可測(cè)集的判定方法及其性質(zhì)大學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

1、江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文可測(cè)集的判定方法及其性質(zhì)Determination Methods and Properties ofthe Measurable Set姓 名： 學(xué) 號(hào)： 學(xué) 院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)老師： 完成時(shí)間： 2011年4月20日 可測(cè)集的判定方法及其性質(zhì) 【摘要】 在本論文中，我們介紹了基于Caratheodory測(cè)度理論上的Lebesgue測(cè)度理論.從可測(cè)集的定義出發(fā)，我們討論可測(cè)集的性質(zhì).我們還討論了可測(cè)集和Borel集之間的關(guān)系.為了更好地了解可測(cè)集的性質(zhì)，我們?cè)谖闹薪o出一些例子.通過(guò)寫(xiě)這篇論文，我對(duì)可測(cè)集的性質(zhì)及其結(jié)

2、構(gòu)有了更深刻全面的了解.【關(guān)鍵字】測(cè)度 可測(cè)集 性質(zhì) Determination Methods and Properties of the Measurable Set *Abstract In this paper, we introduce the Lebesgue measure theory which is based on the Caratheodory measure theory. From the definitions of measurable set, we discuss the properties of measurable set. We also disc

3、uss the relationship between measurable set and Borel set. In order to obtain a good understanding the properties of measurable set, we give some examples in the paper. Through writing this paper, I get a comprehensive and profound understanding about the construction and properties of measurable se

4、t.Keywords Measure Measurable set Properties 目錄 TOC * MERGEFORMAT 1.引言12.可測(cè)集的定義23.可測(cè)集的性質(zhì)4(1)零測(cè)集4(2)可測(cè)集關(guān)于集合的運(yùn)算性質(zhì)5(3)單調(diào)的可測(cè)集序列94.可測(cè)集類及可測(cè)集的構(gòu)成11(1)可測(cè)集類11(2)可測(cè)集與 SKIPIF 1 0 集的關(guān)系14參考文獻(xiàn)、致謝201 引言實(shí)變函數(shù)論的核心問(wèn)題是對(duì)我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中已學(xué)過(guò)的黎曼（ SKIPIF 1 0 ）積分進(jìn)行推廣，而建立一種應(yīng)用范圍更廣，使用起來(lái)更靈活、便利的新的積分理論即 SKIPIF 1 0 積分理論.數(shù)學(xué)分析中 SKIPIF 1 0 積分基

5、本上是處理幾乎連續(xù)的函數(shù)，但隨著理論的發(fā)展， SKIPIF 1 0 積分理論的缺陷變得愈來(lái)愈明顯，主要表面在以下兩個(gè)方面：一方面是對(duì)被積函數(shù)的連續(xù)性要求太強(qiáng)，以致于著名的 SKIPIF 1 0 函數(shù)這樣一種非常簡(jiǎn)單的函數(shù)都不可積；另一方面是應(yīng)用起來(lái)有很大的局限性，這種局限性突出表現(xiàn)在可積函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分，以及可積函數(shù)列的積分與極限的可交換性方面，一般要求函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)要具有一致收斂性，而這一要求在實(shí)際問(wèn)題中常常得不到滿足，或雖然滿足要想驗(yàn)證又非常的繁復(fù)，因此，無(wú)論在理論方面還是在實(shí)際應(yīng)用方面改進(jìn) SKIPIF 1 0 積分的定義使之適用更廣泛的函數(shù)類是很有必要的.為此,數(shù)學(xué)家通過(guò)努力建

6、立了一種新型的積分 SKIPIF 1 0 積分. SKIPIF 1 0 積分和 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 積分的基礎(chǔ),是要對(duì) SKIPIF 1 0 中一般點(diǎn)集 SKIPIF 1 0 給出一種度量.它是長(zhǎng)度、面積和體積等概念的推廣.從1898年開(kāi)始, SKIPIF 1 0 建立了一維 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 提出在一般 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 外測(cè)度理論上的 SKIPIF 1 0 測(cè)度理論.2 可測(cè)集的定義1 稱 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的可數(shù)開(kāi)覆蓋為點(diǎn)集 SKIPIF

7、1 0 的 SKIPIF 1 0 外測(cè)度，簡(jiǎn)稱外測(cè)度，記作 SKIPIF 1 0 .1 外側(cè)度具有如下性質(zhì)：（1）對(duì)任意 SKIPIF 1 0 都有 SKIPIF 1 0 （非負(fù)性）；（2）設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 （單調(diào)性）；（3）設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 （次可加性）；（4）設(shè) SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 （距離可加性）. 1 稱 SKIPIF 1 0 中的點(diǎn)集 SKIPIF 1 0 為可測(cè)集，如果對(duì)于任意 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 （1）可測(cè)集的外測(cè)度就稱為

8、它的 SKIPIF 1 0 測(cè)度，簡(jiǎn)稱測(cè)度，記作 SKIPIF 1 0 .測(cè)度為零的集合稱為零測(cè)集. SKIPIF 1 0 中所有可測(cè)集組成的集合稱為可測(cè)集類.上述（1）式稱為 SKIPIF 1 0 條件，它等價(jià)于：對(duì)任意 SKIPIF 1 0 都有 SKIPIF 1 0 （2）事實(shí)上，若（1）式成立，則取 SKIPIF 1 0 反之，若（2）式成立，令 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ,便有（1）式成立.注: 要證明點(diǎn)集 SKIPIF 1 0 可測(cè),只需證明不等式 SKIPIF 1 0 成立，因?yàn)橄喾吹牟坏仁娇偸浅闪?例11 證明對(duì)任意可測(cè)集 SKIPIF

9、1 0 和 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 . 證明 SKIPIF 1 0 可測(cè)，由 SKIPIF 1 0 條件對(duì)任意的 SKIPIF 1 0 ，有 SKIPIF 1 0 ,取 SKIPIF 1 0 ,所以 SKIPIF 1 0 (3)取 SKIPIF 1 0 (4)綜合（3），（4），得到 SKIPIF 1 0 .注: 可測(cè)集的定義方式有多種， SKIPIF 1 0 原有的定義是通過(guò)內(nèi)測(cè)度與外測(cè)度給出的，外測(cè)度如前所述，有界點(diǎn)集 SKIPIF 1 0 的內(nèi)測(cè)度定義為 SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 為包含 SKIPIF 1 0 的開(kāi)區(qū)間. SKIPIF

10、1 0 的內(nèi)測(cè)度記作 SKIPIF 1 0 .由于 SKIPIF 1 0 是包含 SKIPIF 1 0 的開(kāi)集無(wú)限外縮逼近的度量的極限值,所以 SKIPIF 1 0 實(shí)際上是包含于 SKIPIF 1 0 內(nèi)的閉集向外無(wú)限膨脹的度量的逼近值,類似于用圓的內(nèi)接正多邊形面積逼近圓的面積,內(nèi)脹于外縮能達(dá)到統(tǒng)一的值,這個(gè)值就自然是點(diǎn)集 SKIPIF 1 0 的度量.因此可以給出:1 設(shè) SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 中有界點(diǎn)集，如果 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 ，則稱 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 中無(wú)界點(diǎn)集,若對(duì)于任何開(kāi)區(qū)間

11、 SKIPIF 1 0 ,有界集 SKIPIF 1 0 都是可測(cè)的,則稱 SKIPIF 1 0 是可測(cè)的. 可測(cè)集的外測(cè)度稱為它的測(cè)度.注: 定義2.2和定義2.3是分別從兩個(gè)方面對(duì)可測(cè)集下的定義,可以證明這兩個(gè)定義是等價(jià)的,但是由于定義2.3中有界集和無(wú)界集受到不同對(duì)待,而且同時(shí)出現(xiàn)內(nèi)外兩種內(nèi)外兩種測(cè)度,使用起來(lái)很不方便 ,因此一般以定義2.2作為可測(cè)集的正式定義.3 可測(cè)集的性質(zhì)(1) 零測(cè)集例21 若 SKIPIF 1 0 的外側(cè)度為零，則 SKIPIF 1 0 是可測(cè)集.證明 對(duì) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 , 從而 SKIPIF 1 0 .所

12、以 SKIPIF 1 0 可測(cè).注: 測(cè)度為零的點(diǎn)集就為零測(cè)集.顯然我們有:(1)零測(cè)集的子集也是零測(cè)集.(2)有限個(gè)或可數(shù)個(gè)零測(cè)集的并集也是可測(cè)集. 例31 可測(cè)集與零測(cè)集的并集也是可測(cè)集.證明 設(shè) SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 中可測(cè)集， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 中零測(cè)集.因?yàn)?SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .由定義知 SKIPIF 1 0 可測(cè). （2）可測(cè)集關(guān)于集合運(yùn)算的性質(zhì).1 (1)若 SKIPIF 1 0

13、 可測(cè),則 SKIPIF 1 0 可測(cè).(2)若 SKIPIF 1 0 可測(cè),則 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 都可測(cè). 證明 (1)由于 SKIPIF 1 0 , 故 SKIPIF 1 0 可測(cè)能推出 SKIPIF 1 0 可測(cè) .(2)對(duì)任意 SKIPIF 1 0 ,它均可分解為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ,（如上圖 ） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 可測(cè).集.可測(cè)集.顯然 SKIPIF 1 0 互不相

14、交，且 SKIPIF 1 0 ,故由 SKIPIF 1 0 的可測(cè)性，得 SKIPIF 1 0 ,同理，取 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 ，從而有 SKIPIF 1 0 ，又因 SKIPIF 1 0 可測(cè)，所以取 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，聯(lián)立以上三式，得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 可測(cè).由De Morgan公式， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 也可測(cè).又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 也可測(cè).注: 設(shè) SKIPIF 1 0 則下列三種說(shuō)法是等價(jià)的:（1） SK

15、IPIF 1 0 是可測(cè)集;（2） SKIPIF 1 0 是可測(cè)集;（3）對(duì)任意 SKIPIF 1 0 .定理1 若 SKIPIF 1 0 為可測(cè)集 SKIPIF 1 0 ,則 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ,則有 SKIPIF 1 0 (5)證明 首先考慮 SKIPIF 1 0 兩兩不相交的情形.我們先證明:對(duì)任意的 SKIPIF 1 0 ,有 SKIPIF 1 0 (6)事實(shí)上,由于 SKIPIF 1 0 ,在(2)式中取 SKIPIF 1 0 即可.進(jìn)一步,很容易將(6)推廣到 SKIPIF 1 0 (7)其中 SKIPIF 1 0 為任意正整數(shù).

16、現(xiàn)證明 SKIPIF 1 0 可測(cè).對(duì)任意 SKIPIF 1 0 ,不妨設(shè) SKIPIF 1 0 ,則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 可測(cè)，故 SKIPIF 1 0 ，于是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 ，從（7）式知 SKIPIF 1 0 ，故令 SKIPIF 1 0 ,知 SKIPIF 1 0 收斂，所以有 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 可測(cè).在(7)式中取 SKIPIF 1 0 ,有 SKIPIF 1 0

17、(8)1，立即得到（5）式.其次,考察一般可測(cè)集序列 SKIPIF 1 0 ,我們令 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 是互不相交的可測(cè)集序列.而由 SKIPIF 1 0 ,即知 SKIPIF 1 0 是可測(cè)的, SKIPIF 1 0 也是可測(cè)的.定理證畢.從(7)式可以推出:1 設(shè) SKIPIF 1 0 是互不相交的可測(cè)集序列,則對(duì)任意 SKIPIF 1 0 ,有 SKIPIF 1 0 (9)例41 設(shè) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 是互不相交的可測(cè)集， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .證明 SKI

18、PIF 1 0 .證明 由定理3.2, SKIPIF 1 0 可測(cè),對(duì)任意 SKIPIF 1 0 ,有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .證畢.(3)單調(diào)的可測(cè)集序列 1 設(shè) SKIPIF 1 0 是可測(cè)集序列,且 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 .則 SKIPIF 1 0 也是可測(cè)的,且 SKIPIF 1 0 （10）證明 因?yàn)?SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 可測(cè).若存在l，使 SKIPIF 1 0 ，則（10）式顯然成立.現(xiàn)設(shè) SKIP

19、IF 1 0 , SKIPIF 1 0 .由 SKIPIF 1 0 的單調(diào)性及可測(cè)性， SKIPIF 1 0 均可測(cè)且不相交,所以有 SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ,則 SKIPIF 1 0 .再應(yīng)用測(cè)度的可數(shù)可加性，有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 .例56 設(shè) SKIPIF 1 0 是一列可測(cè)集，證明: SKIPIF 1 0 .證明 先將求集合序列下限集的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求單調(diào)集列極限的運(yùn)算,然后利用測(cè)度的性質(zhì)進(jìn)行必要的討論. 由于

20、SKIPIF 1 0 ,記 SKIPIF 1 0 ,這樣的 SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0 )是單調(diào)增加的,且 SKIPIF 1 0 ,所以 SKIPIF 1 0 ，對(duì)后一式兩邊取下限,注意到左邊實(shí)際上存在極限,故有 SKIPIF 1 0 .綜上所述得 SKIPIF 1 0 .1 設(shè) SKIPIF 1 0 是可測(cè)集序列,且 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 .則 SKIPIF 1 0 也是可測(cè)的.又設(shè) SKIPIF 1 0 ,則 SKIPIF 1 0 . 證明 由 SKIPIF 1 0 的單調(diào)性知 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 是遞減數(shù)列，故

21、SKIPIF 1 0 存在.因?yàn)?SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 是遞增可測(cè)集序列.由定理3.4,有 SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 ,故上式可以寫(xiě)為 SKIPIF 1 0 .即得欲證.例66 設(shè) SKIPIF 1 0 是一列可測(cè)集, SKIPIF 1 0 是某自然數(shù), SKIPIF 1 0 ,證明： SKIPIF 1 0 .證明 由于 SKIPIF 1 0 ,記 SKIPIF 1 0 ,這樣的 SKIPIF 1 0 是單調(diào)減少集列，且 SKIPIF 1 0 .由題設(shè)知, SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ,所以

22、SKIPIF 1 0 .證畢.注: 從以上各定理可知,點(diǎn)集的可測(cè)性關(guān)于可數(shù)并、可數(shù)交、差、余和極限運(yùn)算是封閉的,有了這些性質(zhì),我們可以從已知的可測(cè)集去發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造更多的可測(cè)集,由一些可測(cè)集去研究另外的可測(cè)集.4 可測(cè)集類及可測(cè)集的構(gòu)成(1)可測(cè)集類在上一節(jié)中,給出了 SKIPIF 1 0 中可測(cè)集的定義，并且知道了可測(cè)集的一些性質(zhì)，但是除了零測(cè)集外，我們還不知道哪些具體的集合是可測(cè)的.本節(jié)要研究這個(gè)問(wèn)題.由于我們是將測(cè)度作為長(zhǎng)度、開(kāi)始.引理1 設(shè) SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 中的開(kāi)區(qū)間,則 SKIPIF 1 0 .定理1 SKIPIF 1 0 中任何開(kāi)區(qū)間 SKIPIF 1

23、0 都是可測(cè)的,且 SKIPIF 1 0 .證明 由上面的引理1,只要證明 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 對(duì)任意 SKIPIF 1 0 ，要證明 SKIPIF 1 0 （1） 令 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 )| SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 則當(dāng) SKIPIF 1 0 充分大， SKIPIF 1 0 從而 SKIPIF 1 0 ，由外測(cè)度的距離可加性,有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，如果能證明 SKIPIF

24、 1 0 ，則(1)式就可以通過(guò)前式取極限得到,因?yàn)?SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，現(xiàn)來(lái)證 SKIPIF 1 0 .令 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 )| SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 它將 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ,其中 SKIPIF 1 0 是與 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 的其余部分,同樣可分別作出與之類似的開(kāi)區(qū)間蓋住.最終, SKIPIF 1 0 可用 SKIPIF 1 0 個(gè)體積不大于 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0

25、 ,所以 SKIPIF 1 0 .令 SKIPIF 1 0 ,則有 SKIPIF 1 0 于是(1)式成立,故 SKIPIF 1 0 可測(cè). 注: 從定理4.1可以看出, SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 中任何區(qū)間都是可測(cè)的,且體積就是它的測(cè)度.下面研究在 SKIPIF 1 0 中有哪些集合是可測(cè)的.用分割函數(shù)值域的方法作積分和時(shí),出現(xiàn)了形如 SKIPIF 1 0 的點(diǎn)集.我們知道,連續(xù)函數(shù)是 SKIPIF 1 0 可積的，在新的積分中也應(yīng)該可積因此,當(dāng) SKIPIF 1 0 連續(xù)時(shí)相應(yīng)的 SKIPIF 1 0 應(yīng)該可測(cè). SKIPIF 1 0 為兩個(gè)開(kāi)集之差.因此開(kāi)集應(yīng)該是可測(cè)的

26、.下面證明, SKIPIF 1 0 中的開(kāi)集是可測(cè)集.首先,給出 SKIPIF 1 0 中開(kāi)集的構(gòu)造定理.引理1 SKIPIF 1 0 中非空開(kāi)集 SKIPIF 1 0 都可以表示成可數(shù)多個(gè)互不相交的左開(kāi)右閉區(qū)間的并,即 SKIPIF 1 0 ,其中 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 )| SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 .證明 對(duì)每一個(gè)正整數(shù) SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 都可分解為可數(shù)多個(gè)形如 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 )| SK

27、IPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ,2, SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0 為整數(shù)) （2）的互不相交的左開(kāi)右閉的區(qū)間.設(shè) SKIPIF 1 0 時(shí)上述這些區(qū)間中完全包含在 SKIPIF 1 0 內(nèi)的是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （有限個(gè)或可數(shù)個(gè)）.對(duì)于 SKIPIF 1 0 ,用 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 表示上述那些區(qū)間中完全被 SKIPIF 1 0 包含,但不被任何 SKIPIF 1 0 包含的區(qū)間(有限個(gè)或可數(shù)個(gè)).這樣可以得到可數(shù)多個(gè)左開(kāi)右閉的區(qū)間 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0

28、 .顯然它們是互不相交的, SKIPIF 1 0 .現(xiàn)對(duì)任意 SKIPIF 1 0 ,因?yàn)镚是開(kāi)集,故存在 SKIPIF 1 0 ,使得以x為中心的 SKIPIF 1 0 為半徑的鄰域 SKIPIF 1 0 .于是,當(dāng) SKIPIF 1 0 充分大時(shí)，（2）式中那些區(qū)間中包含x的那個(gè)一定完全被包含在 SKIPIF 1 0 內(nèi)，從而 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 .1 如果點(diǎn)集 SKIPIF 1 0 是可數(shù)多個(gè)開(kāi)集的交,則稱 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 是可數(shù)多個(gè)閉的并,則稱 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 集.由開(kāi)集

29、出發(fā),通過(guò)取余集,作可數(shù)交、可數(shù)并而成的集合類稱為 SKIPIF 1 0 集類，其中的元素稱為 SKIPIF 1 0 集.定理4.41 SKIPIF 1 0 中的開(kāi)集、閉集以及任何 SKIPIF 1 0 集都是可測(cè)的.證明 因?yàn)?SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 集的定義知任何 SKIPIF 1 0 集也是可測(cè)的.注: 從定理4.2可知,許多常見(jiàn)的集合都是可測(cè)的,比可求面積的( SKIPIF 1 0 中)或可求體積的( SKIPIF 1 0 、閉集或 SKIPIF 1 0 集.事實(shí)上,存在非 SKIPIF 1 0 集的可測(cè)集. (2)可測(cè)集與 SKIPIF 1 0 集的關(guān)系定理4.5

30、4 設(shè) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 型集 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 .證明 由外測(cè)度的定義知， SKIPIF 1 0 自然數(shù) SKIPIF 1 0 ，存在一列開(kāi)區(qū)間 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，記 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 顯然 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 型集, 且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，讓 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 得 S

31、KIPIF 1 0 , 證畢 .定理4 設(shè) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，則下列關(guān)系等價(jià)：（1） SKIPIF 1 0 為可測(cè)集；（2） SKIPIF 1 0 存在開(kāi)集 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ；（3）存在 SKIPIF 1 0 型集 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 =0 .證明 （1） SKIPIF 1 0 （2）當(dāng) SKIPIF 1 0 , 則由外測(cè)集的定義知對(duì) SKIPIF 1 0 ,

32、存在一列開(kāi)區(qū)間 SKIPIF 1 0 , 使 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，記 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 ，顯然 SKIPIF 1 0 為開(kāi)集， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 , 而 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 , 從而 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 必為無(wú)界集，但它總可表示成可數(shù)個(gè)互不相交的有界可測(cè)集的并即 SK

33、IPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ）. 對(duì)每個(gè) SKIPIF 1 0 應(yīng)用上面結(jié)果, 存在開(kāi)集 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 ,顯然 SKIPIF 1 0 為開(kāi)集, SKIPIF 1 0 ,且 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 ，從而 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .（2） SKIPIF 1 0 （3）取 SKIPIF 1 0 ,由(2)知, 存在開(kāi)集 SKIPIF 1 0 使 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，顯然 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1

34、 0 , SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 型集, 且 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，讓 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 得, SKIPIF 1 0 從而 SKIPIF 1 0 .（3） SKIPIF 1 0 （1）由（3）知 存在 SKIPIF 1 0 型集 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 , 且 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 , 故 SKIPIF 1 0 是可測(cè)集.注: 此定理表明任意可測(cè)集總可表示成一個(gè) SKIPIF 1 0 與一個(gè)

35、零測(cè)集的差集.定理4.74 設(shè) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 , 則下列關(guān)系等價(jià)（1） SKIPIF 1 0 為可測(cè)集；（2） SKIPIF 1 0 , 存在閉集 SKIPIF 1 0 , 使 SKIPIF 1 0 , 且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ；（3）存在 SKIPIF 1 0 型集 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .證明（1） SKIPIF 1 0 （2）. SKIPIF 1 0 可測(cè) SKIPIF 1 0 可測(cè) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 存在

36、開(kāi)集 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .現(xiàn)令 SKIPIF 1 0 ,則F是閉集且 SKIPIF 1 0 .因?yàn)?SKIPIF 1 0 ,所以 SKIPIF 1 0 .（1） SKIPIF 1 0 （3） SKIPIF 1 0 可測(cè) SKIPIF 1 0 可測(cè) SKIPIF 1 0 存在 SKIPIF 1 0 型集G，使 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，記 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 型集， SKIPIF 1 0 ，

37、SKIPIF 1 0 ， 所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .定理證畢.例 71 證明 SKIPIF 1 0 中可測(cè)集經(jīng)平移后仍為可測(cè)集.證明 設(shè) SKIPIF 1 0 是可測(cè)集， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 下證 SKIPIF 1 0 可測(cè).因?yàn)?SKIPIF 1 0 可測(cè),由定理4.4,存在 SKIPIF 1 0 集 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ,且 SKIPIF 1 0 .記 SKIPIF 1 0 ,則 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 集的定義可設(shè) SKIPIF 1 0 ,其中 SKIPIF 1

38、 0 SKIPIF 1 0 .其中 SKIPIF 1 0 ， 顯然 SKIPIF 1 0 是開(kāi)集， SKIPIF 1 0 是零測(cè)集（由外測(cè)度的平移不變性），即 SKIPIF 1 0 也是一個(gè) SKIPIF 1 0 集與零測(cè)集的差，所以 SKIPIF 1 0 可測(cè).注: 以上兩個(gè)定理表明，只要有了全部的 SKIPIF 1 0 型或 SKIPIF 1 0 型集(它們都是 SKIPIF 1 0 集)和全部零測(cè)集，一切可測(cè)集都可以通過(guò) SKIPIF 1 0 型集與零測(cè)集的差集或 SKIPIF 1 0 型集與零測(cè)集的并集獲得.推論11 如果 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 中的可測(cè)集，則

39、存在一個(gè) SKIPIF 1 0 集 SKIPIF 1 0 和一個(gè)零測(cè)集 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 .推論24 設(shè) SKIPIF 1 0 ,則存在 SKIPIF 1 0 中的 SKIPIF 1 0 型集 SKIPIF 1 0 ,使 SKIPIF 1 0 ,且 SKIPIF 1 0 .例81 設(shè) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 是可測(cè)的,且 SKIPIF 1 0 ,若 SKIPIF 1 0 證明 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 皆是可測(cè)集.證明 由推論2:存在可測(cè)集 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ,使得 SKIPIF 1 0 ,且 S

40、KIPIF 1 0 因?yàn)?SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 皆可測(cè),且 SKIPIF 1 0 .所以 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 . SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 同理 SKIPIF 1 0 .由例1， SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .取 SKIPIF 1 0 為基本集， SKIPIF 1 0 ,所以 SKIPIF 1 0 ,所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 也可測(cè).作為可測(cè)集與 SKIPIF 1 0 集之間關(guān)系的應(yīng)用，再給出乘積空間測(cè)度的計(jì)算公式.

41、定理4.81 設(shè) SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 分別為 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 中的可測(cè)集，記 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 中的可測(cè)集,且 SKIPIF 1 0 .證明 證明分兩步(一)先證當(dāng) SKIPIF 1 0 均有界時(shí)，結(jié)論成立.（1）當(dāng) SKIPIF 1 0 都是區(qū)間時(shí)，由區(qū)間的體積公式知結(jié)論成立. （2）當(dāng) SKIPIF 1 0 都是開(kāi)集時(shí)，由開(kāi)集的結(jié)構(gòu)知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分別為 SKIPIF 1 0 和 S

42、KIPIF 1 0 中兩兩不交的區(qū)間.于是 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 中兩兩不交的區(qū)間.所以 SKIPIF 1 0 是可測(cè)集，且 SKIPIF 1 0 . （3）當(dāng) SKIPIF 1 0 都是 SKIPIF 1 0 集時(shí)，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 為有界開(kāi)集，且單調(diào)遞減； SKIPIF 1 0 也為有界開(kāi)集，且單調(diào)遞減.于是 SKIPIF 1 0 為可測(cè)集，其中 SKIPIF 1 0 也單調(diào)遞減，所以 SKIPIF 1 0 .（4）當(dāng) SKIPIF 1 0 至少有一個(gè)為零測(cè)集時(shí)，不妨設(shè)

43、SKIPIF 1 0 ，由定理 存在 SKIPIF 1 0 集 SKIPIF 1 0 使 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，于是由（3）得 SKIPIF 1 0 而 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .（5）當(dāng) SKIPIF 1 0 均有界可測(cè)集時(shí)，由定理 存在 SKIPIF 1 0 集 SKIPIF 1 0 使 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，記 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF

44、1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 從而 SKIPIF 1 0 ，再由（3）、（4）得 SKIPIF 1 0 為可測(cè)集, 且 SKIPIF 1 0 .(二)再證當(dāng) SKIPIF 1 0 至少有一個(gè)無(wú)界時(shí)，結(jié)論成立.由于 SKIPIF 1 0 分別都可表示成一列互不相交的有界可測(cè)集的并集，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 都是有界可測(cè)集，而 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 互不相交，故由（一）知 SKIP

45、IF 1 0 為可測(cè)集，且 SKIPIF 1 0 .參考文獻(xiàn)1李國(guó)禎實(shí)分析與泛函分析引論M北京：科學(xué)出版社，20042鄭維行，王聲望實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要M高等教育出版社，19803郭大鈞實(shí)變函數(shù)論與泛函分析M山東大學(xué)出版社，19864曹廣福. 實(shí)變函數(shù)論與泛函分析M (上冊(cè)).第二版.北京：高等教育出版社,20045M.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,20086孫華清,孫昊.實(shí)變函數(shù)內(nèi)容、方法與技巧M.武漢：華中科技大學(xué)出版社,20047M.北京：北京大學(xué)出版社,20058 HYPERLINK :/union.dangdang /transfer/transfer.aspx?from=P-23

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48、4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz849GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz849GxGjqv$UE

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