對弧長曲線積分ppt課件

1、第十一章第十一章積分學(xué)積分學(xué) 定積分二重積分三重積分定積分二重積分三重積分積分域積分域 區(qū)間域區(qū)間域 平面域平面域 空間域空間域 曲線積分曲線積分曲線域曲線域曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分對面積的曲面積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 積分區(qū)域積分區(qū)域積分區(qū)域積分區(qū)域定積分定積分二重積分二重積分三重積分三重積分D曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分一型：對弧長一型：對弧長二型：對坐標(biāo)二型：對坐標(biāo)一型：對面積一型：對面積二型：對坐標(biāo)二型：對坐標(biāo)Stoke

2、s 公式公式高斯公式高斯公式格林公式格林公式1. 1. 多元函數(shù)積分學(xué)概略多元函數(shù)積分學(xué)概略baxxfd)(定積分處理了非均勻直線的質(zhì)量定積分處理了非均勻直線的質(zhì)量二重積分處理了非均勻平面薄片的質(zhì)量二重積分處理了非均勻平面薄片的質(zhì)量Dyxfd),(三重積分處理了非均勻空間物體的質(zhì)量三重積分處理了非均勻空間物體的質(zhì)量Vzyxfd),(對弧長的曲線積分處理對弧長的曲線積分處理非均勻曲線的質(zhì)量非均勻曲線的質(zhì)量對坐標(biāo)的曲線積分處理變力沿曲線所作的功對坐標(biāo)的曲線積分處理變力沿曲線所作的功szyxfd),(LyyxQxyxPd ),(d ),(定積分還能處理變力沿直線所作的功定積分還能處理變力沿直線所作的

3、功baxxfd)(第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 對弧長的曲線積分 第十一章 AB一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細長構(gòu)件在空間所占假設(shè)曲線形細長構(gòu)件在空間所占弧段為弧段為AB , 其線密度為其線密度為),(zyx“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限 kkkks),(可得可得nk 10limM為計算此構(gòu)件的質(zhì)量為計算此構(gòu)件的質(zhì)量, ,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: : 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量

4、曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用采用機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 前往前往 終了終了 當(dāng)線密度當(dāng)線密度 為常數(shù)時，為常數(shù)時，此構(gòu)件的質(zhì)量此構(gòu)件的質(zhì)量 曲線長度。曲線長度。 設(shè)設(shè) 是空間中一條有限長的光滑曲線是空間中一條有限長的光滑曲線,義在義在 上的一個有界函數(shù)上的一個有界函數(shù), kkkksf),(都存在都存在,),(zyxf 上對弧長的曲線積分上對弧長的曲線積分,記作記作szyxfd),(假設(shè)經(jīng)過對假設(shè)經(jīng)過對 的恣意分的恣意分割割部分的恣意取點部分的恣意取點, 2.定義定義是定),(zyxf以下以下“乘積和式極限乘積和式極限那么稱此極限為函那么稱此極限為函數(shù)數(shù)在曲線在曲線或第一類曲線積分或第一

5、類曲線積分.),(zyxf稱為被積函數(shù)，稱為被積函數(shù)， 稱為積分弧段稱為積分弧段 .曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和對和對機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 前往前往 終了終了 假設(shè)假設(shè) L 是是 xoy 面上的曲線弧面上的曲線弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(假設(shè)假設(shè) L 是閉曲線是閉曲線 , 那么記那么記為為.d),(Lsyxf那么定義對弧長的曲線那么定義對弧長的曲線積積分為分為機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 前往前往 終了終了 思索思索:(1) 假設(shè)在假設(shè)在 L 上上 f (x, y)1, ?d

6、表示什么問Ls(2) 定積分能否可看作對弧長曲線積分的特例定積分能否可看作對弧長曲線積分的特例 ? 否否! 對弧長的曲線積分要求對弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中但定積分中dx 能夠為負能夠為負.3. 性質(zhì)性質(zhì)szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(k 為常數(shù)為常數(shù))szyxfd),()3( 由由 組成組成) 21, sd)4( l 為曲線弧為曲線弧 的長度的長度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxf機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 前往前往 終了終了 BAABszyxfszyxfd),(

7、d),()5(二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法根本思緒根本思緒:計算定積分計算定積分證略證略tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22定理定理:),(yxf設(shè)且且)()(tty上的延續(xù)函數(shù)上的延續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧是定義在光滑曲線弧那么曲線積那么曲線積分分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲線積分求曲線積分根據(jù)定義根據(jù)定義 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 前往前往 終了終了 確定變量轉(zhuǎn)確定變量轉(zhuǎn) 化為化為證證, ,1kkktt點點),(kktttskkttkd)()(122,)()(22k

8、kktnk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf連續(xù)注意)()(22tt設(shè)各分點對應(yīng)參數(shù)為設(shè)各分點對應(yīng)參數(shù)為), 1 ,0(nktk對應(yīng)參數(shù)為對應(yīng)參數(shù)為 那么那么,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkf機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 前往前往 終了終了 xdydsdxyoLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22闡明闡明:, 0, 0 kkts因此積分限必需滿足因此積分限必需滿足!(2) 留意到弧微分留意到弧微分22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計算公式相當(dāng)于因此上述計算公式相當(dāng)于“換元法換元

9、法. 因此因此機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 前往前往 終了終了 即要保證即要保證ds 0 ，因此積分限就必需滿足，因此積分限就必需滿足!。的的方方程程應(yīng)應(yīng)滿滿足足上上，因因此此在在中中，0),(,),(),( yxFLyxLyxdsyxfL(1)(3)即被積函數(shù)即被積函數(shù)f(x,y)應(yīng)取在應(yīng)取在曲線上。曲線上。假設(shè)曲線假設(shè)曲線 L 的方程為的方程為),()(bxaxy那么那么有有Lsyxfd),(假設(shè)方程為極坐標(biāo)方式假設(shè)方程為極坐標(biāo)方式:),()(: rrL那那么么syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推行推行: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(,

10、)(),(: ttztytx那那么么szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 前往前往 終了終了 例例1. 計算計算,dLsx其中其中 L 是拋物線是拋物線2xy 與點與點 B (1,1) 之間的一段弧之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點上點 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 前往前往 終了終了 例例2. 計

11、算半徑為計算半徑為 R ,中心角為中心角為2的圓弧的圓弧 L 對于它的對對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I (設(shè)線密度設(shè)線密度 = 1). 解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖,R xyoLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R那么那么 )(sincos:RyRxL機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 前往前往 終了終了 例例3. 計算計算,dsxIL其中其中L為雙紐線為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為它在第一象限部分為)40(2cos:1 arL利

12、用對稱性利用對稱性 , 得得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 前往前往 終了終了 例例4. 計算曲線積分計算曲線積分 ,d)(222szyx其中其中為螺旋為螺旋的一段弧的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線線機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 前往前往 終了終了 例例5

13、. 計算計算,d2sx其中其中為球面為球面 2222azyx被平面被平面 所截的圓周所截的圓周. 0zyx解解: 由對稱性可知由對稱性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 前往前往 終了終了 。的的方方程程應(yīng)應(yīng)滿滿足足上上，因因此此在在中中，注注：0),(,),(),( zyxFzyxyxdsyxf思索思索: 例例5中中 改為改為0)1()1(2222zyxazyx計算計算?d2sx解解: 令令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 那那么么sx d2sXd) 1(2sXd2332a

14、)131(22aasX d2sda2圓圓 的形心的形心在原點在原點, 故故0XaX22, 如何如何機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 前往前往 終了終了 例例6.計算,dsyIL其中L為右半圓)0(122xyx0y x) 1, 0( A)0 , 1 (C) 1 , 0(B以x為變量，所以必需分所以必需分L=AC+CB,由于積分限必需滿足上限大于下限所以有sysysysysyBCACCBACLddddd1 , 0,0 , 1xBCxCB上而在上注意在110yyx和對應(yīng)于則值對應(yīng)兩個即yxx0假設(shè)不分，假設(shè)不分，x的上下限如何定？的上下限如何定？x由由0到到1，只表示，只表示A到到C，x由由0

15、到到0不行。不行。ydxdxyxdxydsyxy22)(1)(1,而對sysysysysyBCACCBACLddddd10101022dxydxyydxy所以由于sysysyBCACLddd22sincos:yxLddds22sincos因此有2sin2sind2022ddsyL最后請留意這里最后請留意這里L(fēng)=AC+CB，也可，也可L=BC+CA積分值不變假設(shè)用極坐標(biāo)：假設(shè)用極坐標(biāo)： 這闡明改動方向其值不變，對弧長的曲線積分這闡明改動方向其值不變，對弧長的曲線積分與方向無關(guān)，與方向無關(guān)， 而后面將要引見的對坐標(biāo)的曲線積分那么而后面將要引見的對坐標(biāo)的曲線積分那么與方向有關(guān)。與方向有關(guān)。 d d

16、s例例7. 計算計算,d)(222szyxI其中其中為球面為球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交線與平面 zx292 z化為參數(shù)方程化為參數(shù)方程 21cos2x sin2y那么那么機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 前往前往 終了終了 例例8. 有一半圓弧有一半圓弧cosRx ),0(其線密度其線密度 ,2解解: :cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkRRoxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sinco

17、s2RkRk2故所求引力為故所求引力為),(yx,sinRy 求它對原點處單位質(zhì)量質(zhì)點的引力求它對原點處單位質(zhì)量質(zhì)點的引力. RkRkF2,4機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義定義2. 性質(zhì)性質(zhì)kkknkksf),(lim10szyxfd),(kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21組成由ls d)3( l 是曲線弧是曲線弧 的長度的長度)Lszyxfd),(),(為常數(shù)szyxgLd),(機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 前往前往 終了

18、終了 3. 計算計算 對光滑曲線弧對光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(xx d)(12),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對光滑曲線弧對光滑曲線弧d)()(22rr 對光滑曲線弧對光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),(tttd)()(22)(),(ttf機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 前往前往 終了終了 思索與練習(xí)思索與練習(xí)1. 知橢圓知橢圓134:22yxL周長為周長為a , 求求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用對稱性利用對稱性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 前往前往 終了終了 2. 設(shè)均勻螺旋形彈簧設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為的方程為,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它關(guān)于求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量;zI(2) 求它的質(zhì)心求