數(shù)學(xué)文化7數(shù)學(xué)思想與方法 (1)

1、第七講第七講 數(shù)學(xué)思想與方法數(shù)學(xué)思想與方法 數(shù)學(xué)思想與方法概述數(shù)學(xué)思想與方法概述 18世紀(jì)前的數(shù)學(xué)思想方法世紀(jì)前的數(shù)學(xué)思想方法 近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法 公理化公理化 數(shù)學(xué)機(jī)械化數(shù)學(xué)機(jī)械化一、數(shù)學(xué)思想與方法概述 數(shù)學(xué)思想：關(guān)于數(shù)學(xué)概念、理論、方法以及形態(tài)的產(chǎn)生與發(fā)展規(guī)律的認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，對數(shù)學(xué)自身規(guī)律性的認(rèn)識。 數(shù)學(xué)方法：數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)問題解決過程中所運(yùn)用的具體手段（或途徑）。 數(shù)學(xué)思想方法：人們混用數(shù)學(xué)思想或數(shù)學(xué)方法，有時(shí)不一定要嚴(yán)格區(qū)分，合稱數(shù)學(xué)思想方法。 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，重大數(shù)學(xué)成果的取得，往往與數(shù)學(xué)思想方法的突破分不開。 我們不只是為了了解、理解一

2、些具體的數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法，更著 眼于在認(rèn)識論、世界觀和方法方法論等方面有所提高。數(shù)學(xué)思想方法比具體的數(shù)學(xué)知識更重要 數(shù)學(xué)在其漫長的發(fā)展過程中，不僅建立了嚴(yán)密的知識體系，而且形成了一整套行之有效的思想和方法 日本數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家米山國藏米山國藏在從事多年的數(shù)學(xué)教育研究之后，說過這樣一段話： “學(xué)生們在初中或高中所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，在進(jìn)入社會后，幾乎沒有什么機(jī)會應(yīng)用，因而這種作為知識的數(shù)學(xué)，通常在出校門后不到一兩年就忘掉了然而不管他們從事什么職業(yè)，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用”。 在提高人的素質(zhì)中發(fā)揮重要作用的是在長期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中逐步形成的

3、數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，而不是具體數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)含的思想與抽象出來的思想數(shù)學(xué)思想，包括蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程中的思想以及從中抽象出來的成為規(guī)律性的思想美M克萊因的古今數(shù)學(xué)思想（Mathematical Thought from Ancient to Modern Time ）（4冊）蘇聯(lián)亞歷山大洛夫等于1956年發(fā)表的著作數(shù)學(xué)它的內(nèi)容、方法和意義，當(dāng)屬前一類思想國內(nèi)，徐利治等一批數(shù)學(xué)家的工作屬后者。數(shù)學(xué)教學(xué)的過度包裝 今天，學(xué)生們的數(shù)學(xué)知識，主要是從數(shù)學(xué)課程中獲得的。通常的數(shù)學(xué)課程給出的是一個(gè)系統(tǒng)的邏輯敘述，這些課程經(jīng)過編纂者的錘煉，成為“完美”的典范。這就使學(xué)生們淹沒在成串的定理中，并產(chǎn)生

4、一種幻象：數(shù)學(xué)就是從定義到定理，數(shù)學(xué)家們都是無堅(jiān)不克的英雄。歷史卻恰恰相反“課本中的字斟句酌的敘述，未能表現(xiàn)出創(chuàng)造過程的斗爭、挫折，以及在建立一個(gè)可觀的結(jié)構(gòu)之前，數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的艱苦漫長的道路。學(xué)生一旦知道這一點(diǎn)，他將不僅獲得真知灼見，還將獲得頑強(qiáng)地追究他所攻問題的勇氣，并且不會因?yàn)樗约旱墓ぷ鞑⒎峭昝罒o缺而感到頹喪。實(shí)在說，敘述數(shù)學(xué)家如何跌跤，如何在迷霧中摸索前進(jìn)，并且如何零零碎碎得到他們的成果，應(yīng)能使搞研究工作的任一新手鼓起勇氣?！倍?8世紀(jì)前的數(shù)學(xué)思想方法 提出了許多具體的方法，以解決數(shù)學(xué)中的提出了許多具體的方法，以解決數(shù)學(xué)中的實(shí)際問題實(shí)際問題 古希臘的亞里士多德與歐幾里得提出了公古希臘

5、的亞里士多德與歐幾里得提出了公理方法，將大量的、零散的幾何知識系統(tǒng)理方法，將大量的、零散的幾何知識系統(tǒng)化，并由歐幾里得等人完成了化，并由歐幾里得等人完成了幾何原幾何原本本。 中國古代數(shù)學(xué)家劉徽提出了中國古代數(shù)學(xué)家劉徽提出了“割圓術(shù)割圓術(shù)”，以解決長期存在的、圓周率計(jì)算不精確的以解決長期存在的、圓周率計(jì)算不精確的問題，其中包含著極限思想方法的萌芽。問題，其中包含著極限思想方法的萌芽。 英國數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對數(shù)方法，以解英國數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對數(shù)方法，以解決天文觀測及貿(mào)易中存在的繁重的數(shù)字計(jì)決天文觀測及貿(mào)易中存在的繁重的數(shù)字計(jì)算問題。算問題。 法國數(shù)學(xué)家帕斯卡確立了數(shù)學(xué)歸納法，以解決數(shù)學(xué)論法國數(shù)

6、學(xué)家帕斯卡確立了數(shù)學(xué)歸納法，以解決數(shù)學(xué)論證中存在的不嚴(yán)密的問題。證中存在的不嚴(yán)密的問題。 法國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾提出了坐標(biāo)法、用代數(shù)方法國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾提出了坐標(biāo)法、用代數(shù)方法研究幾何問題，并從而開創(chuàng)了不同數(shù)學(xué)分支相結(jié)合法研究幾何問題，并從而開創(chuàng)了不同數(shù)學(xué)分支相結(jié)合的思想方法。的思想方法。 英國的牛頓與德國的萊布尼茨創(chuàng)立了無窮小量方法。英國的牛頓與德國的萊布尼茨創(chuàng)立了無窮小量方法。 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉和法國數(shù)學(xué)家拉格朗日共同建立了變?nèi)鹗繑?shù)學(xué)家歐拉和法國數(shù)學(xué)家拉格朗日共同建立了變分法，以解決分法，以解決“等周問題等周問題”、“最速降線問題最速降線問題”等長等長期解決不了的極大與極小問題等。期

7、解決不了的極大與極小問題等。三、近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想與方法 創(chuàng)立了一批具有突破性、系統(tǒng)性的思想方創(chuàng)立了一批具有突破性、系統(tǒng)性的思想方法，促使數(shù)學(xué)的某些分支發(fā)生了革命性的法，促使數(shù)學(xué)的某些分支發(fā)生了革命性的變革；變革； 主要體現(xiàn)在代數(shù)學(xué)、分析學(xué)分支以及公理主要體現(xiàn)在代數(shù)學(xué)、分析學(xué)分支以及公理化體系、數(shù)學(xué)機(jī)械化等領(lǐng)域化體系、數(shù)學(xué)機(jī)械化等領(lǐng)域1.代數(shù)學(xué)中群論的思想方法。代數(shù)學(xué)中群論的思想方法。 19世紀(jì)以來，人們在探求五次和五次以上世紀(jì)以來，人們在探求五次和五次以上代數(shù)方程的代數(shù)解法問題上，打破了百余年來代數(shù)方程的代數(shù)解法問題上，打破了百余年來毫無進(jìn)展的僵局。毫無進(jìn)展的僵局。 首先由挪威青年數(shù)學(xué)家阿貝爾證

8、明了五次首先由挪威青年數(shù)學(xué)家阿貝爾證明了五次方程代數(shù)解法的不可能性。方程代數(shù)解法的不可能性。 其次，又由法國青年數(shù)學(xué)家伽羅華提出了其次，又由法國青年數(shù)學(xué)家伽羅華提出了“群群”的概念，后發(fā)展為一整套群論的思想方的概念，后發(fā)展為一整套群論的思想方法，徹底地解決了五次及五次以上方程的求解法，徹底地解決了五次及五次以上方程的求解問題。問題。數(shù)學(xué)是研究相互關(guān)系的學(xué)問 不僅如此，群論的思想方法，在代數(shù)學(xué)的不僅如此，群論的思想方法，在代數(shù)學(xué)的其他分支、拓?fù)鋵W(xué)、函數(shù)論乃至數(shù)學(xué)以外其他分支、拓?fù)鋵W(xué)、函數(shù)論乃至數(shù)學(xué)以外的許多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。由于群的許多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。由于群論的誕生，使傳統(tǒng)代數(shù)學(xué)所

9、研究的對象由論的誕生，使傳統(tǒng)代數(shù)學(xué)所研究的對象由具體的具體的“數(shù)數(shù)”擴(kuò)充為更加抽象的擴(kuò)充為更加抽象的“量量”，由量之間的代數(shù)運(yùn)算關(guān)系發(fā)展為更為一般由量之間的代數(shù)運(yùn)算關(guān)系發(fā)展為更為一般的關(guān)系，從而使代數(shù)這門學(xué)科發(fā)生了轉(zhuǎn)折的關(guān)系，從而使代數(shù)這門學(xué)科發(fā)生了轉(zhuǎn)折性的變化。性的變化。2. 分析學(xué)中的極限與集合論的思想方法 19世紀(jì)30年代至50年代，法國的柯西與德國的魏爾斯特拉斯等人，在給出函數(shù)、極限等概念以精確化描述的基礎(chǔ)上，又通過嚴(yán)格化了的極限思想方法與實(shí)數(shù)理論改造了微積分，并使其嚴(yán)密化和標(biāo)準(zhǔn)化。這是微積分學(xué)科發(fā)展史上的一個(gè)重要里程碑。 1874年，德國數(shù)學(xué)家康托爾提出了集合論思想，建立起無限集的勢

10、、序型等概念以及無限集合論和超限數(shù)理論，證明了代數(shù)集合可以和整數(shù)集合一一對應(yīng)，所有實(shí)數(shù)集合不可數(shù)性，發(fā)展了無限集合勢的比較原理，引入了連續(xù)公理即康托爾公理等，并從而創(chuàng)立了集合論的理論。這一理論的創(chuàng)立，不僅為微積分的理論奠定了穩(wěn)固的基礎(chǔ)，而且對整個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究，尤其對現(xiàn)代數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的探討，也具有巨大而深遠(yuǎn)的促進(jìn)作用。3.公理化思想 這一時(shí)期，還形成了影響廣泛的數(shù)學(xué)公理化方法。到了19世紀(jì)末20世紀(jì)初，由于非歐幾何、無理數(shù)理論、集合論的建立，有力地促進(jìn)了數(shù)學(xué)公理化方法研究的開展。 1872年，德國數(shù)學(xué)家克萊因發(fā)表了“愛爾蘭根綱領(lǐng)”，提出用變換群的觀點(diǎn)，給出各種幾何學(xué)的綜合分類，以統(tǒng)一整個(gè)幾何學(xué)。

11、1899年，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特發(fā)表了幾何學(xué)基礎(chǔ)一書，使公理化方法深入到數(shù)學(xué)的更多分支。 1908年，集合論完成了公理化，本世紀(jì)20年代，又實(shí)現(xiàn)了代數(shù)學(xué)的公理化，從而使公理化方法應(yīng)用于數(shù)學(xué)各個(gè)分支。這場公理化運(yùn)動，對數(shù)學(xué)的影響是前所未有的。 4.模糊數(shù)學(xué)方法 模糊數(shù)學(xué)是研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)。所謂模糊性，主要是指客觀事物的差異在中介過渡時(shí)所呈現(xiàn)的“亦此亦彼”的特征。 在社會、自然現(xiàn)象中，確實(shí)存在著不少“非此即彼”的現(xiàn)象，一是一、二是二，絕對不能混淆，這也是康托爾集合的特點(diǎn)。但也有一些對立概念之間沒有絕對分明的界限，如： 高個(gè)子與矮個(gè)子，優(yōu)秀與良好等。也就是說，這些概念都沒有絕對明確的外延。沒

12、有明確外延的概念，叫做模糊概念。模糊概念不能用康托爾集合論來刻劃，于是產(chǎn)生了刻劃模糊概念的模糊集合論，產(chǎn)生了模糊數(shù)學(xué)。模糊數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì) 模糊數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)是以數(shù)學(xué)的精確性，研究和處理現(xiàn)象的模糊性。它和概率論同屬不確定數(shù)學(xué)，但概率論的研究對象是事物的偶然現(xiàn)象，模糊數(shù)學(xué)的研究對象是事物的模糊現(xiàn)象，它們之間有深刻的聯(lián)系，又有本質(zhì)的不同。 人腦能很便捷地處理的模糊信息，如對事物的辨識、用力的平衡等。計(jì)算機(jī)的模糊識別與人工智能是計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展方向之一馬克思和恩格斯對數(shù)學(xué)思想的闡發(fā) 在這一時(shí)期，馬克思和恩格斯在自己的著作，尤其是數(shù)學(xué)手稿和自然辯證法中，闡發(fā)了極其豐富的數(shù)學(xué)思想，從思想方法角度論述了數(shù)學(xué)發(fā)展史上

13、若干重大成果和著名數(shù)學(xué)家。他們的論述是數(shù)學(xué)思想方法研究的珍貴財(cái)富。 但遺憾的是，這些論述未能在當(dāng)時(shí)發(fā)表和發(fā)揮其應(yīng)有的作用。概括：近代數(shù)學(xué)中的思想與方法 數(shù)學(xué)思想： 代數(shù)、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、或然與必然等思想。 數(shù)學(xué)方法： 待定系數(shù)法、換元法、配方法、割補(bǔ)法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等。概括：現(xiàn)代數(shù)學(xué)基本思想方法 符號化思想：從記號到符號，“驚人的方式縮短思維”（萊布尼茨） 算法化思想：對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行算法編程-機(jī)械化 集合思想：數(shù)學(xué)思想的現(xiàn)代語言，在精確地認(rèn)識無限的基礎(chǔ)上，重新認(rèn) 識和解釋數(shù)學(xué)的思想 極限思想：是有限和無限的辯證統(tǒng)一，是從有限進(jìn)入無限的鑰匙 變量思

14、想：解析幾何、微積分思想（線性化、 統(tǒng)計(jì)思想：以掌握事物總體的數(shù)量特征和規(guī)律為目標(biāo)，它所關(guān)心的乃是某些規(guī)定的總體或集合，而不是構(gòu)成總體的各別元素或個(gè)體。模糊數(shù)學(xué)思想：以數(shù)學(xué)的精確性，研究和處理現(xiàn)象的模糊性數(shù)學(xué)思想與方法研究 數(shù)學(xué)家們一方面繼續(xù)創(chuàng)造各種數(shù)學(xué)思想方法，并用來推進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展，另一方面，他們中的一部分，特別是一些著名數(shù)學(xué)家，集中精力從事數(shù)學(xué)思想方法理論的研究，并發(fā)表了一大批這方面的論著。形成一個(gè)研究方向：數(shù)學(xué)方法論。 數(shù)學(xué)思想方法研究最早系統(tǒng)發(fā)表見解的要算德國著名數(shù)學(xué)家希爾伯特于1900年在巴黎國際數(shù)學(xué)家代表會上的演講數(shù)學(xué)問題。在這篇演講中，他精辟地闡述了重大數(shù)學(xué)問題的特點(diǎn)及其在數(shù)學(xué)發(fā)

15、展中的作用，并列舉了 “希爾伯特23個(gè)問題”。他的演講是一篇重要的數(shù)學(xué)方法論著作。 法國數(shù)學(xué)家Poincare于1903年至1908年之間發(fā)表了科學(xué)與假設(shè)，科學(xué)之價(jià)值、科學(xué)與方法等著作(均有中譯本)，其中，討論了數(shù)學(xué)方法論的問題。 后來，德國數(shù)學(xué)家赫爾德發(fā)表了數(shù)學(xué)方法論一書，書中對數(shù)學(xué)中的演繹方法、歸納方法、公理方法與假設(shè)方法等進(jìn)行了系統(tǒng)的論述。 除前面提到過的克萊因的古今數(shù)學(xué)思想、亞歷山大洛夫等數(shù)學(xué)它的內(nèi)容、方法和意義外，還有 1954年，美籍匈牙利著名數(shù)學(xué)家教育家、斯坦福大學(xué)教授G波利亞發(fā)表了數(shù)學(xué)與猜想一書。波利亞在自己的教育實(shí)踐中認(rèn)識到，數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)常常是從估計(jì)、猜想開始的，而這些估計(jì)、

16、猜想經(jīng)過實(shí)踐檢驗(yàn)，再經(jīng)過嚴(yán)格論證推理，最后獲得定理、公式等結(jié)論。 之前，他還發(fā)表怎樣解題、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)等著作米山國藏：數(shù)學(xué)的精神、思想與方法 1969年，日本著名數(shù)學(xué)家、教育家米山國藏發(fā)表了數(shù)學(xué)的精神、思想與方法。本書以數(shù)學(xué)中一些富有啟發(fā)性的實(shí)例為依據(jù)，系統(tǒng)地論述了貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)精神，一些重要數(shù)學(xué)思想與若干有效的數(shù)學(xué)方法。它是把著眼點(diǎn)放在培養(yǎng)人們數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)造精神的一本理論專著。國內(nèi)數(shù)學(xué)思想與方法研究 近些年來，我國數(shù)學(xué)家徐利治十分注重?cái)?shù)學(xué)方法論的研究。他陸續(xù)發(fā)表了淺談數(shù)學(xué)方法論、數(shù)學(xué)方法論選講和數(shù)學(xué)抽象度概念與抽象度分析法等論著。 黃耀樞的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的歷史與現(xiàn)狀，鄭毓信的數(shù)學(xué)直覺淺析、

17、 數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論等。 解恩澤、趙樹智：數(shù)學(xué)思想方法縱橫論、徐本順、解恩澤：數(shù)學(xué)猜想它的思想與方法，關(guān)于數(shù)學(xué)猜想的幾個(gè)問題 朱梧槚、肖奚安的數(shù)學(xué)方法論ABC， 張奠宙、過伯祥的數(shù)學(xué)方法論稿， 現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想講話等四、公理化方法 所謂公理化方法，就是指從盡可能少的原始概念和不加證明的原始命題（即公理、公設(shè)）出發(fā)，按照邏輯規(guī)則推導(dǎo)出其他命題，建立起一個(gè)演繹系統(tǒng)的方法。 恩格斯曾說過：數(shù)學(xué)上的所謂公理，是數(shù)學(xué)需要用作自己出發(fā)點(diǎn)的少數(shù)思想上的規(guī)定。 公理化方法能系統(tǒng)的總結(jié)數(shù)學(xué)知識、清楚地揭示數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，有利于比較各個(gè)數(shù)學(xué)分支的本質(zhì)異同，促進(jìn)新數(shù)學(xué)理論的建立和發(fā)展。 現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的基本特點(diǎn)之一，就

18、是科學(xué)理論的數(shù)學(xué)化，而公理化是科學(xué)理論成熟和數(shù)學(xué)化的一個(gè)主要特征 幾何基礎(chǔ) 公理化方法發(fā)展的第一階段是由亞里斯多德的完全三段論到歐幾里得幾何原本的問世 。 大約在公元前3世紀(jì)，希臘哲學(xué)家和邏輯學(xué)家亞里斯多德總結(jié)了幾何學(xué)與邏輯學(xué)的豐富資料，系統(tǒng)地研究了三段論，以數(shù)學(xué)及其它演繹的學(xué)科為例，把三段論作為公理，由此推導(dǎo)出其它所有三段論法，從而使整個(gè)三段論體系成為一個(gè)公理系統(tǒng)因此，亞里斯多德在歷史上提出了第一個(gè)成文的公理系統(tǒng) 歐幾里得把邏輯學(xué)的公理演繹方法應(yīng)用于幾何學(xué)，從而完成了數(shù)學(xué)史上的重要著作幾何原本 邏輯學(xué)的三段論 三段論是由兩個(gè)直言判斷作為前提和一個(gè)直言判斷作為結(jié)論而構(gòu)成的推理，其中包含有（而且

19、只有）三個(gè)不同的項(xiàng)。 例如： 凡科學(xué)都是有用的 凡社會科學(xué)都是科學(xué) 所以，凡社會科學(xué)都是有用的 公理化方法發(fā)展3階段與相應(yīng)的理論體系典范 公理化方法的發(fā)展大致經(jīng)歷了這樣三個(gè)階段： 實(shí)質(zhì)（或?qū)嶓w）公理化階段： 幾何原本 形式公理化階段： 幾何基礎(chǔ) 純形式公理化階段， ZFC公理系統(tǒng)幾何原本的不足 幾何原本雖然開創(chuàng)了數(shù)學(xué)公理化方法的先河，然而它的公理系統(tǒng)還有許多不夠完善的地方，其主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)有些定義使用了一些還未確定涵義的概念；(2)有些定義是多余的；(3)有些定理的證明過程依賴于圖形的直觀；(4)第五公設(shè)(即平行公設(shè))內(nèi)容復(fù)雜，陳述累贅，缺乏說服力，并不自明 公理化與非歐幾何

20、非歐幾何的建立在數(shù)學(xué)史上具有劃時(shí)代的意義，標(biāo)志著人們對空間形式的認(rèn)識發(fā)生了飛躍，從直觀空間上升到抽象空間 在建立非歐幾何的過程中，公理化方法得到了進(jìn)一步的發(fā)展和完善 德國數(shù)學(xué)家帕斯(Moritz Pasch，1843-1930)第一次從理論上提出了形式公理學(xué)的思想 他通過對射影幾何射影幾何公理化基礎(chǔ)的純邏輯的探討，第一次從理論上提出了形式公理學(xué)的思想 他認(rèn)為，幾何學(xué)如果要成為一門真正的演繹科學(xué)，最根本的是推導(dǎo)的進(jìn)行必須完全獨(dú)立于幾何概念的涵義，也必須不以圖形為依據(jù) 就是說，一個(gè)公理系統(tǒng)必然要有本系統(tǒng)里不定義的概念，通過這些概念就可以給其它概念下定義，而不定義概念的全部特征必須由公理表達(dá)出來公理

21、可以說是不定義概念的隱定義有些公理雖然是由經(jīng)驗(yàn)提出來的，但當(dāng)選出一組公理之后，必須不再涉及經(jīng)驗(yàn)及物理意義公理決不是自明的真理，而是用以產(chǎn)生任一特殊幾何的假定帕斯的這些思想已經(jīng)表達(dá)了形式公理系統(tǒng)的特征 形式公理系統(tǒng)的形成 1899年希爾伯特幾何學(xué)基礎(chǔ)一書的發(fā)表，不僅給出了歐氏幾何的一個(gè)形式公理系統(tǒng)，而且解決了公理化方法的一系列邏輯理論問題這本著作成為形式公理學(xué)的奠基著作 希爾伯特被認(rèn)為是形式主義的奠基人。 希爾伯特幾何公理系統(tǒng)，除了有幾何模型外，還可以有其它模型(如算術(shù)模型)，所以它是一個(gè)形式公理系統(tǒng)，可以把其初始概念和公理看成是沒有數(shù)學(xué)內(nèi)容的，初始概念和公理完全可以用形式語言來陳述 公理化方法

22、的滲透 公理化方法在幾何方面的成功，促使公理化方法滲透到數(shù)學(xué)的許多分支，也包括其它科學(xué)領(lǐng)域。 數(shù)理邏輯、抽象代數(shù)、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)等，以及理論力學(xué)（Banach,1940）相對論等。 數(shù)理邏輯中的典型代表就是ZF公理系統(tǒng)，由策梅洛(Zermelo)和弗倫克爾(Fraenkel)等提出。 ZF公理系統(tǒng)再加上選擇公理就構(gòu)成了ZFC公理系統(tǒng) 公理化方法的意義與價(jià)值公理化方法的意義與價(jià)值 當(dāng)一門科學(xué)積累了相當(dāng)豐富的經(jīng)驗(yàn)知識，需要按照邏輯順序加以綜合整理，使之條理化、系統(tǒng)化，上升到理性認(rèn)識的時(shí)候，公理化方法便是一種有效的手段。 公理化方法對建立科學(xué)理論體系，訓(xùn)練人的邏輯推理能力，系統(tǒng)地傳授科學(xué)知識，以及

23、推廣科學(xué)理論的應(yīng)用等方面起到有益的作用。 公理化方法對于進(jìn)一步發(fā)展科學(xué)理論也有獨(dú)特的作用例如在代數(shù)方面，由于公理化方法的應(yīng)用，在群論、域論、理想論等代數(shù)分支形成了一系列新的概念，建立了一系列新的聯(lián)系并導(dǎo)致了一系列深遠(yuǎn)的結(jié)果；在幾何方面，由于對平行公設(shè)的研究導(dǎo)致了非歐幾何的創(chuàng)立 因此，公理化方法也是在理論上探索事物發(fā)展規(guī)律，作出新的發(fā)現(xiàn)和預(yù)見的一種重要方法 泛函分析簡介 泛函分析（Functional Analysis）是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，隸屬于分析學(xué)，其研究的主要對象是函數(shù)構(gòu)成的空間。泛函分析是由對變換（如傅立葉變換等）的性質(zhì)的研究和對微分方程以及積分方程的研究發(fā)展而來的。使用泛函作為表述源

24、自變分法，代表作用于函數(shù)的函數(shù)。巴拿赫（Stefan Banach）、Hilbert 是泛函分析理論的主要奠基人. 泛函分析的公理化思想方法 泛函分析主要研究定義在Banach空間上的線性映射與線性泛函的性質(zhì) Banach空間：完備的賦范線性空間 賦范線性空間 距離空間 完備 Hilbert空間曾遠(yuǎn)榮，我國泛函分析第一代數(shù)學(xué)家 關(guān)肇直，中國泛函分析領(lǐng)路人田方增，中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的籌建者五、數(shù)學(xué)機(jī)械化思想 吳文俊和吳方法吳文俊和吳方法 中國科學(xué)院院士中國科學(xué)院院士 第三世界科學(xué)院院士第三世界科學(xué)院院士 首屆國家最高科技獎(jiǎng)首屆國家最高科技獎(jiǎng) 國家第一屆自然科學(xué)獎(jiǎng)國家第一屆自然科學(xué)獎(jiǎng) 最高獎(jiǎng)一等

25、獎(jiǎng)最高獎(jiǎng)一等獎(jiǎng) 自動推理的最高獎(jiǎng)自動推理的最高獎(jiǎng) Herbrand獎(jiǎng)獎(jiǎng) 2006邵逸夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)邵逸夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng) 1997年吳文俊獲得“赫布蘭自動推理杰出成就獎(jiǎng)”， 2006年，獲得 “邵逸夫數(shù)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)”前者是國際自動推理領(lǐng)域的最高獎(jiǎng)，而后者被譽(yù)為數(shù)學(xué)的“東方諾貝爾獎(jiǎng)”。我 國 唯一 兩 次獲 得 國家 科 學(xué)最 高 獎(jiǎng)的 數(shù) 學(xué)家谷超豪院士，另一位獲得國家最高科技獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家國家最高科技獎(jiǎng)2009年 谷超豪（1926-，數(shù)學(xué)家） 孫家棟（1929年-，運(yùn)載火箭與衛(wèi)星技術(shù)專家，中國科學(xué)院院士，國際宇航科學(xué)院院士。）2008年 王忠誠 （1925-，神經(jīng)外科專家） 徐光憲（1920-，化學(xué)家）2007年

26、閔恩澤（1924 ，石油化工催化劑專家） 吳征鎰（1919 ，著名植物學(xué)家）2006年 李振聲（1931 ，遺傳學(xué)家，小麥遠(yuǎn)緣雜交的奠基人）2005年 葉篤正（1916 ，世界著名氣象學(xué)家） 吳孟超（1922 ，世界著名肝臟外科學(xué)家）2003年 劉東生（19172008 ，著名地球環(huán)境科學(xué)家）王永志（1932 ，著名航天技術(shù)專家）2002年 金怡濂（1929 ，高性能計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的著名專家）2001年 王選（19372006，漢字激光照排系統(tǒng)創(chuàng)始人） 黃昆（1919 2005，著名物理學(xué)家）2000年 吳文?。?919 ，世界著名數(shù)學(xué)家） 袁隆平（1930 ，雜交水稻之父）中央電視臺中央電視臺大

27、家大家欄目：欄目：吳文俊吳文俊我的不等式我的不等式片斷片斷 什么是數(shù)學(xué)機(jī)械化什么是數(shù)學(xué)機(jī)械化 所謂機(jī)械化，無非是刻板化和規(guī)格化。所謂機(jī)械化，無非是刻板化和規(guī)格化。數(shù)數(shù)學(xué)問題的機(jī)械化，就要求在運(yùn)算或證明過學(xué)問題的機(jī)械化，就要求在運(yùn)算或證明過程中，每前進(jìn)一步之后，都有一個(gè)確定的、程中，每前進(jìn)一步之后，都有一個(gè)確定的、必須選擇的下一步，這樣沿著一條有規(guī)律必須選擇的下一步，這樣沿著一條有規(guī)律的、刻板的道路，一直達(dá)到結(jié)論。的、刻板的道路，一直達(dá)到結(jié)論。 使用一種機(jī)械化方法證明一類定理，才真使用一種機(jī)械化方法證明一類定理，才真正體現(xiàn)了機(jī)械化定理證明。正體現(xiàn)了機(jī)械化定理證明。1977年，吳文年，吳文俊給出了

28、初等幾何一類主要定理的機(jī)械化俊給出了初等幾何一類主要定理的機(jī)械化證明方法證明方法“吳方法吳方法”。數(shù)學(xué)機(jī)械化：從設(shè)想到實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)機(jī)械化：從設(shè)想到實(shí)現(xiàn) 笛卡爾笛卡爾 萊布尼茨萊布尼茨 希爾伯特希爾伯特 數(shù)學(xué)機(jī)械化：從設(shè)想到實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)機(jī)械化：從設(shè)想到實(shí)現(xiàn) 哥德爾哥德爾 塔斯基塔斯基 王浩王浩 吳文俊吳文俊笛卡爾的設(shè)想笛卡爾的設(shè)想 17 世紀(jì)法國的數(shù)學(xué)家世紀(jì)法國的數(shù)學(xué)家 Descartes 曾有過一個(gè)偉大的曾有過一個(gè)偉大的設(shè)想：設(shè)想：“一切問題化為數(shù)學(xué)問題，一切數(shù)學(xué)問題化一切問題化為數(shù)學(xué)問題，一切數(shù)學(xué)問題化為代數(shù)問題，一切代數(shù)問題化為代數(shù)方程求解問為代數(shù)問題，一切代數(shù)問題化為代數(shù)方程求解問題。題?！?D

29、escartes 把問題想得太簡單了，如果他的設(shè)想真把問題想得太簡單了，如果他的設(shè)想真能實(shí)現(xiàn)，那就不僅是數(shù)學(xué)的機(jī)械化，而是全部科學(xué)能實(shí)現(xiàn)，那就不僅是數(shù)學(xué)的機(jī)械化，而是全部科學(xué)的機(jī)械化。因?yàn)榇鷶?shù)方程求解是可以機(jī)械化的。的機(jī)械化。因?yàn)榇鷶?shù)方程求解是可以機(jī)械化的。 但但 Descartes 沒有停留在空想，他所創(chuàng)立的解析幾沒有停留在空想，他所創(chuàng)立的解析幾何，在空間形式和數(shù)量關(guān)系之間架起了一座橋梁，何，在空間形式和數(shù)量關(guān)系之間架起了一座橋梁，實(shí)現(xiàn)了初等幾何問題的代數(shù)化實(shí)現(xiàn)了初等幾何問題的代數(shù)化。萊布尼茲之夢萊布尼茲之夢 德國數(shù)學(xué)家德國數(shù)學(xué)家 Leibniz 曾有過曾有過“推理機(jī)器推理機(jī)器”的設(shè)想。他研

30、究過邏輯，設(shè)計(jì)并制造出能的設(shè)想。他研究過邏輯，設(shè)計(jì)并制造出能做乘法的計(jì)算機(jī)，進(jìn)而萌發(fā)了做乘法的計(jì)算機(jī)，進(jìn)而萌發(fā)了設(shè)計(jì)萬能語設(shè)計(jì)萬能語言和造一臺通用機(jī)器的構(gòu)想。言和造一臺通用機(jī)器的構(gòu)想。 他的努力促進(jìn)了他的努力促進(jìn)了 Boole 代數(shù)、數(shù)理邏輯以代數(shù)、數(shù)理邏輯以及計(jì)算機(jī)科學(xué)的研究，正是沿著這一方向，及計(jì)算機(jī)科學(xué)的研究，正是沿著這一方向，經(jīng)后人的努力，形成了機(jī)器定理證明的邏經(jīng)后人的努力，形成了機(jī)器定理證明的邏輯方法。輯方法。 希爾伯特的構(gòu)想希爾伯特的構(gòu)想 Hilbert在在幾何基礎(chǔ)幾何基礎(chǔ)中提出了從公理化走向機(jī)中提出了從公理化走向機(jī)械化的數(shù)學(xué)構(gòu)想。械化的數(shù)學(xué)構(gòu)想。Hilbert計(jì)劃將數(shù)學(xué)知識納入嚴(yán)

31、計(jì)劃將數(shù)學(xué)知識納入嚴(yán)格的公理體系中，并著力在公理化基礎(chǔ)上尋找機(jī)格的公理體系中，并著力在公理化基礎(chǔ)上尋找機(jī)械化的方法判定命題是否成立。械化的方法判定命題是否成立。Hilbert同時(shí)指出，同時(shí)指出，定理的判定問題應(yīng)當(dāng)是分類解決的，解決方法要定理的判定問題應(yīng)當(dāng)是分類解決的，解決方法要同時(shí)強(qiáng)調(diào)簡單性和嚴(yán)格性。同時(shí)強(qiáng)調(diào)簡單性和嚴(yán)格性。 在在 Hilbert 的名著的名著幾何基礎(chǔ)幾何基礎(chǔ)一書中就提供了一書中就提供了一條可以對一類幾何命題進(jìn)行判定的定理一條可以對一類幾何命題進(jìn)行判定的定理 當(dāng)然，當(dāng)然，在那個(gè)時(shí)代，不僅在那個(gè)時(shí)代，不僅 Hilbert 本人，整個(gè)數(shù)學(xué)界都本人，整個(gè)數(shù)學(xué)界都沒有意識到這一點(diǎn)。沒有

32、意識到這一點(diǎn)。 哥德爾的著名結(jié)果哥德爾的著名結(jié)果 Gdel著名的不完全性定理指出一個(gè)不弱于初等數(shù)論的形式系統(tǒng)如果是無矛盾的，則是不完全的 ，即存在形式系統(tǒng)的一個(gè)命題，它和它的否定都不能由形式系統(tǒng)證明。 因此， Hilbert 的要求太高了。上述的Gdel不完全性定理斷言：即使在初等數(shù)論的范圍內(nèi)，對所有命題進(jìn)行判定的機(jī)械化方法也是不存在的！ 塔斯基的判定法塔斯基的判定法 波蘭數(shù)學(xué)家波蘭數(shù)學(xué)家 Tarski 在在 1950 年推廣了關(guān)于年推廣了關(guān)于代數(shù)方程實(shí)根數(shù)目的代數(shù)方程實(shí)根數(shù)目的 Sturm 法則，由此證法則，由此證明了一個(gè)引人注目的定理：明了一個(gè)引人注目的定理：“一切初等幾一切初等幾何和初等

33、代數(shù)范圍的命題，都可以用機(jī)械何和初等代數(shù)范圍的命題，都可以用機(jī)械方法判定方法判定?！?Tarski得出的結(jié)論給定理證明機(jī)械化的研究得出的結(jié)論給定理證明機(jī)械化的研究帶來了曙光?？上姆椒ㄌ珡?fù)雜，即使帶來了曙光?？上姆椒ㄌ珡?fù)雜，即使用高速計(jì)算機(jī)也證明不了稍難的幾何定理。用高速計(jì)算機(jī)也證明不了稍難的幾何定理。 王浩：邁向數(shù)學(xué)機(jī)械化王浩：邁向數(shù)學(xué)機(jī)械化 1959 年，王浩設(shè)計(jì)了一個(gè)程序，用計(jì)算機(jī)年，王浩設(shè)計(jì)了一個(gè)程序，用計(jì)算機(jī)證明了證明了 Russell 、 Whitehead 的巨著的巨著數(shù)數(shù)學(xué)原理學(xué)原理中的幾百條有關(guān)命題邏輯的定理，中的幾百條有關(guān)命題邏輯的定理，僅用了僅用了 9 分鐘。分鐘。

34、王浩工作的意義在于宣告王浩工作的意義在于宣告了用計(jì)算機(jī)進(jìn)行定理證明的可能性了用計(jì)算機(jī)進(jìn)行定理證明的可能性。 在在1960年的年的IBM研究與發(fā)展年報(bào)研究與發(fā)展年報(bào)（IBM Journal），王浩發(fā)表了），王浩發(fā)表了邁向數(shù)學(xué)機(jī)械化邁向數(shù)學(xué)機(jī)械化（Toward Mechanical Mathematics），），“數(shù)學(xué)機(jī)械化數(shù)學(xué)機(jī)械化”一詞即出自此處。一詞即出自此處。吳文?。簠俏目。簷C(jī)器證明領(lǐng)域的新的一頁機(jī)器證明領(lǐng)域的新的一頁 1977 年，吳文俊在年，吳文俊在中國科學(xué)中國科學(xué)上發(fā)表論文上發(fā)表論文初初 等幾何判定問題與機(jī)械化問題等幾何判定問題與機(jī)械化問題。 1984 年，吳年，吳文俊的學(xué)術(shù)專著文俊

35、的學(xué)術(shù)專著幾何定理機(jī)器證明的基本原理幾何定理機(jī)器證明的基本原理由科學(xué)出版社出版，這部專著著重闡明幾何定理由科學(xué)出版社出版，這部專著著重闡明幾何定理機(jī)械化證明的基本原理。機(jī)械化證明的基本原理。 1985 年，吳文俊的論年，吳文俊的論文文關(guān)于代數(shù)方程組的零點(diǎn)關(guān)于代數(shù)方程組的零點(diǎn)發(fā)表，具體討論了發(fā)表，具體討論了多項(xiàng)式方程組所確定的零點(diǎn)集。與國際上流行的多項(xiàng)式方程組所確定的零點(diǎn)集。與國際上流行的代數(shù)理想論不同，明確提出了具有中國自己特色代數(shù)理想論不同，明確提出了具有中國自己特色的、以多項(xiàng)式零點(diǎn)集為基本點(diǎn)的機(jī)械化方法。自的、以多項(xiàng)式零點(diǎn)集為基本點(diǎn)的機(jī)械化方法。自此，此，“吳方法吳方法”宣告誕生，數(shù)學(xué)機(jī)械

36、化研究揭開宣告誕生，數(shù)學(xué)機(jī)械化研究揭開了新的一幕。了新的一幕。 對吳方法的評價(jià) 吳方法遵循中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中幾何代數(shù)化的思想，與通?；跀?shù)理邏輯的方法根本不同，首次實(shí)現(xiàn)了高效的幾何定理自動證明，顯現(xiàn)了無比的優(yōu)越性。他的工作被稱為自動推理領(lǐng)域的先驅(qū)性工作，并于1997年獲得“Herbrand自動推理杰出成就獎(jiǎng)”。在授獎(jiǎng)辭中對他的工作給了這樣的介紹與評價(jià): “幾何定理自動證明首先由赫伯特格蘭特(Herbert Gerlenter)于50年代開始研究。雖然得到一些有意義的結(jié)果，但在吳方法出現(xiàn)之前的20年里，這一領(lǐng)域進(jìn)展甚微。在不多的自動推理領(lǐng)域中，這種被動局面是由一個(gè)人完全扭轉(zhuǎn)的。吳文俊很明顯是這樣一個(gè)

37、人。他將幾何定理證明從一個(gè)不太成功的領(lǐng)域變?yōu)樽畛晒Φ念I(lǐng)域之一?！?20062006年，著名數(shù)學(xué)家吳文俊榮獲邵逸年，著名數(shù)學(xué)家吳文俊榮獲邵逸夫數(shù)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)。邵逸夫數(shù)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)是一項(xiàng)國夫數(shù)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)。邵逸夫數(shù)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)是一項(xiàng)國際性大獎(jiǎng)，它的評委是來自國際數(shù)學(xué)界的知際性大獎(jiǎng)，它的評委是來自國際數(shù)學(xué)界的知名權(quán)威。吳文俊說：這次邵逸夫獎(jiǎng)的評委都名權(quán)威。吳文俊說：這次邵逸夫獎(jiǎng)的評委都是國際上有影響的大家，他們宣布是國際上有影響的大家，他們宣布我獲得邵我獲得邵逸夫獎(jiǎng)，是因?yàn)槲业臄?shù)學(xué)機(jī)械化問題的研究，逸夫獎(jiǎng)，是因?yàn)槲业臄?shù)學(xué)機(jī)械化問題的研究，這實(shí)際上是國際數(shù)學(xué)界對數(shù)學(xué)機(jī)械化研究的這實(shí)際上是國際數(shù)學(xué)界對數(shù)學(xué)機(jī)械化研究的承

38、認(rèn)與肯定，它比獎(jiǎng)金重要得多。承認(rèn)與肯定，它比獎(jiǎng)金重要得多。 數(shù)學(xué)機(jī)械化得到國際數(shù)學(xué)界承認(rèn)數(shù)學(xué)機(jī)械化得到國際數(shù)學(xué)界承認(rèn) 吳文俊吳文俊我的不等式我的不等式片斷片斷 http:/ D是是BC和和CA上高線交點(diǎn)上高線交點(diǎn) 0)(14253xxxxxBCAD0)(24153xxxxxACBD0)(213 xxx04 x定理的假設(shè)部分是定理的假設(shè)部分是,由吳方法，可得非退化條件由吳方法，可得非退化條件是是.定理的結(jié)論是定理的結(jié)論是CO經(jīng)過經(jīng)過D點(diǎn)點(diǎn).顯然在非退化條件下定理成立顯然在非退化條件下定理成立。Morley定理定理 任意三角形中，一個(gè)角的三等分線，與和任意三角形中，一個(gè)角的三等分線，與和它相鄰的角

39、的三等分線相交，交點(diǎn)組成正它相鄰的角的三等分線相交，交點(diǎn)組成正三角形。三角形。機(jī)器方法容易證明機(jī)器方法容易證明Morley定理定理 任意三角形中，一個(gè)角的三等分線，與和任意三角形中，一個(gè)角的三等分線，與和它相鄰的角的三等分線相交，按一定的規(guī)它相鄰的角的三等分線相交，按一定的規(guī)則選取交點(diǎn)，共可組成則選取交點(diǎn)，共可組成27個(gè)三角形，在這個(gè)三角形，在這27個(gè)三角形中，一定有個(gè)三角形中，一定有18個(gè)是正三角形。個(gè)是正三角形。用機(jī)器方法容易證明這個(gè)更一般的用機(jī)器方法容易證明這個(gè)更一般的Morley定理。在證明過程中，多次出現(xiàn)關(guān)于定理。在證明過程中，多次出現(xiàn)關(guān)于12個(gè)個(gè)變量的含有一千多項(xiàng)的多項(xiàng)式。變量的含

40、有一千多項(xiàng)的多項(xiàng)式。吳方法概要 定理的假設(shè)相當(dāng)于一組多項(xiàng)式方程 定理的結(jié)論相當(dāng)于一個(gè)多項(xiàng)式方程 上面的諸Fi稱為假設(shè)多項(xiàng)式，G稱為終結(jié)多項(xiàng)式。0, 01sFF0G吳方法概要（續(xù)） 吳方法是給出了一個(gè)機(jī)械化方法，在有限步內(nèi)給出一組非退化條件多項(xiàng)式D1, , Dr 又根據(jù)這一機(jī)械化方法足以在有限步內(nèi)，判定在非退化條件 D10, , Dr 0 下，G=0是否可從F1=0, , Fs=0推出。 平行四邊形對角線互相平分題設(shè)和結(jié)論表成代數(shù)形式0)(:/31123uxuuuBCAD0)()(123113uxuuxxBDE上：在03223uxuxACE上：在022:33232222xuuxuuECEA結(jié)論吳

41、方法的處理題設(shè)部分三角化，得到三個(gè)多項(xiàng)式： 再把結(jié)論左邊的多項(xiàng)式除以f3，所得的余式除以f2，所得的余式除以f1，看最后所得的余式是不是恒等于零。1121xuuf3121132)(uuuuxxf32233uxuxf中國古代數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn) 70 年代初，吳文俊開始研讀中國數(shù)學(xué)史。1975 年，他撰寫了中國古代數(shù)學(xué)對世界文化的偉大貢獻(xiàn)，文中詳細(xì)列舉在代數(shù)、幾何、三角、解析幾何和微積分等學(xué)科的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)立過程中，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)所起的重大作用。 吳文俊指出，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)注意解方程，在代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、極限概念等方面既有豐碩的成果，又有系統(tǒng)的理論。中國古代數(shù)學(xué)的特色 中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)構(gòu)造性和算法化，注意解決科學(xué)實(shí)

42、驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中提出的各類問題，往往把所得到的結(jié)論以各種原理的形式予以表述。 在中國古代，求兩數(shù)最大公約數(shù)即等數(shù)用更相減損之術(shù)。如求24與15的等數(shù)，其逐步減損如下： （24，15）（9，15）（9，6）（3，6）（3，3） 其理由不證自明。 中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在從問題出發(fā)以解決問題為主旨的發(fā)展過程中建立了以構(gòu)造性與機(jī)械化為其特色的算法體系， 九章算術(shù)與劉徽的九章算術(shù)注是這一機(jī)械化體系的代表作，這與西方數(shù)學(xué)以歐幾里得幾何原本為代表的所謂公理化演繹體系正好遙遙相對。 機(jī)械化思想是中國古代數(shù)學(xué)的精髓 吳文俊把中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的思想概括為機(jī)械化思想，指出它是貫穿于中國古代數(shù)學(xué)的精髓。他列舉大量事實(shí)說明，中國傳統(tǒng)

43、數(shù)學(xué)的機(jī)械化思想為近代數(shù)學(xué)的建立和發(fā)展做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。 這種機(jī)械化思想，不僅曾深刻影響了數(shù)學(xué)的歷史進(jìn)程，而且對數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀也正在發(fā)揚(yáng)它日益顯著的影響。 數(shù)學(xué)機(jī)械化的廣泛應(yīng)用 吳文俊特別重視數(shù)學(xué)機(jī)械化方法的應(yīng)用，明確提出“數(shù)學(xué)機(jī)械化方法的成功應(yīng)用，是數(shù)學(xué)機(jī)械化研究的生命線”。他不斷開拓新的應(yīng)用領(lǐng)域，如控制論、曲面拼接問題、機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)、化學(xué)平衡問題、平面天體運(yùn)行的中心構(gòu)形等，還建立了解決全局優(yōu)化問題的新方法。 吳方法還被用于若干高科技領(lǐng)域，得到一系列國際領(lǐng)先的成果，包括曲面造型、機(jī)器人結(jié)構(gòu)的位置分析、智能計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)、信息傳輸中的圖像壓縮等。從開普勒定律到牛頓定律 開普勒定律為（1）行星繞太陽以橢圓軌道運(yùn)行，太陽為一焦點(diǎn)（2）太陽到行星的向量在相同的時(shí)間掃過相同的 面積 牛頓定律為（3）行星的加速度與太陽到行星的距離的平方成反比 利用吳方法在微分域上的推廣，可以從開普勒經(jīng)驗(yàn)公式自動推導(dǎo)出牛頓定律。機(jī)器人與連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動分析 如圖，綠色的平臺是活動平臺，下面的平臺是固定的，六根連桿長度可變，求連桿長度變化時(shí)平臺上一點(diǎn)的 軌跡。機(jī)器人與連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動分析 已知連桿機(jī)構(gòu)的構(gòu)成，求該機(jī)構(gòu)上某一點(diǎn)的軌跡及該點(diǎn)的位置與連桿機(jī)構(gòu)的關(guān)系，這