高數chapter6-11

1、6-16-1多元函數多元函數6-26-2偏導數的應用偏導數的應用第六章第六章 多元函數微分學多元函數微分學6-16-1多元函數多元函數一、二元函數一、二元函數二、二元函數的極限二、二元函數的極限三、二元函數的連續(xù)三、二元函數的連續(xù)四、偏導數四、偏導數五、全微分五、全微分六、復合函數微分法六、復合函數微分法七、隱函數的微分法七、隱函數的微分法八、小結八、小結 以前我們接觸到的函數以前我們接觸到的函數 y = = f ( (x) )有一個特有一個特點點, , 就是只有一個自變量就是只有一個自變量, , 函數函數 y 是隨著這一個是隨著這一個自變量的變化而變化的自變量的變化而變化的. . 我們稱為我

2、們稱為一元函數一元函數。 如如 y = sinx, y = x2 + 3cosx 等等。所謂多元函數所謂多元函數, , 直觀的說直觀的說, , 就是有多個自變就是有多個自變量的函數量的函數. . 函數函數隨多個自變量的變化而變化隨多個自變量的變化而變化。圓柱體體積圓柱體體積 V = r 2 h體積體積V 隨隨 r, h的變化而變化的變化而變化. .或者說或者說, , 任給一對數任給一對數(r, h), 就有唯一的一個就有唯一的一個V V與之對應與之對應。例如：例如：長方體體積長方體體積 V = xyz體積體積V V 隨隨 x, y, z 的變化而變化的變化而變化?；蛘哒f?；蛘哒f, , 任給任給

3、一組數一組數(x, y, z), 就有唯一的一個就有唯一的一個V V與之對應與之對應。這些都是多元函數的例子這些都是多元函數的例子. 有二個自變量的有二個自變量的稱為稱為二元函數二元函數. 有三個自變量的稱為有三個自變量的稱為三元函數三元函數, , 有有 n 個自變量的稱為個自變量的稱為 n 元函數元函數.與一元函數類似與一元函數類似, 我們研究二元函數我們研究二元函數定義定義極限極限連續(xù)連續(xù)導數導數積分積分（一）二元函數定義（一）二元函數定義1 1、平面點集、平面點集我們稱有序實數對我們稱有序實數對( (x,y)的集合的集合( , ),x y xyRR為為二維空間二維空間，記為，記為R2。任

4、意一個有序實數對。任意一個有序實數對(a,b),都對應著坐標平面上一個點都對應著坐標平面上一個點P(a,b), ,都對應著一個都對應著一個有序的實數對有序的實數對(a,b),即二維空間即二維空間R2與坐標平面的所與坐標平面的所有點一一對應。因此，我們對二維空間有點一一對應。因此，我們對二維空間R2的有序的有序實數對與坐標面上的點不加區(qū)分。比如二維空間實數對與坐標面上的點不加區(qū)分。比如二維空間的子集是的子集是“平面點集平面點集”。2 2、鄰域、鄰域0P ),(0 PU|0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 3 3、區(qū)域、區(qū)域.)(的內點的內點為為則稱則稱，的某一鄰域的某一鄰域一個

5、點如果存在點一個點如果存在點是平面上的是平面上的是平面上的一個點集，是平面上的一個點集，設設EPEPUPPE .EE 的內點屬于的內點屬于EP .為開集為開集則稱則稱的點都是內點，的點都是內點，如果點集如果點集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即為開集即為開集的邊界點的邊界點為為），則稱），則稱可以不屬于可以不屬于，也，也本身可以屬于本身可以屬于的點（點的點（點也有不屬于也有不屬于的點，的點，于于的任一個鄰域內既有屬的任一個鄰域內既有屬如果點如果點EPEEPEEPEP 的邊界的邊界的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為 EE是連通的是連通的開集開集，則稱，則稱且該折線上的點都屬于且該折

6、線上的點都屬于連結起來，連結起來，任何兩點，都可用折線任何兩點，都可用折線內內是開集如果對于是開集如果對于設設DDDD 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo開開區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo例如，例如，則稱為無界點集則稱為無界點集為有界點集，否為有界點集，否成立，則稱成立，則稱對一切對一切即即，不超過不超過間的距離間的距離與某一定點與某一定點，使一切點，使一切點如果存在正數如果存在正

7、數對于點集對于點集EEPKAPKAPAEPKE 41| ),(22 yxyxxyo 內點一定是聚點；內點一定是聚點；說明：說明：4 4、聚點、聚點 邊界點是聚點邊界點是聚點；22( , )|01x yxy例如例如：(0,0)既是既是邊界點也是聚點。邊界點也是聚點。 點集點集E的聚點可以屬于的聚點可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E。10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點但不屬于集合。是聚點但不屬于集合。22( , )|1x yxy例如例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合。邊界上的點都是聚點也都屬于集合。 區(qū)域中的任一點都是該區(qū)域的聚點。區(qū)域中的任一點都是該區(qū)域的聚點。 n

8、維空間的記號為維空間的記號為說明：說明：;nR n維空間中兩點間距離公式維空間中兩點間距離公式 5 5、n n維空間維空間.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念00(, )|,nU PP PPPR 特殊地當特殊地當 時，便為數軸、平面、時，便為數軸、平面、空間兩點間的距離。空間兩點間的距離。3, 2, 1 n內點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義內點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義鄰域：鄰域：),(21nxxxP),(21nyyyQ設兩點為設兩點為鄰域鄰域, 內點內點, 邊界點邊界點, 開集開集, 連通連通, 有界有界, 開區(qū)域

9、開區(qū)域, 閉區(qū)域閉區(qū)域, 聚點聚點這些概念都可毫無困這些概念都可毫無困難地推廣到三維空間難地推廣到三維空間 R3 中去中去, 且有類似的且有類似的幾何意義幾何意義. 它們還可推廣到它們還可推廣到 4 維以上的空間維以上的空間中去中去, 但不再有幾何意義但不再有幾何意義。類似地可定義三元及三元以上函數。類似地可定義三元及三元以上函數。6 6、二元函數的定義、二元函數的定義例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域為所求定義域為., 42| ),(222yxyxyxD ),(yxfz （如下頁圖）（如下頁

10、圖）（二）二元函數的圖形（二）二元函數的圖形二元函數表示二元函數表示空間中一片曲面，空間中一片曲面，D是該曲面在是該曲面在xoy 面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域。PDM (x, y, z)yxzoz = f (P) = f (x, y)xyzoxyzsin 例如例如,2222azyx 例如例如,.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支:,)(lim0Axfxx所謂當當 x 不論是從不論是從 x0的左邊的左邊還是從還是從x0的右邊無限接的右邊無限接近于近于x0時時, 對應的函數對應的函數值無限接近于數值無限接近于數 A.表示xyA0f (x)f (x)y =

11、f (x)x0 xxx x0 0, 0. 當當0|x x0| 時時, 有有|f (x) A | .二、二元函數的極限二、二元函數的極限設二元函數設二元函數 z = f (P) = f (x, y), 定義域為定義域為D.Dz = f (x, y)PP如果當如果當P在在D內內變動并無限接近于變動并無限接近于P0時時 (從任何方向從任何方向, 以任何方式以任何方式),對應對應的函數值的函數值 f (P)無限無限接近于數接近于數 A, 則稱則稱A為當為當P趨近于趨近于P0時時f (P)的極限的極限。MP0Ayzxof (P)類似于一元函數類似于一元函數, f (P)無限接近于數無限接近于數 A可可用

12、用 | f (P) A | 0, 0, 當當2200()()x xyy時，對應的二元函數值滿足時，對應的二元函數值滿足| f (P) A | 00 | PP注意：注意：（1） “ 0 |P P0| 0, 220 |(0,0)|Pxy 時, 有 | f (x, y) 0 | 0, 使得當要使 | f (x, y) 0 | , 只須222yx222 yx即22 2 ,|(0,0)| ,Pxy取則當時 有| f (x, y) 0 | 0，對于對于D上任意一點上任意一點(x, ,y)，有有（1 1）有界性）有界性（2 2）最值性）最值性( , )f x yM 若函數若函數f(x, ,y)在有界閉區(qū)域在

13、有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在上連續(xù)，則它在D上必有最大值和最小值，即在有界閉區(qū)域上必有最大值和最小值，即在有界閉區(qū)域D上存在上存在兩點兩點P1(x1,y1)和和P2(x2,y2)，對于對于D上任意一點上任意一點(x, ,y)，有有1122( ,)( , )(,)f x yf x yf xy 若函數若函數f(x, ,y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，上連續(xù)，M與與m分分別是別是f(x, ,y)在在D上的最大值和最小值，則對上的最大值和最小值，則對M與與m間間的任意數的任意數c在在D上至少存在一點上至少存在一點P0 0(x0,0,y0 0)，使，使00(,)f xyc（3 3）介值性）介值性（4

14、 4）一致連續(xù)性）一致連續(xù)性 若函數若函數f( (x, ,y) )在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在上連續(xù)，則它在D上必一致連續(xù)上必一致連續(xù)。例例4 4：.11lim00 xyxyyx 求求解：解：)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 00000lim( )( )( )( )lim( )().PPPPf Pf PPf Pf PPf Pf P一般地，求時，如果是初等函數，且是的定義域的內點，則在點處連續(xù)，于是( , )xyf x yxy21 limyxxyxy求極限例例5 5：解：解：函數函數是初等函數，其定義域為是初等函數，其定義域為( , )0,0.Dx y xy1 ( , )0,0 ( , )xyDx