第二章 測量誤差和數(shù)據(jù)處理

1、第二章第二章 測量誤差和數(shù)據(jù)處理測量誤差和數(shù)據(jù)處理2.1 測量誤差測量誤差2.2 測量誤差的來源測量誤差的來源2.3 誤差的分類誤差的分類2.4 隨機(jī)誤差分析隨機(jī)誤差分析2.5 系統(tǒng)誤差分析系統(tǒng)誤差分析2.6 誤差的合成、間接測量誤差的誤差傳遞與分配誤差的合成、間接測量誤差的誤差傳遞與分配2.7 測量數(shù)據(jù)的處理測量數(shù)據(jù)的處理 2.1 測量誤差測量誤差一、真值與測量值一、真值與測量值真值真值測量的物理量，客觀存在的量值。測量的物理量，客觀存在的量值。測量值測量值測量誤差測量誤差產(chǎn)生原因：產(chǎn)生原因：1. 由于測量儀表、測量方法、環(huán)境條件人的觀察等都由于測量儀表、測量方法、環(huán)境條件人的觀察等都不能做

2、到完美無缺的程度。不能做到完美無缺的程度。2. 要對物理量進(jìn)行測量，就需要一個比較標(biāo)準(zhǔn)，而真要對物理量進(jìn)行測量，就需要一個比較標(biāo)準(zhǔn)，而真正的比較標(biāo)準(zhǔn)是不存在的，僅存在于純理論之中。正的比較標(biāo)準(zhǔn)是不存在的，僅存在于純理論之中。相對真值相對真值人們的目的就在于采取條件手段來獲取盡可接近真值人們的目的就在于采取條件手段來獲取盡可接近真值的測量值。的測量值。 二、誤差的表示方法二、誤差的表示方法1. 絕對誤差絕對誤差 A0真值真值A(chǔ)實際值實際值2. 相對誤差相對誤差1）實際相對誤差）實際相對誤差： 2）示值相對誤差）示值相對誤差： 絕對誤差不能表示出測量值的精確度。絕對誤差不能表示出測量值的精確度。如

3、溫度測量如溫度測量 絕對誤差絕對誤差 1AXAXX0%100AxrA%100 xxrxC 115 但后者精確度明顯高于前者。但后者精確度明顯高于前者。3）滿度相對誤差）滿度相對誤差 xm量程內(nèi)最大絕對誤差量程內(nèi)最大絕對誤差 xm測量儀器滿度值測量儀器滿度值mC 150%100mmmxxr儀表準(zhǔn)確度等級儀表準(zhǔn)確度等級S按滿度誤差按滿度誤差 分級的分級的如如這表明這表明5 . 0s%5 . 0m 2.2 測量誤差的來源測量誤差的來源一、儀器誤差（設(shè)備誤差）一、儀器誤差（設(shè)備誤差）原因：原因： 由于設(shè)計、制造、裝配、檢定等的不完善由于設(shè)計、制造、裝配、檢定等的不完善 使用過程元件老化、磨損、疲勞使用

4、過程元件老化、磨損、疲勞 讀數(shù)誤差讀數(shù)誤差 內(nèi)部噪聲誤差內(nèi)部噪聲誤差 穩(wěn)定誤差穩(wěn)定誤差 動態(tài)誤差動態(tài)誤差 減少誤差的途徑：正確選擇測量方法和使用測量儀表減少誤差的途徑：正確選擇測量方法和使用測量儀表二、人身誤差二、人身誤差 由于測量值的判斷有誤由于測量值的判斷有誤誤差誤差三、環(huán)境誤差三、環(huán)境誤差 主要：環(huán)境溫度、電源電壓、電磁干擾等主要：環(huán)境溫度、電源電壓、電磁干擾等四、方法誤差四、方法誤差 2. 重要特點(diǎn)重要特點(diǎn) 測量條件不變，誤差即為確切數(shù)值測量條件不變，誤差即為確切數(shù)值 條件變化時，誤差遵循某種確定的規(guī)律變化條件變化時，誤差遵循某種確定的規(guī)律變化具有具有 可重復(fù)性可重復(fù)性3. 產(chǎn)生系統(tǒng)誤

5、差的主要原因產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因1）設(shè)計制作上的缺陷設(shè)計制作上的缺陷2）測量環(huán)境條件變化測量環(huán)境條件變化與儀表使用要求不一致與儀表使用要求不一致3）采用近似的測量方法或計算公式采用近似的測量方法或計算公式 2.3 誤差的分類誤差的分類一、系統(tǒng)誤差一、系統(tǒng)誤差 1. 定義定義：在測量中產(chǎn)生的誤差量值大小和符號都恒定不變：在測量中產(chǎn)生的誤差量值大小和符號都恒定不變(恒值）恒值）或遵循一定規(guī)律變化的誤差（變值或遵循一定規(guī)律變化的誤差（變值累進(jìn)性、周期性、復(fù)雜累進(jìn)性、周期性、復(fù)雜性）性）4）測量人員的測量人員的習(xí)慣習(xí)慣讀數(shù)偏差讀數(shù)偏差系統(tǒng)誤差體現(xiàn)了測量的正確度系統(tǒng)誤差體現(xiàn)了測量的正確度二、隨機(jī)誤差（

6、偶然誤差）二、隨機(jī)誤差（偶然誤差）1. 定義定義：同一恒定量值進(jìn)行多次等精度測量時，其絕：同一恒定量值進(jìn)行多次等精度測量時，其絕對值和符號無規(guī)則變化的誤差。對值和符號無規(guī)則變化的誤差。用統(tǒng)計理論進(jìn)行估算。用統(tǒng)計理論進(jìn)行估算。2. 特點(diǎn)特點(diǎn)a. 有界性有界性b. 對稱性：正負(fù)誤差機(jī)會相等對稱性：正負(fù)誤差機(jī)會相等c. 抵償性：算術(shù)平均值抵償性：算術(shù)平均值0d. 單峰性：絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率大單峰性：絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率大F(x)x3. 隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因1）儀表的不穩(wěn)定等儀表的不穩(wěn)定等2）溫度、電源等溫度、電源等無規(guī)則無規(guī)則波動波動3）測量人員讀數(shù)測量人員讀數(shù)無規(guī)則無規(guī)則

7、變化變化隨機(jī)誤差體現(xiàn)了多次測量的精密度隨機(jī)誤差體現(xiàn)了多次測量的精密度三、粗大誤差三、粗大誤差：測量值明顯偏離實際值所形成的誤差：測量值明顯偏離實際值所形成的誤差產(chǎn)生的原因：產(chǎn)生的原因：1）測量方法不當(dāng)測量方法不當(dāng)2）測量操作失誤測量操作失誤3）測量條件突然變化測量條件突然變化四、誤差的處理四、誤差的處理1）誤差劃分具有相對性，可互相轉(zhuǎn)化誤差劃分具有相對性，可互相轉(zhuǎn)化2）根據(jù)誤差對測量結(jié)果的影響程度不同根據(jù)誤差對測量結(jié)果的影響程度不同作出不同作出不同 的具體處理的具體處理 2.4 隨機(jī)誤差分析隨機(jī)誤差分析一、測量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差一、測量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差1. 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望1）算術(shù)平均值

8、算術(shù)平均值 樣本平均樣本平均2）數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 總體平均總體平均3）絕對誤差與隨機(jī)誤差絕對誤差與隨機(jī)誤差若不含若不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差系統(tǒng)誤差和粗大誤差,則則 絕對誤差絕對誤差 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差niixnx11niinxxnE11limAxxiiiixi4）隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值當(dāng)當(dāng) 時，時，由于隨機(jī)誤差的抵償性，當(dāng)由于隨機(jī)誤差的抵償性，當(dāng) 時時即即當(dāng)測量次數(shù)足夠多時：當(dāng)測量次數(shù)足夠多時：niiniiAxnn11)(11niniiAnxn1111AX nAExn001lim1niinnAEx2. 剩余誤差剩余誤差Vi性質(zhì)：性質(zhì)：1）剩余誤差的代數(shù)和等于剩余誤差的代數(shù)和等于0

9、。2）剩余誤差的平方和最小，剩余誤差的平方和最小，最小二乘法最小二乘法3. 方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差和標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 測量值的分散程度（精密度），但隨測量值的分散程度（精密度），但隨機(jī)誤差的抵償性，不能用它的算術(shù)平均值來估算測量機(jī)誤差的抵償性，不能用它的算術(shù)平均值來估算測量 011niinAExxxxViiniiniiniiniixnnxxnxV111110MinVnii12反映值的精密度值的精密度用方差進(jìn)行描述用方差進(jìn)行描述1）定義：定義： 時測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計時測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計平均值平均值 2）標(biāo)準(zhǔn)誤差（均方根誤差）標(biāo)準(zhǔn)誤差（均方根誤差）反映測量的精密度反映測量的

10、精密度 nnixinExn1221limxiiEx niinn1221limniinn121lim二、隨機(jī)誤差的正態(tài)分析二、隨機(jī)誤差的正態(tài)分析1. 1. 正態(tài)分布正態(tài)分布1 1）理論與實驗證明：理論與實驗證明：測量值測量值x xi i ( (隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 i i) ) 按正態(tài)分布規(guī)律出現(xiàn)按正態(tài)分布規(guī)律出現(xiàn)對于正態(tài)分布的對于正態(tài)分布的x xi i，概率密度函數(shù)，概率密度函數(shù)對于隨機(jī)誤差對于隨機(jī)誤差 i i，則，則2 2）特征特征a. a. 222)(21)(xExex22221)(e)(EXX)(x絕對值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大。絕對值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大。 （有界性）（有界性）b. c

11、. 曲線尖銳曲線尖銳測得值集中測得值集中精密度精密度 曲線平坦曲線平坦測得值分散測得值分散精密度精密度 2. 極限誤差極限誤差 隨機(jī)誤差落在隨機(jī)誤差落在 區(qū)域的概率區(qū)域的概率P為為而落在而落在 區(qū)間的概率分別區(qū)間的概率分別為：為：0)()()(ii,683. 021|222dePi3,3,2 ,2123321隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差3 的概率僅為的概率僅為0.3%定義定義= 3 若若 應(yīng)予以刪除應(yīng)予以刪除3. 貝塞爾公式貝塞爾公式 又又954. 0212|22222epi997. 0213|222323epi3|iAxExiiiAxxnEnniinxlim1lim1niinn121lim而而 ，n為有

12、限值，則為有限值，則 ，用殘差，用殘差可證明可證明 貝塞爾公式貝塞爾公式 標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估計值標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估計值4. 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差在相同條件下對同一被測量值分成在相同條件下對同一被測量值分成m組，每組重復(fù)組，每組重復(fù)n次次每組的平均值每組的平均值 不同不同分散性。分散性。 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差同樣，同樣， nxxViiiniiVn1211xxniixVnnn12) 1(1xx3測量結(jié)果表示：測量結(jié)果表示：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估計值算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估計值實際測量中，實際測量中，n為有限值，直接寫成為有限值，直接寫成三、有限次測量下測量結(jié)果的表達(dá)三

13、、有限次測量下測量結(jié)果的表達(dá) ，但減小速度比，但減小速度比n增長慢得多增長慢得多 靠增加靠增加n降低均方差收益不大降低均方差收益不大xxxxx3nxniiVn1211nxxn)(n實際中：實際中：n=1020 2. 等精度測量，測量結(jié)果處理：等精度測量，測量結(jié)果處理：1）列表測量數(shù)據(jù)）列表測量數(shù)據(jù)2）計算）計算 及及 3）計算）計算 4）結(jié)果表達(dá)式）結(jié)果表達(dá)式iVx,2iVniiVn1211nxxxx3 2.5 系統(tǒng)誤差分析系統(tǒng)誤差分析一、系統(tǒng)誤差的特性一、系統(tǒng)誤差的特性若不存在粗差，則測量誤差若不存在粗差，則測量誤差 設(shè)系差設(shè)系差即即則則當(dāng)當(dāng)則：則：當(dāng)測量次數(shù)足夠多，各次測量絕對誤差的算術(shù)平

14、均當(dāng)測量次數(shù)足夠多，各次測量絕對誤差的算術(shù)平均 值系差值系差 iDXAXXiiii變化緩慢恒值iniiniinAXXn11110inniiXnAX111. 準(zhǔn)確度不僅與準(zhǔn)確度不僅與 有關(guān)，更與有關(guān)，更與 有關(guān)有關(guān) 2. 系差不易發(fā)現(xiàn)，更應(yīng)重視系差不易發(fā)現(xiàn)，更應(yīng)重視 3. 不具備抵償性，取平均值無效不具備抵償性，取平均值無效二、系統(tǒng)誤差的判斷二、系統(tǒng)誤差的判斷1. 理論分析法理論分析法用于測量方法、測量原理引起的系差用于測量方法、測量原理引起的系差2. 校對和對比法校對和對比法目的：發(fā)現(xiàn)和減小使用被檢儀器進(jìn)行測量時的系統(tǒng)誤差目的：發(fā)現(xiàn)和減小使用被檢儀器進(jìn)行測量時的系統(tǒng)誤差3. 改變測量條件改變測

15、量條件2、3屬于實驗對比法屬于實驗對比法一般用來發(fā)現(xiàn)恒值系差一般用來發(fā)現(xiàn)恒值系差4. 剩余誤差觀察法剩余誤差觀察法發(fā)現(xiàn)變值系差發(fā)現(xiàn)變值系差iiiiiiviviviviVi正負(fù)相同，無明顯變化規(guī)律不存在系差Vi線型遞增累積性系差Vi呈周期性周期性系差變化規(guī)律復(fù)雜同時存在線形遞增的累進(jìn)性系差和周期性系差三、消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源三、消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源（1）測量原理、方法、依據(jù)）測量原理、方法、依據(jù)正確正確（2）儀器儀表）儀器儀表正確正確（3）儀器檢定、校準(zhǔn)、零位）儀器檢定、校準(zhǔn)、零位（4）測量人員水平）測量人員水平四、削弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術(shù)四、削弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術(shù)1. 零示法零示法待

16、測量與已知標(biāo)準(zhǔn)量相比較，零示器示待測量與已知標(biāo)準(zhǔn)量相比較，零示器示值值0時，已知標(biāo)準(zhǔn)量被測量時，已知標(biāo)準(zhǔn)量被測量零示器：光電檢流計零示器：光電檢流計 電流表電流表 電壓表電壓表消除由于零示器不準(zhǔn)帶來的系統(tǒng)誤差消除由于零示器不準(zhǔn)帶來的系統(tǒng)誤差書書p36調(diào)節(jié)調(diào)節(jié) 則則2. 替代法：替代法： （置換法）（置換法）測量條件不變下，同一標(biāo)準(zhǔn)已知量替代待測量，通過測量條件不變下，同一標(biāo)準(zhǔn)已知量替代待測量，通過調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量使儀表示值不變調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量使儀表示值不變標(biāo)準(zhǔn)被測量標(biāo)準(zhǔn)被測量測量測量存在誤差，則存在誤差，則誤差與誤差與R1, R2,R3有關(guān)有關(guān)現(xiàn)用標(biāo)準(zhǔn)電阻現(xiàn)用標(biāo)準(zhǔn)電阻RS代替代替Rx，并保持，并保持R1,

17、 R2，R3不變不變0psIRSsxERRUU12231/ RRRRx)/()(223311RRRRRRRRxx223311RRRRRRRRxx則則 Rx僅決定于標(biāo)準(zhǔn)電阻的誤差，與僅決定于標(biāo)準(zhǔn)電阻的誤差，與R1, R2, R3誤差無關(guān)誤差無關(guān)五、削弱系統(tǒng)誤差的其他方法五、削弱系統(tǒng)誤差的其他方法1. 利用修正值或修正因數(shù)利用修正值或修正因數(shù)2. 隨機(jī)化處理隨機(jī)化處理對同一測量值，用多臺儀器進(jìn)行測量對同一測量值，用多臺儀器進(jìn)行測量取平均值取平均值3. 智能儀器中利用微處理智能儀器中利用微處理 直流零位校準(zhǔn)直流零位校準(zhǔn) 自動校準(zhǔn)自動校準(zhǔn) )/()(223311RRRRRRRRssssxxRRRR2.

18、6 誤差的合成、間接測量誤差的誤差的合成、間接測量誤差的 誤差傳遞與分配誤差傳遞與分配一、隨機(jī)誤差合成一、隨機(jī)誤差合成測量結(jié)果中有測量結(jié)果中有K個彼此獨(dú)立的隨機(jī)誤差，各單次測量個彼此獨(dú)立的隨機(jī)誤差，各單次測量誤差標(biāo)準(zhǔn)方差為誤差標(biāo)準(zhǔn)方差為 則則 綜合后的標(biāo)準(zhǔn)差綜合后的標(biāo)準(zhǔn)差 為為極限誤差極限誤差li：合成的極限誤差合成的極限誤差 k21,kii12iil3kiill12二、系統(tǒng)誤差的合成二、系統(tǒng)誤差的合成確定系統(tǒng)誤差的合成確定系統(tǒng)誤差的合成代數(shù)合成法：已知各系統(tǒng)誤差分量的代數(shù)合成法：已知各系統(tǒng)誤差分量的大小及符號大小及符號絕對值合成法：只知絕對值合成法：只知 大小，不能確定大小，不能確定符號符號

19、方和根合成法：同（方和根合成法：同（2）例題：例題：P47 例例2.7.1 m.,21mjjm121m21,mjjm1321|)|.|(|mjjm1222221.2. 不確定系統(tǒng)誤差的合成不確定系統(tǒng)誤差的合成不確度線性相加不確度線性相加總的不確定度總的不確定度q10時，誤差估計偏大時，誤差估計偏大q10時，使用時，使用方和根合成法方和根合成法由不確定度算出標(biāo)準(zhǔn)差，再取方和根合成。由不確定度算出標(biāo)準(zhǔn)差，再取方和根合成。 kp置信系數(shù)置信系數(shù)3. 系統(tǒng)誤差的表示系統(tǒng)誤差的表示qpPee112ppeeqpPPqpPke1212)/(e三、間接測量的誤差傳遞三、間接測量的誤差傳遞例：導(dǎo)線電阻率例：導(dǎo)線

20、電阻率 需測需測l、R、d直接測量直接測量 間接測量間接測量1. 間接測量的誤差傳遞間接測量的誤差傳遞設(shè)設(shè) 直接測量量為直接測量量為 間接量間接量y則則泰勒級數(shù)展開：泰勒級數(shù)展開： RdL24mxxxx.,321).,(21nxxxfy ),.,(2211nnxxxxxxfyynnnxxfxxfxxfxxxfyy.).,(221121略去高階項略去高階項 相對誤差形式表示：相對誤差形式表示： 相對誤差傳遞公式相對誤差傳遞公式 L2222222221212)(21.)(21)(21nnxxfxxfxxfnnxxfxxfxxfyyy.2211nnxxfxxfxxfy.2211niiiiniixxy

21、xxf11yxxfyxxyyxxyyyrnny.2211yxxfinii12. 常用函數(shù)的誤差傳遞常用函數(shù)的誤差傳遞和差函數(shù)的誤差傳遞和差函數(shù)的誤差傳遞注意：對于差函數(shù)，當(dāng)注意：對于差函數(shù)，當(dāng)x1, x2較接近時較接近時造成較大誤差。造成較大誤差。積函數(shù)的誤差傳遞積函數(shù)的誤差傳遞設(shè)設(shè)21xxy|)|(|21xxy2121xxxxyyry212122112212212111)()(xxrxxxrxxxxxxxxxxxxx21xxy商函數(shù)的誤差傳遞商函數(shù)的誤差傳遞設(shè)設(shè)則絕對誤差則絕對誤差相對誤差相對誤差 故故 211221xxxxxxyynii21212112xxyrrxxxxxxyyr|)|(|

22、21xxyrrr21xxy 22211121xxxxxxxxy222121xxxxx212211xxyrrxxxxyyr|21xxyrrr冪函數(shù)的誤差傳遞冪函數(shù)的誤差傳遞設(shè)設(shè) 故故3. 如果對各直接測量量各進(jìn)行了如果對各直接測量量各進(jìn)行了m次等精度測量，則次等精度測量，則標(biāo)準(zhǔn)誤差：標(biāo)準(zhǔn)誤差：相對誤差形式：相對誤差形式： nnxKxy2121xxynrmrr|)|(|21xxynrmrr2222222121.nnyxfxfxf2222222121.yxfyxfyxfynny四、間接測量的誤差分配四、間接測量的誤差分配設(shè)設(shè) 則間接測量的標(biāo)準(zhǔn)誤差為則間接測量的標(biāo)準(zhǔn)誤差為現(xiàn)假定現(xiàn)假定 已給定已給定方法

23、：等作用原則分配誤差方法：等作用原則分配誤差令令 ),(21nxxxfy22221221.21nxnxxyxfxfxfynxxx,21nxxnxxfxfxf.1121),.,2 , 1( nixfnixiyiyxxfni1調(diào)整：調(diào)整： 測量中難以保證的誤差測量中難以保證的誤差擴(kuò)大允許的誤差值。擴(kuò)大允許的誤差值。 易保證的誤差易保證的誤差減小誤差值。減小誤差值。 例例9 P44nlxflyixi1 2.7 測量數(shù)據(jù)的處理測量數(shù)據(jù)的處理測量數(shù)據(jù)處理測量數(shù)據(jù)處理從測量所得到的原始數(shù)據(jù)中求出被從測量所得到的原始數(shù)據(jù)中求出被測量的最佳估計值，并計算其精確程度。測量的最佳估計值，并計算其精確程度。一、有效數(shù)字處理一、有效數(shù)字處理1. 有效數(shù)字有效數(shù)字：左邊起第一個不為零的數(shù)字式，到右面：左邊起第一個不為零的數(shù)字式，到右面最后一個數(shù)字（包括零）為止：最后一個數(shù)字（包括零）為止：20.80最大絕對誤差最大絕對誤差 0.005，準(zhǔn)確到百分位。，準(zhǔn)確到百分位。20.8最大絕對誤差最大絕對誤差 0.05，準(zhǔn)