第6講_曲線曲面基礎(chǔ)-1

1、6. 曲線曲面基礎(chǔ)16.1 認(rèn)識曲線與曲面認(rèn)識曲線與曲面6.2 曲面造型的發(fā)展歷程曲面造型的發(fā)展歷程6.3 曲線曲面的參數(shù)表達(dá)曲線曲面的參數(shù)表達(dá)6.4 Bezier曲線曲線6.5 B樣條曲線樣條曲線6.6 NURBS曲線曲線 工業(yè)產(chǎn)品的形狀大致可分為兩類： 一類是僅由初等解析曲面(例如平面、圓柱面、圓錐面、球面、圓環(huán)面等)組成，大多數(shù)機(jī)械零件屬于這一類，可以用畫法幾何與機(jī)械制圖的方法完全清楚表達(dá)和傳遞所包含的全部形狀信息。 第二類是不能由初等解析曲面組成，而以復(fù)雜方式自由變化的曲線曲面即所謂自由型曲線曲面組成，例如飛機(jī)、汽車、船舶的外形零件。這一類形狀單純用畫法幾何與機(jī)械制圖是不能表達(dá)清楚的。

2、 自由曲線和曲面因不能由畫法幾何與機(jī)械制圖方法表達(dá)清楚，成為工程師們首要解決的問題。人們一直在尋求用數(shù)學(xué)方法唯一定義自由曲線和曲面的形狀。 曲面造型(Surface Modeling)是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì) (Computer Aided Geometric Design,CAGD)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，主要研究在計(jì)算機(jī)圖象系統(tǒng)的環(huán)境下對曲線曲面的表示、設(shè)計(jì)、顯示和分析。 它起源于汽車、飛機(jī)、船舶、葉輪等的外形放樣工藝，由Coons、Bezier等大師于二十世紀(jì)六十年代奠定其理論基礎(chǔ)。 經(jīng)過三十多年的發(fā)展，曲面造型現(xiàn)在已形成了以有理B樣條曲面(Rational B-spline Surf

3、ace)為基礎(chǔ)的參數(shù)化特征設(shè)計(jì)和隱式代數(shù)曲面(Implicit Algebraic Surface)表示這兩類方法為主體，以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)這二種手段為骨架的幾何理論體系。6. 曲線曲面基礎(chǔ)16.1 認(rèn)識曲線與曲面認(rèn)識曲線與曲面6.2 曲面造型的發(fā)展歷程曲面造型的發(fā)展歷程6.3 曲線曲面的參數(shù)表達(dá)曲線曲面的參數(shù)表達(dá)6.4 Bezier曲線曲線6.5 B樣條曲線樣條曲線6.6 NURBS曲線曲線6.2 曲線曲面發(fā)展歷程 1963 1963年美國波音飛機(jī)公司的佛格森（年美國波音飛機(jī)公司的佛格森（FergusonFerguson）最早引入?yún)?shù)三次

4、最早引入?yún)?shù)三次曲線，將曲線曲面表示成參數(shù)矢量函數(shù)形式，構(gòu)造了組合曲線和由四曲線，將曲線曲面表示成參數(shù)矢量函數(shù)形式，構(gòu)造了組合曲線和由四角點(diǎn)的位置矢量、兩個(gè)方向的切矢定義的佛格森雙三次曲面片。角點(diǎn)的位置矢量、兩個(gè)方向的切矢定義的佛格森雙三次曲面片。 1964 1964年，美國麻省理工學(xué)院的孔斯（年，美國麻省理工學(xué)院的孔斯（CoonsCoons）用封閉曲線的四條邊界用封閉曲線的四條邊界定義一張曲面。同年，舍恩伯格（定義一張曲面。同年，舍恩伯格（SchoenbergSchoenberg）提出了參數(shù)樣條曲線、提出了參數(shù)樣條曲線、曲面的形式。曲面的形式。 1971 1971年，法國雷諾（年，法國雷諾（

5、RenaultRenault）汽車公司的貝塞爾（汽車公司的貝塞爾（BezierBezier）發(fā)表發(fā)表了一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法。了一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法。 1974 1974年，美國通用汽車公司的戈登（年，美國通用汽車公司的戈登（GordenGorden）和里森費(fèi)爾德和里森費(fèi)爾德（RiesenfeldRiesenfeld）將將B B樣條理論用于形狀描述，提出了樣條理論用于形狀描述，提出了B B樣條曲線和曲面。樣條曲線和曲面。 nikiiuNu0,)()(PC00/00 )()()()()( 0 1)(111, 111,10,kttuNutttuNtuuNtutuNik

6、ikikiikikiikiiii其它若u10101010101010Ni+3，3（u）Ni，3（u）Ni+1，3（u）Ni+2，3（u）titi3ti1ti2ti4ti5ti6ti7 1975 1975年，美國錫拉丘茲（年，美國錫拉丘茲（SyracuseSyracuse）大學(xué)的佛斯普里爾大學(xué)的佛斯普里爾（VersprillVersprill）提出了有理提出了有理B B樣條方法。樣條方法。 80 80年代后期皮格爾（年代后期皮格爾（PieglPiegl）和蒂勒（和蒂勒（TillerTiller）將有理將有理B B樣條發(fā)展樣條發(fā)展成非均勻有理成非均勻有理B B樣條樣條(NURBS)(NURBS)方

7、法，并已成為當(dāng)前自由曲線和曲面描述方法，并已成為當(dāng)前自由曲線和曲面描述的最廣為流行的技術(shù)。的最廣為流行的技術(shù)。00/00 )()()()()( 0 1)(111, 111,10 ,kttuNutttuNtuuNtutuNikikikiikikiikiiii其它若minjjiminjjijidp0000)()()()()(vNuNvNuNvu,l j,ki,l j,ki,非均勻有理非均勻有理B B樣條（樣條（NURBSNURBS）成為當(dāng)前大多數(shù)商用）成為當(dāng)前大多數(shù)商用CADCAD軟件系統(tǒng)的內(nèi)部軟件系統(tǒng)的內(nèi)部表達(dá)技術(shù)。表達(dá)技術(shù)。Solid Edge CATIAUG NXPro/EInventor6

8、. 曲線曲面基礎(chǔ)16.1 認(rèn)識曲線與曲面認(rèn)識曲線與曲面6.2 曲面造型的發(fā)展歷程曲面造型的發(fā)展歷程6.3 曲線曲面的參數(shù)表達(dá)曲線曲面的參數(shù)表達(dá)6.4 Bezier曲線曲線6.5 B樣條曲線樣條曲線6.6 NURBS曲線曲線曲線曲面的參數(shù)表示非參數(shù)表示有顯式和隱式之分顯式表示顯式表示: :如曲面方程z=f(x，y)，式中每個(gè)z值對應(yīng)唯一的x、y值，該表示計(jì)算非常方便，但無法描述多值或封閉面，如球。 隱式表示隱式表示: :如曲面f(x,y，z)=0，這種表示不便于由已知的參量x，y計(jì)算z值- 1 = 0曲線參數(shù)表示 空間曲線上一點(diǎn)p的每個(gè)坐標(biāo)被表示成參數(shù)u的函數(shù)： x=x(u), y=y(u),

9、z=z(u)。 合起來，曲線被表示為參數(shù)u的矢函數(shù)： p(u) = x y z = x(u) y(u) z(u) 最簡單的參數(shù)曲線是直線段，端點(diǎn)為P1、P2的直線段參數(shù)方程可表示為：P(t) = P1 + ( P2 - P1 )t t0, 1;參數(shù)表示優(yōu)點(diǎn)1. 易于滿足幾何不變性的要求，可以對參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換，節(jié)省計(jì)算量。曲線曲面表示的幾何不變性是指它們不依賴于坐標(biāo)系的選擇或者說在旋轉(zhuǎn)和平移變換下不變的性質(zhì)3. 有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀。例如：一條二維三次曲線的顯式表示為：只有四個(gè)系數(shù)控制曲線的形狀。而采用二維三次曲線的參數(shù)表達(dá)式為：則有8個(gè)系數(shù)可用來控制此曲線的形狀。dc

10、xbxaxy23 1 , 0tbtbtbtbatatata) t (P4322314322312. 易于規(guī)定曲線、曲面的范圍。參數(shù)表示優(yōu)點(diǎn)（續(xù)）4. 易于處理多值問題和斜率無窮大的情形。5. 易于計(jì)算曲線、曲面上的點(diǎn)。而隱式方程需求解非線性或超越方程，另外，求導(dǎo)、等距的計(jì)算也被簡化；6. 參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是完全分離的，而且對變量個(gè)數(shù)不限，從而便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴(kuò)展到高維空間去。這種變量分離的特點(diǎn)使我們可以用數(shù)學(xué)公式處理幾何分量。 有關(guān)基本概念介紹位置矢量位置矢量切矢切矢法矢法矢曲率、撓率曲率、撓率插值：插值：給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，i=0, 1, , n，構(gòu)

11、造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。常用插值方法有線性插值、拋物線插值等。逼近：逼近：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行逼近，所構(gòu)造的曲線為逼近曲線。擬合：擬合：插值和逼近則統(tǒng)稱為擬合（fitting）。6. 曲線曲面基礎(chǔ)16.1 認(rèn)識曲線與曲面認(rèn)識曲線與曲面6.2 曲面造型的發(fā)展歷程曲面造型的發(fā)展歷程6.3 曲線曲面的參數(shù)表達(dá)曲線曲面的參數(shù)表達(dá)6.4 Bezier曲線曲線6.5 B樣條曲線樣條曲線6.6 NURBS曲線曲線Bezier曲線給定空間n+1個(gè)點(diǎn)的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），則Bezier參數(shù)曲

12、線上各點(diǎn)坐標(biāo)的插值公式是： 其中，Pi構(gòu)成該Bezier曲線的特征多邊形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函數(shù)，也稱為調(diào)和函數(shù)： 三次Bezier曲線例如，由P0、P1、P2、P3四個(gè)控制點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形來構(gòu)造 33,323,223, 133,0i3ii33, iuuBu13uuBu13uuBu1uB3 , 2 , 1 , 0iu1uCuB則三次Bezier曲線表示為： UMPPPPP00010033036313311uuuPPPPuBuBuBuBuBPuP321023T32103,33,23,13,03, i30ii 此時(shí)調(diào)和函數(shù)為： 上式展開表示為： 三次Bezier曲線性質(zhì)1.

13、 端點(diǎn)性質(zhì) 曲線過控制頂點(diǎn)的首末頂點(diǎn)。將u0和1分別代入表達(dá)式p(u)中可知p(0)=P0, p(1)=P3。 0p 2.切矢性質(zhì) 曲線在首末兩點(diǎn)相切于多邊形的起、止邊。對三次Bezier曲線求一階導(dǎo)數(shù): 2301PP31p,PP30p 1p 4.凸包性 即Bezier曲線不會越出特征多邊形的頂點(diǎn)所圍成的凸包 3.對稱性 將控制頂點(diǎn)反序仍可得到同樣形狀的曲線。Q0Q1Q2Q3Q0Q1Q2Q3三次Bezier曲線示例Bezier曲線的計(jì)算及繪制 在參數(shù)空間t0,1進(jìn)行均勻插值，計(jì)算對應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)，然后連接成線，這條線就是折線逼近的Bezier曲線 3210321021010032103210210

14、1003322103322103322120333221203y3y3yyB3y6y3yB3y3yByBx3x3xxA3x6x3xA3x3xAxAtBtBtBBtytAtAtAAtxytyt13tyt13tyt1tyxtxt13txt13txt1tx其中其中寫成寫成編程實(shí)現(xiàn)編程實(shí)現(xiàn)： 也可寫成矩陣表達(dá)式，式中若求PX（t）的值，則取Pi的x坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，同理求Py（t）、Pz（t）的值，具體如下： Px（t） B0,3(t) B1,3(t) B2,3(t) B3,3(t) P0 x P1x P2x P3x T Py（t） B0,3(t) B1,3(t) B2,3(t) B3,3(t) P0y

15、P1y P2y P3y T Pz（t） B0,3(t) B1,3(t) B2,3(t) B3,3(t) P0z P1z P2z P3z T 注意：上式基函數(shù)的計(jì)算僅需一次，不必三次。Bezier曲線的繪制： 例如利用上面的計(jì)算方法可分別求出 t0.0，0.05,0.10,0.15,0.95,1.0時(shí)的曲線上的點(diǎn)，依次連接相鄰兩點(diǎn)為直線段，即可得近似的曲線圖形。Bezier曲線幾何作圖與分割特性， 給定參數(shù)t（t0,1），就把定義域0,1分成長度為 t:(1-t)的兩段。依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點(diǎn)就是第一級遞推生成的中間頂點(diǎn) ，

16、對這些中間頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級中間頂點(diǎn) 。重復(fù)進(jìn)行下去，直到n級遞推得到一個(gè)中間頂點(diǎn)P0n即為所求曲線上的點(diǎn)P(t)。 例如：對三次Bezier曲線（給定參數(shù)域 t0,1）上t1/3的點(diǎn)。把定義域分成長度為1/3:(1-1/3)的兩段。依次對原始控制多邊形對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點(diǎn)就是第一級遞推生成的中間頂點(diǎn)P01、P11、P21，對這些中間頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級中間頂點(diǎn)P02、P12 。重復(fù)進(jìn)行下去，直到第3級遞推得到一個(gè)中間頂點(diǎn)P03，即為所求曲線上的點(diǎn)P（t）。 另外，這一算法隱含說

17、明任一Bezier曲線均可被分割為兩段Bezier曲線。第一段由P0、P01、P02、P03確定，參數(shù)空間為0,1/3;第二段P03、P12、P21、P3確定，參數(shù)空間為1/3,1,分割后的曲線形狀保持不變。如圖所示。 Bezier曲線拼接， 工程實(shí)際中存在許多復(fù)雜形狀的曲線或曲面不可能用一條Bezier曲線擬合出復(fù)雜的曲線，但可采用分段Bezier曲線經(jīng)拼接后擬合實(shí)際中存在的復(fù)雜曲線。工程應(yīng)用中，希望各段曲線在連接處光滑，即切矢連續(xù)切矢連續(xù)(一階幾何連續(xù))或曲率連續(xù)曲率連續(xù)(二階幾何連續(xù))。這里僅討論切矢連續(xù)的問題。， 下圖所示為兩段三次Bezier曲線的一階連續(xù)拼接：Q1由圖中可以看出，Q

18、1的移動(dòng)只要滿足共線要求即可滿足二曲線的切矢光滑拼接（即一階幾何連續(xù)）而不需滿足P（1）Q（0）（即一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)）也就是說一階幾何連續(xù)比一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)限制更寬松，也能滿足光滑連續(xù)的工程要求，這是參數(shù)表達(dá)的優(yōu)勢之一。Bezier曲線的不足Bezier曲線有兩點(diǎn)不足： 一是特征多邊形頂點(diǎn)數(shù)決定了Bezier曲線的階次，n很大時(shí)，特征多邊形對形狀的控制將減弱。 二是Bezier曲線不能作局部修改，改變?nèi)我豢刂泣c(diǎn)將波及整條曲線 三是繪制復(fù)雜曲線需要拼接，比較繁瑣。因此發(fā)展了B樣條曲線 1972年Gordon等用B樣條基代替Bernstein基函數(shù)，從而改進(jìn)上述缺點(diǎn)。6. 曲線曲面基礎(chǔ)16.1 認(rèn)識曲線與

19、曲面認(rèn)識曲線與曲面6.2 曲面造型的發(fā)展歷程曲面造型的發(fā)展歷程6.3 曲線曲面的參數(shù)表達(dá)曲線曲面的參數(shù)表達(dá)6.4 Bezier曲線曲線6.5 B樣條曲線樣條曲線6.6 NURBS曲線曲線B樣條曲線nikiiuNu0,)()(pP n+1個(gè)控制點(diǎn)Pi(i=0,1,n)構(gòu)成特征多邊形的頂點(diǎn)，k+1階(k次)B樣條曲線的表達(dá)式是： 其中Ni,k(u)是調(diào)和函數(shù)，也稱為基函數(shù)，按照遞歸公式可定義為：1111, 111,11 ,uu uu)()u(uu)()u()( 0uu 1)(nkikikikiikikiikiiiiuuNuuNuuNuuN其它若1111, 111,11 ,uu uu)()u(uu)

20、()u()( 0uu 1)(nkikikikiikikiikiiiiuuNuuNuuNuuN其它若un+k+1u0u1un+k式中：式中：U u0 , u1 , , un+k , un+k+1 稱為稱為B樣條基函數(shù)的節(jié)點(diǎn)向量，樣條基函數(shù)的節(jié)點(diǎn)向量， ui 為為節(jié)點(diǎn)值，且應(yīng)滿足節(jié)點(diǎn)值，且應(yīng)滿足ui ui1，即節(jié)點(diǎn)值應(yīng)滿足有序遞增（允許有重節(jié)點(diǎn)）。，即節(jié)點(diǎn)值應(yīng)滿足有序遞增（允許有重節(jié)點(diǎn)）。均勻三次B樣條曲線由于B樣條曲線比較復(fù)雜，為分析的方便性，本文先以均勻三次B樣條為例進(jìn)行分析。均勻三次均勻三次B B樣條曲線其節(jié)點(diǎn)矢量等距分布樣條曲線其節(jié)點(diǎn)矢量等距分布( (即即u ui i1 1u ui i常數(shù)

21、常數(shù)) )，前面的B樣條基函數(shù)可展開為 ： 33 , 333 , 2233 , 133 , 0u61uN61u21u21u21uN32uu21uNu161uN空間n+1個(gè)控制頂點(diǎn)Pi（i=0，1，n）可構(gòu)造n2段三次（k3，四階）均勻B樣條曲線段，每相鄰四個(gè)點(diǎn)可定義一曲線段Pi（u）（i=1， ，n2） 式中u0,1如任意四個(gè)頂點(diǎn)Pi、Pi+1、Pi+2、Pi+3作為特征多邊形構(gòu)造的均勻三次B樣條曲線段的方程Pi(u)可表達(dá)式為： UMPPPPP01410303-036-313-31-611uuuP)u(B)u(p3i2i1ii30j23ji3 , ji式中：u0,1 均勻三次B樣條曲線的程序

22、實(shí)現(xiàn)均勻三次B樣條曲線的幾何意義 2i1iiii2ii2i1iiiP2PP0pPP210pP4PP610p 由前面可導(dǎo)出如下公式： 3i2i1ii1i3ii3i2i1iiP2PP1pPP211pP4PP611p 曲線起點(diǎn)位于以PiPi+1和Pi+1Pi+2為兩鄰邊的平行四邊形的對角線的1/6處 起點(diǎn)的切矢與Pi+2Pi平行，模為| Pi+2-Pi|/2 起點(diǎn)的二階導(dǎo)矢是以PiPi+1和Pi+1Pi+2為兩鄰邊的平行四邊形的對角線方向 曲線段末點(diǎn)的情形與上述三點(diǎn)類似，只是向前推移一個(gè)頂點(diǎn)。 由前面的推導(dǎo)可知，第一段曲線的末點(diǎn)與第二曲線的首點(diǎn)滿足滿足二階函數(shù)連續(xù)。 依次類推，各曲線段的末點(diǎn)與下一個(gè)

23、曲線段的首點(diǎn)均滿足滿足二階函數(shù)連續(xù)，這是B樣條曲線的優(yōu)勢之一 因此采用B樣條曲線直接能夠構(gòu)造光滑的復(fù)雜曲線Pi4Pi5均勻三次B樣條曲線的幾何作圖 根據(jù)B樣條曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置、起點(diǎn)和終點(diǎn)的切矢方向即可近似的幾何作圖。(對角線1/3）四點(diǎn)共線二重頂點(diǎn)三重頂點(diǎn)(過頂點(diǎn))B樣條曲線性質(zhì)1.對稱性：將控制頂點(diǎn)反序仍可得到同樣形狀的曲線。Q0Q4Q5Q8Q1 , Q2, Q3Q6 , Q72.凸包性：即B樣條曲線不越出特征多邊形頂點(diǎn)所圍成的凸包（如圖中陰影所示） Pi4Pi53. B樣條曲線具有局部性質(zhì)。對均勻三次B樣條曲線任意段修改時(shí)，只被相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)控制，與其它的控制點(diǎn)無關(guān)。換句話說，每段k次

24、B樣條曲線只涉及k1個(gè)基函數(shù)，并由k1個(gè)頂點(diǎn)所定義。 如圖，當(dāng)修改P5時(shí)，只影響P2至P8之間的四條樣條段(A至B)，對其它段則不產(chǎn)生影響。這一特點(diǎn)對曲線的設(shè)計(jì)和修改非常有利。 4.連續(xù)性均勻三次B樣條曲線段連接處具有二階連續(xù)性。一般來說，k次B樣條曲線具有k1階函數(shù)連續(xù)性。由前面的作圖過程可知，當(dāng)出現(xiàn)重復(fù)控制頂點(diǎn)時(shí)，曲線幾何連續(xù)性可能下降（但函數(shù)導(dǎo)數(shù)仍連續(xù)），甚至產(chǎn)生尖點(diǎn)。當(dāng)節(jié)點(diǎn)矢量出現(xiàn)重復(fù)節(jié)點(diǎn)時(shí)，在其重節(jié)點(diǎn)處曲線連續(xù)性將逐次下降。如當(dāng)在P2處為二重節(jié)點(diǎn)時(shí)，連接處為一階連續(xù)，而當(dāng)P2為三重節(jié)點(diǎn)時(shí)，導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，此時(shí)將出現(xiàn)尖點(diǎn)。5、造型的靈活性性質(zhì)4的特點(diǎn)說明，只要靈活選用控制點(diǎn)的位置和節(jié)點(diǎn)的重

25、復(fù)數(shù)，可以獲得特殊要求的曲線段。B樣條曲線的拼接B樣條曲線的反算由：由：得：得：對于開曲線，則首末點(diǎn)邊界切矢可由用戶隨意交互給定對于封閉曲線，則首末的位置相同，且邊界切矢方向相同邊界條件補(bǔ)充時(shí)應(yīng)注意：B樣條曲線與Bezier曲線的比較1、Bezier曲線的基函數(shù)的次數(shù)等于控制頂點(diǎn)數(shù)減一，而B樣條曲線的基函數(shù)的次數(shù)與控制點(diǎn)數(shù)無關(guān)，即可用任意多的控制點(diǎn)來擬合三次均勻B樣條曲線。原因是B樣條曲線是分段擬合的，這樣構(gòu)造復(fù)雜曲線更方便。2、Bezier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)正好是控制多邊形的首末控制點(diǎn)，控制形狀直觀方便。而B樣條曲線不經(jīng)過控制多邊形頂點(diǎn)。3 3、為使B樣條曲線經(jīng)過控制多邊形首末控制頂點(diǎn)，使之具有Bezier類似的優(yōu)點(diǎn)。實(shí)際應(yīng)用中常引入準(zhǔn)均勻B樣條，即在節(jié)點(diǎn)矢量中兩端節(jié)點(diǎn)具有k1個(gè)重復(fù)度。例如：當(dāng)控制點(diǎn)數(shù)n 7，次數(shù)k 3的準(zhǔn)均勻三次B樣條曲線的節(jié)點(diǎn)矢量可定義為u 0，0，0，0，1，2，3，3，3，3。 4、若三次B樣條曲線n 4，k