基本不等式的證明

1、高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué)(必修五必修五)多媒體課件多媒體課件【問題【問題1 1】 把一個(gè)物體放在天平的一個(gè)盤子上把一個(gè)物體放在天平的一個(gè)盤子上, ,在另一個(gè)盤子上放砝碼使天平平衡在另一個(gè)盤子上放砝碼使天平平衡, ,稱得稱得物體的質(zhì)量為物體的質(zhì)量為a. a.如果天平制造得不準(zhǔn)確如果天平制造得不準(zhǔn)確, ,天天平的兩臂長(zhǎng)略有不同平的兩臂長(zhǎng)略有不同( (其它因素不計(jì)其它因素不計(jì)), ),那么那么并非實(shí)際質(zhì)量并非實(shí)際質(zhì)量. .不過(guò)不過(guò), ,我們可作第二次測(cè)量：我們可作第二次測(cè)量：把物體調(diào)換到天平的另一盤上把物體調(diào)換到天平的另一盤上, ,此時(shí)稱得此時(shí)稱得物體的質(zhì)量為物體的質(zhì)量為b b. .那么如何合理地表示物體那

2、么如何合理地表示物體的質(zhì)量呢？的質(zhì)量呢？1.猜測(cè)：2.討論：物體的實(shí)際質(zhì)量應(yīng)為2ba 3.提示： 應(yīng)用力學(xué)原理求解4.求解： 問題一：把一個(gè)物體放在天平的一個(gè)盤子上把一個(gè)物體放在天平的一個(gè)盤子上, ,在另一在另一個(gè)盤子上放砝碼使天平平衡個(gè)盤子上放砝碼使天平平衡, ,稱得物體的質(zhì)量為稱得物體的質(zhì)量為a. a.如果如果天平制造得不準(zhǔn)確天平制造得不準(zhǔn)確, ,天平的兩臂長(zhǎng)略有不同天平的兩臂長(zhǎng)略有不同( (其它因素其它因素不計(jì)不計(jì)), ),那么并非實(shí)際質(zhì)量那么并非實(shí)際質(zhì)量. .不過(guò)不過(guò), ,我們可作第二次測(cè)量：我們可作第二次測(cè)量：把物體調(diào)換到天平的另一盤上把物體調(diào)換到天平的另一盤上, ,此時(shí)稱得物體的質(zhì)

3、量為此時(shí)稱得物體的質(zhì)量為b.b.那么如何合理地表示物體的質(zhì)量呢？那么如何合理地表示物體的質(zhì)量呢？5.結(jié)論： 物體的實(shí)際質(zhì)量應(yīng)為ab(一)定義新概念1.算術(shù)平均數(shù)：2.幾何平均數(shù)：(二)提出新問題【問題【問題2 2】 兩個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間具有怎樣的大小關(guān)系呢？對(duì)于正數(shù)a,b,我們把叫做a,b的算術(shù)平均數(shù)2ba 對(duì)于正數(shù)a,b,我們把叫做a,b的算術(shù)平均數(shù)ab【問題【問題2 2】 兩個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間具有怎樣的大小關(guān)系呢？1.試驗(yàn)：2.猜測(cè)：3.證明：).(2號(hào)時(shí)取當(dāng)且僅當(dāng)babaab證法一：).(2號(hào)時(shí)取當(dāng)且僅當(dāng)babaab 證明：如果a,b是正數(shù)，那么 證明

4、不等式的方法一：比較法00babababa2.比較法（作差法）的解題步驟： 作差變形判斷結(jié)論 1. 依據(jù)：證法二：).(2號(hào)時(shí)取當(dāng)且僅當(dāng)babaab 證明：如果a,b是正數(shù)，那么 證明不等式的方法二：分折法 筒單地說(shuō)就是“執(zhí)果索因”. 證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法. 說(shuō)明：分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法. 分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的模式是：為了證明命題B真，

5、只需要證明命題B1為真，從而有只需要證明命題B2為真，從而又有 只需要證明命題A為真而已知A為真，故B必真證法三：).(2號(hào)時(shí)取當(dāng)且僅當(dāng)babaab 證明：如果a,b是正數(shù)，那么 證明不等式的方法三：綜合法 利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式（如基本不等式）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法 。 筒單地說(shuō)就是“由因?qū)Ч? 證明不等式的方法證明不等式的方法（一）比較法（一）比較法作差作差變形變形判號(hào)判號(hào)結(jié)論。結(jié)論。（二）綜合法（二）綜合法結(jié)合已知條件，再利用熟知的事結(jié)合已知條件，再利用熟知的事實(shí)或已經(jīng)證明過(guò)的不等式作為基實(shí)或已經(jīng)證明過(guò)的不等式作為基礎(chǔ)推導(dǎo)出所要求證的不

6、等式。礎(chǔ)推導(dǎo)出所要求證的不等式。（三）分析法（三）分析法- 從求證的不等式出發(fā)，尋求使從求證的不等式出發(fā)，尋求使它成立的充分條件，直至這些它成立的充分條件，直至這些條件都已具備，那么就可以斷條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立。定原不等式成立。 (三)定理：如果a,b是正數(shù)，那么 ).(2號(hào)時(shí)取當(dāng)且僅當(dāng)babaab兩個(gè)兩個(gè)非負(fù)數(shù)非負(fù)數(shù)的的算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)不小于不小于它們它們的的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù). 定理的變形公式：).(2)2(號(hào)時(shí)取當(dāng)且僅當(dāng)baabba).(2)4(22號(hào)時(shí)取當(dāng)且僅當(dāng)baabba).()2() 1 (2號(hào)時(shí)取當(dāng)且僅當(dāng)babaab).(2,0)3(號(hào)時(shí)取當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)當(dāng)b

7、aabbaab“半徑不小于半弦半徑不小于半弦” (四)定理的幾何解釋).(33號(hào)時(shí)取當(dāng)且僅當(dāng)cbacbaabc三個(gè)三個(gè)非負(fù)數(shù)非負(fù)數(shù)的的算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)不小于不小于它們它們的的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù). (五)定理的拓廣： 1.如果a,b,c是非負(fù)數(shù)，那么 2.如果naaaaaannn 2121).(21號(hào)時(shí)取當(dāng)且僅當(dāng) aaanaaan,21 都是非負(fù)數(shù),那么(一)證明不等式例1.證明：).0( 11122號(hào)時(shí)取當(dāng)且僅當(dāng)aaa【變式1】已知a,b.c是不全相等的實(shí)數(shù),證明：acbcabcba222【變式2】已知a,b.c,d都是正數(shù),證明：4accdabbdbcad(一)證明不等式例2.證明：若0 x2,則3)36(3 xx【變式1】若0 x0,y0且2x+y=1,證明：81xy(一)證明不等式例3.已知a,b