數(shù)值分析(第一章)修正版

1、數(shù)值分析數(shù)值分析教師：王賓教師：王賓第一章第一章 緒論緒論v&1 數(shù)值分析的對(duì)象與任務(wù)數(shù)值分析的對(duì)象與任務(wù)v&2 誤差基礎(chǔ)知識(shí)誤差基礎(chǔ)知識(shí)v&3 舍入誤差分析及數(shù)值穩(wěn)定舍入誤差分析及數(shù)值穩(wěn)定&1 數(shù)值分析的對(duì)象與任務(wù)數(shù)值分析的對(duì)象與任務(wù)1實(shí)際問(wèn)題的提出實(shí)際問(wèn)題的提出2建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型 3設(shè)計(jì)高效設(shè)計(jì)高效,可靠的數(shù)值方法可靠的數(shù)值方法4程序設(shè)計(jì)程序設(shè)計(jì)5上機(jī)實(shí)踐計(jì)算結(jié)果上機(jī)實(shí)踐計(jì)算結(jié)果科學(xué)與工程領(lǐng)域中問(wèn)題求解的一般過(guò)程科學(xué)與工程領(lǐng)域中問(wèn)題求解的一般過(guò)程: 鑒于實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性，通常將其具體地分鑒于實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性，通常將其具體地分解為一系列子問(wèn)題進(jìn)行研究，

2、本課程主要涉及如解為一系列子問(wèn)題進(jìn)行研究，本課程主要涉及如下幾個(gè)方面問(wèn)題的求解算法：下幾個(gè)方面問(wèn)題的求解算法： v 函數(shù)的插值和逼近函數(shù)的插值和逼近v 數(shù)值積分和數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分和數(shù)值微分v 線性方程組求解、非線性方程（組）求解線性方程組求解、非線性方程（組）求解v 代數(shù)特征值問(wèn)題代數(shù)特征值問(wèn)題v 常微分方程數(shù)值解。常微分方程數(shù)值解。 算法應(yīng)用的意義算法應(yīng)用的意義 數(shù)值分析研究對(duì)象以及解決問(wèn)題方法的廣泛實(shí)數(shù)值分析研究對(duì)象以及解決問(wèn)題方法的廣泛實(shí)用性用性,著名流行軟件如著名流行軟件如Maple,Matlab,Mathematica等已將其絕大多數(shù)內(nèi)容設(shè)計(jì)成函數(shù)等已將其絕大多數(shù)內(nèi)容設(shè)計(jì)成函數(shù),簡(jiǎn)單

3、調(diào)用之后便簡(jiǎn)單調(diào)用之后便可以得到運(yùn)行結(jié)果可以得到運(yùn)行結(jié)果 但由于實(shí)際問(wèn)題的具體特征但由于實(shí)際問(wèn)題的具體特征,復(fù)雜性復(fù)雜性,以及算法自以及算法自身的適用范圍決定了應(yīng)用中必須選擇身的適用范圍決定了應(yīng)用中必須選擇,設(shè)計(jì)適合于自設(shè)計(jì)適合于自己特定問(wèn)題的算法己特定問(wèn)題的算法,因而掌握數(shù)值方法的思想和內(nèi)容因而掌握數(shù)值方法的思想和內(nèi)容是至管重要的是至管重要的.科學(xué)計(jì)算科學(xué)計(jì)算(數(shù)值模擬數(shù)值模擬)已經(jīng)被公認(rèn)為與理論分析已經(jīng)被公認(rèn)為與理論分析,實(shí)驗(yàn)分析并列的科學(xué)研究三大基礎(chǔ)手段之一實(shí)驗(yàn)分析并列的科學(xué)研究三大基礎(chǔ)手段之一. &2誤差基礎(chǔ)知識(shí)誤差基礎(chǔ)知識(shí)一一 、誤差來(lái)源、誤差來(lái)源二、誤差度量二、誤差度量三、

4、初值誤差傳播三、初值誤差傳播 一一 誤差來(lái)源誤差來(lái)源模型誤差模型誤差:數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問(wèn)題的差異數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問(wèn)題的差異觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差:觀測(cè)結(jié)果與實(shí)際問(wèn)題的差異觀測(cè)結(jié)果與實(shí)際問(wèn)題的差異截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差: 數(shù)值方法的精確解與待求解模型的理數(shù)值方法的精確解與待求解模型的理 論分析解之間的差異論分析解之間的差異舍入誤差舍入誤差:對(duì)超過(guò)某有限位數(shù)的數(shù)據(jù)進(jìn)行舍入所對(duì)超過(guò)某有限位數(shù)的數(shù)據(jù)進(jìn)行舍入所 產(chǎn)生的誤差產(chǎn)生的誤差. 例如例如: 為截?cái)嗾`差為截?cái)嗾`差(方法誤差方法誤差) 利用計(jì)算機(jī)計(jì)算利用計(jì)算機(jī)計(jì)算e的近似值的近似值en時(shí)，實(shí)際上時(shí)，實(shí)際上得不到得不到en的精確值，只能得到的精確值，只能得到en的近似

5、的近似e*，這，這樣樣e*作為作為e的近似包含有舍入誤差和截?cái)嗾`差的近似包含有舍入誤差和截?cái)嗾`差兩部分：兩部分：111111,11!2!1!2!neen nee*()()nneeeeee 二二 誤差度量誤差度量1.絕對(duì)誤差及絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差及絕對(duì)誤差限2.相對(duì)誤差及相對(duì)誤差限相對(duì)誤差及相對(duì)誤差限3.有效數(shù)字有效數(shù)字4.三種度量之間的關(guān)系三種度量之間的關(guān)系1.絕對(duì)誤差及絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差及絕對(duì)誤差限定義定義:設(shè)是準(zhǔn)確值設(shè)是準(zhǔn)確值x的一個(gè)近似，稱的一個(gè)近似，稱為為 近似近似x的的絕對(duì)絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱為誤差。誤差，簡(jiǎn)稱為誤差。 在不引起混淆時(shí)，簡(jiǎn)稱符號(hào)在不引起混淆時(shí)，簡(jiǎn)稱符號(hào) 為為 。如果存在著的正

6、數(shù)如果存在著的正數(shù) ， 使得有絕對(duì)誤差使得有絕對(duì)誤差 ，則稱，則稱 為為 近似近似x的一個(gè)的一個(gè)絕對(duì)絕對(duì)誤誤.*()e xxx*x*x*()e x*e*()x*exx*x差限差限，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱誤差限誤差限。 實(shí)際計(jì)算中所要求的絕對(duì)誤差，是指估計(jì)一個(gè)實(shí)際計(jì)算中所要求的絕對(duì)誤差，是指估計(jì)一個(gè)盡可能小的絕對(duì)誤差限。盡可能小的絕對(duì)誤差限。 2.相對(duì)誤差及相對(duì)誤差限相對(duì)誤差及相對(duì)誤差限定義定義 設(shè)是準(zhǔn)確值設(shè)是準(zhǔn)確值 的一個(gè)近似的一個(gè)近似,稱稱為近似為近似x的一個(gè)的一個(gè)絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差。在不引起混淆時(shí)，簡(jiǎn)稱符。在不引起混淆時(shí)，簡(jiǎn)稱符號(hào)號(hào) 為為因因*x(0)x *x*()re x*re*()rxxe xx*

7、2*2* 2*()1()() )()1/rreeexxeexxxxxeeo ex xeexx即即 與與 相差一個(gè)較相差一個(gè)較 高一階的無(wú)高一階的無(wú)窮窮小量。小量。時(shí)常也用后者來(lái)計(jì)算相對(duì)誤差時(shí)常也用后者來(lái)計(jì)算相對(duì)誤差 。 稱數(shù)值稱數(shù)值 的上界為的上界為相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限，記為，記為 它也可以通過(guò)來(lái)計(jì)算了。它也可以通過(guò)來(lái)計(jì)算了。類似地，當(dāng)要求計(jì)算相對(duì)誤差，是估計(jì)類似地，當(dāng)要求計(jì)算相對(duì)誤差，是估計(jì)一個(gè)盡可能小的相對(duì)誤差限。一個(gè)盡可能小的相對(duì)誤差限。*e*exxxx*re*re*re*r*/rx 3.有效數(shù)字有效數(shù)字 為規(guī)定一種近似數(shù)的表示法，使得用為規(guī)定一種近似數(shù)的表示法，使得用它表示的近似數(shù)自身

8、就直接指示出其誤差它表示的近似數(shù)自身就直接指示出其誤差的大小，為此引出有效數(shù)的概念。的大小，為此引出有效數(shù)的概念。(1)有效數(shù)字有效數(shù)字定義定義 :設(shè)設(shè)x的近似值的近似值 有如下標(biāo)準(zhǔn)形式有如下標(biāo)準(zhǔn)形式其中其中m為整數(shù)為整數(shù),如果如果 ,則稱則稱 為的具有為的具有n位有效數(shù)字的近似數(shù)位有效數(shù)字的近似數(shù). 或稱或稱 準(zhǔn)確到準(zhǔn)確到 位位,其中數(shù)字其中數(shù)字 ,分別分別被稱為被稱為 的第一的第一,第二第二,第第n個(gè)有效數(shù)字個(gè)有效數(shù)字.*x*121100.mnpxx xxx 10,1,290,ixxpn， 且*x*x10m n12nx xx*x*1102m nexx 有效數(shù)字的誤差限是末尾單位的一半，可見(jiàn)

9、有有效數(shù)字的誤差限是末尾單位的一半，可見(jiàn)有效數(shù)本身體現(xiàn)了誤差界。效數(shù)本身體現(xiàn)了誤差界。 當(dāng)當(dāng) 準(zhǔn)確到末位，即有準(zhǔn)確到末位，即有n=p,則稱則稱 為有效數(shù)。對(duì)為有效數(shù)。對(duì)真值進(jìn)行四舍五入得到的是有效數(shù)。真值進(jìn)行四舍五入得到的是有效數(shù)。 從實(shí)驗(yàn)儀器所讀的有效數(shù)。從實(shí)驗(yàn)儀器所讀的有效數(shù)。(最后一位是估計(jì)位最后一位是估計(jì)位)不是有效數(shù)，估計(jì)最后一位是為了確保對(duì)最后一位不是有效數(shù)，估計(jì)最后一位是為了確保對(duì)最后一位進(jìn)行四舍五入得到的是有效數(shù)。進(jìn)行四舍五入得到的是有效數(shù)。 例：從最小刻度為厘米的標(biāo)尺讀得的數(shù)據(jù)例：從最小刻度為厘米的標(biāo)尺讀得的數(shù)據(jù)123.4cm是為了得到有效數(shù)是為了得到有效數(shù)123cm.*x*

10、x例例: 求其有效數(shù)？求其有效數(shù)？ 解解:顯然顯然m=1。 ， 故故 有有3位有效數(shù)，是非有效數(shù)。位有效數(shù)，是非有效數(shù)。 ， 故故 有有4 位有效數(shù)，是有效數(shù)。位有效數(shù)，是有效數(shù)。*12,3.141,3.142,xxx*1 3110.000590.005102xx*1 4210.000400.005102xx*1x*2x 確定近似數(shù)的有效數(shù)字確定近似數(shù)的有效數(shù)字,關(guān)鍵需要確定關(guān)鍵需要確定絕對(duì)誤差限。絕對(duì)誤差限。確定十進(jìn)制數(shù)確定十進(jìn)制數(shù)”四舍五入四舍五入” 方法的誤差限。方法的誤差限。設(shè)十進(jìn)制數(shù)設(shè)十進(jìn)制數(shù)x有如下的標(biāo)準(zhǔn)形式有如下的標(biāo)準(zhǔn)形式其中其中m為整數(shù)為整數(shù),對(duì)對(duì)x四舍五入保留四舍五入保留n位

11、數(shù)字，得到近似值位數(shù)字，得到近似值 。 10,1,290ixx， 且*x121100.mnxx xx 1*1211214100.5100.mnnmnnxx xxxxx xx當(dāng)當(dāng)四舍情形下的誤差限。四舍情形下的誤差限。五入情形下的誤差限。五入情形下的誤差限?！八纳嵛迦胨纳嵛迦搿狈ǖ恼`差限是法的誤差限是00*11100.000100.0005102nnmmm nnxxx 個(gè)個(gè)00*1100.0001 0.000nnmnxxx 個(gè)個(gè)11101 0.102m nm nnx 1102m n 例例:對(duì)下列重力常數(shù)的近似值對(duì)下列重力常數(shù)的近似值,求其有效數(shù)字求其有效數(shù)字, 解解:顯然顯然 因?yàn)橐驗(yàn)?或或 所

12、以所以 因?yàn)橐驗(yàn)?或或 所以所以 故均有故均有3位有效數(shù)字位有效數(shù)字,且均有效數(shù)字且均有效數(shù)字。*2*2129.81/0.00981/gm sgkm s121,2,mm 119.81,4gkk229.80,5gkk*1 3110.005102gg11220.00981,40.00980,5gkkgkk*2 3210.000005102gg 4.三種度量之間的關(guān)系三種度量之間的關(guān)系(1)相對(duì)誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系相對(duì)誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系定理定理 設(shè)設(shè)x的近似數(shù)的近似數(shù) 具有標(biāo)準(zhǔn)形式具有標(biāo)準(zhǔn)形式:A: 若若 具有具有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字,則相對(duì)誤差則相對(duì)誤差B: 若相對(duì)誤差若相對(duì)誤差則則 至少

13、具有至少具有n位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。*121100.mnnpxx xx xx *x*x*x*111102nrex*111102(1)nrex證明：證明： A:由由 得相對(duì)誤差得相對(duì)誤差*11 02mne1*11110(1) 10mmxxx*11 02mnreexx11111102101102m nmnxxB:絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差因因知至少具有知至少具有n位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。從而可知：有效數(shù)字增加，相對(duì)誤差限減少。從而可知：有效數(shù)字增加，相對(duì)誤差限減少。(2)絕對(duì)誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系絕對(duì)誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系有效數(shù)字增加有效數(shù)字增加,絕對(duì)誤差限減少。絕對(duì)誤差限減少。由由 即得。即得。*111

14、11110(1) 10102(1)2rnmmneexxx*x*1102m ne例例:為使為使 的近似值的近似值 的相對(duì)誤差不超過(guò)的相對(duì)誤差不超過(guò) 問(wèn)查開(kāi)方表時(shí)至少要取幾位有效數(shù)字問(wèn)查開(kāi)方表時(shí)至少要取幾位有效數(shù)字?解解:設(shè)近似值設(shè)近似值 取取n位有效數(shù)字可滿足題設(shè)要求。位有效數(shù)字可滿足題設(shè)要求。對(duì)于對(duì)于 由定理由定理,有有令令 解得解得即取即取n=4 位有效數(shù)字位有效數(shù)字.20 x 31102120,4xx有*11111101028nnrex1311101082n3.4n *x*x三三 初值誤差傳播初值誤差傳播v概念概念:近似數(shù)參加運(yùn)算后所得之值一般也是近似值近似數(shù)參加運(yùn)算后所得之值一般也是近似

15、值 ,含含有誤差有誤差,將這一現(xiàn)象稱為誤差傳播將這一現(xiàn)象稱為誤差傳播.v誤差傳播的表現(xiàn)誤差傳播的表現(xiàn): -算法本身可具有截?cái)嗾`差算法本身可具有截?cái)嗾`差; -初始數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)的浮點(diǎn)表示一般有舍入誤差初始數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)的浮點(diǎn)表示一般有舍入誤差; -每次運(yùn)算一般又會(huì)產(chǎn)生新的舍入誤差每次運(yùn)算一般又會(huì)產(chǎn)生新的舍入誤差,并傳播以前各并傳播以前各 步已經(jīng)引入的誤差步已經(jīng)引入的誤差; -誤差有正有負(fù)誤差有正有負(fù),誤差積累的過(guò)程一般包含有誤差增長(zhǎng)誤差積累的過(guò)程一般包含有誤差增長(zhǎng) 和誤差相消的過(guò)程和誤差相消的過(guò)程,并非簡(jiǎn)單的單調(diào)增長(zhǎng)并非簡(jiǎn)單的單調(diào)增長(zhǎng); -運(yùn)算次數(shù)非常之多運(yùn)算次數(shù)非常之多,不可能人為地跟蹤每一步

16、運(yùn)算不可能人為地跟蹤每一步運(yùn)算. 初始誤差導(dǎo)致后續(xù)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差初始誤差導(dǎo)致后續(xù)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差,我們稱其我們稱其為為初始誤差傳播。初始誤差傳播。 本節(jié)中本節(jié)中,假設(shè)每一步計(jì)算都是準(zhǔn)確的假設(shè)每一步計(jì)算都是準(zhǔn)確的,即不考慮截?cái)嗾`差和由運(yùn)算進(jìn)一步引入的即不考慮截?cái)嗾`差和由運(yùn)算進(jìn)一步引入的舍入誤差舍入誤差. *(Taylor)方法方法 -n元函數(shù)元函數(shù) -二元函數(shù)二元函數(shù)(算術(shù)運(yùn)算算術(shù)運(yùn)算) -一元函數(shù)一元函數(shù)(計(jì)算函數(shù)值的條件數(shù)計(jì)算函數(shù)值的條件數(shù)) *區(qū)間分析法區(qū)間分析法(工科研究生不要求工科研究生不要求)1 用用Taylor公式分析初值的誤差傳播規(guī)律公式分析初值的誤差傳播規(guī)律設(shè)可微函數(shù)中設(shè)可微

17、函數(shù)中 的自變量的自變量是相互獨(dú)立的函數(shù)值的近似值是相互獨(dú)立的函數(shù)值的近似值為。為。 當(dāng)很好地近似了相應(yīng)的真值當(dāng)很好地近似了相應(yīng)的真值時(shí)，利用多元函數(shù)的一階時(shí)，利用多元函數(shù)的一階Taylor公式可求得的公式可求得的 的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差分別為：的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差分別為：12( ,)nyf x xx12,nx xx*y*12(,)nyf x xx*12,nx xx*121() (,)()niniiie yyyfx xxxx*121 (,) ()niniifx xx e x*12*1()()() (,)niiriniixe xe yeyfx xxyyx*12*1 (,)()niinriixfx

18、xx e xy絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限滿足傳播不等式：絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限滿足傳播不等式：*121*12*1() (,) ()() (,)()niniinirinriiyfx xxxxyfx xxxy二元函數(shù)算術(shù)運(yùn)算的絕對(duì)誤差限滿足傳播不等式二元函數(shù)算術(shù)運(yùn)算的絕對(duì)誤差限滿足傳播不等式*1212*122112*2112*122*22()()()()()()()()(0)xxxxx xxxxxxxxxxxxx*1212*1212*122112*122112*1112* 2222*211212*22(1)()()()()()()(2)()()()()()()()1(3)()()()()()e xxe

19、 xe xxxxxe x xx e xx e xx xxxxxxxee xe xxxxxxxxxxx由得由得由得*2(0)x 二元函數(shù)算術(shù)運(yùn)算的相對(duì)誤差限滿足傳播不等式二元函數(shù)算術(shù)運(yùn)算的相對(duì)誤差限滿足傳播不等式* *121212* * *121212* *11212*2()max ( ), ( )(0)()( )( )(0)( )( )(0)rrrrrrrxxxxx xx xxxx xxxxx xx*12121122*112212*12*12*1212*12*121212()()()()()()()()()max() ,()()max (), ()(0)rrrrrrrrre xxe xe xx

20、 e xx e xx e xx e xe xxxxxxe xxe xe xxxxxxxx x(1)由得*122112*21121212*12*121212*1112*2222*11*22()()()()()()()()()()()(0)()1(3)()()()(1()rrrrrrrrre xxx e xx e xx exx exex xexexx xxxxxx xxxee xe xxxxxee xxx（）由得由*11212*2*22*11212*2)()/()()()()()(0)rrrrrxxe xexexxxxxxx xx得2.區(qū)間分析法 知道初始數(shù)據(jù)的誤差范圍,我們可以用區(qū)間分析法分析初

21、值誤差的傳播規(guī)律。設(shè) 則有如下結(jié)論成立:1122,xa bya b121211111 1121 21 21*,2*,3*1/1/,1/,0,4*min ,max ,xyaa bbxbaxbaabxytt ta a ab bb 規(guī)定如下的區(qū)間運(yùn)算規(guī)則：規(guī)定如下的區(qū)間運(yùn)算規(guī)則： 考慮到考慮到 ，定義定義11221212111111111 111221*, ,2*,3*1/, 1/,1/,0,4*, ,min ,max .a ba baa bba bbaa bbaaba ba btt 1122112212125*, ,( ,),a ba ba ba bab ba (),(1/ )xyxy xyxy

22、112211221122226*,/, (1/,)11, ,0,a ba ba ba ba ba bbav對(duì)于精確數(shù)對(duì)于精確數(shù)p和近似數(shù)和近似數(shù)x之間的算術(shù)運(yùn)算之間的算術(shù)運(yùn)算(代表加、代表加、減、乘、除中任一種運(yùn)算減、乘、除中任一種運(yùn)算)有有117* , ,p xp pa b3 計(jì)算函數(shù)值的條件數(shù)計(jì)算函數(shù)值的條件數(shù) 設(shè)設(shè)x* 是是x的較好近似，由微分中值定理知，可微函數(shù)的較好近似，由微分中值定理知，可微函數(shù)f(x)在這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差滿足在這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差滿足: 即有即有 上式反應(yīng)了函數(shù)值絕對(duì)誤差與自變量絕對(duì)誤差之間的上式反應(yīng)了函數(shù)值絕對(duì)誤差與自變量絕對(duì)誤差之間的關(guān)系，并有如下結(jié)論：關(guān)系，并

23、有如下結(jié)論： 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，函數(shù)值的擾動(dòng)比自變量的微小變化還要時(shí)，函數(shù)值的擾動(dòng)比自變量的微小變化還要小；而當(dāng)??；而當(dāng) 很大時(shí)，自變量的微小變化，將引起函數(shù)很大時(shí)，自變量的微小變化，將引起函數(shù)值較大的擾動(dòng)，此時(shí)，稱值較大的擾動(dòng)，此時(shí)，稱x是函數(shù)是函數(shù)f 在絕對(duì)誤差意義下的在絕對(duì)誤差意義下的壞函數(shù)值點(diǎn)。壞函數(shù)值點(diǎn)。*()( )()(),01( )(),f xf xfxxxxxfx xx*( ()( ) ()e f xfx e x( )1fx ( )fx注意：注意： 故當(dāng)故當(dāng) 很大時(shí)，自變量的微小變化，將引起很大時(shí)，自變量的微小變化，將引起函數(shù)值較大的擾動(dòng)，此時(shí)，稱函數(shù)值較大的擾動(dòng)，此時(shí)，稱x是函數(shù)是函

24、數(shù)f 在相對(duì)誤差在相對(duì)誤差意義下的意義下的壞函數(shù)值點(diǎn)。壞函數(shù)值點(diǎn)。 分別稱為在絕對(duì)誤差意義下和相對(duì)誤差意義下在分別稱為在絕對(duì)誤差意義下和相對(duì)誤差意義下在x點(diǎn)點(diǎn)計(jì)算函數(shù)值的條件數(shù)計(jì)算函數(shù)值的條件數(shù)。( )( )( )( )( )arfxfxCondfxCondff x和*( ()( )( ()()( )( )rre f xfxef xxe xf xf x( )( )fxxf x條件數(shù)與誤差傳播的關(guān)系：條件數(shù)與誤差傳播的關(guān)系： 條件數(shù)是函數(shù)自身在點(diǎn)條件數(shù)是函數(shù)自身在點(diǎn)x處固有的特征。對(duì)于相處固有的特征。對(duì)于相同的自變量擾動(dòng)，條件數(shù)越大，計(jì)算出的函數(shù)值誤差同的自變量擾動(dòng)，條件數(shù)越大，計(jì)算出的函數(shù)值誤

25、差越大。越大。 要提高函數(shù)值的計(jì)算精度，通常只有通過(guò)提高要提高函數(shù)值的計(jì)算精度，通常只有通過(guò)提高初值精度來(lái)實(shí)現(xiàn)。初值精度來(lái)實(shí)現(xiàn)。*( ()( ) ()( ()( )()arrre f xCondf e xef xCondf e x3 舍入誤差分析及數(shù)值穩(wěn)定舍入誤差分析及數(shù)值穩(wěn)定 一一 浮點(diǎn)數(shù)系及其運(yùn)算的舍入誤差浮點(diǎn)數(shù)系及其運(yùn)算的舍入誤差 二二 算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法的數(shù)值穩(wěn)定性 一一 浮點(diǎn)數(shù)系及其運(yùn)算的舍入誤差浮點(diǎn)數(shù)系及其運(yùn)算的舍入誤差 計(jì)算機(jī)中通常配置有兩種類型的算術(shù)運(yùn)計(jì)算機(jī)中通常配置有兩種類型的算術(shù)運(yùn)算算: 定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算和浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算和浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算. 所謂點(diǎn)是指小所謂點(diǎn)是指小數(shù)點(diǎn)數(shù)點(diǎn),

26、用浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行計(jì)算是指用常數(shù)個(gè)用浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行計(jì)算是指用常數(shù)個(gè)數(shù)字?jǐn)?shù)字進(jìn)行工作進(jìn)行工作; 而用定點(diǎn)數(shù)進(jìn)行計(jì)算是指用常數(shù)而用定點(diǎn)數(shù)進(jìn)行計(jì)算是指用常數(shù)個(gè)個(gè)小數(shù)小數(shù)位數(shù)進(jìn)行工作位數(shù)進(jìn)行工作. 這里我們僅介紹較多這里我們僅介紹較多使用的浮點(diǎn)數(shù)系及其運(yùn)算的舍入誤差使用的浮點(diǎn)數(shù)系及其運(yùn)算的舍入誤差. 1 浮點(diǎn)數(shù)系以及舍入誤差的產(chǎn)生浮點(diǎn)數(shù)系以及舍入誤差的產(chǎn)生 一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的表示由正負(fù)號(hào)、小數(shù)形式的尾數(shù)、以及一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的表示由正負(fù)號(hào)、小數(shù)形式的尾數(shù)、以及確定小數(shù)點(diǎn)位置的階三部分組成確定小數(shù)點(diǎn)位置的階三部分組成. 單精度實(shí)數(shù)用單精度實(shí)數(shù)用32位的二位的二進(jìn)制數(shù)據(jù)表示浮點(diǎn)數(shù)的這三個(gè)信息進(jìn)制數(shù)據(jù)表示浮點(diǎn)數(shù)的這三個(gè)信息, 其

27、中數(shù)值符號(hào)占其中數(shù)值符號(hào)占1位位, 尾數(shù)占尾數(shù)占23位位, 階數(shù)占階數(shù)占8位位. 對(duì)于規(guī)范化的浮點(diǎn)數(shù)（除零外）對(duì)于規(guī)范化的浮點(diǎn)數(shù)（除零外）, 23位的二進(jìn)制尾數(shù)位的二進(jìn)制尾數(shù)形式是形式是: 式中式中 表示尾數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后第表示尾數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后第i位的權(quán)位的權(quán). 當(dāng)尾數(shù)的首位小于當(dāng)尾數(shù)的首位小于5時(shí)時(shí), 可通過(guò)不斷乘以可通過(guò)不斷乘以2使之首位大于或等于使之首位大于或等于5, 相應(yīng)的二進(jìn)相應(yīng)的二進(jìn)制階數(shù)需要減去乘以制階數(shù)需要減去乘以2的次數(shù)。的次數(shù)。2312323 22(0.)22 ,0,1,iiiia aaaa2i 在在8位的階數(shù)中位的階數(shù)中, 有有1位表示階數(shù)的符號(hào)位表示階數(shù)的符號(hào), 7位表位表示

28、二進(jìn)制的階數(shù)數(shù)值示二進(jìn)制的階數(shù)數(shù)值, 于是階數(shù)數(shù)值的范圍是于是階數(shù)數(shù)值的范圍是 。 單精度實(shí)數(shù)集合為單精度實(shí)數(shù)集合為:其中元素是能夠準(zhǔn)確表示的數(shù)其中元素是能夠準(zhǔn)確表示的數(shù), 稱之為稱之為機(jī)器數(shù)機(jī)器數(shù). 設(shè)設(shè) ,與之相鄰的能夠準(zhǔn)確表示的機(jī)器數(shù)是與之相鄰的能夠準(zhǔn)確表示的機(jī)器數(shù)是 . 這樣這樣, 在區(qū)間在區(qū)間 上的實(shí)數(shù)無(wú)法準(zhǔn)確表示上的實(shí)數(shù)無(wú)法準(zhǔn)確表示. 231720 |2 (22 ),21risiiRa aapzp且saR( , )( , )c aa b和70 21232322ppbaca和規(guī)定規(guī)定: 不能精確表示的實(shí)數(shù)用與之最近的機(jī)器數(shù)表示不能精確表示的實(shí)數(shù)用與之最近的機(jī)器數(shù)表示 我們將實(shí)數(shù)在機(jī)器

29、中的浮點(diǎn)我們將實(shí)數(shù)在機(jī)器中的浮點(diǎn)(float)表示為表示為fl(x)。 將由此表示產(chǎn)生的誤差將由此表示產(chǎn)生的誤差 稱之為舍入誤差稱之為舍入誤差. 如當(dāng)如當(dāng) 時(shí)用時(shí)用a表示表示, 即有即有相對(duì)誤差相對(duì)誤差 滿足滿足二進(jìn)制階數(shù)數(shù)值上限二進(jìn)制階數(shù)數(shù)值上限 相應(yīng)于十進(jìn)制的階數(shù)數(shù)值相應(yīng)于十進(jìn)制的階數(shù)數(shù)值上限是上限是 。 除零外除零外, 單精度實(shí)數(shù)的量級(jí)不大于單精度實(shí)數(shù)的量級(jí)不大于 不小不小于于 。1 23231*6.923( )2210( )2pprfl xxefl x 1 231 23,)(2,2)22ppca abxaa ( )fl xx( )fl xa738(21)lg238.23)7213810

30、3010*re 設(shè)在某一浮點(diǎn)系統(tǒng)中設(shè)在某一浮點(diǎn)系統(tǒng)中, 尾數(shù)占尾數(shù)占t位二進(jìn)制數(shù)位二進(jìn)制數(shù)(未計(jì)算尾數(shù)的未計(jì)算尾數(shù)的符號(hào)位符號(hào)位), 階數(shù)占階數(shù)占S位二進(jìn)制數(shù)位二進(jìn)制數(shù)(未計(jì)算階數(shù)的符號(hào)位未計(jì)算階數(shù)的符號(hào)位), 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)x的浮點(diǎn)表示的浮點(diǎn)表示fl(x)共需要共需要t+S+2位的二進(jìn)制數(shù)位。位的二進(jìn)制數(shù)位。 當(dāng)不出現(xiàn)溢出時(shí)當(dāng)不出現(xiàn)溢出時(shí), 相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差分別滿足如下估相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差分別滿足如下估計(jì)計(jì): p由由 確定，上溢界和下溢界分別是：確定，上溢界和下溢界分別是： 。 對(duì)于單精度實(shí)數(shù)有對(duì)于單精度實(shí)數(shù)有t=23, S=7。*1*1( )122( )2( )22ttrptfl xxefl

31、xefl xx122ppx( 21 ) lg 2211022lg 22210ssss 和2浮點(diǎn)運(yùn)算舍入誤差分析浮點(diǎn)運(yùn)算舍入誤差分析 設(shè)實(shí)數(shù)設(shè)實(shí)數(shù)x滿足滿足 , 則則x的浮點(diǎn)表示的浮點(diǎn)表示fl(x)滿足滿足 其中其中s, t分別為浮點(diǎn)系統(tǒng)中給二進(jìn)制階數(shù)數(shù)值以及尾數(shù)數(shù)值分別為浮點(diǎn)系統(tǒng)中給二進(jìn)制階數(shù)數(shù)值以及尾數(shù)數(shù)值的表的表 示所分配的二進(jìn)制數(shù)位。示所分配的二進(jìn)制數(shù)位。 證明：設(shè)證明：設(shè) , 則有則有 , 故得故得 用符號(hào)用符號(hào)表示加減乘除四種算術(shù)運(yùn)算之一，則有表示加減乘除四種算術(shù)運(yùn)算之一，則有12221ppsxp且( )(1),2tfl xx( )(1)fl xx( )fl xxx11( )222p

32、ttpfl xxx ( )( )( )( )(1),2tfl fl x ofl yfl x ofl y 例例 對(duì)三同號(hào)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算對(duì)三同號(hào)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算a+b+c作舍入誤差分析。作舍入誤差分析。 解解 這里對(duì)運(yùn)算這里對(duì)運(yùn)算(a+b)+c 作誤差分析。作誤差分析。312351234513135153513523( )( )( )( )(1)( (1)(1)(1)( )( )( ) ( )( )( )(1) (1)(1)(1)(1)(1)()(fl fl afl bfl afl babfl fl fl afl bfl cfl fl afl bfl cabcabcab 23525352354545)(

33、)c 設(shè)設(shè) 于是得到于是得到 表明表明:數(shù)學(xué)上等價(jià)的算法在數(shù)值上并不總是等效的。數(shù)學(xué)上等價(jià)的算法在數(shù)值上并不總是等效的。 這種將誤差估計(jì)轉(zhuǎn)化為原始數(shù)據(jù)攝動(dòng)的方法這種將誤差估計(jì)轉(zhuǎn)化為原始數(shù)據(jù)攝動(dòng)的方法, 稱稱之為之為向后誤差分析法向后誤差分析法。 通常的思路通常的思路: 對(duì)每一步找出舍入誤差界對(duì)每一步找出舍入誤差界, 隨著計(jì)隨著計(jì)算過(guò)程逐步向前分析算過(guò)程逐步向前分析, 直到估計(jì)出最后結(jié)果的誤差界直到估計(jì)出最后結(jié)果的誤差界, 這一方法稱之為這一方法稱之為向前誤差分析法向前誤差分析法。 232( )( )( )()()(33)(2)fl fl fl afl bfl cabcabc 2 ,1,2,3,4,5.tii二算法的數(shù)值穩(wěn)定性二算法的數(shù)值穩(wěn)定性 一個(gè)算法一個(gè)算法, 如果在運(yùn)算過(guò)程中舍入誤差在一定條如果在運(yùn)算過(guò)程中舍入誤差在一定條件下能夠得到控制件下能夠得到控制, 或者舍入誤差的增長(zhǎng)不影響產(chǎn)或者舍入誤差的增長(zhǎng)不影響產(chǎn)生可靠的結(jié)果生可靠的結(jié)果, 則稱該算法是則稱該算法是數(shù)值穩(wěn)定數(shù)值穩(wěn)定的的, 否則稱否則稱其為其為數(shù)值不穩(wěn)定數(shù)值不穩(wěn)定。 例：在四位計(jì)算機(jī)上求解例：在四位計(jì)算機(jī)上求解 精確解精確解 若消元若消元近似解近似解12120.0000121232xxxx120.2500018750.499998745xx41112662100.1000100.20