第四章時(shí)域分析法

1、 第第4章章 時(shí)域分析法時(shí)域分析法 引言：引言： 在經(jīng)典控制理論中，常用在經(jīng)典控制理論中，常用時(shí)域分析法時(shí)域分析法、根軌跡法根軌跡法和和頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)法法來分析線性控制系統(tǒng)的性能，這些方法的分析手段不同，適來分析線性控制系統(tǒng)的性能，這些方法的分析手段不同，適用范圍也不同。用范圍也不同。時(shí)域分析法是在時(shí)域內(nèi)研究控制系統(tǒng)穩(wěn)定性、時(shí)域分析法是在時(shí)域內(nèi)研究控制系統(tǒng)穩(wěn)定性、暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度等的一種直接分析方法，可以提供系統(tǒng)時(shí)暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度等的一種直接分析方法，可以提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息，具有間響應(yīng)的全部信息，具有 直觀、方便、較準(zhǔn)確的特點(diǎn)，尤其適直觀、方便、較準(zhǔn)確的特點(diǎn)，尤其適用于二階系統(tǒng)的

2、分析和計(jì)算。用于二階系統(tǒng)的分析和計(jì)算。但是在可變參數(shù)較多的情況下進(jìn)但是在可變參數(shù)較多的情況下進(jìn)行綜合系統(tǒng)分析時(shí)，往往難于簡(jiǎn)潔的確定變動(dòng)哪些參數(shù)才能使行綜合系統(tǒng)分析時(shí)，往往難于簡(jiǎn)潔的確定變動(dòng)哪些參數(shù)才能使系統(tǒng)的性能滿足要求，這就要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)，本章主要系統(tǒng)的性能滿足要求，這就要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)，本章主要研究線性控制系統(tǒng)性能分析的時(shí)域法。研究線性控制系統(tǒng)性能分析的時(shí)域法。 特點(diǎn)：特點(diǎn)： 屬于直接分析方法屬于直接分析方法 能提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息能提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息 直觀、準(zhǔn)確直觀、準(zhǔn)確從從數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)角度：利用拉氏反變換法求出系統(tǒng)的輸出量的角度：利用拉氏反變換法求出系統(tǒng)的輸出量的表

3、達(dá)式，提供系統(tǒng)輸出響應(yīng)的全部信息。表達(dá)式，提供系統(tǒng)輸出響應(yīng)的全部信息。 不足不足 ：1）實(shí)際控制系統(tǒng)較復(fù)雜，高階微分方程求解計(jì)算量大實(shí)際控制系統(tǒng)較復(fù)雜，高階微分方程求解計(jì)算量大僅通過微分方程不容易區(qū)分影響系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的主要因素和次要僅通過微分方程不容易區(qū)分影響系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的主要因素和次要因素因素 2）從從工程工程角度：并非簡(jiǎn)單求取一個(gè)既定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，角度：并非簡(jiǎn)單求取一個(gè)既定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，而是需要選擇系統(tǒng)中某些參數(shù)，甚至改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)以獲取較好而是需要選擇系統(tǒng)中某些參數(shù)，甚至改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)以獲取較好的控制性能。的控制性能。對(duì)時(shí)域分析法的要求對(duì)時(shí)域分析法的要求：計(jì)算量不應(yīng)太大，并且不因方程階次升高

4、而增加太多計(jì)算量不應(yīng)太大，并且不因方程階次升高而增加太多容易分析系統(tǒng)各主要參數(shù)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響容易分析系統(tǒng)各主要參數(shù)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響借助于圖表或曲線可以直觀地表示出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征借助于圖表或曲線可以直觀地表示出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征時(shí)域分析法需要解決的問題時(shí)域分析法需要解決的問題：判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定 系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下，最終達(dá)到穩(wěn)定時(shí)響應(yīng)是否快速、平穩(wěn)系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下，最終達(dá)到穩(wěn)定時(shí)響應(yīng)是否快速、平穩(wěn)控制是否準(zhǔn)確控制是否準(zhǔn)確 典型輸入信號(hào)典型輸入信號(hào) 通常是用控制系統(tǒng)的響應(yīng)來分析系統(tǒng)的性能?？刂葡到y(tǒng)的通常是用控制系統(tǒng)的響應(yīng)來分析系統(tǒng)的性能。控制系統(tǒng)的響應(yīng)是由系統(tǒng)本身的響應(yīng)是

5、由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)、初始狀態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)、初始狀態(tài)和和輸入信號(hào)的形輸入信號(hào)的形式式所決定的。對(duì)初始狀態(tài)可以作統(tǒng)一的規(guī)定，如規(guī)定為零所決定的。對(duì)初始狀態(tài)可以作統(tǒng)一的規(guī)定，如規(guī)定為零初始狀態(tài)。如再將輸入信號(hào)規(guī)定為統(tǒng)一的典型形式，初始狀態(tài)。如再將輸入信號(hào)規(guī)定為統(tǒng)一的典型形式， 則則系統(tǒng)的響應(yīng)將由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)的響應(yīng)將由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、 參數(shù)來確定，參數(shù)來確定， 因而更因而更便于對(duì)各種系統(tǒng)進(jìn)行比較和研究。便于對(duì)各種系統(tǒng)進(jìn)行比較和研究。 用于時(shí)域分析的典型用于時(shí)域分析的典型輸入信號(hào)有階躍函數(shù)、單位脈沖函數(shù)、輸入信號(hào)有階躍函數(shù)、單位脈沖函數(shù)、 斜坡函數(shù)和拋物斜坡函數(shù)和拋物線函數(shù)等。線函數(shù)等。 正弦輸入

6、信號(hào)常用于在頻域上分析線性定常正弦輸入信號(hào)常用于在頻域上分析線性定常系統(tǒng)的性能。系統(tǒng)的性能。 4.1 典型輸入信號(hào)典型輸入信號(hào) 系統(tǒng)輸出響應(yīng)系統(tǒng)輸出響應(yīng) C(t)=L-1 (S)R(S)，即：即：系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而且與系統(tǒng)的輸入信號(hào)有關(guān)，實(shí)際控制系統(tǒng)的輸入具而且與系統(tǒng)的輸入信號(hào)有關(guān)，實(shí)際控制系統(tǒng)的輸入具有多樣性。有多樣性。設(shè)定設(shè)定典型輸入信號(hào)典型輸入信號(hào)目的：在分析、設(shè)計(jì)自動(dòng)控制系統(tǒng)目的：在分析、設(shè)計(jì)自動(dòng)控制系統(tǒng)時(shí)，對(duì)不同的系統(tǒng)性能有比較的基礎(chǔ)。時(shí)，對(duì)不同的系統(tǒng)性能有比較的基礎(chǔ)。特點(diǎn)特點(diǎn)： 能反映系統(tǒng)的實(shí)際工作情況能反

7、映系統(tǒng)的實(shí)際工作情況 可以用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)形式來描述可以用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)形式來描述 信號(hào)易于通過實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生信號(hào)易于通過實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生 典型輸入信號(hào)有以下典型輸入信號(hào)有以下5種：種：1. 階躍函數(shù)階躍函數(shù)定義定義：r(t)=R t 00 t0式中，式中，R為階躍函數(shù)的階躍值（常數(shù)）為階躍函數(shù)的階躍值（常數(shù)）單位階躍函數(shù)拉氏變換式為：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)拉氏變換式為： R(S)=Lr(t)=1/S在實(shí)際系統(tǒng)中，等同于一個(gè)大小不變的作用在在實(shí)際系統(tǒng)中，等同于一個(gè)大小不變的作用在t=0時(shí)刻時(shí)刻突然施加于系統(tǒng)（如電源電壓突然波動(dòng)）。突然施加于系統(tǒng)（如電源電壓突然波動(dòng)）。在控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中，階躍函數(shù)是應(yīng)用最多的一在控制系統(tǒng)分

8、析和設(shè)計(jì)中，階躍函數(shù)是應(yīng)用最多的一種評(píng)價(jià)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的典型外作用。種評(píng)價(jià)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的典型外作用。r(t)0Rt 2. 斜坡函數(shù)（等速度函數(shù)）斜坡函數(shù)（等速度函數(shù)）定義定義：r(t)=Rt t 00 t0單位斜坡函數(shù)拉氏變換式為：?jiǎn)挝恍逼潞瘮?shù)拉氏變換式為： 1 S2R(S)=Lr(t)=在實(shí)際系統(tǒng)中等同于一個(gè)隨時(shí)間以恒定速度增長(zhǎng)的作在實(shí)際系統(tǒng)中等同于一個(gè)隨時(shí)間以恒定速度增長(zhǎng)的作用施加于系統(tǒng)（如跟蹤通訊衛(wèi)星的天線控制系統(tǒng)）。用施加于系統(tǒng)（如跟蹤通訊衛(wèi)星的天線控制系統(tǒng)）。3. 拋物線函數(shù)（等加速度函數(shù)）拋物線函數(shù)（等加速度函數(shù)）定義定義：r(t)=Rt 2 t 00 t0 1 2單位加速度函數(shù)拉氏

9、變換式為：?jiǎn)挝患铀俣群瘮?shù)拉氏變換式為： 1 S3R(S)=Lr(t)=在實(shí)際系統(tǒng)中等同于一個(gè)隨時(shí)間以等加速度變化的作在實(shí)際系統(tǒng)中等同于一個(gè)隨時(shí)間以等加速度變化的作用施加于系統(tǒng)（如宇宙飛船控制系統(tǒng)）。用施加于系統(tǒng)（如宇宙飛船控制系統(tǒng)）。r(t)0tr(t)t01R2 4. 單位脈沖函數(shù)（沖擊函數(shù)）單位脈沖函數(shù)（沖擊函數(shù)）定義定義：r(t)= (t) = t=00 t 0 (t)dt=1 單位脈沖函數(shù)拉氏變換式為：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)拉氏變換式為：R(S)=L (t)=1說明說明：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)只是數(shù)學(xué)上的概念：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)只是數(shù)學(xué)上的概念5. 正弦信號(hào)函數(shù)正弦信號(hào)函數(shù)定義定義： r(t)=ASin t正弦

10、函數(shù)的拉氏變換為：正弦函數(shù)的拉氏變換為： A S2+ 2R(S)=Lr(t)=r(t)0t 說明說明： 同一個(gè)系統(tǒng)中，不同形式的輸入信號(hào)所對(duì)應(yīng)的輸出響同一個(gè)系統(tǒng)中，不同形式的輸入信號(hào)所對(duì)應(yīng)的輸出響應(yīng)是不同的。應(yīng)是不同的。 對(duì)于線性控制系統(tǒng)而言，它們所表征的系統(tǒng)性能是一對(duì)于線性控制系統(tǒng)而言，它們所表征的系統(tǒng)性能是一致的。致的。 通常以單位階躍函數(shù)作為典型輸入作用，則可在一個(gè)通常以單位階躍函數(shù)作為典型輸入作用，則可在一個(gè)統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對(duì)各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對(duì)各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。 在典型輸入信號(hào)作用的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出的系統(tǒng)對(duì)實(shí)際輸在典型輸入信號(hào)作用的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出的系

11、統(tǒng)對(duì)實(shí)際輸入信號(hào)的響應(yīng)特性能夠滿足要求。入信號(hào)的響應(yīng)特性能夠滿足要求。 動(dòng)態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程動(dòng)態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程 在典型輸入信號(hào)作用下， 任何一個(gè)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)都可看成由動(dòng)態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。 1) 動(dòng)態(tài)過程 動(dòng)態(tài)過程又稱為過渡過程或瞬態(tài)過程，是指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下， 輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。 4.2 控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)2) 穩(wěn)態(tài)過程 穩(wěn)態(tài)過程是指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，當(dāng)時(shí)間t趨于無窮時(shí)，輸出量的表現(xiàn)形式。穩(wěn)態(tài)過程又稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度， 提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差的信息。穩(wěn)態(tài)過程用穩(wěn)態(tài)性能描述。 動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能動(dòng)態(tài)性能

12、與穩(wěn)態(tài)性能 穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠運(yùn)行的首要條件，因此只有當(dāng)動(dòng)態(tài)過程收斂時(shí)， 研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能才有意義。 1) 動(dòng)態(tài)性能 通常, 在階躍函數(shù)作用下測(cè)定或計(jì)算控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。一般認(rèn)為，階躍輸入對(duì)控制系統(tǒng)來說是最嚴(yán)峻的工作狀態(tài)。 如果控制系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下的動(dòng)態(tài)性能滿足要求，那么控制系統(tǒng)在其他形式的函數(shù)作用下，其動(dòng)態(tài)性能也是令人滿意的。 描述穩(wěn)定的控制系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間t的變化情況的指標(biāo)，稱為動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。為了便于分析和比較，假定控制系統(tǒng)在單位階躍輸入信號(hào)作用前處于靜止?fàn)顟B(tài)，而且輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均等于零，即零初始狀態(tài)。對(duì)于大多數(shù)控制系統(tǒng)來說，這種假設(shè)是符合實(shí)際情況的。對(duì)

13、于單位階躍響應(yīng)c(t)，其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)通常描述如下： 單位階躍響應(yīng) c(t)c()0.9c()0.1c()0trtpts誤差帶穩(wěn)態(tài)誤差(t)t 上升時(shí)間tr：指響應(yīng)從終值10上升到終值90所需的時(shí)間；對(duì)于有振蕩的系統(tǒng)，為了計(jì)算的方便，亦可定義為響應(yīng)從零第一次上升到終值所需的時(shí)間。上升時(shí)間是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。上升時(shí)間越短，響應(yīng)速度越快。 峰值時(shí)間tp：指響應(yīng)超過其終值到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。 %100)()()(%cctcp調(diào)節(jié)時(shí)間ts： 指響應(yīng)到達(dá)并保持在終值5%或2%內(nèi)所需的最短時(shí)間。 超調(diào)量%： 指響應(yīng)的最大峰值c(tp)與終值c()的差與終值c()比的百分?jǐn)?shù)， 即若若c(tp)c

14、()， 則響應(yīng)無超調(diào)。則響應(yīng)無超調(diào)。 超調(diào)量亦超調(diào)量亦稱為最大超調(diào)量，稱為最大超調(diào)量， 或百分比超調(diào)量。或百分比超調(diào)量。 2) 穩(wěn)態(tài)性能 穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標(biāo)， 通常在階躍函數(shù)、 斜坡函數(shù)或加速度函數(shù)作用下進(jìn)行測(cè)定或計(jì)算。 若時(shí)間趨于無窮時(shí)， 系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量或輸入量的確定函數(shù)， 則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。 穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的一種度量。 由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng), 典型閉環(huán)控制一階系統(tǒng)如圖所示.其中 是積分環(huán)節(jié)，T為它的時(shí)間常數(shù)。 一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖C(s)-R(s)Ts1Ts14.3一階系統(tǒng)的時(shí)域分析一階系統(tǒng)的時(shí)域分析 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 )(

15、11)().()(sRTssRssC)()()()(trtctdtdcT11)()()(TssRsCs 在零初始條件下，利用拉氏反變換或直接求解微分方程，可以求得一階系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。一、單位階躍響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)r(t) = 1(t) ,其拉氏變換為 ,則輸出的拉氏變換為 ssR1)(TsssTssC1111.11)( 對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，求得單位階躍響應(yīng)為 上式表明，當(dāng)初始條件為零時(shí)，一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的變化曲線是一條單調(diào)上升的指數(shù)曲線,式中的1為穩(wěn)態(tài)分量， 為瞬態(tài)分量，當(dāng)t時(shí) ，瞬態(tài)分量衰減為零。在整個(gè)工作時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)的響應(yīng)都不會(huì)超過穩(wěn)態(tài)值。由于該響應(yīng)

16、曲線具有非振蕩特征，故也稱為非周期響應(yīng)。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示。TtetC1)()0( tTte 一階慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng) 一階慣性環(huán)節(jié)在單位階躍輸入下的響應(yīng)曲線如圖 所示。 由此可以得出如下結(jié)論： (1)一階慣性系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，無振蕩； (2)經(jīng)過時(shí)間T，曲線上升到0.632的高度，反過來，用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)出響應(yīng)曲線達(dá)到0.632高度點(diǎn)所用的時(shí)間，即是慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T； 一階慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線 63.2%A斜率B0.6320tT2T3T4T5Tc(t)T1c(t)e t/T86.5%95%98.2%99.3% (3)經(jīng)過時(shí)間3T4T，響應(yīng)曲線已達(dá)穩(wěn)態(tài)值的95%98，可

17、以認(rèn)為其調(diào)整時(shí)間已經(jīng)完成，故一般取調(diào)整時(shí)間ts=(34)T； (4) ， 故在t=0處，響應(yīng)曲線的切線斜率為1/T。Tdttdct1|)(0 二、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 當(dāng)r(t)=t時(shí)， 有 TsTsTssTssRsGsCssR/11111)()()(1222對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換， 得 c(t)=t-T+Te-t/T t0 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線tc(t)0r(t) te() TTtTTttc/e)( 由式可求出其響應(yīng)曲線如圖 所示。 其誤差為 e(t) =r(t)-c(t) =t-t-T+Te-t/T =T(1-e-t/T) 當(dāng)時(shí)間t時(shí)， e()=T, 故當(dāng)輸入為單位斜坡函數(shù)時(shí)，一階慣

18、性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)誤差為T。顯然，時(shí)間常數(shù)T越小，該環(huán)節(jié)穩(wěn)態(tài)誤差越小。 二階系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)為2222)()()(nnnsssRsCsG式中， 為阻尼比； n為無阻尼自然振蕩頻率。 用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。從物理上講，二階系統(tǒng)總包含兩個(gè)儲(chǔ)能元件，能量在兩個(gè)元件之間交換，從而引起系統(tǒng)具有往復(fù)的振蕩趨勢(shì)。當(dāng)阻尼不夠充分大時(shí)， 系統(tǒng)呈現(xiàn)出振蕩的特性，這樣的二階系統(tǒng)也稱為二階振蕩環(huán)節(jié)。 4.4 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 若令s2+2ns+2n=0(稱為系統(tǒng)特征方程), 則兩個(gè)特征根（也稱極點(diǎn)）為122, 1nns（ 3 - 13） 分析式（ 3 - 13）可知， 當(dāng)取值不同時(shí)，

19、兩個(gè)特征根的類型也不一樣。 二階系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)亦可寫成如下形式:121)()()(22TssTsRsCsG其中: nT1 1. 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 1) 欠阻尼 當(dāng)01時(shí)，稱為欠阻尼。此時(shí)， 由式（3-13）得，二階系統(tǒng)的極點(diǎn)一定是一對(duì)共扼復(fù)根，其傳遞函數(shù)可表示為 )()()()(2dndnnjsjssRsCsG式中， 稱為阻尼振蕩頻率。 21nd 當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)， 有22222)()(11)()()()(1)(dnndnndndnnsssssjsjssRsGsCssR 對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換， 得0)1arctansin(11)(0)sincos1(11)(0sin1cos1)

20、(22222ttetctttetcttetetcdtddtdtdtnnnn即 或 由式可知， 當(dāng)01 時(shí)，稱為過阻尼。此時(shí)，二階系統(tǒng)的極點(diǎn)是兩個(gè)負(fù)實(shí)根，其傳遞函數(shù)可表示為)1)(1()()()(222nnnnnsssRsCsG當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)， 有ssR1)( 則 0) 11(21) 11(211)(1) 11(211) 11(2111)1)(1()()1(22)1(2222222222222teetcsssssssCttnnnnnnnnnnn對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換， 得 (3 - 16) 過阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線 10c(t)t 零阻尼 當(dāng)=0時(shí)，稱為零阻尼。此時(shí)，二階系統(tǒng)的極點(diǎn)為

21、一對(duì)共扼虛根，其傳遞函數(shù)可表示為222)(nnssG當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)， 有R(s)= , 則s12222211)()()(nnnssssssRsGsC 對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換， 可得 c(t)=1-cosnt t0 其響應(yīng)曲線如圖3-10所示，系統(tǒng)為無阻尼等幅振蕩。該種情況實(shí)際系統(tǒng)不能用。 圖 3 - 10 零阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線 01c(t)t2 負(fù)阻尼 當(dāng)1 時(shí)， 其極點(diǎn)為兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)， 利用部分分式展開， 可將傳遞函數(shù)分解成兩個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)的疊加。 因此， 研究二階系統(tǒng)最重要的是研究 00, 031213022aaaaaaaa。 【例2】 設(shè)某系統(tǒng)特征方程為s4+8s3+17s

22、2+16s+5=0試判別其穩(wěn)定性。 解:用勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)判別, a4=1，a3=8，a2=17，a1=16，a0=5均大于零，且有：517100168005171001684 1=80 2=817-161=1200 3 =81716-16116-858 =2176-256-320=16000 4=53=516000 所以， 此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 【例3】設(shè)某單位反饋控制系統(tǒng)如圖 3 - 22所示，試計(jì)算K為何值時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。 圖 3 - 22 例3系統(tǒng)方框圖R(s)2)(1(sssKC(s) 解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為KssKsGB)2)(1()(其特征方程為 s3+3s2+2s+K=0 根

23、據(jù)勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)， 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件有： (1） a3=1， a2=3， a1=2， a0=K必須均大于零， 所以有K0。 (2） KK30021033 1=30 2=32-K0 K0所以當(dāng) 0K0， T0， 問放大器增益減少多少方能使系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)由75%下降到25%。 3 - 16 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖 3 - 31所示， 其中Gc(s)=s+1, 試求滿足0.707時(shí)的值。 圖 3 - 31 習(xí)題 3 - 16圖 Gc(s)4(25ssR(s)C(s) 3-17 閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)如圖 3 - 32所示，求當(dāng)%20%，ts=1.8 s(5%)時(shí)，系統(tǒng)的參數(shù)K和的值。 圖

24、 3 - 32 習(xí)題 3 - 17圖 21sR(s)C(s)Ks 圖 3 - 33 習(xí)題 3 - 18圖 R(s)C(s)s) 1(16ss 3-18 閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖 3 - 33所示。 若要求=0.707， 則參數(shù)應(yīng)該如何選擇？ 3-19 試求如圖 3 - 34所示控制系統(tǒng)的參數(shù)為以下兩種情況時(shí)的阻尼比， 無阻尼自然振蕩頻率n， 以及單位階躍響應(yīng)的過渡過程的超調(diào)量%、 峰值時(shí)間tp: (1) Km=10 s-1, Tm=0.1 s; (2) Km =20 s-1, Tm =0.1 s。 圖 3 - 34 習(xí)題 3 - 19圖 R(s)C(s) 1(mmTsKE 3-20 證明對(duì)如圖3-3

25、5所示的系統(tǒng)， C(s)/R(s)在右半s平面上有零點(diǎn)，并求r(t)為單位階躍時(shí)的c(t)。 圖 3 - 35 習(xí)題 3 - 20圖 26sR(s)14s C(s) 圖 3 - 36 習(xí)題 3 - 21圖 1 KnsR(s)C(s) 1(10ss 3 - 21 設(shè)一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為10/s(s+1)，該系統(tǒng)的阻尼比為0.157，無阻尼自然頻率為3.16 rad/s， 現(xiàn)將系統(tǒng)改變?yōu)槿鐖D3-36所示，使阻尼比為0.5，試確定Kn值。 3-22 二階系統(tǒng)在s平面中有一對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)，試在s平面中畫出與下列指標(biāo)相應(yīng)的極點(diǎn)可能分布的區(qū)域: (1) 0.707, n2 rad/s； (2) 00.707， n 2 rad/s； (3) 00.5， 2 rad/s n 4 rad/s； (4) 0.50.707， n 2 rad/s。 3-23 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程如下， 試用代數(shù)判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 (1) s3+20s2+9s+100=0 (2) s4+2s3+8s2+4s+3=0 (3) s5+