第4章線性控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助分析

1、2022-6-2312022-6-2322022-6-2332022-6-2342022-6-2352022-6-2362022-6-2372022-6-2382022-6-232022-6-23102022-6-23112022-6-23122022-6-23132022-6-23142022-6-23152022-6-2316162022-6-23174.1.4 線性系統(tǒng)的可控性分析 現(xiàn)代控制理論用狀態(tài)方程和輸出方程描述系統(tǒng)，輸現(xiàn)代控制理論用狀態(tài)方程和輸出方程描述系統(tǒng)，輸出和輸入構(gòu)成系統(tǒng)的外部變量，而狀態(tài)為系統(tǒng)的內(nèi)部變出和輸入構(gòu)成系統(tǒng)的外部變量，而狀態(tài)為系統(tǒng)的內(nèi)部變量，系統(tǒng)就好比是一塊集成

2、電路芯片，內(nèi)部結(jié)構(gòu)可能十量，系統(tǒng)就好比是一塊集成電路芯片，內(nèi)部結(jié)構(gòu)可能十分復(fù)雜，物理量很多，而外部只有少數(shù)幾個(gè)引腳，對(duì)電分復(fù)雜，物理量很多，而外部只有少數(shù)幾個(gè)引腳，對(duì)電路內(nèi)部物理量的控制和觀測(cè)都只能通過這為數(shù)不多的幾路內(nèi)部物理量的控制和觀測(cè)都只能通過這為數(shù)不多的幾個(gè)引腳進(jìn)行。個(gè)引腳進(jìn)行。這就存在著系統(tǒng)內(nèi)的所有狀態(tài)是否都受輸入控制和所有這就存在著系統(tǒng)內(nèi)的所有狀態(tài)是否都受輸入控制和所有狀態(tài)是否都可以從輸出反映出來的問題。如果系統(tǒng)所有狀態(tài)是否都可以從輸出反映出來的問題。如果系統(tǒng)所有狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)都可以通過有限的控制點(diǎn)的輸入來使其狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)都可以通過有限的控制點(diǎn)的輸入來使其由任意的初態(tài)達(dá)到任意設(shè)定

3、的終態(tài)，則稱系統(tǒng)是可控的，由任意的初態(tài)達(dá)到任意設(shè)定的終態(tài)，則稱系統(tǒng)是可控的，更確切的說是狀態(tài)可控的；如果系統(tǒng)中所有的狀態(tài)都是更確切的說是狀態(tài)可控的；如果系統(tǒng)中所有的狀態(tài)都是可控的，則稱該系統(tǒng)為完全可控的系統(tǒng)。否則，就稱系可控的，則稱該系統(tǒng)為完全可控的系統(tǒng)。否則，就稱系統(tǒng)不可控。統(tǒng)不可控。182022-6-23192022-6-23202022-6-23212022-6-23222022-6-2323111,011,131413121211444CBA例例4-5：已知系統(tǒng)的系數(shù)陣為：已知系統(tǒng)的系數(shù)陣為試判斷它的可觀性。試判斷它的可觀性。To = 1 1 1 6 6 5 23 22 17rank(

4、To)=3故系統(tǒng)可觀。故系統(tǒng)可觀。結(jié)果結(jié)果2525 A=4 4 4;-11 -12 -12;13 14 13;A=4 4 4;-11 -12 -12;13 14 13; B=1;-1;0;B=1;-1;0; C=1 1 1;C=1 1 1; To=obsv(A,C) To=obsv(A,C) rank(To) rank(To)2022-6-23262022-6-23272022-6-23282022-6-23292022-6-23302022-6-23312022-6-23322022-6-23332022-6-23342022-6-23352022-6-23362022-6-23372022

5、-6-23402022-6-23412022-6-23442022-6-23452022-6-23462022-6-23472022-6-23482022-6-23492022-6-23502022-6-23512022-6-23522022-6-2353直接求解直接求解2：syms s;U=laplace(sym(1);G=(s3+7*s2+3*s+4)/(s4+7*s3+17*s2+17*s+6);Y=G*U;y=ilaplace(Y)2022-6-23542022-6-23552022-6-23562022-6-23572022-6-23582022-6-2359s2s1 當(dāng)=0，y(t

6、)=1-cos(nt)為無阻尼振蕩。 當(dāng)01，tnnetty)1 (1)()11(121)(2)1(2)1(222ttneety稱為過阻尼振蕩。1S1,2S1S21wn=1;yy=;t=0:.1:12;zet=0:0.1:1,2,3,5;for z=zet if z= =0,y=1-cos(wn*t); elseif (z0 & z1, dd=sqrt(z2-1);lam1=-z-dd;lam2=-z+dd; y=1-0.5*wn*(exp(lam1*t)/lam1-exp(lam2*t)/lam2)/dd; end yy=yy;y;endplot(t,yy)當(dāng)n=1rad/sec，選

7、擇不同的，由下列命令可以得到系統(tǒng)在不同阻尼比下的階躍響應(yīng)曲線。不同阻尼比下的階躍響應(yīng)erjiexiangyingerjiexiangying2022-6-23642022-6-23652022-6-23662022-6-2367說明：G為tf( ),zpk( ),ss( )中任一種模型。如果用戶在調(diào)用step( )函數(shù)時(shí)不返回任何向量，則將自動(dòng)地繪出階躍響應(yīng)輸出曲線。對(duì)于帶有返回參數(shù)的將不繪制曲線,其中y是輸出向量, t是時(shí)間向量 。num=7 7;den=conv(conv(1 0,1 3),1 4 5);g=tf(num,den);gg=feedback(g,1,-1);y,t=step(

8、gg);plot(t,y)例4-11 已知系統(tǒng)框圖)54)(3() 1(7)(2ssssssG其中，輸入以下MATLAB命令，可得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如下圖所示。69圖4.1 階躍響應(yīng)指標(biāo)顯示2022-6-23702、 單位脈沖響應(yīng)繪制函數(shù)。 格式1： impulse(G)格式2： Y,T=impulse(G)格式3： Y, T=impulse(G, t)格式4： y=impulse(G，t)說 明： impulse ( )函數(shù)與step( )函數(shù)調(diào)用格式完全一致。例4-13:系統(tǒng)sejsjssssssssG2)1)(1)(5)(4)(5 . 3() 3)(2)(1(8)(則其脈沖響應(yīng)曲線由

9、以下語句獲得G=zpk(-1;-2;-3,-1+i;-1-i;-3.5;-4;-5,8,iodelay,2);impulse(G,8)012345678-0.100.10.20.30.40.50.60.70.8Impulse ResponseTime (sec)Amplitude4.3.2 任意輸入下系統(tǒng)的響應(yīng)193. 2318. 0109. 1361. 03378. 0107. 2924. 0148. 478. 11134. 0)(29. 123 . 0272. 0sessesssesGssslsim( )函數(shù)求任意輸入信號(hào)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng) 格式1： Y,T=lsim(sys1,u,t) 格式2

10、： Y,T=lsim(sys2,u,t,x0) 說明： u為輸入信號(hào).t為等間隔時(shí)間向量. sys1為tf( )或zpk( )模型。 sys2為ss( )模型,x0為初始條件。例4-14：系統(tǒng)其兩路輸入分別為)2cos()sin()(),13sin(1)(21tttutetutMATLAB語句為： g11=tf(0.1134,1.78,4.48,1);g12=tf(0.924,2.07,1);g21=tf(0.3378,0.361,1.09,1);g22=tf(-0.318,2.93,1);G=g11,g12;g21,g22;G.ioDelay=0.72,0;0.3,1.29;t=0:.1:1

11、5;u=1-exp(-t).*sin(3*t+1),sin(t).*cos(t+2)lsim(G,u,t);-1-0.500.511.5To: Out(1)051015-1-0.500.511.5To: Out(2)Linear Simulation ResultsTime (sec)Amplitude在兩路輸入下，系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)曲線為：774.4 控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法 所謂根軌跡(Root Locus)是指，當(dāng)系統(tǒng)的某個(gè)參數(shù)(如開環(huán)增益K)由零連續(xù)變化到無窮大時(shí), 閉環(huán)特征根在復(fù)平面上運(yùn)動(dòng)的軌跡。一般來說，在無零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征根就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。 根軌跡法(Root Lo

12、cus Technique)是分析和設(shè)計(jì)線性定?？刂葡到y(tǒng)的圖解方法，使用十分簡(jiǎn)便。利用它可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行各種性能分析。一、根軌跡分析方法的概念78二、根軌跡分析函數(shù) 通常來說，繪制系統(tǒng)的根軌跡是很繁瑣的事情，因此在MATLAB中，專門提供了繪制根軌跡的有關(guān)函數(shù)。rlocus：求系統(tǒng)根軌跡。sgrid：在連續(xù)系統(tǒng)根軌跡圖和零極點(diǎn)圖中繪制出阻尼系數(shù)和自然頻率柵格。791、根軌跡圖繪制rlocus( )函數(shù) rlocus(a,b,c,d)或者rlocus(num,den)：根據(jù)SISO開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述模型和傳遞函數(shù)模型，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。開環(huán)增益的值從零到無窮大變化。 rlocu

13、s(a,b,c,d,k)或rlocus(num,den,k)： 通過指定開環(huán)增益k的變化范圍來繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。 r=rlocus(num,den,k) 或者r,k=rlocus(num,den) ：不在屏幕上直接繪出系統(tǒng)的根軌跡圖，而根據(jù)開環(huán)增益變化矢量k ，返回閉環(huán)系統(tǒng)特征方程1k*num(s)/den(s)=0的根r，它有l(wèi)ength(k)行，length(den)-1列，每行對(duì)應(yīng)某個(gè)k值時(shí)的所有閉環(huán)極點(diǎn)?；蛘咄瑫r(shí)返回k與r。2022-6-23802022-6-2381s=tf(s);G=10/(s*(s+3)*(s2+3*s+4);rlocus(G)gridK=0.523;step(

14、feedback(G*K,1)2022-6-2382Root LocusReal AxisImaginary Axis-2.5-2-1.5-1-0.500.5-1.5-1-0.500.511.520.580.720.840.920.980.140.30.440.580.720.840.920.980.511.522.5System: GGain: 0.524Pole: -0.666 + 0.667iDamping: 0.707Overshoot (%): 4.33Frequency (rad/sec): 0.9430.140.30.442022-6-23832022-6-23842022-6-

15、23852022-6-23862022-6-2387-1-0.500.5-1.5-1-0.500.511.5System: GReal: -0.635Imag: 1.08Frequency (rad/sec): 1.960 dB-20 dB-10 dB-6 dB-4 dB-2 dB20 dB10 dB6 dB4 dB2 dBNyquist DiagramReal AxisImaginary Axis2022-6-238990 通過系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性函數(shù)Nyquist圖，可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這就是著名的Nyquist判據(jù)： 1. 若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定（開環(huán)傳遞函數(shù)沒有極點(diǎn)在s右半平面），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)

16、定（閉環(huán)傳遞函數(shù)沒有極點(diǎn)在s右半平面）的條件是開環(huán)頻率特性函數(shù)G(j )軌跡不包圍（-1, j0）點(diǎn)。 2. 若系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定（開環(huán)傳遞函數(shù)有n個(gè)極點(diǎn)在s右半平面），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是，當(dāng)從-連續(xù)變化到+時(shí)，開環(huán)頻率特性函數(shù)G(j )的Nyquist圖逆時(shí)針方向包圍復(fù)平面上的（-1, j0)點(diǎn)n圈。91例4-17：開環(huán)系統(tǒng) )2)(5(50)(sssGk=50; z=; p=-5;2; num,den=zp2tf(z,p,k);figure(1)nyquist(num,den)title(Nyquist Plot);figure(2)num1,den1=cloop(num,den); im

17、pulse(num1,den1)title(Impulse Respone)繪制系統(tǒng)Nyquist曲線，判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，繪制出閉環(huán)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。解 根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，利用nyquist函數(shù)繪出系統(tǒng)的Nyquist曲線，并根據(jù)奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最后利用cloop函數(shù)構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)，并用impulse函數(shù)求出脈沖響應(yīng)以驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論。92-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50-1.5-1-0.500.511.5Nyquist PlotReal AxisImaginary Axis圖4-6 系統(tǒng)Nyquist曲線 00.511.522.533.5

18、4-3-2-10123456Impulse ResponeTime (sec)Amplitude圖4-7 閉環(huán)系統(tǒng)單位沖激響應(yīng) 從圖4-6中可以看出，系統(tǒng)Nyquist曲線按逆時(shí)針方向包圍(一1，j 0)點(diǎn)1圈，而開環(huán)系統(tǒng)包含右半s平面上的1個(gè)極點(diǎn)，因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，這可由圖4-7中得到證實(shí)。93例4-18：開環(huán)系統(tǒng) )2)(5)(1(50)(ssssG繪制系統(tǒng)Nyquist曲線，判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，繪制出閉環(huán)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。k=50; z=; p=-1;-5;2; num,den=zp2tf(z,p,k);figure(1)nyquist(num,den)title(Nyquist pl

19、ot);figure(2)num1,den1=cloop(num,den); impulse(num1,den1)title(Impulse Response)94-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50-2-1.5-1-0.500.511.52Nyquist plotReal AxisImaginary Axis051015-0.500.511.522.5x 107Impulse ResponseTime (sec)Amplitude從圖中可以看出，系統(tǒng)Nyquist曲線按順時(shí)針方向包圍(一l，j0)點(diǎn)1圈，而開環(huán)系統(tǒng)包含右半s平面上的1個(gè)極點(diǎn)，因此閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，這可由下圖中得到證實(shí)。2022-6-2395-2.5-2-1.5-1-0.50-1.5-1-0.500.511.50 dB-20 dB-10 dB-6 dB-4 dB-2 dB20 dB10 dB6 dB4 dB2 dBNyquist DiagramReal AxisImaginary Axis05010015020025030035040045000.20.40.60.811.21.41.61.8Ste