高等數(shù)學(xué)第一學(xué)期總復(fù)習(xí)

1、第一學(xué)第一學(xué) 期期 總總 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)一、填空一、填空( (共共7 7小題每題小題每題3 3分分, ,共共2121分分) )1、定義域、定義域2、極限和連續(xù)、極限和連續(xù)3、4、導(dǎo)數(shù)（一階、二階）、導(dǎo)數(shù)（一階、二階）5、6利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)區(qū)間和凹利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)區(qū)間和凹 凸及拐點7、不定積分二、單選題二、單選題( (共共8 8小題每小題小題每小題2 2分分, ,共共1616分分) )1、極限、極限2、連續(xù)、連續(xù)3、連續(xù)、連續(xù)4、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)5、單調(diào)性與可導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)符號、駐點、單調(diào)性與可導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)符號、駐點 、極值點的關(guān)系， 6、凹、凹 凸及拐點7、8、不定積分、不定積分考試題型三、計算題三、計算題( (

2、共共8 8小題每題小題每題6 6分分, ,共共4848分分) )1 1、2 2、計算極限、計算極限( (每小題每小題6 6分分, ,共共1212分分) ) 0/0 0/0型型( (消消0 0因子因子, ,洛必達(dá)法則、洛必達(dá)法則、) )3 3、4 4、計算導(dǎo)數(shù)和、計算導(dǎo)數(shù)和微分微分( (每小題每小題6 6分分, ,共共1818分分) ) 5 5、隱函數(shù)的求導(dǎo)、隱函數(shù)的求導(dǎo)6 6、7 7、計算下列不定積分、計算下列不定積分( (每小題每小題6 6分分, ,共共1212分分) ) 湊微分、分部積分湊微分、分部積分8、參數(shù)方程的求導(dǎo)、切線方程、參數(shù)方程的求導(dǎo)、切線方程 四、（四、（6 6分分) )證明

3、不等式五、（五、（8 8分分) ) 實際最值問題解題要有過程, 不能像做填空題復(fù)習(xí)提綱1.習(xí)題復(fù)習(xí) 平時作業(yè) 教材課后習(xí)題、復(fù)習(xí)題2. 各種問題類型和解決方法 3. 重點題型40 x50甲乙 40(5)在一條河的同旁有甲乙兩城，甲城位于河岸邊，乙城離岸40km，乙城到岸的垂足與甲城相距50km(如右圖)，兩城在此河邊合建一水廠取水，從水廠到甲城和乙城的水管費用分別為每公里3萬元和5萬元，問此水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處才能使水管費用最??？第一章第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)、極限與連續(xù)重要內(nèi)容: 極限的計算1.定義2.四則運算性質(zhì)3.左右極限4.夾逼準(zhǔn)則5.兩個特殊極限6.等價無窮小替換7.無窮小的性質(zhì)

4、8.洛比達(dá)法則9.冪指函數(shù)的極限10.通過函數(shù)極限算數(shù)列極限11.連續(xù)性12.定積分定義kxxx)11 (lim1lim(1)xkkxex（1） 解：原式=xxx1)1sin(lim2121)1)(1sin(lim221xxxx（2）解：原式=。練習(xí)題：兩個重要極限兩個重要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e)1(lim10注注: 代表相同的表達(dá)式11(3)lim (1)e-=-=30tansinlimxxxx30sin (1cos )limcosxxxxx122201lim2xxx（3） 解：原式=等價無窮小替換注意分母中余弦2. 等價無窮小替換定理,0時當(dāng) x sin

5、tan ln(1) 1 arctan arcsinxxxxxexxcos1x,221x11nx,1xn常用等價無窮小 :乘除因子可替換， 加減項不可替換xxxx)1212(lim2lim(1)21xxx（4）解：原式=2212122lim(1)21xxxxx1e1221lim ()2122lim(1)21xxxxxx冪指函數(shù)的極限2lim()1xxxx第(4)題這種1也可以通過另外一種方法來轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式。例如：類型,2223112lim(1) 1lim(1) eeexxxxxx221(1)limlim111(1)xxxxxxxxxxxxx)1212(lim2limln(1)21xxxe（4）

6、解：原式2lim()21xxxe1e21ln()21limxxxxe還可以利用對數(shù)函數(shù)和等價無窮小處理21limln()21xxxxe 利用加減拆分為（1+#）形式， 化為標(biāo)準(zhǔn)形式 利用除法 利用對數(shù)，結(jié)合等價無窮小替換1類型處理的三種方法( )lim ( )v xu x( )ln ( )limv xu xelim ( )lim ( )v xu xlim ( )0,lim ( )u xv x 都存在冪指函數(shù)的極限冪指函數(shù)的極限1類型不滿足條件，不能直接取極限5. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式3sin0limln(1 2 )xxxe3sin0lim2xxxe6e1關(guān)于無窮多

7、個無窮小求和類型三種類型： 直接求和 放縮后利用夾逼準(zhǔn)則 利用定積分6 求求222111lim2nnnnnn證證: 利用夾逼準(zhǔn)則 .1211222nnnnn22nnn22nn且22limnnnn1lim1nn1lim22nnn211limnn1nnlim1211222nnnn1由 11,1,1 ,01,0 xxxxf xxax a f x0 x 000112limlimlim111xxxxxf xxxx 01,fa f x0 x 0lim0 xf xf11,0.aa 0a f x0 x7. 設(shè)當(dāng)取何值時，在處連續(xù)。又 若在點連續(xù)，則必有所以當(dāng)時,在處連續(xù)。解利用左右極限0sin001sin)(

8、xxxxaxbxxxf)(lim)(lim00 xfxfxxbbxxxfxx)1sin(lim)(lim001sinlim)(lim00 xxxfxx例.設(shè)函數(shù) 問(1)ba,)(xf0 x 為何值時， 在 處有極限存在？)(xf0 x 在處有極限存在，即要成立。 因為 (2)ba,)(xf0 x 為何值時， 在處有連續(xù)？解1b0 xa)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxxafb)0(11 ba0 x1b)(lim)(lim00 xfxfxx所以，當(dāng)時，有成立，即時，函數(shù)在又因為函數(shù)在某點處有極限與在該點處是否有定義無關(guān),（2）依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點處連續(xù)的充要條件是 于

9、是有，即時函數(shù)在處連續(xù)。處有極限存在，所以此時可以取任意值。20ln(1)8. limseccosxxxx119. lim1lnxxxx11110. lim1ln(2)xxx求極限： 20ln(1)limseccosxxxx20lim1coscosxxxx(8)解:202lim11 coscosxxxx220lim1sinxxx(9)解: 11lim1lnxxxx1ln1lim(1)lnxxxxxx1ln1 1lim1lnxxxxx 1211lim112xxxx用兩次洛比達(dá)111lim1ln(2)xxx11111111ln(2)12limlim1(1)ln(2)ln(2)2121limlim(

10、2)ln(2)1(2)ln(2)1111limlim.ln(2) 1 1ln122xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx (10)解: 含變上限積分的極限去掉積分的兩種方法： 洛比達(dá)法則 中值定理)sin(e2cosxx例例8. 求220(1cos )lim,xexx(cos ,1)x0limxtxtde1cos22x解解:原式0limx00 x2e21洛洛（方法一）（方法二）原式=2122201lim2xexxe120lim1nnxdxx01x1120010,11nnxdxx dxxn（9 ）.求解： 當(dāng)時，1lim01nn由夾逼準(zhǔn)則，原式=0.多種方法相結(jié)合例如 先等價無窮小替換化

11、簡，再用洛必達(dá)法則。（P158例3） 利用連續(xù)性去掉已知函數(shù)。（上面例3例8） 通分，有理化，約公因子，增減項一種方法用幾次例如，連用幾次洛必達(dá)法則。（例9例10）第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)重要內(nèi)容: 導(dǎo)數(shù)和微分的計算(包括抽象函數(shù))導(dǎo)數(shù)和微分的幾何含義, 切線法線的求法復(fù)合函數(shù),反函數(shù),隱函數(shù),參數(shù)方程的求導(dǎo)方法, 高階導(dǎo)數(shù)求法(對數(shù)求導(dǎo)法)微分的求法導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系式1. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？3arctan (2 )yx23arctan (2 )(arctan(2 )yxx2213arctan (2 )(2 )14xxx226arctan (2 )14xx解：(1) (1)每

12、次只算一個導(dǎo)數(shù) (2)sin()()xye其中 ， 為常數(shù)sin()(sin()xyexsin()cos()()xexx sin()cos()xex解： 每次只算一個導(dǎo)數(shù)(3)462535x22xy=ln2535xx211y =ln(2)-ln()4622225355)35)xxxx11=(2) -()4(26(225)35)xxxx46=-4(26(3225) 35)xxx=(2(解:先化簡,再求導(dǎo)arcsin21yx2ln(sin3 )xyex2. 求下列函數(shù)的微分： (2) 211 (21)dxdyx1(21)22 21dxxx2 (21)dxxx 解：(1) (1)22(sin3 )s

13、in3xxd exdyex22(2 )cos3(3 )sin3xxe dxxdxex2223cos3sin3xxexdxex 解: (2) xyaln(1)yxlnxyaa 2lnxyaa ( )lnnxnyaa1,1yx 21,(1)yx 1( )( 1)(1)!(1)nnnnyx3. 求下列函數(shù)的n（n為正整數(shù)）階導(dǎo)數(shù)： (2) 解：(1) 所以 (2) 所以 (1)32(1)yx 高階導(dǎo)數(shù)12sin()0yexyedydx22d ydx12sin()0yexye1cos()(1)0yy exyy1(cos()cos()yy exyxy 1cos()cos()yxyyexy 4.求由方程所

14、確定的隱函數(shù)y=y(x)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)解：對方程兩邊同時對x求導(dǎo)，有 即因此隱函數(shù)求導(dǎo)y解不出就不必代回1212()sin()(1)cos(1)0yyy eyexyyy y1221(cos(1)sin()(1)()yyyeyxyyye2211sin()(1)()cos()yyxyyyeyexy 即因此下面求二階導(dǎo)數(shù), 對方程兩邊同時對x求導(dǎo), 有 2(1)1213sin()cos ()(cos()yyyexyexyexy1cos()(1)0yy exyy2(cos )2(1 sin )xttytdydx22d ydx2cos ,dxtdt2(1 sin )dytdt,dydydxdtdt

15、dx1sincosdytdxt2(sectan )secsec tanddytttttdtdx22d yddyddydxdtdxdtdxdx dx2222secsec tansecsectan2cos2d yttttttdxt5.求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)y=y(x)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)解：因為所以根據(jù)因為所以根據(jù) 參數(shù)方程求導(dǎo)6.設(shè) ，求 .sin(tan )xyxylnsin ln(tan )yxx2111cos ln(tan )sintancosyxxxyxx sin(tan )(cos ln(tan )sec )xyxxxx解冪指函數(shù)對數(shù)求導(dǎo)法7.設(shè)函數(shù) ，其中 可導(dǎo)，求 .1()fxy

16、e( )f uy1()1 ( )fxyefx解1()211( )fxfexx 1()11( )( )fxefxx抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)只要分清函數(shù)的復(fù)合層次即可第三章第三章 中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用重要內(nèi)容重要內(nèi)容: 中值定理中值定理 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 (單調(diào)性,凹凸性凹凸性)根的存在性,所在區(qū)間,唯一性洛比達(dá)法則求七種未定式的極限 用中值定理證明某些等式泰勒公式, 常用展開式極值問題中值定理,單調(diào)性,凹凸性證明不等式0153 xx15)(3xxxf)(xf01)0(f03) 1 (f)(xf0 x1證明： 在（0，1）上有且僅有一根。，則在0，1上連續(xù)且 由零點定理可知，在(0，1) 上

17、至少有一個根證：（先證存在性）設(shè))(xf1x0)()(10 xfxf)(xf0)(f2( )350fxx在(0,1) 上還有一個根即 在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，（0，1）使得但是，不可能有這樣的點,故方程在（0，1）上有且僅有一根。（再證唯一性）由羅爾定理可知至少存在一點（0，1），矛盾。也可以不用羅爾定理,直接利用單調(diào)性假設(shè)012sin xx),(12sin)(xxxf)(xf0 ,201)0(f0)2(f)(xf0 ,22證明：在證明：（先證存在性）則在上連續(xù)且 由零點定理可知，在上至少有一個根內(nèi)有且僅有一根。設(shè)02cos)(xxf)(xf),(),(（再證唯一性）在上嚴(yán)格單調(diào)遞

18、增，上有且僅有一根。因為故方程在2eabe2224lnln()babae224( )lnf xxxe2ln4( )2xfxxe21 ln( )2xfxxxe( )0fx( )fx2exe3.設(shè), 證明.證明證明: 設(shè). 則,所以當(dāng)時, , 故單調(diào)減少, 時, 從而當(dāng)2222ln444( )2()0,xfxfexeee(方法一)2exe( )f x2eabe( )( )f bf a222244lnlnbbaaee2224lnln()babae即當(dāng)時, 單調(diào)增加. 時, 即故 因此當(dāng)2eabe2224lnln()babae2( )lnf xxln( )2,xfxx21 ln( )2xfxxxe(

19、)0fx( )fx2exe3.設(shè), 證明.證明證明: 設(shè). 則由中值定理,所以當(dāng)時, , 故單調(diào)減少, 時, 從而當(dāng)2( )( )( )()()()f bf afbafeba( )( )( )(),f bf afba即2224lnln()babae(方法二)( , )a b課堂上講解的方法( )f x0,1(0,1)(1)0f(0,1)( )( )ff ( )( )F xxf x(0)0F(1)(1)0Ff( )F x0,1(0,1)( )0F( )( )( )F xf xxfx( )( )0ff( )( )ff 4 4.設(shè)在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo),且求證存在, 使得證明證明: 設(shè), 則且即在區(qū)間

20、上滿足羅爾中值定理的條件, , 使得又因此有整理后可得因此存在( )f x , a b( , )a b( )( )0,f af b( )0f c ,()acb( , )a b( )0.f( , )a b( )0f( )f x( , )a c( , )c b1( , )a c2( , )c b1( )( )( )0()0f cf af cfcaca2( )( )0( )()0f bf cf cfbcbc4 4. 設(shè)在上連續(xù), 在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),. 試證在內(nèi)至少存在一點, 使得證明證明: 由羅爾中值定理知, 存在,使得對分別在和上用拉格朗日中值定理, 和, 使得及且有知分別存在12, ( )fx12

21、(,)( , )a b 2121()()( )0fff再在閉區(qū)間上對用拉格朗日中值定理, 使得知存在1()0,f2()0;f前頁已證明 (- ,) 定定義義域域為為22( ) 6 (1)0, f xx x 由由得得22( )6(1)(51)fxxx 又又由由 有有0 .x 所所以以 為為極極小小值值點點 但但3.1 2.x 定定理理 失失效效在在改改用用定定理理1231,0,1xxx (0)60f ( 1)(1)0 ff解解例例5 求函數(shù)求函數(shù)23( )(1)1f xx ( 1, ),( )0 xUfx (1, ) ,( )0 xUfx 1 x 故故(0)0.f 不是極值點不是極值點, , 故

22、只有極小值故只有極小值同號同號同號同號的極值的極值第四章第四章 不定積分不定積分 重要內(nèi)容: 不定積分的計算不定積分的計算基本積分表 (P217, P234)換元法分部積分法常見類型的處理常用方法常用方法:三角函數(shù)公式(平方和, 倍角等)湊項(加減, 乘除, 特殊公式)根式代換, 倒代換拆分配方最常見的錯誤容易的檢驗法開根號時, 沒有討論符號對結(jié)果求導(dǎo) = 被積函數(shù)忘記寫常數(shù)Cxbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1(3)(sin )cos dfxx x)(sin xfxsind(4)(cos )sin dfxx x )(cosx

23、fxcosd第一換元法第一換元法直接湊微分，不必寫出中間變量直接湊微分，不必寫出中間變量xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd(5)(sec )sec tan dfxxx x (sec )fx第二類換元法常見類型第二類換元法常見類型: 22(1)(,)d ,f xaxx令22(2)(,)d ,f xaxx令22(3)(,)d ,f xxax, ),(,sin22ttax, ),(,tan22ttax,時當(dāng)ax 令, ),0(,sec2ttax,時當(dāng)ax令,ux,au 則(4) 分母中x

24、因子次數(shù)較高時, 可試用倒代換倒代換 ,1tx 倒代換倒代換:dxxxa 422,222 xaxdx適合于類型適合于類型注明參數(shù)取值范圍求不定積分：21(1)23dxx 解 (1)22321112231 ()dxdxxx23322321()21 ()dxx321arcsin()3xC1(2)1 sindxx211 sin1 sincosxdxdxxx22coscoscosdxdxxx(2)tansecxxC xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxd(4)4xx21222d( )1( )xx2122d(4)4xx241d4xx4

25、1xx2121xd24(2)xd(2)x 幾個相近的例子1,xt 令(3)11dxx2111dxtdttx22ln(1)ttC22212211tdtdtdttt212ln(11)xxC 解:21,2,xtdxtdt :的一般方法及選取vu把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積 , 按 “ 反對冪指三反對冪指三” 的反反: 反三角函數(shù)對對: 對數(shù)函數(shù)冪冪: 冪函數(shù)指指: 指數(shù)函數(shù)三三: 三角函數(shù)前者留下,后面的放到微分號里分部積分分部積分-主要處理兩個函數(shù)乘積積分主要處理兩個函數(shù)乘積積分uvvuvudd3.求 dxx )1ln(2222ln(1)1xxxxdxx221ln(1)2 (1)1xxdxx2ln(

26、1)22arctanxxxxC解:原式（4）1 cosdxx(4)1cosdxx22cos2dxx2( )2cos2xdxtan2xC解(5)sinxdx2(5),xt xt令sinsin2xdxttdt2cos2 cos2 costdttttdt 2 cos2sintttC 2cos2sinxxxC 提示：dxxdxx25366ln|x3|5ln|x2|C 解 例1 1 求dxxxx6532 解 dxxxx6532dxxxx) 3)(2(3dxxx)2536(dxxxx6532dxxxx) 3)(2(3dxxx)2536(dxxxx6532dxxxx) 3)(2(3dxxx)2536( dx

27、xdxx25366ln|x3|5ln|x2|C AB1 2A3B3 ) 3)(2()32()(23) 3)(2(3xxBAxBAxBxAxxxA6 B5 ) 3)(2()32()(23) 3)(2(3xxBAxBAxBxAxxx) 3)(2()32()(23) 3)(2(3xxBAxBAxBxAxxx 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分拆成兩項2(4)215dxxx2215dxxx1 (3)(5)(5)(3)8(5)(3)dxxxdxxxxx1853dxdxxx15ln83xCx解例例2. 求.d3222xxxx解解: 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22