上海師大固體物理 第五章(8)習(xí)題課及本章總結(jié)

1、5.9.1 5.9.1 超晶格：超晶格： 可勒尼?？衫漳嵯Ｅ砟崮Ｐ团砟崮Ｐ偷诰殴?jié)第九節(jié) 習(xí)題課習(xí)題課兩個重要的模型（定則）兩個重要的模型（定則）5.9.2 5.9.2 合金的性質(zhì)和能帶結(jié)構(gòu)：合金的性質(zhì)和能帶結(jié)構(gòu)： 休姆休姆- -羅瑟里定則羅瑟里定則Bloch定理提出后，1931年Kronig和Penney提出了一維方形場模型，它可以用簡單的解析函數(shù)嚴格求解，得出了周期場中運動的粒子允許能級形成能帶，能帶之間是禁帶的結(jié)論。但這是一維周期勢場，還不能算是真正的嘗試。不過近來卻常使用Kronig-Penney勢討論超晶格的能帶。5.9.1 超晶格-可勒尼希彭尼(Kronig-Penny)模型方形勢阱

2、周期排列，勢阱寬方形勢阱周期排列，勢阱寬a，勢壘寬，勢壘寬b，晶體勢的周期是，晶體勢的周期是a+b=c，勢壘高度為，勢壘高度為U0 U xxabb0aba0U1. Kronig-Penny模型模型其解具有Bloch函數(shù)形式 ikxkxe ux代入一維Schrodinger方程20222222020dmEUdxdmEdx0bx 0 xa220222222dUEm dxdEm dx1、在區(qū)域、在區(qū)域 0 x a：U0 = 0這是一個二階常系數(shù)微分方程，它的解為： ()()ik xik xu xAeBe其中A和B都是任意常數(shù)。這個區(qū)域內(nèi)的本征函數(shù)是向右和向左行進的平面波的線性組合，而能量為 2222

3、220d u xdu xmEikku xdxdx令：222mE 222220d u xdu xikku xdxdx i xi xxAeBe222Em2、在區(qū)域、在區(qū)域 -b x 0：U0 0 ()()ik xik xu xCeDe同樣C、D都是常數(shù)， 22022220d u xdu xmikEUku xdxdx我們只考慮束縛態(tài)：E U022002222mUmUE 222220d u xdu xikku xdxdx xxxCeDe2202UEm它可以用來確定作為指標標識這個解的波矢k。所以在區(qū)間axa+b內(nèi)我們希望得到具有Bloch形式的完全解，如此一來，在區(qū)間axa+b內(nèi)的解應(yīng)當通過Bloch

4、定理與區(qū)間-bx0內(nèi)的解聯(lián)系起來： ik a bxabex ()()()x a bx a bik a bxCeDee 對整個系統(tǒng)而言，兩個區(qū)域的波函數(shù)、d /dx在x=0，x=a處是連續(xù)的，這就需要對A、B、C、D四個系數(shù)作選擇。在x=0處有：iABCDABCD在x=a處有：ik a bi ai abbAeBeCeDeeik a bi ai abbiAeBeCeDee只有當A、B、C、D的系數(shù)行列式為零時，四個方程才有解，即有其中22sinhsincoshcoscos2babak ab cosh,sinh22xxxxeeeexx為了簡化這個結(jié)果，我們?nèi)O限b0、U0，上式表示為令 這個量保持有

5、限，從而得到一個周期性函數(shù)，這里就用它表示周期勢場。在這一極限情況下，b1，上式表示為 02sincoscosamU baakaa02mU baP sincoscosaPakaan U0=0的情形sincoscosaPakaacoscosakaak2221222mmmEpak22222pkEmmsincoscosafaPakaak E k222kEm自由電子的自由電子的E-k拋物線曲線圖拋物線曲線圖sinaPaacosaasincosafaPaa如：假設(shè)系數(shù)如：假設(shè)系數(shù)P=10，勢阱寬度，勢阱寬度a=5A，求最小的允帶帶寬。，求最小的允帶帶寬。為了求得最小的允帶寬度，必須求得ka由0改變至?xí)r，

6、在a值上的差異。當ka=0時，解：解：sin10cos1aaasincoscosafaPakaa由試誤法得到a=2.628rad對a=2.628而言，可得1222.628mEa2234221912231102.6281.054 101.68 101.05322 9.11 105 10EJeVma對a=而言，可得1922.407 101.50EJeV當ka=時， ，a=。sin10cos1aaa 所以允許能帶寬度為211.501.0530.447EEEeV由上圖可以看到當能量增加時，由Kronig-Penny模型所得到的允許能帶帶寬也會增大。sincosaPaaa函數(shù)函數(shù) 在在P=3 /2時的示

7、意圖。能量時的示意圖。能量 的允許的允許值由特定范圍內(nèi)中的值由特定范圍內(nèi)中的 給出，這一范圍給出，這一范圍是函數(shù)是函數(shù) 取值取值 1之間的范圍。對能量的其之間的范圍。對能量的其它取值，波動方程不存在行波解或類它取值，波動方程不存在行波解或類Bloch解，從而以此在解，從而以此在能譜中構(gòu)成禁帶。能譜中構(gòu)成禁帶。sincosaPaa1/222/amasincosaPaa在在KronigPenny勢場中的勢場中的能量關(guān)于波數(shù)的關(guān)系曲線，其中能量關(guān)于波數(shù)的關(guān)系曲線，其中P=3 /2。請注意在。請注意在ka= ，2 ，3 ，處出現(xiàn)的能隙。處出現(xiàn)的能隙。1、它是第一個可以嚴格求解的模型，證實了周期場中的電

8、、它是第一個可以嚴格求解的模型，證實了周期場中的電子可以占據(jù)的能級形成能帶，能帶之間存在禁帶；子可以占據(jù)的能級形成能帶，能帶之間存在禁帶；2、這個模型有多方面的適應(yīng)性，經(jīng)過適當修正可以用來討、這個模型有多方面的適應(yīng)性，經(jīng)過適當修正可以用來討論表面態(tài)、合金能帶以及超晶格的能帶問題。論表面態(tài)、合金能帶以及超晶格的能帶問題。Kronig-Penney一維方形勢場模型有著重要的意義：一維方形勢場模型有著重要的意義：n 應(yīng)用：超晶格超晶格超晶格材料是一種人工生長的周期性材料，即在原來自然晶體晶格的周期結(jié)構(gòu)上疊加一個人工周期。超晶格材料可分為組分超晶格和摻雜超晶格兩類，研究比較多的是組分超晶格。組分超晶格

9、是由不同的半導(dǎo)體薄膜材料形成的周期性結(jié)構(gòu)，可以用ABAB來表示，其中A代表一種半導(dǎo)體，如GaAs，B代表另一種半導(dǎo)體，如AlxGa1-xAs。一維超晶格一維超晶格（量子阱超晶格）（量子阱超晶格）二維超晶格二維超晶格（量子阱超晶格）（量子阱超晶格）三維超晶格三維超晶格（量子點超晶格）（量子點超晶格）超晶格的布里淵區(qū)折疊超晶格的布里淵區(qū)折疊超晶格超晶格形成的能帶結(jié)構(gòu)總，每一個子能帶都有更精細的迷你子能帶（minibands）結(jié)構(gòu)，迷你子能帶之間有迷你能隙（minigaps）。我們可以認為超晶格的周期性導(dǎo)致了一套新的布里淵區(qū)邊界以及相應(yīng)的能隙。以上結(jié)果稱為休姆以上結(jié)果稱為休姆羅瑟里定則。羅瑟里定則。

10、在黃銅系中，各個相單獨存在的區(qū)域內(nèi)，各成分可用化學(xué)式表示，各相在黃銅系中，各個相單獨存在的區(qū)域內(nèi)，各成分可用化學(xué)式表示，各相中價電子數(shù)同原子數(shù)之比也有確定值。中價電子數(shù)同原子數(shù)之比也有確定值。 相（體心立方）相（體心立方）CuZn 價電子數(shù)價電子數(shù)/ /原子數(shù)原子數(shù)= =3/2 相（復(fù)雜立方）相（復(fù)雜立方）Cu5Zn8 價電子數(shù)價電子數(shù)/ /原子數(shù)原子數(shù)= =21/13 相相 ( (六角密積）六角密積）CuZn3 價電子數(shù)價電子數(shù)/ /原子數(shù)原子數(shù)= =7/45.9.2 合金的性質(zhì)和能帶結(jié)構(gòu) -休姆-羅瑟里定則1 休姆休姆-羅瑟里定則羅瑟里定則(1) Zn36%， 相；相；(2) 36%Zn4

11、8%， 相相+ + 相；相；(3) 48%Zn52%， 相；相； (4) 52%Zn59%， 相相+ + 相；相；(5) 59% Zn68%， 相；相； (6) 68%ZnEB當當E超過第二布里淵區(qū)的最低能量超過第二布里淵區(qū)的最低能量EB時：時：N(E)由由0迅速增大。迅速增大。 ENSEN(E)EAECEBECEA后，能級密度才迅速減小，后，能級密度才迅速減小，電子可以填充到比較低的能級。因此當鋅的濃度超過電子可以填充到比較低的能級。因此當鋅的濃度超過36%但低于但低于48%時，時， 相比較穩(wěn)定。同理也可以說明，當濃相比較穩(wěn)定。同理也可以說明，當濃度再增加時，合金的結(jié)構(gòu)又要改變度再增加時，合

12、金的結(jié)構(gòu)又要改變，而進入，而進入 相。相。第十節(jié)第十節(jié) 總結(jié)總結(jié)1. 1. 布洛赫定理布洛赫定理在晶格周期性勢場中運動的電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波。在晶格周期性勢場中運動的電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波。具有此形式的波函數(shù)稱為布洛赫波函數(shù)。具有此形式的波函數(shù)稱為布洛赫波函數(shù)。 rurkrkik e nkkRruru ,rRrnRk in)(e)( 布洛赫波函數(shù)具有如下特點：布洛赫波函數(shù)具有如下特點：)()(rrhKkk )3 2 1( 22， ibkbiii在此范圍內(nèi)在此范圍內(nèi)k共有共有N個值個值( (N為晶體原胞數(shù)為晶體原胞數(shù)) ) 22d)e(1aaikxnxxVaV 22

13、2d)e(1aanxaixxVaikxnnVxVe)( (1) (1) 模型：模型：假定周期場起伏較小，而電子的平均動能比其勢能的絕對值大得多假定周期場起伏較小，而電子的平均動能比其勢能的絕對值大得多。作為零級近似，用勢能的平均值作為零級近似，用勢能的平均值V0代替代替V(x)，把周期性起伏把周期性起伏V(x)-V0作為微擾作為微擾來處理。來處理。2. 2. 近自由電子近似近自由電子近似(2) (2) 勢場勢場 220)d(1aaxxVaV是是勢勢能能的的平平均均值值其其中中。)(exukikx nnxainikxnakkmVL2222)2(2e1e1 )(xk nnknakkmVmkE222

14、222)2(22ikxkLxe1)(0mkEk2220 (3) (3) 波函數(shù)和能量波函數(shù)和能量 (1) (1)在在k=n /a處處( (布里淵區(qū)邊界上），電子的能量出現(xiàn)禁帶，禁帶寬度為布里淵區(qū)邊界上），電子的能量出現(xiàn)禁帶，禁帶寬度為 ；nV2(2)(2)在在k=n /a附近，能帶底部電子能量與波矢的關(guān)系是向上彎曲的拋物線，附近，能帶底部電子能量與波矢的關(guān)系是向上彎曲的拋物線，能帶頂部是向下彎曲的拋物線；能帶頂部是向下彎曲的拋物線；(3)(3)在在k遠離遠離n /a處，電子的能量與自由電子的能量相近。處，電子的能量與自由電子的能量相近。 利用以上特點，可以畫出近自由電子近似的能帶圖。利用以上特

15、點，可以畫出近自由電子近似的能帶圖。(4) (4) 結(jié)論結(jié)論電子能帶的三種圖示法電子能帶的三種圖示法( (a)a) 擴展區(qū)圖擴展區(qū)圖：在不同的布里淵區(qū)畫出不同：在不同的布里淵區(qū)畫出不同的能帶；的能帶；( (b)b) 簡約區(qū)圖簡約區(qū)圖：將不同能帶平移適當?shù)牡垢瘢簩⒉煌軒揭七m當?shù)牡垢袷高M入到第一布里淵區(qū)內(nèi)表示矢進入到第一布里淵區(qū)內(nèi)表示( (在簡約在簡約布里淵區(qū)內(nèi)畫出所有能帶布里淵區(qū)內(nèi)畫出所有能帶) )；( (c)c) 周期區(qū)圖周期區(qū)圖：在每一個布里淵區(qū)周期性：在每一個布里淵區(qū)周期性地畫出所有能帶地畫出所有能帶( (強調(diào)任一特定的波強調(diào)任一特定的波矢矢k k的能量可以用和它相差的能量可以用和它相

16、差K Kh h的波矢來的波矢來描述描述) )。每個布里淵區(qū)中波矢每個布里淵區(qū)中波矢k可取可取N個值，而能帶序號越小，能帶寬度越小，故個值，而能帶序號越小，能帶寬度越小，故能帶序號越小，能態(tài)密度越大。能帶序號越小，能態(tài)密度越大。(5) (5) 能帶圖能帶圖3. 3. 平面波方法平面波方法平面波方法就是三維周期場中電子運動的近自由電子近似。平面波方法就是三維周期場中電子運動的近自由電子近似。 mmmmkrKimkrKimKVVKV)r(V)e()e(0rk irk ikNVr e1e1)(0 mkEk2220 (1) (1) 模型模型(2) (2) 勢場和波函數(shù)勢場和波函數(shù) llKrKilrkik

17、KaNr)e(e1)( )(2)(22nKVmkkE 發(fā)生能量不連續(xù)的波矢發(fā)生能量不連續(xù)的波矢 滿足的條件可改寫為滿足的條件可改寫為: :k0)2( nnKkK對于三維的情況，沿各個方向在布里淵區(qū)邊界對于三維的情況，沿各個方向在布里淵區(qū)邊界E(k)函數(shù)是間斷的，但函數(shù)是間斷的，但不同方向斷開時的能量取值不同，因而有可能使能帶發(fā)生重疊。不同方向斷開時的能量取值不同，因而有可能使能帶發(fā)生重疊。(3) (3) 結(jié)論結(jié)論0nK kknK晶體中的電子在某個原子附近時主要受該原子勢場晶體中的電子在某個原子附近時主要受該原子勢場 的作用，的作用，其他原子的作用視為微擾來處理，以孤立原子的電子態(tài)作為零級近似其他原子的作用視為微擾來處理，以孤立原子的電子態(tài)作為零級近似。)(nRrV mRmatnatRrVRrVrV)()(2) (2) 勢場勢場 4. 4. 緊束縛近似緊束縛近似(1) (1) 模型模型 nnRnatRk iRrNr ,k)(e1)( (3) (3) 波函數(shù)波函數(shù) nsnRsnRRk issatJJEkE)(e)( (4) (4) 能量表達式能量表達式(5) (5) 能帶寬度能帶寬度minmaxEEE (1) (1) 畫出布里淵區(qū)的廣延區(qū)圖形；畫出布里淵區(qū)的廣延區(qū)圖形；(2) (2)