) (x-x1), (x-x1),即即 y=(2x1+2)x-x12y=(2x1+2)x-x12; ;函數(shù)函數(shù)y=-x2+a的導數(shù)的導數(shù)y=-2x,曲線曲線C2 在點在點Q(x2,-x22+a)的切線方程是的切線方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2).即即y=-2x2x+x22+a . 如果直線如果直線l是過是過P和和Q的公切線的公切線,那么那么式和式和式式都是都是l的方程的方程. 所以所以 消去消去x2得方得方程程:2x12+2x1+1+a=0. ,222222121 axxxx若判別式若判別式=4=44 42(1

18、+a)=02(1+a)=0時時, ,即即a=-1/2a=-1/2時解得時解得x1=-1/2,x1=-1/2,此時點此時點P P與與Q Q重合重合. . 即當即當a=-1/2a=-1/2時時C1C1和和C2C2有且僅有一條公切線有且僅有一條公切線, ,由由得得公切線方程為公切線方程為y=x-1/4.y=x-1/4. ()()證證: :由由()()可知可知: :當當a-1/2a-1/2時時C1C1和和C2C2有兩條公切線有兩條公切線. .設一條公切線上切點為設一條公切線上切點為:P(x1,y1),Q(x2,y2).其中其中P在在C1上上,Q在在C2上上,則有則有: x1+x2=-1,y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x12+2x1-(x1+1)2+a=-1+a.故線段故線段PQ的中點為的中點為: ).21,21(a 同理同理,另一條公切線段另一條公切線段PQ的中點也是的中點也是).21,21(a 所以公切線段所以公切線段PQ和和PQ互相平分互相平分.四、小結：四、小結：五、作業(yè)：五、作業(yè)：第一次第一次p.235236課后強化訓練第課后強化訓練第110題題;第二次第二次p.23723