第7章(應(yīng)力狀態(tài)分析)

1、Pkkapa at ta as sa aa aasasaa20coscos pasaasataa2sin2sincossin00p問題問題1 1：同一點(diǎn)處不同方位截同一點(diǎn)處不同方位截面上的應(yīng)力不相同面上的應(yīng)力不相同M低碳鋼低碳鋼鑄鐵鑄鐵問題問題2 2： B B點(diǎn)處應(yīng)力該如何校核？點(diǎn)處應(yīng)力該如何校核？FFFl)(zBBtBs .*maxmaxmaxmaxttssbISFWMzsz 有必要研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)有必要研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)二、應(yīng)力狀態(tài)的概念二、應(yīng)力狀態(tài)的概念 1 1 點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 過一點(diǎn)所作各斜截面上的應(yīng)力情況，即過一點(diǎn)所作各斜截面上的應(yīng)力情況，即過一點(diǎn)過一點(diǎn)所有方位面上的應(yīng)力

2、集合所有方位面上的應(yīng)力集合。 2 2 研究一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的目的：研究一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的目的：找出一點(diǎn)處沿不同方向應(yīng)力的變化規(guī)律，確定出最大應(yīng)力，找出一點(diǎn)處沿不同方向應(yīng)力的變化規(guī)律，確定出最大應(yīng)力，從而全面考慮構(gòu)件破壞的原因，建立適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度條件。從而全面考慮構(gòu)件破壞的原因，建立適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度條件。3 3 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的描述微小正六面體微小正六面體應(yīng)力單元體應(yīng)力單元體進(jìn)行分析進(jìn)行分析s s xs sz s s yt txyt tzx PPAAs sxs sxMPxyzBCs sxs sxBt txzCt txyt tyxExample三、應(yīng)力狀態(tài)的分類三、應(yīng)力狀態(tài)的分類 1 1 主平面

3、主平面 切應(yīng)力為零的平面。切應(yīng)力為零的平面。 2 2 主應(yīng)力主應(yīng)力 作用在主平面上的正應(yīng)力。作用在主平面上的正應(yīng)力。 xsxsysysxtyt主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值由大到小主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值由大到?。?21sss過一點(diǎn)總存在三對(duì)相互垂直的主平面，對(duì)應(yīng)過一點(diǎn)總存在三對(duì)相互垂直的主平面，對(duì)應(yīng)三個(gè)主應(yīng)力三個(gè)主應(yīng)力1)1)單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個(gè)主應(yīng)力不等于零，另兩個(gè)主應(yīng)力：只有一個(gè)主應(yīng)力不等于零，另兩個(gè)主應(yīng)力 都等于零的應(yīng)力狀態(tài)。都等于零的應(yīng)力狀態(tài)。2)2)二向應(yīng)力狀態(tài)二向應(yīng)力狀態(tài)：有兩個(gè)主應(yīng)力不等于零：有兩個(gè)主應(yīng)力不等于零 ，另一個(gè)主應(yīng)力，另一個(gè)主應(yīng)力 等于零的應(yīng)力狀態(tài)。等于零的

4、應(yīng)力狀態(tài)。3)3)三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)：三向主應(yīng)力都不等于零的應(yīng)力狀態(tài)。：三向主應(yīng)力都不等于零的應(yīng)力狀態(tài)。 3 3 應(yīng)力狀態(tài)的分類應(yīng)力狀態(tài)的分類As sxs sxt tzxs sxs sxBt txzs s xs sz s s yExample 密封圓柱形薄壁容器的內(nèi)壓為密封圓柱形薄壁容器的內(nèi)壓為p， 20Dt 求容器表面上任意一點(diǎn)求容器表面上任意一點(diǎn)ABCD的應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力狀態(tài) 解：解：42PDpFtpDDtDpAF442Ps軸向應(yīng)力軸向應(yīng)力 s周向應(yīng)力周向應(yīng)力 s tlFs NplDdDplosin202 plDtlstpD2 s容器外表面上任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)容器外表面上任意一點(diǎn)的應(yīng)力

5、狀態(tài)-平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)ss ss tpD21 sstpD43ss02stpD21 sstpD42ssps2容器內(nèi)表面上任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)容器內(nèi)表面上任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)-三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)s sxt txys syxyzxys sxt txys syO1 1 空間問題簡化為平面問題空間問題簡化為平面問題一、前言一、前言s sxt txys syxyOns sa at ta aa a2 2 下標(biāo)的含義下標(biāo)的含義xytx 截面上沿截面上沿 y 方向的切應(yīng)力方向的切應(yīng)力 aats,與與x 截面相交成截面相交成 的的n 截面上的截面上的 正應(yīng)力與切應(yīng)力正應(yīng)力與切應(yīng)力 a3 3 符號(hào)規(guī)定符號(hào)

6、規(guī)定1) 1) 正應(yīng)力：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；切應(yīng)力：對(duì)單元體內(nèi)正應(yīng)力：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；切應(yīng)力：對(duì)單元體內(nèi)任意點(diǎn)的矩順時(shí)針為正，反之為負(fù)。任意點(diǎn)的矩順時(shí)針為正，反之為負(fù)。2)2)斜截面角度：從斜截面角度：從x 軸正向轉(zhuǎn)到斜截面外法線所轉(zhuǎn)過的角度，逆軸正向轉(zhuǎn)到斜截面外法線所轉(zhuǎn)過的角度，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。時(shí)針轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。 Fn00cossinsinsincoscos22aatasaatassaSSSSSyxyxyxxys sxt txys syOs syt tyxs sxs sa at ta aa axyOtnFig.2二、任意斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力二、任意斜截面上

7、的正應(yīng)力和切應(yīng)力 1 1 靜力平衡條件靜力平衡條件 0sincos)sin(cossin)cos(22ataasataastaSSSSSyyxx 0tFs syt tyxs sxs sa at ta aa axyOtn3 3 三角函數(shù)關(guān)系三角函數(shù)關(guān)系 22cos1cos2aa22cos1sin2aaaaacossin22sinyxxytt2 2 切應(yīng)力關(guān)系切應(yīng)力關(guān)系 平面應(yīng)力狀態(tài)下任意斜截面上應(yīng)力表達(dá)式：平面應(yīng)力狀態(tài)下任意斜截面上應(yīng)力表達(dá)式： atasssssa2sin2cos22xyyxyxatassta2cos2sin2xyyxs sxt txys syns sa at ta aa a三、

8、主應(yīng)力及主平面位置三、主應(yīng)力及主平面位置 02cos22sin000atassasaaaxyyxddyxxyssta22tg0：）、（200aa 00at）2222xyyxyxm inm axt ts ss ss ss ss ss s （atasssssa2sin2cos22xyyxyxxys sxt txys syO主平面3s1smixsssss22max1 0）2222xyyxyxm inm axt ts ss ss ss ss ss s （四、最大切應(yīng)力及其作用平面的位置四、最大切應(yīng)力及其作用平面的位置 0dd1aaataxyyxtssa22tg1222x yyxminmaxt ts s

9、s st tt t ）（ 410aaatassta2cos2sin2xyyx）、（211aaExample討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析低碳鋼和鑄鐵試討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析低碳鋼和鑄鐵試件受扭時(shí)的破壞現(xiàn)象。件受扭時(shí)的破壞現(xiàn)象。MC低碳鋼鑄鐵0yxssPnxyWMtt22minmax22xyyxyxtssssss）（tt2xyt txyCt tyxMCt txyt tyx解：解：1 1 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面邊緣處切應(yīng)力最大圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面邊緣處切應(yīng)力最大 2 2 圓軸表面任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)圓軸表面任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 3 3 圓軸表面任意一點(diǎn)的最大正應(yīng)力圓軸表面任意一點(diǎn)的最大正應(yīng)力t tx

10、yt tyxtssts32104522tg00asstayxxy圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)表面各點(diǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)表面各點(diǎn)max所在平面連所在平面連成傾角為成傾角為45o的螺旋面，由于鑄鐵抗的螺旋面，由于鑄鐵抗拉強(qiáng)度低，所以試件沿此螺旋面斷裂拉強(qiáng)度低，所以試件沿此螺旋面斷裂破壞破壞 鑄鐵鑄鐵4 4 圓軸表面任意一點(diǎn)的最大切應(yīng)力圓軸表面任意一點(diǎn)的最大切應(yīng)力ttsstt22minmax2xyyx）（0110022tgatssaxyyxt txyt tyx低碳鋼低碳鋼圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)表面各點(diǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)表面各點(diǎn)max所在平面就所在平面就是橫截面，由于低碳鋼抗剪切強(qiáng)度低，是橫截面，由于低碳鋼抗剪切強(qiáng)度低，所以試件沿橫截面破壞所以試

11、件沿橫截面破壞 例：一薄壁圓筒受扭轉(zhuǎn)和拉伸同時(shí)作用如圖。已知圓筒的例：一薄壁圓筒受扭轉(zhuǎn)和拉伸同時(shí)作用如圖。已知圓筒的平均直徑平均直徑d = 50mm，壁厚，壁厚t = 2mm，外力偶，外力偶M = 600Nm，拉力，拉力F = 20kN。薄壁管截面的抗扭系數(shù)可近似取為。薄壁管截面的抗扭系數(shù)可近似取為WP= d2t / 2。試。試用解析法求過點(diǎn)用解析法求過點(diǎn)D 指定斜截面上的應(yīng)力、點(diǎn)的主應(yīng)力和主方向指定斜截面上的應(yīng)力、點(diǎn)的主應(yīng)力和主方向及最大切應(yīng)力。及最大切應(yīng)力。 解：解： 求求D 點(diǎn)在橫截面上的正應(yīng)力、切應(yīng)力點(diǎn)在橫截面上的正應(yīng)力、切應(yīng)力 3ND620 1063.7MPa50 2 10FFAdt

12、 s sD229P60076.4MPa/2502 10/2TMWd tt t ( (拉拉) ) 作出作出D點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)圖點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)圖 63.7MPax s scos2sin222xyxyxa asssssssssatasatasin2cos22xyxa asssstatatata 0ys s 76.4MPax t to120 a aD63.7MPas sD76.4MPa t too63.763.7cos240( 76.4) sin24022 50.3MPa oo63.7sin240( 76.4) cos2402 10.7MPa ( (拉拉) ) 求求D 點(diǎn)的主應(yīng)力和主方向及最大切應(yīng)力點(diǎn)的主應(yīng)

13、力和主方向及最大切應(yīng)力 max22min()22xyxyx sssssssss st ts s123114.6MPa050.9MPa ssssss2263.763.7()( 76.4)22 114.6MPa50.9MPa 63.7MPax s s0ys s 76.4MPax t t主應(yīng)力作用面的方位角主應(yīng)力作用面的方位角 o0o56.312112 76.4arctan()()2263.733.69xxyarctg t ta assssxy ssssoo1333.6956.31 aaaaD 點(diǎn)最大切應(yīng)力點(diǎn)最大切應(yīng)力 13max114.6( 50.9)82.75MPa22 sssst t63.7M

14、Pax s s0ys s 76.4MPax t tatasstatasssssaa2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyxtsstsssaa一、一、 莫爾應(yīng)力園莫爾應(yīng)力園 xys sxt txys syOs syt txys sxs sa at ta aa axyOtn1 1 建立建立- -坐標(biāo)系坐標(biāo)系二、莫爾應(yīng)力園的做法二、莫爾應(yīng)力園的做法2 2 在坐標(biāo)系中找到在坐標(biāo)系中找到A(x ,x )和和B(y ,y )兩點(diǎn)兩點(diǎn)3 3 連接連接ABAB與橫坐標(biāo)軸交于與橫坐標(biāo)軸交于C C 點(diǎn)，點(diǎn)，以點(diǎn)以點(diǎn)C C 為圓心為圓心CDCD半徑作圓半徑作圓4 4 以點(diǎn)以

15、點(diǎn)C C 為圓心為圓心CDCD半徑作圓半徑作圓s sxt txys syxyOns sa at ta aa aOs sa at ta aCA(s sx ,t txy)B(s sy ,t tyx)x2a anD( s sa a , t ta a s sxt txys syxyOns sa at ta aa aOs sa at ta aCA(s sx ,t txy)B(s sy ,t tyx)x2a anD( s sa a , t ta a s sxt txys syxyOns sa at ta aa aOs sa at ta aCA(s sx ,t txy)B(s sy ,t tyx)x2a a

16、nD( s sa a , t ta a 三、應(yīng)力園與單元體的對(duì)應(yīng)關(guān)系三、應(yīng)力園與單元體的對(duì)應(yīng)關(guān)系1 1點(diǎn)面對(duì)應(yīng)點(diǎn)面對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著單元體某一截面坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著單元體某一截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力上的正應(yīng)力和切應(yīng)力3 3 二倍角對(duì)應(yīng)二倍角對(duì)應(yīng)半徑轉(zhuǎn)過的角度半徑轉(zhuǎn)過的角度是截面法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。是截面法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。2 2 轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)半徑旋轉(zhuǎn)方向與截面半徑旋轉(zhuǎn)方向與截面法線的旋轉(zhuǎn)方向一致；法線的旋轉(zhuǎn)方向一致；223122xyyxyxradiusROCtssssss）（2222xyyxradiusRtsssstt）（minmaxminmaxOCs sa at t

17、a aA(s sx ,t txy)B(s sy ,t tyx)x2a a1 1mintmaxt2a a0 0s s1s s2s s3四、應(yīng)力圓的應(yīng)用四、應(yīng)力圓的應(yīng)用 1 1 確定單元體斜截面上的應(yīng)力確定單元體斜截面上的應(yīng)力 2 2 確定主應(yīng)力的大小及主平面的方位確定主應(yīng)力的大小及主平面的方位 3 3 確定最大切應(yīng)力的大小及作用平面的位置確定最大切應(yīng)力的大小及作用平面的位置 4532532595150Example試確定如圖所示點(diǎn)得主應(yīng)力及主平面位置（單位試確定如圖所示點(diǎn)得主應(yīng)力及主平面位置（單位MPaMPa) )s s3s s1s s2BAC2s0s sa at ta a(MPa)(MPa)O

18、20MPas s 1a0s s24532532595150ABatassta2cos2sin2xyyx4532532595150 xyyxyttsMPa325MPa45?xs222122xyyxyxtssssss）（60MPa325MPa95006060tsxyO2 2 解析法解析法 一、空間應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)一、空間應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)yxzs sxs sys szt txyt tyxt tyzt tzyzxtt txz空間應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)的九個(gè)應(yīng)力分量空間應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)的九個(gè)應(yīng)力分量s s2s s1xyzs s3xyzy與與3平行平行的斜截面上的的斜截面上的應(yīng)力可在應(yīng)力可在1、2 應(yīng)力圓的圓應(yīng)力圓的圓

19、周上找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。周上找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。與與2平行平行的斜截面上的應(yīng)力可在的斜截面上的應(yīng)力可在1、3 應(yīng)力圓的圓應(yīng)力圓的圓周上找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。周上找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。與與1平行平行的斜截面上的應(yīng)力可在的斜截面上的應(yīng)力可在2、3 應(yīng)力圓的圓應(yīng)力圓的圓周上找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。周上找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。s s2s s1xyzs s31s2s3sasatt tmax1s2s3sasatt tmax1 1 彈性理論證明，單元體內(nèi)彈性理論證明，單元體內(nèi)任意截面上的應(yīng)力都對(duì)應(yīng)任意截面上的應(yīng)力都對(duì)應(yīng)著應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的著應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點(diǎn)。一點(diǎn)。二、三向應(yīng)力圓二、三向應(yīng)力圓 2 2 整個(gè)單元體內(nèi)的最大切應(yīng)力整個(gè)單元體內(nèi)的最大切

20、應(yīng)力231maxsstExample求圖示單元體的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力（求圖示單元體的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力（M P a）504030ABC1 1 x面為主平面之一面為主平面之一解解: :504030ABCxyzMPa500s2 2 建立應(yīng)力坐標(biāo)系如圖，畫建立應(yīng)力坐標(biāo)系如圖，畫yz平面的應(yīng)力圓及三向應(yīng)力圓得平面的應(yīng)力圓及三向應(yīng)力圓得10 (MPa)s sa a（MPa ）t ta aABs s1s s2s s3t tmax275058321sss44maxt解析法解析法1)1)由單元體知：由單元體知：x x 面為主平面之一面為主平面之一,50 xs2)2)求求yz面內(nèi)的最大、最小正應(yīng)力。面內(nèi)的最大、

21、最小正應(yīng)力。7 .277 .57)40()2300(2300)2(22222minmaxyzzyzytssssss7 .27;50; 7 .57321sss3)3)主應(yīng)力主應(yīng)力4)4)最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力MPa7 .422)7 .27(7 .57231maxsst504030ABCxyz一、簡單應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律一、簡單應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律ExxsxyEsxzEs) 0 x,y,z(i,jijxyzs sxxyzt t x yGxyxyt)( 0 x,y,zii0zxyz xyzs szs syt txys sxs sy s szs sx t tij i,j=x,y,z =+一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)由三

22、個(gè)正應(yīng)力和三個(gè)切應(yīng)力分量表示。對(duì)一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)由三個(gè)正應(yīng)力和三個(gè)切應(yīng)力分量表示。對(duì)于各向同性材料，當(dāng)變形很小且在線彈性范圍內(nèi)時(shí)，于各向同性材料，當(dāng)變形很小且在線彈性范圍內(nèi)時(shí)，正正應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān)，切應(yīng)變只與切應(yīng)力有關(guān)。應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān)，切應(yīng)變只與切應(yīng)力有關(guān)。 二、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律二、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律s sy s szs sxs szs sxs sy =+Exxs1Eyxs2Ezxs3zyxzyxxvEEvEvEssssss1 zyxzyxxvEEvEvEssssss1 xzyyvEsss1yxzzvEsss1GxyxytGyzyztGzxzxtzyxxvEsss1 xyzs

23、szs syt txys sx廣義胡克定律廣義胡克定律13221sssvE12331sssvE32111sssvEs s1s s3s s2123稱為沿三個(gè)主應(yīng)力稱為沿三個(gè)主應(yīng)力s s1、 s s 2、 s s 3 方向的主應(yīng)變方向的主應(yīng)變 三、主單元體與主應(yīng)變?nèi)?、主單元體與主應(yīng)變Example 槽形剛體內(nèi)放置一邊長為槽形剛體內(nèi)放置一邊長為a =10 cm 正方形鋼塊，正方形鋼塊，試求鋼塊的三個(gè)主應(yīng)力。試求鋼塊的三個(gè)主應(yīng)力。FP=8kN，E=200Gpa, =0.3解：解： PaAFy7223P1008m010N108s.).(2 2 根據(jù)廣義胡克定律根據(jù)廣義胡克定律 ?xs01ss)(yxxEMPayx24Pa1008307ss).(.3 3 主應(yīng)力主應(yīng)力 MPa0 .24021ssMPa0803.s1 1 研究對(duì)象：研究對(duì)象：正方形鋼塊正方形鋼塊一薄壁圓筒受扭轉(zhuǎn)和拉伸同時(shí)作用如圖。一薄壁圓筒受扭轉(zhuǎn)和拉伸同時(shí)作用如圖。已知材料的彈性已知材料的彈性模量模量E = 210GPa ，泊松比泊松比= 0.25 ，圓筒的平均直徑圓筒的平均直徑d = 50mm，壁厚，壁厚t = 2mm，外力偶，外力偶M = 600Nm，拉力，拉力F = 20kN。薄壁管截面的抗扭系數(shù)可近似取為。薄壁管截面的抗扭系數(shù)可近似取為WP= d2t / 2。求求D點(diǎn)圖所示方向的