回歸分析北師大版

1、3.1.1 回歸分析回歸分析回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用1、兩個變量的關(guān)系、兩個變量的關(guān)系不相關(guān)不相關(guān)相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系線性相關(guān)線性相關(guān)非線性相關(guān)非線性相關(guān)問題問題1：現(xiàn)實生活中兩個變量間的關(guān)系有哪些呢？：現(xiàn)實生活中兩個變量間的關(guān)系有哪些呢？相關(guān)關(guān)系：相關(guān)關(guān)系：對于兩個變量，當(dāng)自變量取值一定對于兩個變量，當(dāng)自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個變量時，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系。之間的關(guān)系?；仡檹?fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)思考：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有怎樣的不同？函數(shù)關(guān)系中的兩個變量間是一種確定性關(guān)系相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系 函數(shù)關(guān)系

2、是一種理想的關(guān)系模型 相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實生活中大量存在，是更一般的情況問題問題2：對于線性相關(guān)的兩個變量用什么方法：對于線性相關(guān)的兩個變量用什么方法來刻劃之間的關(guān)系呢？來刻劃之間的關(guān)系呢？2、最小二乘估計、最小二乘估計最小二乘估計下的線性回歸方程：最小二乘估計下的線性回歸方程：ybx a1122211()()()( )nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxn xaybx11niixxn11niiyyn其中其中，ybx a最小二乘估計下的線性回歸方程：最小二乘估計下的線性回歸方程：回歸直線必過樣本點的中心回歸直線必過樣本點的中心),(yx3、解、解線性相關(guān)問題線性相關(guān)問題的基本步

3、驟的基本步驟:畫散點圖畫散點圖求線性相關(guān)方程求線性相關(guān)方程預(yù)報、決策預(yù)報、決策例某醫(yī)院用光電比色計檢驗?zāi)蚬瘯r，得尿汞含量例某醫(yī)院用光電比色計檢驗?zāi)蚬瘯r，得尿汞含量(毫克毫克/ 升升)與消光系數(shù)如下表：與消光系數(shù)如下表：汞含量汞含量x246810消光系數(shù)消光系數(shù)y64138205285360(1)作散點圖；作散點圖；(2)如果如果y與與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程解：解：(1)散點圖如圖散點圖如圖1(2011遼寧高考遼寧高考)調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：單位：萬元萬元)和年飲食支出和年飲食支出y(單位：萬元單位：

4、萬元)，調(diào)查顯示年收入，調(diào)查顯示年收入x與年與年飲食支出飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對對x的線的線性回歸方程：性回歸方程：y0.254x0.321.由線性回歸方程可知，家庭由線性回歸方程可知，家庭年收入每增加年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加萬元，年飲食支出平均增加_萬元萬元解析：解析：以以x1代代x，得，得y0.254(x1)0.321，與，與y0.254x0.321相減可得，年飲食支出平均增加相減可得，年飲食支出平均增加0.254萬元萬元答案：答案：0.2542(2011江西高考江西高考)為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，為了解兒子身

5、高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取隨機(jī)抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)如下：對父子的身高數(shù)據(jù)如下： 父親身高父親身高x(cm)174176176176178兒子身高兒子身高y(cm)175175176177177答案：答案：C,176x176y復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 用線性回歸方程進(jìn)行回歸分析：用線性回歸方程進(jìn)行回歸分析： （1）畫散點圖；）畫散點圖；（2）求回歸系數(shù)）求回歸系數(shù) ：ba, （3）寫回歸直線方程）寫回歸直線方程 ，并用方程進(jìn)，并用方程進(jìn)行預(yù)測說明行預(yù)測說明.bxayxbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniii1221121)()( 任何數(shù)據(jù)，不管它們的線性相關(guān)關(guān)系如何，都任何

6、數(shù)據(jù)，不管它們的線性相關(guān)關(guān)系如何，都可以用最小二乘法求出線性回歸方程，為使建立的可以用最小二乘法求出線性回歸方程，為使建立的線性回歸方程有意義，在利用最小二乘法求線性回線性回歸方程有意義，在利用最小二乘法求線性回歸方程之前，先要對變量間的線性相關(guān)關(guān)系作個判歸方程之前，先要對變量間的線性相關(guān)關(guān)系作個判斷，通?？梢宰魃Ⅻc圖。但在某些情況下，從散點斷，通?？梢宰魃Ⅻc圖。但在某些情況下，從散點圖中圖中不容易判斷變量間的線性關(guān)系不容易判斷變量間的線性關(guān)系，另外，如果，另外，如果數(shù)數(shù)據(jù)量較大時，畫散點圖比較麻煩，據(jù)量較大時，畫散點圖比較麻煩，此時我們此時我們有沒有有沒有其他方法其他方法來刻畫變量之間的線性

7、相關(guān)關(guān)系呢？來刻畫變量之間的線性相關(guān)關(guān)系呢？新課探究 為解決這個問題，我們可通過計算線性相關(guān)系數(shù)為解決這個問題，我們可通過計算線性相關(guān)系數(shù)r，來判斷變量間相關(guān)程度的大小，計算公式為：，來判斷變量間相關(guān)程度的大小，計算公式為：112222221111()()()()nniiiixyiinnnnxx yyiiiiiiiixxyyx ynxylrl lxxyyxnxyny新課探究21222( , )()()()niiixyxyyyxxxxxxQ a byabxllln yabxlbll（參看課本P74）的最小值為：的最小值為：222( , )(1)(1)xyxyyyyyyyxxxx yyllQ a

8、blllrll l據(jù)前面的分析，回歸系數(shù)據(jù)前面的分析，回歸系數(shù) 使得誤差使得誤差ba,由由 知知 ，即，即 ，則，則0Q12r11r新課探究 值越大，誤差值越大，誤差 越小，則變量的線性相關(guān)程度越小，則變量的線性相關(guān)程度就越高；就越高； 值越接近于值越接近于0， 越大，線性相關(guān)程度就越大，線性相關(guān)程度就越低。越低。rrQQ 當(dāng)當(dāng) 時，時， ，兩變量的值總體上呈現(xiàn)同，兩變量的值總體上呈現(xiàn)同時增加的趨勢，則稱兩變量時增加的趨勢，則稱兩變量正相關(guān)正相關(guān)； 當(dāng)當(dāng) 時，時， ，一變量增加，另一變量有，一變量增加，另一變量有減小的趨勢，則稱兩變量減小的趨勢，則稱兩變量負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān)； 當(dāng)當(dāng) 時，則稱兩變量時

9、，則稱兩變量線性不相關(guān)線性不相關(guān)。0r0b0r0b0r相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)的性質(zhì)新課探究相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)1.1.計算公式計算公式2 2相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)|r|1(1)|r|1；(2)|r|(2)|r|越接近于越接近于1 1，相關(guān)程度越大；，相關(guān)程度越大；|r|r|越接近越接近于于0 0，相關(guān)程度越小，相關(guān)程度越小問題：達(dá)到怎樣程度，問題：達(dá)到怎樣程度，x x、y y線性相關(guān)呢？它們線性相關(guān)呢？它們的相關(guān)程度怎樣呢？的相關(guān)程度怎樣呢？1222211niiinniiiix ynxyxnxynyn ni ii ii i= =1 1n nn n2 22 2i ii ii i= =1

10、 1i i= =1 1( (x x - - x x) )( (y y - - y y) )r r = =( (x x - - x x) )( (y y - - y y) )負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān)正相關(guān)正相關(guān)思考交流思考交流 對于課本對于課本P73給出的例題，變量的線性相關(guān)系數(shù)給出的例題，變量的線性相關(guān)系數(shù)r如何求？如何求？我們知道，相關(guān)系數(shù)的計算公式為：我們知道，相關(guān)系數(shù)的計算公式為：要求要求r，只需求出相關(guān)的量：，只需求出相關(guān)的量：niiiyx1， ， ，niix12niiy12和和 。xyniiniiniiiynyxnxyxnyxr1221221， ，可得，可得， ， ，20040niiiyx117

11、633niix1222790niiy122585291.x665330y由數(shù)據(jù)表，經(jīng)過計算，可知（由數(shù)據(jù)表，經(jīng)過計算，可知（P77）：）：9941. 0665227902 .58517633662 .5852004022r這能說明什么？這能說明什么？這說明肱骨這說明肱骨 和股骨和股骨 有較強(qiáng)的線性相關(guān)程度。有較強(qiáng)的線性相關(guān)程度。yx 計算下表變量的線性相關(guān)系數(shù)計算下表變量的線性相關(guān)系數(shù)r。并觀察，通過計算可以發(fā)現(xiàn)什么？并觀察，通過計算可以發(fā)現(xiàn)什么？根據(jù)數(shù)據(jù)列表計算如下：根據(jù)數(shù)據(jù)列表計算如下：解析（解析（P78)：1-5025002-43169-123-34916-124050250534916

12、12643169127502500019100750iixiy2ix2iyiiyx由表可知：由表可知：， ，則可得，則可得0 x71. 2y00121niix5127niiy0niiiyx1， ， ，071. 27750710071. 207022r你發(fā)現(xiàn)什么了？你發(fā)現(xiàn)什么了？ r=0，則變量間并不存在線性相關(guān)關(guān)系。即此時，則變量間并不存在線性相關(guān)關(guān)系。即此時建立線性回歸方程是沒有意義的。建立線性回歸方程是沒有意義的。實際上，從散點圖上我們也可以驗證這一點：實際上，從散點圖上我們也可以驗證這一點： 易看出，幾個樣本點都落在同一個半圓上，而不易看出，幾個樣本點都落在同一個半圓上，而不是條狀分布，

13、此時建立線性回歸方程無任何意義，這是條狀分布，此時建立線性回歸方程無任何意義，這與相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)r的計算結(jié)果相一致。的計算結(jié)果相一致。許多先進(jìn)國家對駕駛員的培訓(xùn)，大多采用室內(nèi)模擬教學(xué)和許多先進(jìn)國家對駕駛員的培訓(xùn)，大多采用室內(nèi)模擬教學(xué)和訓(xùn)練，而后再進(jìn)行實地訓(xùn)練并考試，這種方法可以大大節(jié)訓(xùn)練，而后再進(jìn)行實地訓(xùn)練并考試，這種方法可以大大節(jié)約訓(xùn)練的費用。問題是這種方法有效嗎？下表是約訓(xùn)練的費用。問題是這種方法有效嗎？下表是12名學(xué)員名學(xué)員的模擬駕駛成績的模擬駕駛成績x與實際考試成績與實際考試成績y的記錄（單位：分）：的記錄（單位：分）：試問：兩者的相關(guān)性如何？請畫出散點圖，并求出試問：兩者的相關(guān)性

14、如何？請畫出散點圖，并求出y與與x間的線性相關(guān)系數(shù)間的線性相關(guān)系數(shù).動手做一做動手做一做 x 98 55 50 87 77 89 y 95 60 45 85 75 87 x 79 98 94 83 74 73 y 75 97 92 80 71 72解答：解答：可求出可求出r=0.9871，說明實際考試成績，說明實際考試成績y與模擬駕與模擬駕駛成績駛成績x有較強(qiáng)的線性相關(guān)程度有較強(qiáng)的線性相關(guān)程度.拓展思考拓展思考 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)r越大，變量間的線性關(guān)系就越越大，變量間的線性關(guān)系就越強(qiáng)，那么強(qiáng)，那么r的值究竟大到什么程度就認(rèn)為線性的值究竟大到什么程度就認(rèn)為線性關(guān)系較強(qiáng)？關(guān)系較強(qiáng)？n n(x -x

15、)(y -y)(x -x)(y -y)iiiii=1i=1r=r=nnnn2222(x -x) (y -y)(x -x) (y -y)iiiii=1i=1i=1i=1相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)正相關(guān)；負(fù)相關(guān)通常，正相關(guān)；負(fù)相關(guān)通常， rr-1,-0.75-1,-0.75負(fù)相關(guān)很強(qiáng)負(fù)相關(guān)很強(qiáng); ; rr0.75,10.75,1正相關(guān)很強(qiáng)正相關(guān)很強(qiáng); ; rr-0.75,-0.3-0.75,-0.3負(fù)相關(guān)一般負(fù)相關(guān)一般; ; rr0.3, 0.750.3, 0.75正相關(guān)一般正相關(guān)一般; ; rr-0.25, 0.25-0.25, 0.25相關(guān)性較弱相關(guān)性較弱; ; 相關(guān)關(guān)系的測度相關(guān)關(guān)系的測度（相關(guān)系數(shù)取

16、值及其意義）小結(jié)小結(jié) 線性相關(guān)系數(shù)線性相關(guān)系數(shù)r： 值越大，誤差值越大，誤差 越小，則變量的線性相關(guān)程度越小，則變量的線性相關(guān)程度就越高；就越高； 值越接近于值越接近于0， 越大，線性相關(guān)程度就越大，線性相關(guān)程度就越低。越低。rrQQ，其中，其中 。niiniiniiiynyxnxyxnyxr122122111r 當(dāng)當(dāng) 時，兩變量時，兩變量正相關(guān)正相關(guān)；當(dāng)；當(dāng) 時，兩變量時，兩變量負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān)；當(dāng)；當(dāng) 時，兩變量時，兩變量線性不相關(guān)線性不相關(guān)。0r0r0r4對四對變量對四對變量y和和x進(jìn)行線性相關(guān)檢驗，已知進(jìn)行線性相關(guān)檢驗，已知n是觀測值組是觀測值組數(shù)，數(shù)，r是相關(guān)系數(shù)，且已知：是相關(guān)系數(shù)，且

17、已知：n7，r0.953 3；n15，r0.301 2；n17，r0.499 1；n3，r0.995 0.則變量則變量y和和x線性相關(guān)程度最高的兩組是線性相關(guān)程度最高的兩組是 ()A和和 B和和C和和 D和和解析：解析：相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)r的絕對值越大，變量的絕對值越大，變量x，y的線性相關(guān)的線性相關(guān)程度越高，故選程度越高，故選B.答案：答案：B5某廠的生產(chǎn)原料耗費某廠的生產(chǎn)原料耗費x(單位：百萬元單位：百萬元)與銷售額與銷售額y(單位：單位：百萬元百萬元)之間有如下的對應(yīng)關(guān)系：之間有如下的對應(yīng)關(guān)系： ()x2468y30405070判斷判斷x與與y之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系之間是否存在線性相關(guān)關(guān)

18、系解：解：畫出畫出(x，y)的散點圖，如圖所示，由圖可知的散點圖，如圖所示，由圖可知x，y呈現(xiàn)呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系線性相關(guān)關(guān)系復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 線性相關(guān)系數(shù)線性相關(guān)系數(shù)r及性質(zhì)：及性質(zhì)： 值越大，變量的線性相關(guān)程度就越高；值越大，變量的線性相關(guān)程度就越高； 值越接近于值越接近于0，線性相關(guān)程度就越低。，線性相關(guān)程度就越低。rr，其中，其中 。niiniiniiiynyxnxyxnyxr122122111r 當(dāng)當(dāng) 時，兩變量時，兩變量正相關(guān)正相關(guān)； 當(dāng)當(dāng) 時，兩變量時，兩變量負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān)； 當(dāng)當(dāng) 時，兩變量時，兩變量線性不相關(guān)線性不相關(guān)。0r0r0r1 1、下表是隨機(jī)抽取的、下表是隨機(jī)抽取的8 8對

19、母女的身高數(shù)據(jù)對母女的身高數(shù)據(jù), ,試試根據(jù)這些數(shù)據(jù)探討根據(jù)這些數(shù)據(jù)探討y y與與x x之間的關(guān)系之間的關(guān)系母親身高母親身高女兒身高女兒身高 cm154 157 158 159 160 161 162 163 cm155 156 159 162 161 164 165 166練習(xí)練習(xí)154 1571638159.25x 155 1561668161y 82222218( )1541638 159.2559.5iixx 82222218( )1551668 161116iiyy 818154 155163 1668 159.25 16180iiix yxy 解解：，963.01165.5980r

20、， 所以：所以： xy, a b所以可以認(rèn)為所以可以認(rèn)為與與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)的的 關(guān)系線性回歸模型關(guān)系線性回歸模型y=a+bx中中 81822181.345,8iiiiix yxybxx53.191aybx xy345. 1191.53線性回歸方程為線性回歸方程為新課講解新課講解 下表按年份給出了下表按年份給出了19812001年我國出口貿(mào)易年我國出口貿(mào)易量（億美元）的數(shù)據(jù)，根據(jù)此表你能預(yù)測量（億美元）的數(shù)據(jù)，根據(jù)此表你能預(yù)測2008年我年我國的出口貿(mào)易量么？國的出口貿(mào)易量么？ 從散點圖中觀察，數(shù)據(jù)與直線的擬合性不好，從散點圖中觀察，數(shù)據(jù)與直線的擬合性不好，若用直線

21、來預(yù)測，誤差將會很大。若用直線來預(yù)測，誤差將會很大。而圖像近似指數(shù)函數(shù)，呈現(xiàn)出非線性相關(guān)性。而圖像近似指數(shù)函數(shù)，呈現(xiàn)出非線性相關(guān)性。分析：分析： 考慮函數(shù)考慮函數(shù) 來擬合數(shù)據(jù)的變化關(guān)系，將其轉(zhuǎn)來擬合數(shù)據(jù)的變化關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，兩邊取對數(shù)：化成線性函數(shù)，兩邊取對數(shù)： bxaey bxay lnln 即線性回歸方程，記即線性回歸方程，記1981年為年為x=1，1982年為年為x=2，變換后的數(shù)據(jù)如下表：變換后的數(shù)據(jù)如下表：設(shè)設(shè) ，則上式變?yōu)椋瑒t上式變?yōu)?，acyuln,lnbxcu對上表數(shù)據(jù)求線性回歸方程得：對上表數(shù)據(jù)求線性回歸方程得： 即：即：,138. 0,056. 5bcxu138.

22、 0056. 5xueeey138. 0056. 5由此可得：由此可得： ，曲線如圖：，曲線如圖：xueeey138. 0056. 5這樣一來，預(yù)測這樣一來，預(yù)測2008年的出口貿(mào)易量就容易多了。年的出口貿(mào)易量就容易多了。將下列常見的非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型。將下列常見的非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型。作變換作變換,ln,ln,lnacxvyu得線形函數(shù)得線形函數(shù) 。 bvcu)0, 1(ba)0, 1(ba1.冪函數(shù)：冪函數(shù)：baxy 2. 指數(shù)曲線：指數(shù)曲線：bxaey 作變換作變換,ln,lnacyu得線形函數(shù)得線形函數(shù) 。 bxcu)0,(ba0)0,(ba0)0,(ba0)

23、0,(ba0作怎樣的變換，得到線形函數(shù)的方程如何？作怎樣的變換，得到線形函數(shù)的方程如何？ 思考交流思考交流3. 倒指數(shù)曲線：倒指數(shù)曲線：xbaey 4. 對數(shù)曲線：對數(shù)曲線：xbayln0b0b作怎樣的變換，得到線形函數(shù)的方程如何？作怎樣的變換，得到線形函數(shù)的方程如何？ 小結(jié)小結(jié) 非線性回歸方程：非線性回歸方程： 對某些特殊的非線性關(guān)系，可以通過變換，將非對某些特殊的非線性關(guān)系，可以通過變換，將非線性回歸轉(zhuǎn)化為線性回歸，然后用線性回歸的方法進(jìn)線性回歸轉(zhuǎn)化為線性回歸，然后用線性回歸的方法進(jìn)行研究，最后再轉(zhuǎn)換為非線性回歸方程。行研究，最后再轉(zhuǎn)換為非線性回歸方程。 常見非線性回歸模型：常見非線性回歸

24、模型：1.冪函數(shù)：冪函數(shù)：baxy 2. 指數(shù)曲線：指數(shù)曲線：bxaey 3. 倒指數(shù)曲線：倒指數(shù)曲線：xbaxy 4. 對數(shù)曲線：對數(shù)曲線：xbayln 例例3(12分分)為了研究某種細(xì)菌隨時間為了研究某種細(xì)菌隨時間x變化繁殖個變化繁殖個數(shù)數(shù)y的變化，收集數(shù)據(jù)如下：的變化，收集數(shù)據(jù)如下： 時間時間x/天天123456繁殖個數(shù)繁殖個數(shù)y612254995190 (1)作出這些數(shù)據(jù)的散點圖；作出這些數(shù)據(jù)的散點圖； (2)求求y與與x之間的回歸方程之間的回歸方程 思路點撥思路點撥作出數(shù)據(jù)的散點圖，選擇合適的函數(shù)模作出數(shù)據(jù)的散點圖，選擇合適的函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為線性模型型轉(zhuǎn)化為線性模型精解詳析精解詳析(1

25、)散點圖如圖所示：散點圖如圖所示：(4分分) (2)由散點圖看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)由散點圖看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)yc1ec2x圖像的周圍，于是令圖像的周圍，于是令zln y，則，則 (6分分)x123456z1.792.483.223.894.555.25由計算器算得由計算器算得z0.69x1.112，則有則有ye0.69x1.112. (12分分) 一點通一點通非線性回歸問題一般不給出經(jīng)驗公式，這非線性回歸問題一般不給出經(jīng)驗公式，這時，應(yīng)先畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，把它與所學(xué)過的各種函時，應(yīng)先畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，把它與所學(xué)過的各種函數(shù)圖像作比較，挑選一種跟這些散點圖擬合得最好的函數(shù)，數(shù)圖像作比較，挑選一種跟這些散點圖擬合得最好的函數(shù)，采用適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q，把問題化為線性回歸分析問題，使采用適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q，把問題化為線性回歸分析問題，使問題得以解決問題得以解決6下列數(shù)據(jù)下列數(shù)據(jù)x，y符合哪一種函數(shù)模