函數(shù)的最大值和最小值及應(yīng)用舉例ppt課件

1、3.3 3.3 函數(shù)的最大值和最小值及應(yīng)用舉例函數(shù)的最大值和最小值及應(yīng)用舉例主要內(nèi)容主要內(nèi)容1.1.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值. .2.2.函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且有唯一極值點(diǎn)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且有唯一極值點(diǎn)時(shí)的極大值和極小值時(shí)的極大值和極小值. .3.3.具體應(yīng)用舉例具體應(yīng)用舉例. . 如果如果函數(shù)函數(shù)f (x)的最大的最大(小小)值在開(kāi)區(qū)間值在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)取得，則最大內(nèi)取得，則最大最小者即為最小者即為f (x)在在a, b上的最小值。上的最小值。 求出函數(shù)在求出函數(shù)在(a, b)內(nèi)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值，內(nèi)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值， 而不可

2、導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，而不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)的最大值與最小值只可能在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)的最大值與最小值只可能在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)，或者在區(qū)間的端點(diǎn)內(nèi)，或者在區(qū)間的端點(diǎn) x = a,x = b處取得。處取得。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = f (x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，上連續(xù)， 在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間(a, b) 函數(shù)在開(kāi)區(qū)間函數(shù)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)，內(nèi)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)，(小小)值點(diǎn)一定是函數(shù)的極大值點(diǎn)一定是函數(shù)的極大(小小)值點(diǎn)，又因?yàn)榭蓪?dǎo)值點(diǎn)，又因?yàn)榭蓪?dǎo) f (x) 在在 a, b上的最大值，上的最大值，由此，由此， 將它們與端點(diǎn)的將它們與端點(diǎn)的函數(shù)

3、值函數(shù)值 f (a),f (b)加以比較，其中最大者即為加以比較，其中最大者即為一、閉區(qū)間上函數(shù)的最大值和最小值一、閉區(qū)間上函數(shù)的最大值和最小值1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比比較出最大值及最小值。較出最大值及最小值。最大最大( (小小) )值的求法值的求法oxyoxybaoxyabab步驟步驟.,)(,)(與最小值存在與最小值存在上的最大值上的最大值在在上連續(xù)，那上連續(xù)，那么么在在若函數(shù)若函數(shù)baxfbaxf最大值最大值M = maxf (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b)最

4、小值最小值m = minf (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b)其中其中 xi 為為 f (x)在在(a,b)內(nèi)的所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)。內(nèi)的所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)。即即例例1 1解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值與最小值上的最大值與最小值的在的在求函數(shù)求函數(shù) xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx計(jì)算計(jì)算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f比較得比較得，最大值最大值142)4( f. 7)1( f最最小小值值14123223 xxxy二、函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且有唯一極二、函數(shù)在某

5、區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且有唯一極值點(diǎn)的情形值點(diǎn)的情形 如果如果f(x)在一個(gè)區(qū)間在一個(gè)區(qū)間(有限或無(wú)限，開(kāi)或閉有限或無(wú)限，開(kāi)或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)駐點(diǎn)x0，并且這個(gè)駐點(diǎn)，并且這個(gè)駐點(diǎn)x0是函數(shù)是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，那么，當(dāng)?shù)臉O值點(diǎn)，那么，當(dāng)f(x0)是是極大值時(shí)，極大值時(shí)，f(x0)就是就是f(x)在該區(qū)間上的最大值；當(dāng)在該區(qū)間上的最大值；當(dāng)f(x0)是極小值是極小值時(shí)，時(shí)，f(x0)就是就是f(x)在該區(qū)間上的最小值在該區(qū)間上的最小值 f(x0) Oa x0 b x yf(x ) y f(x0) Oa x0 b x yf(x ) y例例2 2.最大值342的的求函數(shù)求函數(shù) xxy解

6、解,R函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?.2242 xxy. 2, 0 xy得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)令令顯然：顯然：.2是函數(shù)的極大值點(diǎn)是函數(shù)的極大值點(diǎn) x 由于函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一極值點(diǎn)，所以由于函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一極值點(diǎn)，所以函數(shù)的極大值就算函數(shù)的最大值函數(shù)的極大值就算函數(shù)的最大值. .所以最大值為：所以最大值為：. 12 xy三、具體應(yīng)用舉例三、具體應(yīng)用舉例 應(yīng)當(dāng)指出，實(shí)際問(wèn)題中，往往根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)就可應(yīng)當(dāng)指出，實(shí)際問(wèn)題中，往往根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)就可以斷定函數(shù)以斷定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值，而且一定在定義確有最大值或最小值，而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得區(qū)間內(nèi)部取得.這時(shí)如果這時(shí)如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部

7、只有一個(gè)駐在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)點(diǎn)x0，那么不必討論，那么不必討論f(x0) 是否是極值，就可以斷定是否是極值，就可以斷定 f(x0)是最大值或最小值是最大值或最小值例例3 3 鐵路線上鐵路線上AB段的距離為段的距離為100km.工廠工廠C距距A處為處為20km,AC垂直于垂直于AB為了運(yùn)輸需要，要在為了運(yùn)輸需要，要在AB線上線上選定一點(diǎn)選定一點(diǎn)D向工廠修筑一條公路已知鐵路每公里貨向工廠修筑一條公路已知鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比3:5為了為了使貨物從供應(yīng)站使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省，問(wèn)的運(yùn)費(fèi)最省，問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)點(diǎn)應(yīng)選在何

8、處？選在何處？100kmDABC20km先求先求y對(duì)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)：的導(dǎo)數(shù)：解方程解方程y0，得，得x15(km)其中以其中以y|x15380k為最小，因此當(dāng)為最小，因此當(dāng)ADx15km時(shí)，總運(yùn)費(fèi)為最省時(shí)，總運(yùn)費(fèi)為最省設(shè)設(shè)ADx (km)，那么，那么 DB100 x ， 設(shè)從設(shè)從B點(diǎn)到點(diǎn)到C點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為y，那么，那么y5kCD3kDB (k是某個(gè)正數(shù)是某個(gè)正數(shù))，.40020222xxCD 2 54003100 0100ykxkxx即即 340052xxky,511500,380,4002100150 kykykyxxx由由于于解解并且電路必有最大并且電路必有最大輸出功率，輸出

9、功率，)( 如圖如圖最大？最大？為多大時(shí)，輸出功率為為多大時(shí)，輸出功率為求負(fù)載電阻求負(fù)載電阻，內(nèi)阻為內(nèi)阻為已知電源的電壓為正，已知電源的電壓為正，如下圖所示的電路中，如下圖所示的電路中，Rr , 32rRRrERP 求導(dǎo)可得求導(dǎo)可得 , )0( )(2 RRrRERP從而可得函數(shù)從而可得函數(shù)解解由電學(xué)知識(shí)可知，由電學(xué)知識(shí)可知， 消耗消耗在負(fù)載電阻在負(fù)載電阻R上的功率為上的功率為 P = I2R, 其中其中I為回路中的為回路中的rREI 根據(jù)歐姆定律又有根據(jù)歐姆定律又有 ，rRRP , 0)( 得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)令令所以當(dāng)負(fù)載電阻與內(nèi)阻相等時(shí)，所以當(dāng)負(fù)載電阻與內(nèi)阻相等時(shí)，由于在由于在(0,+)內(nèi)函數(shù)只

10、有一個(gè)駐點(diǎn)，內(nèi)函數(shù)只有一個(gè)駐點(diǎn)，輸出功率最大。輸出功率最大。例例4 4電流強(qiáng)度。電流強(qiáng)度。在解決最大在解決最大(小小)值的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)值的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí),可以采取以下步驟：可以采取以下步驟： 再利用變量再利用變量之間的等量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式之間的等量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式 y = f (x)， 則可根則可根據(jù)前面求最大據(jù)前面求最大(小小)值的一般方法求解。值的一般方法求解。(1)將問(wèn)題中能取得最大將問(wèn)題中能取得最大(小小)值的變量設(shè)為函數(shù)值的變量設(shè)為函數(shù) y， 而將與函數(shù)有關(guān)聯(lián)的條件變量設(shè)為而將與函數(shù)有關(guān)聯(lián)的條件變量設(shè)為 x，并確定并確定(2)求出函數(shù)再定義域內(nèi)的駐點(diǎn)，求出函數(shù)再定義域內(nèi)的駐點(diǎn)， 如果駐點(diǎn)只有一個(gè)，如果駐點(diǎn)只有一個(gè)， 并且由題意可知函數(shù)在定義域內(nèi)必定存在最大值并且由題意可知函數(shù)在定義域內(nèi)必定存在最大值或最小值，則該駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就是問(wèn)題所求或最小值，則該駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就是問(wèn)題所求 的最大值或最小值；的最大值或最小值； 如果駐點(diǎn)不止一個(gè)，如果駐點(diǎn)不止一個(gè)，函數(shù)的定義