數(shù)學(xué)極限與連續(xù)實(shí)用教案

1、本章本章(bn zhn(bn zhn) )目錄目錄第一節(jié) 數(shù)列的極限第二節(jié) 函數(shù)的極限第三節(jié) 變量的極限第四節(jié) 無(wú)窮大量與無(wú)窮小量第五節(jié) 極限的運(yùn)算法則第六節(jié) 兩個(gè)(lin )重要極限第七節(jié) 利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性第1頁(yè)/共129頁(yè)第一頁(yè)，共129頁(yè)。極限(jxin)概念的引入 “割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周(yunzhu)合體而無(wú)所失矣”劉徽割圓術(shù)：劉徽第2頁(yè)/共129頁(yè)第二頁(yè)，共129頁(yè)。正六邊形的面積1A正十二邊形的面積2A正 形的面積126 nnA,321nAAAA面積(min j)的逼近RS第3頁(yè)/共129頁(yè)第三頁(yè)，共129頁(yè)。第一節(jié)

2、數(shù)列(shli)(shli)的極限一、數(shù)列(shli)二、數(shù)列(shli)的極限第4頁(yè)/共129頁(yè)第四頁(yè)，共129頁(yè)。一、數(shù)列(shli) (1)(2)( )， ，fff n（1）稱為無(wú)窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列。其中每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)， 稱為通項(xiàng)或一般項(xiàng)。( )f n( )ny = f n定義 2.1 定義在正整數(shù)集上的整標(biāo)函數(shù) ，當(dāng)自變量n按正整數(shù)1,2,3,依次順序取值時(shí)，函數(shù)值排列的一列數(shù)第5頁(yè)/共129頁(yè)第五頁(yè)，共129頁(yè)。例如(lr)：11 1 11= 22 4 8 16：， ，nny注意(zh y)：數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取點(diǎn)12,.nxxx1x2x3x4xn

3、x（1）13 4 5= 1+ 22 3 4：，nyn（2）= 2 2 4 6 8 ：， ， ， ，nyn（3）1+( 1)= 0 1 0 12：， ， ， ，nny（4）第6頁(yè)/共129頁(yè)第六頁(yè)，共129頁(yè)。1( 1)1 ，觀觀察察數(shù)數(shù)列列當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì). .nnynn二、數(shù)列(shli)極限的定義隨著n取值越來(lái)越大，數(shù)列(shli)的值與常數(shù)1越來(lái)越接近，或者理解為：數(shù)列(shli)的取值與1的距離越來(lái)越接近。o123456ny12n第7頁(yè)/共129頁(yè)第七頁(yè)，共129頁(yè)。nyA在數(shù)學(xué)上，用距離表示接近程度，即用 來(lái)度量 接近常數(shù) A的程度。ny本例中，數(shù)列的取值與1的距離越來(lái)越

4、接近，即，在n無(wú)限增大的過(guò)程中， 可以任意小，意思是：1ny1ny 不論事先指定多么小的正數(shù)，在n無(wú)限增大的變化過(guò)程中，總有那么一個(gè)時(shí)刻（也就是n增大到一定程度），在該時(shí)刻后， 總小于那個(gè)事先指定的小正數(shù)。第8頁(yè)/共129頁(yè)第八頁(yè)，共129頁(yè)。1( 1)1nnyn對(duì)于數(shù)列 ，1111(1( 1)1( 1) nnnynnn1,10如，給定(i dn)小正數(shù) 1110ny，1110n，10n ny同理，若取 ，則 ； 若取 ，則 ，等等。此時(shí)，稱數(shù)列 以常數(shù)1為極限。1100100n 110001000n 若要使即只要(zhyo)取即可。第9頁(yè)/共129頁(yè)第九頁(yè)，共129頁(yè)。對(duì)于數(shù)列ny及常數(shù) A

5、 ，若此時(shí)(c sh)也稱數(shù)列收斂，否則稱數(shù)列發(fā)散。nA y N 時(shí)，有nyA則稱n趨于無(wú)窮大時(shí)，該數(shù)列 以常數(shù) A為極限，記作恒成立。nyAAA)(1Nx2Nx幾何(j h)解釋：第10頁(yè)/共129頁(yè)第十頁(yè)，共129頁(yè)。例如(lr)，1limlim0.2nnnny12nny：趨勢(shì)(qsh)不定，震蕩無(wú)極限收 斂發(fā) 散11( 1)( 1)1 limlim 11.nnnnnnyynn：limlim= 2 =2nnnnynyn=.：1+( 1)= 0 1 0 12：， ， ， ，nny第11頁(yè)/共129頁(yè)第十一頁(yè)，共129頁(yè)。例1利用定義(dngy)證明：lim212.nnn證明：對(duì)于任意給定的

6、，要使0 只要取 即可，因此取 ，當(dāng) nN 時(shí)，1n 11N =+就有2ny恒成立(chngl)，2ny恒成立，即lim212.nnn2+12nn1n 第12頁(yè)/共129頁(yè)第十二頁(yè)，共129頁(yè)。練習(xí)(linx)（1）利用定義(dngy)證明：1lim2 0.nn（2）設(shè),1q證明(zhngmng)等比數(shù)列,112nqqq的極限為0. 返回本章目錄第13頁(yè)/共129頁(yè)第十三頁(yè)，共129頁(yè)。劉徽 (約225 295年)我國(guó)古代(gdi)魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.他撰寫(zhun xi)的重 差對(duì)九章算術(shù)中的方法和公式(gngsh)作了全面的評(píng) 注,指出并糾正了其中的錯(cuò)誤 , 在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué) 理論上作

7、出了杰出的貢獻(xiàn) .他的 “ 割圓術(shù) ” 求圓周率 “ 割之彌細(xì) , 所失彌小,割之又割 , 以至于不可割 ,則與圓合體而無(wú)所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精確”的重要極限思想 . 的方法 :第14頁(yè)/共129頁(yè)第十四頁(yè)，共129頁(yè)。第二節(jié) 函數(shù)(hnsh)(hnsh)的極限0)1(xx 0)2(xx0) 3(xxx)4(x)5(x)6( ),yf x對(duì)于自變量變化過(guò)程(guchng)的六種形式：本節(jié)內(nèi)容(nirng) :一、 時(shí)，函數(shù) f (x) 的極限x二、 時(shí)，函數(shù) f (x) 的極限0 xx三、左極限與右極限四、關(guān)于函數(shù)極限的定理第15頁(yè)/共129頁(yè)第十五頁(yè)，共129頁(yè)

8、。( ) ()110y = f x =+xx一、 時(shí)，函數(shù) f (x) 的極限x例如(lr) 函數(shù)注：x是指x沿x軸正向(zhn xin)和負(fù)向同時(shí)趨于 。x當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)值 y 無(wú)限(wxin)接近于常數(shù)1。第16頁(yè)/共129頁(yè)第十六頁(yè)，共129頁(yè)。定義(dngy)2.3對(duì)于(duy)函數(shù) f (x)，,0X,( ),xMf xA當(dāng)時(shí) 有則稱當(dāng)xAxfx)(lim)()(xAxf當(dāng)或AxfA)(xMxM 或記作,0( )f x趨于無(wú)窮大時(shí)，函數(shù) 以 A 為極限， MM)(xfy AAoxyA幾何(j h)解釋:若第17頁(yè)/共129頁(yè)第十七頁(yè)，共129頁(yè)。例1 1 證明(zhngmng)(

9、zhngmng). 01limxx證明(zhngmng)：01x1x，取1,M,xM當(dāng)時(shí)( )0f x ，因此(ync)，1lim0.xx就有故,0欲使,01x即,1xoxy1( )f xx，( )0f x 設(shè)第18頁(yè)/共129頁(yè)第十八頁(yè)，共129頁(yè)。兩種特殊兩種特殊(tsh)情況情況 :Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx 時(shí), 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx時(shí), 有 Axf)(第19頁(yè)/共129頁(yè)第十九頁(yè)，共129頁(yè)。1lim0.2xx例2 用定義(dngy)證明證明(zhngmng)：1( ).2xf x對(duì) 0,要使( )0fx 只要(zhyo)12,x即1lg.lg2x

10、因此，取1lglg2M，當(dāng)xM時(shí),有( )0fx恒成立，即1lim0.2xx設(shè)102x12x第20頁(yè)/共129頁(yè)第二十頁(yè)，共129頁(yè)。lim 20 xx練習(xí)(linx)：用定義(dngy)證明1lim0 xx第21頁(yè)/共129頁(yè)第二十一頁(yè)，共129頁(yè)。( )21f x =x +二、 時(shí)，函數(shù)(hnsh) f (x) 的極限0 xx考慮(kol)函數(shù)和( ) ()2411212xg x =xx的圖像(t xin)。( )f x很明顯，當(dāng)和( )g x均無(wú)限接近于2。12x時(shí)，函數(shù)第22頁(yè)/共129頁(yè)第二十二頁(yè)，共129頁(yè)。000:( )( ),( ).f xxf xxf xx由此例可看出 函數(shù)在

11、點(diǎn)處的極限值與在有無(wú)定義無(wú)關(guān) 而只與在 附近的變化趨勢(shì)有關(guān)定義(dngy)2.4)(xf在點(diǎn)0 x的某去心鄰域(ln y)內(nèi)有定義,設(shè)函數(shù)(hnsh),0,0當(dāng)00 xx時(shí), 有 Axf)(則稱常數(shù) A 為函數(shù))(xf當(dāng)0 xx 時(shí)的極限，Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf當(dāng)若記作00000(,)()()xxxxxx，第23頁(yè)/共129頁(yè)第二十三頁(yè)，共129頁(yè)。注意(zh y)：（1）A為唯一確定(qudng)的有限常數(shù)；0 xx（2） 表示x從 的左右兩側(cè)同時(shí)趨于 ；0 x0 x（3）極限A的存在與否與f (x)在 處有無(wú)定義無(wú)關(guān)。0 x00lim.xxxx證明(zhngmng)

12、：0( )f xx0 xx例3 證明設(shè)( ).f xx對(duì)于任意給定的0 ，要使只要取即有，當(dāng)00 xx時(shí)，0( )f xx恒成立，因此00lim.xxxx第24頁(yè)/共129頁(yè)第二十四頁(yè)，共129頁(yè)。例4 4 證明(zhngmng)(zhngmng)211lim21xxx證明(zhngmng):Axf)(2112xx21 x故,0取,當(dāng)10 x時(shí) , 必有2121xx，因此(ync)211lim2.1xxx1 xAxf)(練習(xí) 用定義證明2lim(32)4.xx0lim.xxCC第25頁(yè)/共129頁(yè)第二十五頁(yè)，共129頁(yè)。三、左極限(jxin)與右極限(jxin)考慮(kol)函數(shù)在 x=0 處

13、的極限(jxin).當(dāng) x 僅從0的左側(cè)趨于0時(shí)，f (x)趨于1（左極限）；當(dāng) x 僅從0的右側(cè)趨于0時(shí)，f (x)趨于0（右極限）。第26頁(yè)/共129頁(yè)第二十六頁(yè)，共129頁(yè)。左極限(jxin)：0(0)f x Axfxx)(lim0,0,0當(dāng)),(00 xxx時(shí), 有.)( Axf右極限(jxin)：0(0)f x Axfxx)(lim0,0,0當(dāng)),(00 xxx時(shí), 有.)( Axf定義(dngy) 2.5例如，1,0;( ),0.xf xxx0lim( )1xf x ，0lim( )0.xf x第27頁(yè)/共129頁(yè)第二十七頁(yè)，共129頁(yè)。定理 2.1（極限(jxin)存在的充要條件

14、）Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00四、關(guān)于(guny)函數(shù)極限的定理1,0;( ),0.xf xxx注意(zh y)：左右極限都存在且相等時(shí)，函數(shù)才存在極限。這里 A 必為有限常數(shù)。如前例中，0lim( )1xf x 0lim( )0.xf x因則0lim( )xf x不存在。第28頁(yè)/共129頁(yè)第二十八頁(yè)，共129頁(yè)。0,10,00, 1)(xxxxxxf討論(toln) 0 x時(shí)，)(xf的極限是否(sh fu)存在 . xyo11 xy11 xy解: 利用(lyng)定理2.1，因?yàn)?(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(l

15、im0 xx1顯然，(00)(00),ff所以)(lim0 xfx不存在 .例5 設(shè)函數(shù)第29頁(yè)/共129頁(yè)第二十九頁(yè)，共129頁(yè)。0 x討論(toln)當(dāng)例6的極限(jxin)。時(shí)，函數(shù)(hnsh)( )f xx解：( )f xx因此，)(lim0 xfx0lim()xx0 ，0lim( )xf x0limxx0.由定理2.1可知，0lim( )xf x0limxx0.練習(xí)0lim.xxx驗(yàn)證不存在, 0 , 0 xxxx第30頁(yè)/共129頁(yè)第三十頁(yè)，共129頁(yè)。定理(dngl)2.2（極限(jxin)的保號(hào)性）如果(rgu)0lim( )xxf xA ，而且 A0 (或 A 0時(shí)， 取正數(shù)

16、,A則在對(duì)應(yīng)的鄰域. 0)(xf( 0)(A),(0 xx),(0 x)0(上有第31頁(yè)/共129頁(yè)第三十一頁(yè)，共129頁(yè)。定理(dngl)2.3如果(rgu)0lim( )xxf xA ，并且(bngqi)( )0)f x 或 ， 0 ( 0).AA則或( )0f x 證明: 反證法.則由定理2.2，0 x的某去心鄰域，使在該鄰域內(nèi),0)(xf與已知所以假設(shè)不成立，即.0A(同樣可證0)(xf的情形。)存在不妨設(shè) A 0，使得變量(binling)y在某一時(shí)刻之后，恒有則稱y在那一時(shí)刻之后為有界變量。例如，cosyx，arctanyx，arccotyx均為有界變量。定理2.4如果在某一變化過(guò)

17、程中，變量y有極限，則變量y是有界變量。第36頁(yè)/共129頁(yè)第三十六頁(yè)，共129頁(yè)。定理(dngl)2.4如果在某一變化過(guò)程(guchng)中，變量y有極限，則變量(binling)y是有界變量(binling)。證明：設(shè)lim.yA在那個(gè)時(shí)刻之后，恒有1yA則對(duì) ，總有那么一個(gè)時(shí)刻，1又因()yAyA取1,MA那么，在那個(gè)時(shí)刻以后恒有.yM所以，變量y在那個(gè)時(shí)刻以后是有界變量。AyA1A ，第37頁(yè)/共129頁(yè)第三十七頁(yè)，共129頁(yè)。注意(zh y)：本定理(dngl)說(shuō)明，變量 y 若在某一變化過(guò)程中有極限，則此變量(binling)必在某一時(shí)刻后有界；但在某一時(shí)刻反例： 在 x=0的鄰域

18、內(nèi)有界，不存在。1,0;( ),0.xf xxx0lim( )xf x但返回本章目錄后有界的變量在這一時(shí)刻后不一定有極限。第38頁(yè)/共129頁(yè)第三十八頁(yè)，共129頁(yè)。第四節(jié) 無(wú)窮(wqing)(wqing)大量與無(wú)窮(wqing)(wqing)小量一、無(wú)窮(wqing)大量二、無(wú)窮小量三、無(wú)窮(wqing)小量與無(wú)窮(wqing)大量的關(guān)系四、無(wú)窮小量的階第39頁(yè)/共129頁(yè)第三十九頁(yè)，共129頁(yè)。Ey一、無(wú)窮(wqing)大量定義(dngy)2.8如果對(duì)于(duy)任意給定的正數(shù)E，變量y在其變化過(guò)程中，總有那么一個(gè)時(shí)刻，在那個(gè)時(shí)刻以后，不等式恒成立，記作limy =3. lim y切勿將認(rèn)

19、為極限存在.2.無(wú)窮大量是變量,不能與很大的數(shù)混淆，注意：1.無(wú)窮大量是極限為的變量；它是描述函數(shù)的某種狀態(tài)；則稱變量y是無(wú)窮大量，或稱變量y趨于無(wú)窮大,第40頁(yè)/共129頁(yè)第四十頁(yè)，共129頁(yè)。01lim,xx 10 .xx當(dāng)時(shí)，函數(shù)是無(wú)窮大量例如(lr)，0lim lg,xx 0 lg.xx當(dāng)時(shí)，函數(shù)是無(wú)窮大量二、無(wú)窮小量定義(dngy)2.9以0為極限的變量(binling)，稱為無(wú)窮小量。y即，對(duì)于任意給定的正數(shù)，在變量y的變化過(guò)程中，總有那么一個(gè)時(shí)刻，在那個(gè)時(shí)刻以后，不等式則稱變量y是無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小。1.無(wú)窮小量的定義恒成立，第41頁(yè)/共129頁(yè)第四十一頁(yè)，共129頁(yè)。定義(d

20、ngy)2.9以0為極限的變量(binling)，稱為無(wú)窮小量。當(dāng)例如(lr)：,0)1(lim1xx時(shí)，函數(shù) 1yx當(dāng)1x為無(wú)窮小。,01limxx時(shí)，函數(shù) 1yxx為無(wú)窮小；1lim0,2nn 時(shí)，函數(shù) 12nny 當(dāng)x為無(wú)窮??；注意： （1）除0以外任何很小的常數(shù)都不是無(wú)窮??；（2）無(wú)窮小和無(wú)窮大一定是在某一變化趨勢(shì)下的。簡(jiǎn)記為：、 等。第42頁(yè)/共129頁(yè)第四十二頁(yè)，共129頁(yè)。例1當(dāng) 時(shí)，是無(wú)窮小量；( )lg(1)f xx當(dāng) 時(shí)，是無(wú)窮(wqing)大量。當(dāng) 時(shí)，是無(wú)窮(wqing)大量；3( )1xf xx當(dāng) 時(shí)，是無(wú)窮小量。1 ,xx 或2x 1x 3x 第43頁(yè)/共129頁(yè)第

21、四十三頁(yè)，共129頁(yè)。2.無(wú)窮小量的性質(zhì)(xngzh)定理(dngl)2.5（其中(qzhng) 為無(wú)窮小量）lim yAyA證明：lim yA0, 那么，為無(wú)窮小量。即，總有那么一個(gè)時(shí)刻，.yAyA ，（必要性）由可知，對(duì)于在那個(gè)時(shí)刻之后，有記.yA（自己思考：充分性的證明。）第44頁(yè)/共129頁(yè)第四十四頁(yè)，共129頁(yè)。.yM定理(dngl)2.6無(wú)窮小量與有界變量(binling)的乘積仍為無(wú)窮小量。證明(zhngmng)：設(shè)y在某一時(shí)刻之后為有界變量。在某一時(shí)刻之后，恒有那么對(duì)于任意的0，存在一個(gè)在那個(gè)時(shí)刻之后，恒有.M在上面較晚的那個(gè)時(shí)刻之后，以上兩式恒成立。y即，y是無(wú)窮小量。推論常

22、量與無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量。如，20lim0 xx20lim 30 xx那么存在 M 0,設(shè)是無(wú)窮小量。時(shí)刻，那么，yMM.第45頁(yè)/共129頁(yè)第四十五頁(yè)，共129頁(yè)。性質(zhì)(xngzh)2（證明(zhngmng)）兩個(gè)(lin )無(wú)窮小量的和仍為無(wú)窮小量。性質(zhì)3(Th2.9推論1)兩個(gè)無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量。性質(zhì)1無(wú)窮小量與有界變量的乘積仍為無(wú)窮小量。01limsinxxx例2 求解： 因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，x是無(wú)窮小量。1sin1x ，因此，1sinx是有界變量，由定理2.6，01limsin0.xxx類似地有，1limsin0.xxx然而，01limsin0.xxx（注意觀察區(qū)別）性質(zhì)2和

23、性質(zhì)3可以推廣到有限個(gè)情形而第46頁(yè)/共129頁(yè)第四十六頁(yè)，共129頁(yè)。注意(zh y)例3).21(lim222nnnnn 求求解：是無(wú)窮小之和是無(wú)窮小之和時(shí)時(shí), n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形(bin xng)再求極限.無(wú)窮多個(gè)(du )無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.第47頁(yè)/共129頁(yè)第四十七頁(yè)，共129頁(yè)。21x 三、無(wú)窮(wqing)小量與無(wú)窮(wqing)大量的關(guān)系（1）若y是無(wú)窮(wqing)大量，則1y是無(wú)窮小量；（自己練習(xí)(linx)證明）在變量 y 的變化過(guò)程中，定理2.7（2）若y (y

24、0)是無(wú)窮小量，則是無(wú)窮大量。1y如，因?yàn)楫?dāng) x1 時(shí)，是無(wú)窮小量，則第48頁(yè)/共129頁(yè)第四十八頁(yè)，共129頁(yè)。lim0,四、無(wú)窮小量的階定義(dngy)2.10設(shè)，是同一變化(binhu)過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小量。（1）若則稱是比較高階無(wú)窮小量，( ).o記作：lim0,C（2）若則稱與是同階無(wú)窮小量；lim, 當(dāng)C=1時(shí)，稱與是等價(jià)(dngji)無(wú)窮小量，記為：則稱是比較低階無(wú)窮小量。（3）若特別地，第49頁(yè)/共129頁(yè)第四十九頁(yè)，共129頁(yè)。02lim2,xxx2( ).xo x如，則當(dāng)x0時(shí)，2x與x是同階無(wú)窮小量。20lim0,xxx則當(dāng)x0時(shí)，例4 當(dāng)x0時(shí)，下列(xili)無(wú)窮小量

25、與x相比是什么無(wú)窮小量。（1）（3）（2）解：由因此(ync)，自己(zj)練習(xí)（2）、（3）。返回本章目錄第50頁(yè)/共129頁(yè)第五十頁(yè)，共129頁(yè)。性質(zhì)(xngzh)2兩個(gè)(lin )無(wú)窮小量的和仍為無(wú)窮小量。時(shí), 有,min21證明：考慮(kol)兩個(gè)無(wú)窮小的和。設(shè),0lim0 xx,0lim0 xx,0,01當(dāng)100 xx時(shí) , 有2, 02當(dāng)200 xx時(shí) , 有2取則當(dāng)00 xx22因此.0)(lim0 xx注意：有限個(gè)無(wú)窮小量的和仍為無(wú)窮小量。第51頁(yè)/共129頁(yè)第五十一頁(yè)，共129頁(yè)。第五節(jié) 極限的運(yùn)算(yn sun)(yn sun)法則一、極限四則運(yùn)算(s z yn sun)法

26、則二、求極限(jxin)的方法三、四則運(yùn)算法則的應(yīng)用第52頁(yè)/共129頁(yè)第五十二頁(yè)，共129頁(yè)。一、極限的四則運(yùn)算(s z yn sun)法則定理(dngl)lim, lim, xAyB則設(shè)變量x、y在同一變化過(guò)程(guchng)中均有極限，即(1)lim()limlim;xyxyAB(2) limlimlim;xyxyA Blim(3)lim,(0).limxxAByyB推論limlimc ycyc B limlimnnxx11limlimnnxx（定理2.8）（定理2.9）（定理2.10）n第53頁(yè)/共129頁(yè)第五十三頁(yè)，共129頁(yè)。注意(zh y)： 以上定理(dngl)均可推廣到有限個(gè)

27、變量的情形，現(xiàn)僅以加法運(yùn)算給出證明。(1)lim()limlim;xyxyAB證明(zhngmng)： 因,)(lim,)(limBxgAxf則有BxgAxf)(,)(（其中,為無(wú)窮?。?于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理2.5可知也是無(wú)窮小，再利用極限與無(wú)窮小的關(guān)系定理，可知定理結(jié)論成立。（定理2.8）第54頁(yè)/共129頁(yè)第五十四頁(yè)，共129頁(yè)。21lim(321)xxx二、求極限(jxin)的方法1. 代入法例1求解：21lim(321)xxx213limxx213 lim2 1xx23 12 1 2.多項(xiàng)式函數(shù)在某一點(diǎn)(y din)處的極限用代入法12limxx1lim1

28、x第55頁(yè)/共129頁(yè)第五十五頁(yè)，共129頁(yè)。例2求2123lim.53xxxx解: 因1lim(23)231,xx 21lim(53)xxx則2123lim53xxxx121lim(23)lim(53)xxxxx111.1 5310 分母(fnm)極限不為零的分式函數(shù)第56頁(yè)/共129頁(yè)第五十六頁(yè)，共129頁(yè)。0A型2. 利用(lyng)無(wú)窮小量性質(zhì)求極限例3.4532lim21xxxx解: x=1 時(shí)，3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母(fnm)=0，分子0，但因求無(wú)窮小量的倒數(shù)(do sh)為無(wú)窮大量。第57頁(yè)/共129頁(yè)第五十七頁(yè)，共129頁(yè)。例

29、4oyx.sinlimxxx解： 1sinx01limxx由定理(dngl)2.6可知，.0sinlimxxxxxysin求為有界變量(binling)，且無(wú)窮小量與有界變量(binling)的乘積仍為無(wú)窮小量。第58頁(yè)/共129頁(yè)第五十八頁(yè)，共129頁(yè)。3.化無(wú)窮大為無(wú)窮小.125934lim22xxxxx解： 2239214lim5xxxxx分子(fnz)分母同除以,2x則4.5“ 抓大頭”原式型例5 求同理，22439 lim)521nnnnn(同32439lim521xxxxx ，23439lim521xxxxx0.第59頁(yè)/共129頁(yè)第五十九頁(yè)，共129頁(yè)。為非負(fù)常數(shù)(chngsh)

30、）nmba,0(00mn 當(dāng)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 當(dāng)mn 當(dāng)小結(jié)(xioji)：項(xiàng)數(shù)型型的的多多式式函函相相除除(如P69 例4)(如P69 例5)(如P69 例6)第60頁(yè)/共129頁(yè)第六十頁(yè)，共129頁(yè)。4.分解(fnji)因式法00項(xiàng)數(shù)型型的的多多式式函函相相除除例6 求233lim.9xxx例7 求42lim4xxx解：233lim9xxx33lim(3)(3)xxxx31lim3xx1.6解：42lim4xxx42lim(2)(2)xxxx411lim.42xx00型型00型型第61頁(yè)/共129頁(yè)第六十一頁(yè)，共129頁(yè)。練習(xí)(lin

31、x)11lim1nxxx121(1)(1)lim1nnxxxxx121lim(1)nnxxx. n2211lim21xxxx1(1)(1)lim(21)(1)xxxxx11lim1xxx2.3第62頁(yè)/共129頁(yè)第六十二頁(yè)，共129頁(yè)。5.分子分母(fnm)有理化00無(wú)理數(shù)型型的的函函相相除除例8 求42lim4xxx42lim4xxx解：（分子(fnz)有理化）4(2)(2)lim(2)(4)xxxxx44lim(2)(4)xxxx41lim2xx1.4第63頁(yè)/共129頁(yè)第六十三頁(yè)，共129頁(yè)。31231lim1xxx例9 求解：原式33333221( 231)( 231)(1)lim(1

32、)(1)( 231)xxxxxxxxx33212(1)(1)lim(1)( 231)xxxxxx33212(1)lim231xxxx63.200型型第64頁(yè)/共129頁(yè)第六十四頁(yè)，共129頁(yè)。32112lim28xxx6. -型例10 求解：原式232(24) 12lim8xxxx23228lim8xxxx22(2)(4)lim(2)(24)xxxxxx224lim24xxxx61.122通分化(fnhu)簡(jiǎn)第65頁(yè)/共129頁(yè)第六十五頁(yè)，共129頁(yè)。lim ( 1)xxx例11 求解：原式(1lim1xxxxx）1lim1xxx0.分子(fnz)有理化-型練習(xí)(linx)第66頁(yè)/共129頁(yè)

33、第六十六頁(yè)，共129頁(yè)。231,0( )31,01xxf xxxxx0lim( )xf x三、四則運(yùn)算法則(fz)的應(yīng)用例12 已知求+lim( )xf x lim( )xf x解：0lim( )xf x0lim(1)xx1. 0lim( )xf x23031lim1xxxx1. 因此(ync)，0lim( )1.xf x +lim( )xf x 2331lim1xxxx0.lim( )xf xlim(1)xx. 第67頁(yè)/共129頁(yè)第六十七頁(yè)，共129頁(yè)。例13 已知求常數(shù)(chngsh)a，b。解： 因分式函數(shù)(hnsh)極限存在，且 必有因此(ync)，代入得0.21lim()1xxax

34、bab 即，即，第68頁(yè)/共129頁(yè)第六十八頁(yè)，共129頁(yè)。練 習(xí)332212lim4195nnnnn lim(14)nnnn (1)(2)(3)(4)(5)22356lim815xxxxx2(8)(2sin )lim10 xxxxx21lim1ttttlim1xxxxx(6)(7) 證明(zhngmng)：當(dāng)0 x 時(shí)，( 21 1)4( 42)xx 431sin( )xo xx(8) 若常數(shù)k使得(sh de)極限22233lim2xxkxkxx存在(cnzi)，求k值。 第69頁(yè)/共129頁(yè)第六十九頁(yè)，共129頁(yè)。答 案2(8)(2sin )lim0.10 xxxxx2233356(2)

35、(3)(2)1limlimlim.815(3)(5)(5)2xxxxxxxxxxxxx (1)(2)(3)(4)3333222211212121limlim23515419549nnnnnnnnn (14)(14)lim(14)lim(14)nnnnnnnnnnnn ( 3)13lim3 lim.2(14)14( 11)nnnnnnn 第70頁(yè)/共129頁(yè)第七十頁(yè)，共129頁(yè)。(6)(8) 若常數(shù)(chngsh)k使得極限22233lim2xxkxkxx存在(cnzi)，求k值。 371110limlim0.1111xxxxxxxxxx231111()1)(1)(1)limlimlim111

36、lim(1)3.tttttttttttttttt tt(5)返回本章(bn zhn)目錄第71頁(yè)/共129頁(yè)第七十一頁(yè)，共129頁(yè)。第六節(jié) 兩個(gè)重要(zhngyo)(zhngyo)極限一、極限存在(cnzi)的準(zhǔn)則二、兩個(gè)重要(zhngyo)極限第72頁(yè)/共129頁(yè)第七十二頁(yè)，共129頁(yè)。yxz ，一、極限(jxin)存在的準(zhǔn)則1.定理(dngl)2.11（準(zhǔn)則I）若在某個(gè)變化過(guò)程(guchng)中，三個(gè)變量x、y、z 總有關(guān)系且limlimyzA ，則lim.xA證明：因limlimyzA ，則對(duì)于0 ，某一個(gè)時(shí)刻以后恒有,yAzA成立，即yxz ，,AyA.AzA又因所以在那個(gè)時(shí)刻之后，,

37、AyxzA即，,AxA ,xA即，lim.xA(夾逼準(zhǔn)則、柯西準(zhǔn)則)第73頁(yè)/共129頁(yè)第七十三頁(yè)，共129頁(yè)。0limsin0.xx02x例1證明(zhngmng)：證明(zhngmng)：當(dāng)時(shí)，0sin,xx又因0lim0 xx ，由夾逼準(zhǔn)則(zhnz)，0limsin0.xx類似地，可以證明0limcos1.xx（P71 例2）第74頁(yè)/共129頁(yè)第七十四頁(yè)，共129頁(yè)。例2).12111(lim222nnnnn 求求解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼準(zhǔn)則(zhnz)，. 1)12111(

38、lim222 nnnnn(縮放法)第75頁(yè)/共129頁(yè)第七十五頁(yè)，共129頁(yè)。x1x2x3x1 nxnxny如果數(shù)列滿足條件121,nnyyyy單調(diào)(dndio)增加121,nnyyyy單調(diào)(dndio)減少單調(diào)(dndio)數(shù)列準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.幾何解釋:AM2.單調(diào)有界準(zhǔn)則定理2.12m第76頁(yè)/共129頁(yè)第七十六頁(yè)，共129頁(yè)。二、兩個(gè)重要(zhngyo)極限AC(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓心角圓心角設(shè)單位圓設(shè)單位圓sin,tan,xBDxAC于于是是有有xBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角

39、為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 o第77頁(yè)/共129頁(yè)第七十七頁(yè)，共129頁(yè)。二、兩個(gè)(lin )重要極限(1)1sinlim0 xxx圓扇形(shn xn)AOB的面積AOB 的面積(min j)AOD的面積即xsin21x21xtan21,tansinxxx 1sincosxxx)0(2 x顯然有xxxcos1sin1即, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx2(0)xACxoBD00型型第78頁(yè)/共129頁(yè)第七十八頁(yè)，共129頁(yè)。例3 3 求求.tanlim0 xxx解： xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1li

40、m01注意(zh y)： ( )0( )0sin ( )( )lim1 lim1( )sin ( )xxxxxx；練習(xí)(linx) 求0sinlim.xkxx解： 原式0sinlimxkxkkx1.kk （k為非0常數(shù)(chngsh)）0sinlimkxkxkkx第79頁(yè)/共129頁(yè)第七十九頁(yè)，共129頁(yè)。例5 求.arcsinlim0 xxx解： 令,arcsin xt 則,sintx 因此(ync)原式tttsinlim0 1lim0t1例4 求.cos1lim20 xxx解： 原式22202sinlimxxx21212120sinlimx2x2x21ttsin第80頁(yè)/共129頁(yè)第八十頁(yè)

41、，共129頁(yè)。例6 求21sin(1)lim.56xxxx解： 例7 求解： 第81頁(yè)/共129頁(yè)第八十一頁(yè)，共129頁(yè)。20001sin2lim(sin) lim lim32arcsin 4xxxxxxxxxx練習(xí)(linx)答案(d n)：01lim.arcsin 44xxx第82頁(yè)/共129頁(yè)第八十二頁(yè)，共129頁(yè)。（2）證: 當(dāng)0 x時(shí), 設(shè), 1nxn則xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1111)1 (nn111n1 1 型型exxx)1(lim11lim(1)

42、nnne第83頁(yè)/共129頁(yè)第八十三頁(yè)，共129頁(yè)。當(dāng)x, ) 1( tx則,t從而(cng r)有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故exxx)1 (lim1注意(zh y)：此極限變形為10lim(1)ttte時(shí), 令1( )( )0lim 1( )fxf xf xe第84頁(yè)/共129頁(yè)第八十四頁(yè)，共129頁(yè)。例8 8 求求.)1 (lim1xxx解: 令,xtxxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1法二：若利用(lyng)( )1( )( )lim

43、 1,xxxe則 原式111)1 (limexxx練習(xí)(linx) 求214lim(1).xxx第85頁(yè)/共129頁(yè)第八十五頁(yè)，共129頁(yè)。11lim (1)(1)xxxx例102 lim() .3xxxx求例9 求解：原式11lim(1)(1)xxxxx11e e 第86頁(yè)/共129頁(yè)第八十六頁(yè)，共129頁(yè)。22 lim()1xxxx求例11解：22lim()1xxxxlim11xxxxxxlim11xxxxxxx 11lim 1111xxxxx 1lim 11xxx而，1(1) 11lim11xxx1(1)11lim1111xxxx1.e第87頁(yè)/共129頁(yè)第八十七頁(yè)，共129頁(yè)。1e e

44、1lim 11xxx(1) 11lim 11xxx. e(1)111lim 1111xxxx因此(ync)，原式1.練習(xí)(linx)解：令第88頁(yè)/共129頁(yè)第八十八頁(yè)，共129頁(yè)。內(nèi)容內(nèi)容(nirng)小結(jié)小結(jié)1. 數(shù)列(shli)（函數(shù)）極限存在的夾逼準(zhǔn)則2. 兩個(gè)重要(zhngyo)極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注: 代表相同的表達(dá)式。第89頁(yè)/共129頁(yè)第八十九頁(yè)，共129頁(yè)。思考思考(sko)與與練習(xí)練習(xí)一、填空(tinkng) ;_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim.

45、 4nnn0101exxx2tan4)(tanlim2 、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、計(jì)算(j sun)214lim()1nnnn、返回本章目錄第90頁(yè)/共129頁(yè)第九十頁(yè)，共129頁(yè)。第七節(jié)利用等價(jià)(dngji)無(wú)窮小量代換求極限lim,0, )0(C,1,0limCk 是 的高階無(wú)窮小 是 的低階無(wú)窮小 是 的同階無(wú)窮小 是 的等價(jià)(dngji)無(wú)窮小 是 的 k 階無(wú)窮小第91頁(yè)/共129頁(yè)第九十一頁(yè)，共129頁(yè)。,0時(shí)當(dāng)xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1常用(chn yn)等價(jià)無(wú)窮?。篴rctan x

46、,x1xe ,xln(1)x,x1xa ln,xa11axax第92頁(yè)/共129頁(yè)第九十二頁(yè)，共129頁(yè)。定理定理(dngl)2 . 設(shè)設(shè),且lim存在(cnzi)，則limlim ;證明(zhngmng)：limlim limlimlim lim例如，xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052lim( )f x1lim( )f x同理可證第二個(gè)式子。第93頁(yè)/共129頁(yè)第九十三頁(yè)，共129頁(yè)。設(shè)對(duì)同一變化(binhu)過(guò)程，、 為無(wú)窮小，說(shuō)明(shu(shumng):mng):無(wú)窮小的性質(zhì)(xngzh)，由等價(jià)可得簡(jiǎn)化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則。 但，這種化簡(jiǎn)運(yùn)算僅適用于乘除法，加減

47、法不適用。 例如，01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx例1.cos12tanlim20 xxx 求求解：.22tan,21cos1,02xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)22021)2(limxxx 原式原式. 8 第94頁(yè)/共129頁(yè)第九十四頁(yè)，共129頁(yè)。231x221x.1cos1)1 (lim3120 xxx解：,0時(shí)當(dāng) x1)1 (312 x231x1cos x221x0limx原式32例2 求第95頁(yè)/共129頁(yè)第九十五頁(yè)，共129頁(yè)。例3 求3201sin1limarctanxxxx解：因當(dāng)0 x 時(shí)，311x13x故311sin1 sin3xxxxarctan x,x

48、22arctan xx所以(suy)，原式201sin3limxxxx01 sinlim3xxx1.3(0)x (0)x 第96頁(yè)/共129頁(yè)第九十六頁(yè)，共129頁(yè)。例4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解：.sin,tan,0 xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 30)2(limxxxx 原式原式. 0 正解：,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯(cuò)第97頁(yè)/共129頁(yè)第九十七頁(yè)，共129頁(yè)。6 6、xaxnx1)1(lim10 =_.=_.練 習(xí)返回本章(bn zhn)目錄第98頁(yè)/共129頁(yè)第九十八

49、頁(yè)，共129頁(yè)。第八節(jié) 函數(shù)(hnsh)(hnsh)的連續(xù)性五、在閉區(qū)間(q jin)上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、函數(shù)(hnsh)改變量二、連續(xù)函數(shù)的概念三、函數(shù)的間斷點(diǎn)四、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則六、利用函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限第99頁(yè)/共129頁(yè)第九十九頁(yè)，共129頁(yè)。一、函數(shù)(hnsh)改變量定義(dngy)2.11變量(binling)t由初值改變到終值1t2,t則稱21ttt 為變量t的改變量。等價(jià)定義：設(shè)函數(shù) y= f (x)在有定義，若自變量x從改變到則函數(shù) y 的改變量為0(, )U x0()( ).yf xxf x 0 (0)xxx ，0 xxy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xx

50、x 0 x y y )(xfy 函數(shù)的增量第100頁(yè)/共129頁(yè)第一百頁(yè)，共129頁(yè)。例1設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，求邊長(zhǎng)改變(gibin)量為x 時(shí)，面積的增量。解： 設(shè)正方形的面積(min j)：2yx當(dāng)邊長(zhǎng)變?yōu)閤+x時(shí)，面積(min j)為：21.yxx則面積的改變量為：1yyy 22xxx 22.xxx 特別地，當(dāng)邊長(zhǎng)由2m改變到2.05m時(shí)，面積改變量為：0.05x ，2x ，22 2 0.050.05y 20.2025.m特別地，當(dāng)邊長(zhǎng)由2m改變到1.95m時(shí)，面積改變量為：0.05x ，2x ，22 20.050.05y （）20.1975.m 第101頁(yè)/共129頁(yè)第一百零一頁(yè)，共12

51、9頁(yè)。例1設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，求邊長(zhǎng)改變量為x 時(shí)，面積(min j)的增量。解： 設(shè)正方形的面積(min j)：2yx當(dāng)邊長(zhǎng)變?yōu)閤+x時(shí)，面積(min j)為：21.yxx則面積的改變量為：1yyy 22xxx 22.xxx 注意：函數(shù)的改變量可以為正，也可以為負(fù)。第102頁(yè)/共129頁(yè)第一百零二頁(yè)，共129頁(yè)。二、連續(xù)函數(shù)的概念(ginin)定義(dngy)2.12設(shè)函數(shù)(hnsh)y=f (x)在0U(, )x有定義。若當(dāng)x在0 x處取得該變量 (0)xx 時(shí)，有0limxy 000lim()()xf xxf x 0，則稱函數(shù)f (x)在點(diǎn)0 x處連續(xù)。否則，間斷。20yxxx證明：函數(shù)在

52、處連續(xù)例20limxy證明：200lim2() 0 xxxx20yxxx在處連續(xù)22000limxxxx第103頁(yè)/共129頁(yè)第一百零三頁(yè)，共129頁(yè)。若函數(shù)(hnsh) f (x)在點(diǎn)0 x處連續(xù)(linx)，則0limxy 000lim()()xf xxf x 0，令0,xxx則當(dāng)0 x 時(shí)，0.xx0limxy 00lim( )()xxf xf x0，即，00lim( )().xxf xf x這樣，就可以(ky)得到連續(xù)函數(shù)的等價(jià)定義。第104頁(yè)/共129頁(yè)第一百零四頁(yè)，共129頁(yè)。注意(zh y)：函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x定義(dngy)2.13)(xfy 在0 x的某鄰域(ln y)內(nèi)

53、有定義，且, )()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf(1) )(xf在點(diǎn)0 x即)(0 xf(2) 極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設(shè)函數(shù)連續(xù)，必須同時(shí)具備下列條件：存在；有定義，存在；否則，間斷.第105頁(yè)/共129頁(yè)第一百零五頁(yè)，共129頁(yè)。若)(xf在區(qū)間(q jin)上連續(xù)(linx)，或稱它是該區(qū)間(q jin)上的連續(xù)函數(shù).定義2.14注意：若 ,a bf (x)在 ,a blim( )( ),xaf xf a處左連續(xù)；則稱 f (x)在xa若lim( )( ),xbf xf b-處右連續(xù)。則稱 f (x)在xb很顯然，2(

54、 )f xx在 ，內(nèi)連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱第106頁(yè)/共129頁(yè)第一百零六頁(yè)，共129頁(yè)。例3 3 證明(zhngmng)(zhngmng)函數(shù)xysin在),(內(nèi)連續(xù)(linx).證： ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx222 sincos()xxyx122xx0 x即0lim0yx這說(shuō)明(shumng)xysin在),(內(nèi)連續(xù).同理可證： 函數(shù)xycos在),(內(nèi)連續(xù) .0第107頁(yè)/共129頁(yè)第一百零七頁(yè)，共129頁(yè)。三、函數(shù)(hnsh)的間斷點(diǎn)在在(1) 函數(shù)(hnsh)(xf0 x(2) 函數(shù)(hnsh)(xf0

55、x0lim( )xxf x不存在；(3) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在，但)()(lim00 xfxfxx處不連續(xù)，即間斷：0 x設(shè)0 x在點(diǎn))(xf處不滿足連續(xù)的條件，即滿足這樣的點(diǎn)0 x下列三個(gè)條件之一，稱函數(shù) f (x) 在雖有定義，但有定義 , 且稱為函數(shù) f (x) 的間斷點(diǎn)。在處無(wú)定義；定義2.15第108頁(yè)/共129頁(yè)第一百零八頁(yè)，共129頁(yè)。如，函數(shù)(hnsh)1( )f xx在點(diǎn)x=0處無(wú)定義(dngy)，因此，在點(diǎn) x=0處間斷(jindun)。例41,0( )0,00.1,0 xxf xxxxx討論函數(shù)在處的連續(xù)性解：00lim( )lim(1)xxf x

56、x1(0)0,f00lim( )lim(1)xxf xx1 (0)0,f左、右均不連續(xù)，( )0.f xx 故函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)第109頁(yè)/共129頁(yè)第一百零九頁(yè)，共129頁(yè)。間斷(jindun)(jindun)點(diǎn)的分類：第一類間斷(jindun)點(diǎn)：0(0)f x 及0(0)f x 均存在(cnzi)，000(0)(0)(),f xf xf x若稱0 x00(0)(0),f xf x若稱0 x第二類間斷點(diǎn)：及中至少一個(gè)不存在，稱0 x若其中有一個(gè)為振蕩無(wú)極限，0 x若其中有一個(gè)為,為可去間斷點(diǎn)。為跳躍間斷點(diǎn)。為無(wú)窮間斷點(diǎn)。為振蕩間斷點(diǎn)。0(0)f x 0(0)f x 稱第110頁(yè)/共129頁(yè)第

57、一百一十頁(yè)，共129頁(yè)。xytan) 1 (2x為其無(wú)窮(wqing)間斷點(diǎn) .0 x為其振蕩(zhndng)間斷點(diǎn) .xy1sin) 2(1x為可去間斷(jindun)點(diǎn) .11)3(2xxyxoy1xytan2xyoxyxy1sin0例如，第111頁(yè)/共129頁(yè)第一百一十一頁(yè)，共129頁(yè)。1) 1 (1)(lim1fxfx顯然(xinrn)，1x為其可去間斷(jindun)點(diǎn)。1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 1,0( )0,01,0 xxyf xxxxxyo11(00)1,f (00)1f0 x為其跳躍(tioyu)間斷點(diǎn)。第112頁(yè)/共129頁(yè)第一百一十二頁(yè)，共12

58、9頁(yè)。練習(xí)(linx)：2221,10( )4,122xxxf xxxxx且且(P86 例8),cos ,0,( )0.,0,axxf xxaxx當(dāng) 取何值時(shí)函數(shù)在處連續(xù)(1) 判斷(pndun)函數(shù)的間斷點(diǎn)(2)第113頁(yè)/共129頁(yè)第一百一十三頁(yè)，共129頁(yè)。四、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算(yn sun)法則定理(dngl)2.130( ),( ),f xg xx若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù) 則0( )( )( ), ( )( ), ( ()0)( )f xf xg xf xg xg xg x0 x在點(diǎn)處也連續(xù).注意：可推廣(tugung)到有限次四則運(yùn)算的情況。推論：多項(xiàng)式函數(shù)1011( )nnnnf xa x

59、a xaxa在(, ) 連續(xù)。分式函數(shù)10111011( )nnnnmmmma xa xaxap xb xb xbxb在使得分母不為零的點(diǎn)連續(xù)(即在定義區(qū)間連續(xù))。第114頁(yè)/共129頁(yè)第一百一十四頁(yè)，共129頁(yè)?；?jbn)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算(s z yn sun)仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合(fh)函數(shù)仍連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如，21xy的連續(xù)區(qū)間為1, 1(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為Znnn, ) 12( ,2(結(jié)論連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)仍連續(xù)分段函數(shù)的間斷點(diǎn)只可能出現(xiàn)在分段點(diǎn)上。第115頁(yè)/共129頁(yè)第一百一十五頁(yè)，共129頁(yè)。六、利用(lyng

60、)函數(shù)的連續(xù)性求極限00lim( )().xxf xf x0( ),f xx若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù) 則例5 求20coslim.arcsin(1)xxexx解：因函數(shù)(hnsh)2cos( )arcsin(1)xexf xx在 x=0處連續(xù)(linx)，則原式=20cos0arcsin(1 0)e12.2(連續(xù)，可直接代入)第116頁(yè)/共129頁(yè)第一百一十六頁(yè)，共129頁(yè)。0ln(1)lim.xxx解：原式10limln(1)xxxln1.e例6 求10lnlim(1)xxx(不連續(xù)(linx)，不可直接代入)例7 求01lim.xxex解：令1,xte則ln(1),xt原式0limln(1)ttt