第二講線性方程組

1、 基本概念與結論基本概念與結論河南科技學院河南科技學院主講：劉主講：劉 娟娟 基本題型與方法基本題型與方法基本概念基本概念設設12,nsP 12,sk kkP 1、線性組合、線性組合1122sskkk 為向量組為向量組 的一個的一個線性組合線性組合.12,s ，稱，稱組等價組等價. . 若兩個向量組可以互相線性表出，則稱這兩個若兩個向量組可以互相線性表出，則稱這兩個向量向量2、向量組等價、向量組等價如果向量組如果向量組 中有一向量可經(jīng)其余中有一向量可經(jīng)其余12,(2)ss 稱為稱為線性相關線性相關的的.向量線性表出，則向量組向量線性表出，則向量組12,s 3、線性相關、線性相關基本概念基本概念

2、若不存在若不存在 P 中不中不全為零的數(shù)全為零的數(shù) ，使使12,sk kkP 11220sskkk 則稱向量組則稱向量組 為為線性無關線性無關的的.12,s 4、線性無關、線性無關5 5、極大線性無關組、極大線性無關組 i) 12,iiir 線性無線性無 一個一個極大線性無關組極大線性無關組，簡稱，簡稱極大無關組極大無關組. 若部分組若部分組12,iiir 滿足：滿足： 線性表出線性表出；12,iiir (1)jjs 關；關；ii) 對任意的對任意的 , 可經(jīng)可經(jīng)j 則稱則稱 12,iiir 為向量組為向量組 12,s 的的 向量組的極大無關組所含向量個數(shù)稱為這個向量組的極大無關組所含向量個數(shù)

3、稱為這個向量向量組的組的秩秩. 6 6、向量組的秩、向量組的秩 若齊次線性方程組若齊次線性方程組 的一組解的一組解滿足：滿足： ii）方程組的任一解向量可由）方程組的任一解向量可由 i）線性無關；）線性無關； 的一個的一個基礎解系基礎解系 7 7、基礎解析、基礎解析 AxO 12,r , ,12, ,r 線性表示線性表示.則稱則稱12,r 為為AxO 基本概念基本概念1 1、線性相關性的判法、線性相關性的判法1）向量組）向量組 線性相關線性相關 成比例成比例. 12, 12, 2）任意一個含零向量的向量組必線性相關任意一個含零向量的向量組必線性相關. . 3 3）存在）存在 P 上上不全為零的

4、數(shù)不全為零的數(shù) 12,sk kk11220.sskkk ，使，使4 4）一向量組線性相關的充要條件是其中至少有一）一向量組線性相關的充要條件是其中至少有一個個向量可由其余向量線性表出向量可由其余向量線性表出. 5）部分相關則整體相關，整體無關則部分無關）部分相關則整體相關，整體無關則部分無關. 6 6）若）若線性無關線性無關，而而12,s 相關，則相關，則 可由可由 線性表出線性表出. .12,s 12,s 線性線性基本結論基本結論7）縮短組無關延伸組也無關，延伸組相關則縮短組）縮短組無關延伸組也無關，延伸組相關則縮短組相關相關. 8）設）設 與與 為兩個為兩個12,s 12,r 向量組，若向

5、量組，若則向量組則向量組 必線性相關必線性相關.12,r ii).rs 9 9）任意）任意 n1 個個 n 維向量必線性相關維向量必線性相關. . i) 向量組向量組 可經(jīng)可經(jīng) 線性表出線性表出；12,s 12,r 線性相關線性相關1112121222120.nnnnnnaaaaaaaaa 行列式行列式1010）n 個個 n 維向量維向量12(,),1,2,iiiinaaain 基本結論基本結論3 3）一個向量組的任意兩個極大無關組都等價）一個向量組的任意兩個極大無關組都等價. . 3 3、極大無關組與秩、極大無關組與秩1 1）若向量組）若向量組 可經(jīng)向量組可經(jīng)向量組 12,r 12,s 表出

6、，且表出，且 線性無關線性無關，則則 12,r .rs 線性線性2 2、向量組的等價、向量組的等價1）兩個線性無關的等價向量組必含相同個數(shù)的向量）兩個線性無關的等價向量組必含相同個數(shù)的向量.2 2）向量組和它的任一極大無關組等價）向量組和它的任一極大無關組等價. .線性無關線性無關1112121222120.nnnnnnaaaaaaaaa 行列式行列式基本結論基本結論6 6）一個向量組線性相關的充要條件是）一個向量組線性相關的充要條件是它的秩它它的秩它所含向量個數(shù)所含向量個數(shù).7 7）等價向量組必有相同的秩）等價向量組必有相同的秩. .2 2）一個向量組的極大無關組不是唯一的）一個向量組的極大

7、無關組不是唯一的.3 3）一個線性無關的向量組的極大無關組是其自身）一個線性無關的向量組的極大無關組是其自身. .4 4）一個向量組的任意兩個極大無關組都含有相同）一個向量組的任意兩個極大無關組都含有相同個數(shù)的向量個數(shù)的向量. . 所含向量個數(shù)相同；所含向量個數(shù)相同；5）一個向量組線性無關的充要條件是它的秩與它）一個向量組線性無關的充要條件是它的秩與它 的所有的所有 級子式等于級子式等于0. R ArA 1r 8 8）基本結論基本結論 R ArA r有一個有一個 級子式不為級子式不為0.9 9）若若 則則 的不為的不為0的級子式所在行的級子式所在行(列列) R ArA r就是就是A行行(列列)

8、向量組的一個極大無關組向量組的一個極大無關組.基本結論基本結論4 4、線性方程組的解、線性方程組的解 R An AxO 1 1）只有零解只有零解 R An AxO 有非零解有非零解 R AR AnAxb 2 2）有唯一解有唯一解Axb 有無窮多解有無窮多解 R AR AnAxb 無解無解 R AR A 基本題型與方法基本題型與方法1 1、求解線性方程組、求解線性方程組方法方法1：消元法結合自由未知量表示解的結論；：消元法結合自由未知量表示解的結論；方法方法2：利用增廣矩陣結合秩與方程組解的結論：利用增廣矩陣結合秩與方程組解的結論.2 2、求矩陣的秩、求矩陣的秩方法方法1：初等變換法；：初等變換法；方法方法2：k階子式法階子式法.3 3、判定向量組的線性相關性、判定向量組的線性相關性方法：利用相關結論方法：利用相關結論.4 4、求向量組的秩與極大無關組、求向量組的秩與極大無關組方法：將向量組寫成矩陣，再做行的初等變換，找方法：將向量組寫成矩陣，再做行的初等變換，找出化簡后列向量的極大無關組出化簡后列向量的極大無關組. .5 5、求齊次線性方程組的基礎解系、求齊次線性方程組的基礎解系 方法：利用消元法，求出自由未知量，轉(zhuǎn)化成基方法：利用消元法，求出自由未知量，轉(zhuǎn)化成基礎解系礎解系.6 6、結式與一元多項式的公因式、結式與