量子力學(xué)曾謹(jǐn)言PPT課件

1、其中其中 的本征值及本征函數(shù)是已知的，或的本征值及本征函數(shù)是已知的，或 者容易解出。而另一部分者容易解出。而另一部分 很小，可以看作很小，可以看作是加于是加于 上的微擾。上的微擾。在一般情形下，要嚴(yán)格求解這個(gè)方程是困難在一般情形下，要嚴(yán)格求解這個(gè)方程是困難 的，但是如果的，但是如果 可以分成兩部分可以分成兩部分 設(shè)體系不顯含時(shí)間的設(shè)體系不顯含時(shí)間的Hamilton為為 , ,能量本征方程為能量本征方程為H|HEHE 0HHHH0HH0H(1)(2) 第1頁/共94頁 假設(shè)假設(shè) 的本征值及本征函數(shù)較的本征值及本征函數(shù)較容易解出容易解出，或已有，或已有現(xiàn)成的解現(xiàn)成的解(不論如何得到的不論如何得到的

2、)，則可以在這個(gè)基礎(chǔ)上，把微擾則可以在這個(gè)基礎(chǔ)上，把微擾 的影響逐級考的影響逐級考 慮進(jìn)去，以得出方程慮進(jìn)去，以得出方程(1)的盡可能接近于精確解的近似解。的盡可能接近于精確解的近似解。 微擾論的具體形式是多種多樣的，但基本微擾論的具體形式是多種多樣的，但基本 精神相同，即精神相同，即逐級近似逐級近似。0HH 假設(shè)假設(shè) 的本征方程的本征方程0H(0)(0)(0)0nnnHE1,2,nf第2頁/共94頁 其本征值其本征值 和正交歸一化本征態(tài)和正交歸一化本征態(tài) 已解出已解出(0)nE(0)n 可能是不簡并的（可能是不簡并的（ ），也可能是簡并的（），也可能是簡并的（ ）。）。(0)nE1nf 2n

3、f (0)(1)(2)按照微擾論的逐級展開的精神，令按照微擾論的逐級展開的精神，令(0)(1)(2)(4)EEEE第3頁/共94頁把把（4）代入代入（1） ，得，得(0)(1)(2)0(0)(1)(2)(0)(1)(2)()()()()HHEEE 約定：波函數(shù)的各級高級近似解與零級近似解都正交，即約定：波函數(shù)的各級高級近似解與零級近似解都正交，即(0)( )01,2,3,(5)ss 比較等式兩邊的同級項(xiàng)，可得到各級能量比較等式兩邊的同級項(xiàng)，可得到各級能量近似本征方程近似本征方程|HE 第4頁/共94頁式式(6b)、(6c)和和(6d)兩邊左乘兩邊左乘 ，并利用式，并利用式(5)，可以得到可以得

4、到(0) 1( 0 )( 0 )7EHa 0(0)00(6 )HEa0級1級2級 01(1)(0)0(6 )kHEEHb 012(2)(1)(0)0(6 )HEEHEc2( 0 )(1)7EHb 3( 0 )( 2 )7EHc3級 0223(3)(1)(1)(0)0(6 )HEEHEEd 第5頁/共94頁式式(6b)兩邊左乘兩邊左乘 ，并利用，并利用(7c)，得得(2) 01(2)(1)(2)(0)013(2)(0)(2)(0)0HEEHEHE利用利用 的厄米性，以上兩邊左邊應(yīng)相等，得的厄米性，以上兩邊左邊應(yīng)相等，得0H 31(1)(1)EHE利用此式，可以直接用微擾一級近似波函數(shù)來利用此式，

5、可以直接用微擾一級近似波函數(shù)來計(jì)算能量的三級近似。計(jì)算能量的三級近似。式式( (6c)兩邊左乘兩邊左乘 ，并利用，并利用(7c)，得得(1) 01(1)(2)(1)(0)0HEEH第6頁/共94頁相應(yīng)的零級能量本征函數(shù)非簡并態(tài)微擾論不考慮微擾,體系處于非簡并能級 ,即(0)(1)kkEf (0)(0)kEE(0)kE可以是任何一個(gè)非簡并能級,但在計(jì)算前要取定.(0)(0)k第7頁/共94頁用用 左乘，利用左乘，利用 本征態(tài)的正交歸一性，得本征態(tài)的正交歸一性，得(0)|m 01(1)(0)(0)0knnknHEaEH(0)(0)(1)(1)()mkmmkmkEEaEH(11)將將（10）式代入式

6、代入( (6b) ),得得0H(0)(0)mkmkHH 1. 1.一級近似解一級近似解(1)(1)(0)nnna(10)令一級微擾近似波函數(shù)表示為令一級微擾近似波函數(shù)表示為 其中第8頁/共94頁(1)(0)(0),()mkmkmHamkEE當(dāng)m k 時(shí),得當(dāng)m = k 時(shí),(1)(1)(0)(0)kkkkkEEHH(1)(0)(0)(0)nknnknHEE 上式中 表示對n 求和時(shí), n = k 項(xiàng)必須摒棄.n一級近似波函數(shù)第9頁/共94頁 應(yīng)當(dāng)注意，這里是討論非簡并能級應(yīng)當(dāng)注意，這里是討論非簡并能級 及相應(yīng)波函數(shù)及相應(yīng)波函數(shù) 如何受到微擾的影響。如何受到微擾的影響。(0)(0)kkkkkEE

7、EEH(1)(0)(1)(0)(0)(0)(0)nkkkknnknHEE(0)kE(0)k(0)(0)nknkHH (14a)(14b)在一級近似下,能量本征值和本征函數(shù)分別為第10頁/共94頁把上式代入把上式代入( (7b) ) ，得，得2.二級近似解二級近似解 0(0)(0)(0)knknnknHHEE 2(0)(1)kEH2(0)(0)|nknknHEE(1)(0)(0)(0)nknnknHEE)HH(0)(0)knnknknH HEE由一級近似解得第11頁/共94頁因此，在準(zhǔn)確到二級近似下，能量本征值為：因此，在準(zhǔn)確到二級近似下，能量本征值為：2(0)(1)(2)(0)(0)(0)|n

8、kkkkkknknHEEEEEHEE(3)(1)(1)(1)kkkEHE(0)(0)(0)(0)(0)(0) 2 ()()()knnmmkknnkkknmnknkmknH H HH HHEEEEEE 將波函數(shù)的一級近似代入(7d)此即能量的三級修正.(1)(0)(0)(0)nkknnknHEE第12頁/共94頁簡并微擾論，對能量的修正，一般則計(jì)算到二級：簡并微擾論，對能量的修正，一般則計(jì)算到二級：(0)(1)(0)(0)(0)(0)nkkkknnknHEE對波函數(shù)的修正對波函數(shù)的修正,通常計(jì)算到一級：通常計(jì)算到一級：2(0)(1)(2)(0)(0)(0)|nkkkkkknknHEEEEEHEE

9、第13頁/共94頁3.討論：討論：(0)(0)1nkknHEE(a) 非簡并的微擾論逐級展開的收斂性要求非簡并的微擾論逐級展開的收斂性要求 （所有（所有 ）nk如在 能級鄰近存在另外的能級 （即它們接近于簡并），則微擾展開的收斂性就很差.特別是有簡并的情況，上述微擾論公式就完全不適用。(0)kE(0)kE第14頁/共94頁但在有些問題中，但在某些問題中但在有些問題中，但在某些問題中, 往往根據(jù)如何使計(jì)算簡化來決定往往根據(jù)如何使計(jì)算簡化來決定 與與 的劃分，的劃分，同時(shí)兼顧計(jì)算結(jié)果的可靠性。同時(shí)兼顧計(jì)算結(jié)果的可靠性。(b) 用微擾論處理具體問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)倪x取用微擾論處理具體問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)倪x取

10、 .在有些問題中，在有些問題中， 和和 的劃分是很顯的劃分是很顯然的然的,0HH0HH0H(c) 計(jì)算中，要充分利用計(jì)算中，要充分利用 的對稱性以及相的對稱性以及相 應(yīng)的選擇定則，以省掉一些不必要應(yīng)的選擇定則，以省掉一些不必要的計(jì)算。的計(jì)算。H例如在例如在Stark效應(yīng)和效應(yīng)和Zeeman效應(yīng)中，分別把外電場和外磁場的作用看成微擾。效應(yīng)中，分別把外電場和外磁場的作用看成微擾。第15頁/共94頁 例例1 1：電介質(zhì)的極化率電介質(zhì)的極化率 考慮各向同性電介質(zhì)在外電場作用下的極考慮各向同性電介質(zhì)在外電場作用下的極 化現(xiàn)象。當(dāng)沒有外電場作用時(shí)，介質(zhì)中的粒子化現(xiàn)象。當(dāng)沒有外電場作用時(shí)，介質(zhì)中的粒子 在其

11、平衡位置附近作小振動，可視為簡諧運(yùn)動。在其平衡位置附近作小振動，可視為簡諧運(yùn)動。 設(shè)沿設(shè)沿x方向加上以均勻外電場方向加上以均勻外電場 ，對帶電，對帶電 q q 的離子，的離子，Hamilton量為量為 e222202122dHmxq xm dx 4. 4.例題例題第16頁/共94頁 為歸一化常數(shù)。相應(yīng)的能量本征值為為歸一化常數(shù)。相應(yīng)的能量本征值為 因?yàn)橥怆妶鲅匾驗(yàn)橥怆妶鲅?x 方向，對方向，對y，z方向的振動不發(fā)方向的振動不發(fā) 生影響，故略去不加討論，取生影響，故略去不加討論，取 222202122dHxdx (0)22( )exp(1 2)()nnnxNa xHaxnNHq x 即諧振子即諧

12、振子Hamilton量量,其本征函數(shù)為其本征函數(shù)為/a第17頁/共94頁可求出可求出,1,1122n nn nn nnnx(0)1,0,1,2,2kEkk2(0)(0)(0)|nkkkkknknHEEHEE利用公式利用公式22221,1,1| 2kkkkqkxx2221|2()nknqxkkn()kkH注意：=0第18頁/共94頁 即所有能級都下降了即所有能級都下降了 ，這對于能譜，這對于能譜 形狀形狀(均勻分布均勻分布)并無影響，但波函數(shù)將發(fā)生變并無影響，但波函數(shù)將發(fā)生變 化，一級微擾近似波函數(shù)為化，一級微擾近似波函數(shù)為 222122qk2222q(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(

13、0)( )( )( )nknkkknknnnknknHq xxxxEEEE(0)(0)(0)111( )( )( )22kkkqkkxxx(0)(0)(0)1,11,1( )()kkkkkkkqxxx第19頁/共94頁 既原來零級波函數(shù)既原來零級波函數(shù) 中，混進(jìn)了與它鄰近的兩中，混進(jìn)了與它鄰近的兩 條能級的波函數(shù)條能級的波函數(shù) 。 在不加外場時(shí)，在具有確定宇稱的在不加外場時(shí)，在具有確定宇稱的 態(tài)下態(tài)下, 粒子位置的平均值：粒子位置的平均值： 這是很自然的這是很自然的 , 因?yàn)楸緛砦覀兊淖鴺?biāo)原點(diǎn)就取在因?yàn)楸緛砦覀兊淖鴺?biāo)原點(diǎn)就取在 諧振子的平衡位置。當(dāng)加上外電場時(shí)諧振子的平衡位置。當(dāng)加上外電場時(shí)

14、, 粒子平衡粒子平衡 位置將發(fā)生偏離位置將發(fā)生偏離,用式用式(7)和和(5)不難求出：不難求出：(0)k(0)1k(0)k(0)(0)00(,)0kkkkkkxxxx221,1,(,) 2()kkkkkkkkxxqxxx第20頁/共94頁即平衡位置偏離了即平衡位置偏離了 。正離子沿電場方向。正離子沿電場方向 挪了挪了 ，而負(fù)離子則沿電場反方向挪動了，而負(fù)離子則沿電場反方向挪動了 。因此，由于外電場而產(chǎn)生。因此，由于外電場而產(chǎn)生的電偶極矩為的電偶極矩為 ,1,12222k kk kqkkqxx2+1q 2q 2q 2220222qDqq 極化率定義為極化率定義為 ，則極化率為，則極化率為DE22

15、2q20m本題可以嚴(yán)格求解。本題可以嚴(yán)格求解。第21頁/共94頁 例例2 2：設(shè)設(shè) 0HHH 0100200EHE abHba用微擾論計(jì)算能量修正（準(zhǔn)到二級修正）。用微擾論計(jì)算能量修正（準(zhǔn)到二級修正）。解：利用微擾論計(jì)算能量修正公式解：利用微擾論計(jì)算能量修正公式一級修正一級修正 100002222222,EHHHa 100001111111,EHHHa第22頁/共94頁二級修正二級修正 22221211(0)(0)(0)(0)(0)(0)11212|nnnHHbEEEEEEE 22222122(0)(0)(0)(0)(0)(0)22121|nnnHHbEEEEEEE故故 20120211111

16、(0)(0)12bEEEEEaEE 20120222222(0)(0)21bEEEEEaEE第23頁/共94頁 實(shí)際問題中，常常碰到簡并態(tài)或近簡并情況, 非簡并微擾論方法是不適用的。能級的簡并性與體系的對稱性密切相關(guān), 當(dāng)考慮微擾以后，如體系的對稱性在某種程度 上被破壞，則能級將發(fā)生分裂，簡并將被部分解除或全部解除。 給定零級能級給定零級能級(0)(0)kEE(0)kE簡并態(tài)微擾論由于能級的簡并，其對應(yīng)零級波函數(shù)并未確定由于能級的簡并，其對應(yīng)零級波函數(shù)并未確定.第24頁/共94頁對應(yīng)的零級波函數(shù)一般形式可表示為對應(yīng)的零級波函數(shù)一般形式可表示為 00kfka將其代入式將其代入式(6b)，得，得

17、110(0)0kHEEH左乘左乘 ，考慮到式（，考慮到式（5）的約定，得）的約定，得 0k 10kfkEHa (1)1()01kfHEa 第25頁/共94頁(1)1()0kfHEa 這就是這就是 滿足的線性齊次代數(shù)方程組。它有滿足的線性齊次代數(shù)方程組。它有 非平庸解的充要條件是非平庸解的充要條件是a(1)det | 0(2)HE上式是上式是 滿足的滿足的 次方程（也稱為久期方程）次方程（也稱為久期方程）(1)Ekf方程方程(2)必有必有 個(gè)實(shí)根，記為個(gè)實(shí)根，記為kf(1) =1,2, kkEf，第26頁/共94頁然后把每一個(gè)根分別代入式然后把每一個(gè)根分別代入式(1),可求出相應(yīng)的可求出相應(yīng)的

18、解。對應(yīng)于解。對應(yīng)于 的解記為的解記為(1)kE , 1,2,kaf這樣一共可以得出這樣一共可以得出 組解。于是我們求得了組解。于是我們求得了 個(gè)個(gè)新的零級波函數(shù)新的零級波函數(shù)：kfkf 00| , 1,2,(3)kfkkkaf 它們是原來屬于它們是原來屬于 能級的諸簡并態(tài)能級的諸簡并態(tài) 的疊加的疊加,相應(yīng)的能量本征值相應(yīng)的能量本征值為：為：(0)kE 0k(0)(1) , =1,2, (4)kkkEEf此即計(jì)及微擾一級修正后的能量本征值。此即計(jì)及微擾一級修正后的能量本征值。第27頁/共94頁 假定了式假定了式(2)的解的解 無重根。此時(shí)無重根。此時(shí),原來的原來的 重簡并的能級重簡并的能級 就

19、完全解除簡并就完全解除簡并,分裂為分裂為 條條 能級能級 ，相應(yīng)的波函數(shù)由式相應(yīng)的波函數(shù)由式(3)給出。給出。(1)kEkf(0)kEkf(0)(1) , ( =1,2, )kkkEEf 如式如式(2)的根有重根的根有重根,則能級簡并尚未完全解除，而屬于重根的零級波函數(shù)仍然不則能級簡并尚未完全解除，而屬于重根的零級波函數(shù)仍然不能完全確定下來。能完全確定下來。第28頁/共94頁例題：例題： 氫原子的氫原子的Stark效應(yīng)效應(yīng) 2221(5)22eEa 不計(jì)及電子自旋時(shí)不計(jì)及電子自旋時(shí), ,氫原子基態(tài)是不簡并的氫原子基態(tài)是不簡并的, ,第一激發(fā)能級第一激發(fā)能級(n=2)(n=2)是是4重簡并的，對

20、重簡并的，對應(yīng)于能級：應(yīng)于能級： 原子置于外電場，它發(fā)射的光譜線將發(fā)生分裂，這稱為原子置于外電場，它發(fā)射的光譜線將發(fā)生分裂，這稱為Stark效應(yīng)。下效應(yīng)。下 面考慮氫面考慮氫原子的原子的 Lyman 線系的第一條譜線線系的第一條譜線 的分的分 裂。裂。(21)nn第29頁/共94頁 為表述方便起見，進(jìn)行編號，分別記為為表述方便起見，進(jìn)行編號，分別記為 即：即：有有4個(gè)量子態(tài)：個(gè)量子態(tài)：20021021121-1 (0)( =1,2,3,4)(0)(0)(0)(0)1234,cosHe ze r設(shè)外場沿設(shè)外場沿z軸方向。通常實(shí)驗(yàn)室中的外電場，在原子大小范圍內(nèi)變化極微軸方向。通常實(shí)驗(yàn)室中的外電場，

21、在原子大小范圍內(nèi)變化極微, ,可以視為可以視為均勻電場。均勻電場。因此因此, ,外電場對電子外電場對電子( (帶電帶電-e) )的作用能為的作用能為:2s態(tài) 2p態(tài)第30頁/共94頁考慮微擾后考慮微擾后,因因 ,電子的角動量的電子的角動量的z分量仍為守恒量。分量仍為守恒量。 所以微擾對于磁量子數(shù)所以微擾對于磁量子數(shù)m是對角化的。計(jì)算矩陣元是對角化的。計(jì)算矩陣元 ，要用下列公式，要用下列公式: , 0zl z H2221,1,(1)cos(21)(23)(21)(21)lmlmlmllmYYYllll 只當(dāng)兩個(gè)態(tài)的角量子數(shù)差只當(dāng)兩個(gè)態(tài)的角量子數(shù)差 , 磁量子數(shù)相同磁量子數(shù)相同( )時(shí)，時(shí)， 的矩

22、陣元才不為零。的矩陣元才不為零。不為零的矩陣元為不為零的矩陣元為 1l 0mH212213HHea 第31頁/共94頁由方程由方程 (2b)可得可得:(1)212(1)2(1)3(1)43003000000000aEeaaeaEaEaE它有非平庸解的充要條件是系數(shù)行列式為零，解得：它有非平庸解的充要條件是系數(shù)行列式為零，解得：(1)23,0,0Eea 用用 代入方程代入方程,求出求出 ， ，因此，歸一化的波函數(shù)可表示為：，因此，歸一化的波函數(shù)可表示為：(1)23Eea211aa 340aa第32頁/共94頁(0)12002101()2相應(yīng)的能量為：相應(yīng)的能量為：221322ee aa 用用 代

23、入方程，求出代入方程，求出 ， ，因此，歸一化的波函數(shù)可表示為：，因此，歸一化的波函數(shù)可表示為：(1)23Eea 211aa 340aa(0)22002101()2相應(yīng)的能量為：相應(yīng)的能量為：221322ee aa第33頁/共94頁 是二重根，代入方程，得是二重根，代入方程，得 ,但但 與與 不能唯一確定。這是由于簡不能唯一確定。這是由于簡并未完全消除的緣故并未完全消除的緣故,如下圖所示。如下圖所示。(1)0E120aa3a4a圖中我們?nèi)杂迷瓉淼牧慵壊ê瘮?shù)來標(biāo)記，這樣波函數(shù)的正交歸一性仍圖中我們?nèi)杂迷瓉淼牧慵壊ê瘮?shù)來標(biāo)記，這樣波函數(shù)的正交歸一性仍 可以保證。可以保證。氫原子的第一激發(fā)能級在外電

24、場中的分裂圖氫原子的第一激發(fā)能級在外電場中的分裂圖3e a(0)120021021121-1(0)22002101()2 1(+)21E2E第34頁/共94頁討論討論所求出的新的零級近似波函數(shù)和所求出的新的零級近似波函數(shù)和 一級微擾近似下的能量本征值一級微擾近似下的能量本征值, ,有下列一些性質(zhì)有下列一些性質(zhì): : (a)新的零級波函數(shù)也彼此相交，即新的零級波函數(shù)也彼此相交，即(0)(0)|kk (b)在在 的諸簡并態(tài)張開的的諸簡并態(tài)張開的 維子空間中，若維子空間中，若 選選 為基矢，則微擾為基矢，則微擾 (因而因而 H)是對角化的是對角化的,(0)kEkf(0)(1,2,)kkfH(c)如最

25、初的零級波函數(shù)選擇得很恰當(dāng)，已經(jīng)使如最初的零級波函數(shù)選擇得很恰當(dāng)，已經(jīng)使 微擾對角化微擾對角化,即即第35頁/共94頁 00kkHHH則有則有(1) 1 2kkEHf， ， ， 如如 無簡并，無簡并， 就已經(jīng)是我們要找的零級波就已經(jīng)是我們要找的零級波 函數(shù)了。在處理正常函數(shù)了。在處理正常Zeeman效應(yīng)和反常效應(yīng)和反常 Zeeman效應(yīng)中已經(jīng)用到這一點(diǎn)了。效應(yīng)中已經(jīng)用到這一點(diǎn)了。 簡并態(tài)微擾論中簡并態(tài)微擾論中 , 零級波函數(shù)的選擇是很零級波函數(shù)的選擇是很 重要的重要的 , 應(yīng)充分考慮體系的對稱性。最初選用應(yīng)充分考慮體系的對稱性。最初選用 的零級波函數(shù)要盡可能使的零級波函數(shù)要盡可能使 接近于對角

26、化。接近于對角化。 特別是特別是 , 如果選擇的零級波函數(shù)同時(shí)又是某守如果選擇的零級波函數(shù)同時(shí)又是某守 恒量恒量(與與 和和 都對易都對易)的本征態(tài)的本征態(tài)(即用一個(gè)好即用一個(gè)好 量子數(shù)來標(biāo)記零級波函數(shù)量子數(shù)來標(biāo)記零級波函數(shù)),則計(jì)算將大為簡化則計(jì)算將大為簡化.H 0kHH0H第36頁/共94頁(d)近簡并情況近簡并情況 設(shè)設(shè) 的能譜中，有一些能級特別靠近，即使這些能級每條都不簡并，非簡并的能譜中，有一些能級特別靠近，即使這些能級每條都不簡并，非簡并微擾論公式仍然并不適用，因微擾首先可能引起這些這些相鄰能級的本征態(tài)的強(qiáng)烈微擾論公式仍然并不適用，因微擾首先可能引起這些這些相鄰能級的本征態(tài)的強(qiáng)烈相

27、混。相混。(更一般的情況是這些相鄰能級每條本身也可能是簡并的更一般的情況是這些相鄰能級每條本身也可能是簡并的,在式在式 中未明顯把簡并量子數(shù)標(biāo)記出來。中未明顯把簡并量子數(shù)標(biāo)記出來。)在這種情況下，常常在這種情況下，常常首先在屬于這一些緊鄰能首先在屬于這一些緊鄰能級的狀態(tài)所張開的子空間中把微擾級的狀態(tài)所張開的子空間中把微擾 對角化對角化,即在求解即在求解0H(0)0|nHnEn H0()|HHE 第37頁/共94頁時(shí)，在這子空間中展開時(shí)，在這子空間中展開 ，令，令|nnan 只對這些近簡并的諸能級中的各態(tài)求和只對這些近簡并的諸能級中的各態(tài)求和, (包括可能出現(xiàn)的簡并態(tài)，這實(shí)際上相當(dāng)于包括可能出現(xiàn)

28、的簡并態(tài)，這實(shí)際上相當(dāng)于把這些緊鄰能級的各態(tài)，包括簡并態(tài)把這些緊鄰能級的各態(tài)，包括簡并態(tài),一視同仁，進(jìn)行編號，一視同仁，進(jìn)行編號，n就代表編號就代表編號)，由此可得，由此可得(0)()|0nnnnnEEanHan 左乘左乘 ，得：，得：|m(0)()0mmmnnnEEaHa利用齊次方程有非零解的充要條件可以求得利用齊次方程有非零解的充要條件可以求得E的根：的根： ，并求出相應(yīng)的波函數(shù)。，并求出相應(yīng)的波函數(shù)。123,E E E 第38頁/共94頁例題：二能級體系例題：二能級體系 設(shè)體系有兩條很靠近的能級設(shè)體系有兩條很靠近的能級, ,即使每條能即使每條能 級都不簡并級都不簡并, ,上節(jié)的簡并微擾也

29、不適用。但如上節(jié)的簡并微擾也不適用。但如 果其它能級都離開這兩條能級很遠(yuǎn)，則在零級果其它能級都離開這兩條能級很遠(yuǎn)，則在零級 近似下，不妨先略去其他能級不計(jì)，則體系為近似下，不妨先略去其他能級不計(jì)，則體系為 一個(gè)二能級體系，可以嚴(yán)格求解。一個(gè)二能級體系，可以嚴(yán)格求解。( (計(jì)及遠(yuǎn)處其它能級影響的微擾論高級近似處理，計(jì)及遠(yuǎn)處其它能級影響的微擾論高級近似處理，見見 曾謹(jǐn)言，量子力學(xué)（曾謹(jǐn)言，量子力學(xué)（I I）) ) 設(shè)體系的設(shè)體系的Hamilton量為量為 0HHH第39頁/共94頁 有兩條靠的很近非簡并的能級有兩條靠的很近非簡并的能級 和和 ，其它離的很遠(yuǎn)。，其它離的很遠(yuǎn)。 在在 表象中表象中(

30、(以以 和和 為基矢所張開的空間為基矢所張開的空間), ), 表成下列矩陣表成下列矩陣 , , 的本征態(tài)可表示為的本征態(tài)可表示為1E2E01110222| , |HEHE 0H1|2|H112212EHHHE=121221|HHH H1122|CC 第40頁/共94頁 的本征方程的本征方程 表示為表示為 此方程有非平庸解的充要條件為此方程有非平庸解的充要條件為 解之，可以得到解之，可以得到 的兩個(gè)根的兩個(gè)根 H112121220EEHCHEEC1122120EEHHEEE221212121()()4|2EEEEEH|HE 第41頁/共94頁 為方便為方便(見圖見圖10.5), 令令 (兩能級的

31、重心兩能級的重心) 則則 式中式中 是表征作用是表征作用121 2 ()cEEE2111 2 ()dEEE2（E2212212| | 1ccEEdHEHR12| |RdH1212211| |2| |RHdHEEH第42頁/共94頁重要性的參量重要性的參量,當(dāng)當(dāng) (即即 ),則則 可視可視為微擾為微擾(弱耦合弱耦合)。反之，如。反之，如 ，則則 為強(qiáng)耦合。為方便，令為強(qiáng)耦合。為方便，令(圖圖10.5) 若若 為實(shí)，則為實(shí)，則 ( (斥力斥力), ),或或 ( (引力引力) )。11R12| |HdH1211(| |)RHdH12121tan , |iRHHeH0d|d|d12|H2212|dH1

32、2,|E12,|EcE,|E,|E2121|RH(圖圖10.5)第43頁/共94頁 用用 根代入式本征方程，可以得出根代入式本征方程，可以得出 1121222211222| (1)1cos2 sin2iiiiCHHeCEEdHdeRR eRRe EE相應(yīng)于相應(yīng)于 的本征態(tài)可以表示為的本征態(tài)可以表示為第44頁/共94頁類似可求出相應(yīng)于類似可求出相應(yīng)于 的本征態(tài)的本征態(tài)12|cos|sin|22cos2 sin2iiee 12|sin|cos|22sin2 cos2iiee E第45頁/共94頁 討論：討論：(a)(a)設(shè)設(shè) , ,即即 ( (弱耦合弱耦合), ,), ,則則 ( (見圖見圖10.

33、6)10.6) (66) (66) 即下能級即下能級 的主要成分為的主要成分為 ，上能級，上能級 的主要成分為的主要成分為 。(b)(b)設(shè)設(shè) ( (二重簡并二重簡并), (), (引力引力), ),即即d=0,d=0, , ( , (強(qiáng)耦合極限強(qiáng)耦合極限), ),則則( (見圖見圖10.6)10.6)11R12| |Hd1121212211| , |21| , |2ccEEHRREEHRR E1|E2|12EE1 R 2第46頁/共94頁為為 與與 的同相疊加的同相疊加,引力作用使引力作用使 從從位置下降位置下降 ,而而 為為 與與 的反相的反相疊加疊加(相差相差 ), 從從 上升上升 。1

34、2121212111| , |(|)122111| , |(|)122ccEEHEEH |1|1|EcE12|H|1|2|EcE12|H第47頁/共94頁211()2dEE1E2EE_E圖圖10.6第48頁/共94頁10.210.2 散射態(tài)微擾論散射態(tài)微擾論 從從 量子力學(xué)觀點(diǎn)看，量子力學(xué)觀點(diǎn)看，散射態(tài)是一種非束縛態(tài)，涉及體系的能譜的連續(xù)區(qū)部分散射態(tài)是一種非束縛態(tài)，涉及體系的能譜的連續(xù)區(qū)部分。束縛態(tài)理論的興趣在于研究體系的分立的能量本征值和本征態(tài)以及它們之間的量束縛態(tài)理論的興趣在于研究體系的分立的能量本征值和本征態(tài)以及它們之間的量子躍遷。在實(shí)驗(yàn)上則主要是通過光譜分析（譜線的波數(shù)，強(qiáng)度，選擇定則

35、等）來子躍遷。在實(shí)驗(yàn)上則主要是通過光譜分析（譜線的波數(shù)，強(qiáng)度，選擇定則等）來獲取有關(guān)信息。而在散射問題中，人們感興趣的不是能量本征值（能量可連續(xù)變獲取有關(guān)信息。而在散射問題中，人們感興趣的不是能量本征值（能量可連續(xù)變化），而是散射粒子的角分布以及散射過程中粒子的各種性質(zhì)（例如，角關(guān)聯(lián)，化），而是散射粒子的角分布以及散射過程中粒子的各種性質(zhì)（例如，角關(guān)聯(lián)，極化等）的變化。由于散射實(shí)驗(yàn)的觀測都是在離開極化等）的變化。由于散射實(shí)驗(yàn)的觀測都是在離開第49頁/共94頁“靶子靶子”很遠(yuǎn)的地方（很遠(yuǎn)的地方（ ， 是粒子波長）進(jìn)行，角分布等觀測量依賴于波函數(shù)在是粒子波長）進(jìn)行，角分布等觀測量依賴于波函數(shù)在 處

36、的漸近行為，它與入射粒子能量，相互作用等有關(guān)。如入射粒子與靶粒子還有內(nèi)處的漸近行為，它與入射粒子能量，相互作用等有關(guān)。如入射粒子與靶粒子還有內(nèi)部結(jié)構(gòu)，并且在散射過程中發(fā)生改變，這也是散射理論最關(guān)心的問題。部結(jié)構(gòu)，并且在散射過程中發(fā)生改變，這也是散射理論最關(guān)心的問題。rr 第50頁/共94頁散射態(tài)的描述散射態(tài)的描述0一一. . 散射的經(jīng)典力學(xué)描述，截面散射的經(jīng)典力學(xué)描述，截面 從經(jīng)典力學(xué)來看，在散射過程中，每個(gè)入從經(jīng)典力學(xué)來看，在散射過程中，每個(gè)入射粒子都以一個(gè)確定的碰撞參數(shù)射粒子都以一個(gè)確定的碰撞參數(shù) b b 和方位角和方位角 射向靶子。由于靶粒子的作用，入射粒子軌射向靶子。由于靶粒子的作用，

37、入射粒子軌道發(fā)生偏轉(zhuǎn)，沿某方向道發(fā)生偏轉(zhuǎn)，沿某方向 射出，其運(yùn)動軌射出，其運(yùn)動軌道由道由 Newton Newton 方程確定。當(dāng)然，在實(shí)際的散射方程確定。當(dāng)然，在實(shí)際的散射實(shí)驗(yàn)中，人們并不對每一個(gè)粒子的軌道有興實(shí)驗(yàn)中，人們并不對每一個(gè)粒子的軌道有興趣，而是想了解入射粒子束經(jīng)過散射后沿不趣，而是想了解入射粒子束經(jīng)過散射后沿不同方向出射的分布。同方向出射的分布。( , ) 第51頁/共94頁設(shè)一束粒子以穩(wěn)定的入射流密度設(shè)一束粒子以穩(wěn)定的入射流密度 （單位時(shí)（單位時(shí)間穿過單位截面的粒子數(shù)）入射，由于靶間穿過單位截面的粒子數(shù)）入射，由于靶粒子的作用，設(shè)在單位時(shí)間內(nèi)有粒子的作用，設(shè)在單位時(shí)間內(nèi)有 個(gè)粒

38、子沿個(gè)粒子沿 方向的立體角方向的立體角 出射。出射。顯然，顯然， 。令。令即即 的量綱是面積，故稱為散射截面的量綱是面積，故稱為散射截面， 一般來說，它與一般來說，它與 有關(guān)。有關(guān)。ij, didnj d,idnj d 1,(1)idnjd , , 第52頁/共94頁 如把沿各方向出射的粒子都計(jì)算在內(nèi)，即如把沿各方向出射的粒子都計(jì)算在內(nèi)，即 稱為稱為總截面總截面。 現(xiàn)在來討論如何用經(jīng)典力學(xué)來計(jì)算現(xiàn)在來討論如何用經(jīng)典力學(xué)來計(jì)算 。通常假定，入射粒子與靶子相互作用只依賴于通常假定，入射粒子與靶子相互作用只依賴于它們的相對距離它們的相對距離 ，記為，記為 。 200,sin,2tddd t, r V

39、 r第53頁/共94頁bb+db0a圖圖12.1：經(jīng)典力學(xué)中粒子與勢場的碰撞：經(jīng)典力學(xué)中粒子與勢場的碰撞d第54頁/共94頁此時(shí)，入射粒子將做平面運(yùn)動此時(shí)，入射粒子將做平面運(yùn)動 ，散射，散射角分布角分布 與方位角與方位角 無關(guān)，只需要分析出無關(guān)，只需要分析出射粒子隨射粒子隨 角的分布。角的分布。顯然，偏轉(zhuǎn)角顯然，偏轉(zhuǎn)角 依賴于依賴于 。在。在 方向方向立體角元立體角元 中射出的粒子，中射出的粒子，是來自從是來自從 定義的環(huán)面積定義的環(huán)面積元元 中入射的粒子。所以中入射的粒子。所以 0b, sindd d ,; ,b bdbd bd db.idnjbd db第55頁/共94頁但按截面定義但按截面

40、定義 。由此可得出。由此可得出利用利用 ， 也可表示成也可表示成如已知道如已知道 或或 （通過求解中心場（通過求解中心場 中中粒子運(yùn)動的粒子運(yùn)動的 Newton Newton 方程），方程），即可求出截面即可求出截面 。idnjd sinbdbd sinbr 2sinlncossind rdrrrdd b r V r 第56頁/共94頁二二. . 散射的量子力學(xué)描述，散射波幅散射的量子力學(xué)描述，散射波幅 為簡單起見，假設(shè)在碰撞過程中入射粒子為簡單起見，假設(shè)在碰撞過程中入射粒子和靶粒子的內(nèi)部態(tài)不改變（內(nèi)部激發(fā)自由度和靶粒子的內(nèi)部態(tài)不改變（內(nèi)部激發(fā)自由度凍結(jié)），即彈性散射。在此過程中，只有相凍結(jié)）

41、，即彈性散射。在此過程中，只有相對運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變。設(shè)相互作用用定域勢對運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變。設(shè)相互作用用定域勢 表示表示 ， 是入射粒子與靶粒子的相對坐是入射粒子與靶粒子的相對坐標(biāo)。這樣的兩體問題總可以化為單體問題來標(biāo)。這樣的兩體問題總可以化為單體問題來處理。我們還假定處理。我們還假定 具有一定的力程具有一定的力程 ，即只當(dāng)即只當(dāng) 時(shí)，相互作用才值得考慮。時(shí)，相互作用才值得考慮。 V rr V rara第57頁/共94頁 在散射實(shí)驗(yàn)中，有一個(gè)粒子源，它提供一在散射實(shí)驗(yàn)中，有一個(gè)粒子源，它提供一束穩(wěn)定的接近于單色的平行入射粒子束，從束穩(wěn)定的接近于單色的平行入射粒子束，從遠(yuǎn)處射向靶粒子（散射中心）。

42、入射粒子波遠(yuǎn)處射向靶粒子（散射中心）。入射粒子波束可以近似用一個(gè)平面波來描述，即（為方束可以近似用一個(gè)平面波來描述，即（為方便不妨取入射方向?yàn)楸悴环寥∪肷浞较驗(yàn)?軸方向）軸方向） ， 為入射粒子能量，為入射粒子能量， 是動量的是動量的本征態(tài)（本征態(tài)（ ， ）。）。z(3)ikzie2kEEizpk 0 xypp第58頁/共94頁由于靶粒子的作用，入射粒子的動量并非由于靶粒子的作用，入射粒子的動量并非守恒量，即有一定概率改變方向，或者說守恒量，即有一定概率改變方向，或者說要產(chǎn)生散射波。設(shè)相互作用為一個(gè)中心要產(chǎn)生散射波。設(shè)相互作用為一個(gè)中心勢勢 ，則角動量為守恒量?？梢哉撟C，則角動量為守恒量?？梢?/p>

43、論證，當(dāng)當(dāng) 時(shí)，散射波的形式為時(shí)，散射波的形式為即往外出射的球面波，即往外出射的球面波， 的量綱為的量綱為 長度長度 ，稱為稱為散射波幅散射波幅，是，是 的函數(shù)，不依賴于的函數(shù)，不依賴于 角。角。 V rr 1expfikrr f第59頁/共94頁第60頁/共94頁 概括起來說，在中心勢概括起來說，在中心勢 作用下，波函數(shù)作用下，波函數(shù)在在 時(shí)的漸近行為是時(shí)的漸近行為是第一項(xiàng)代表入射波，第二項(xiàng)代表出射的球面第一項(xiàng)代表入射波，第二項(xiàng)代表出射的球面波，它描述由于靶粒子作用所出現(xiàn)的散射現(xiàn)波，它描述由于靶粒子作用所出現(xiàn)的散射現(xiàn)象。在上述波函數(shù)的漸近形式下，入射粒子象。在上述波函數(shù)的漸近形式下，入射粒子

44、流密度為流密度為 ，而散射粒子流（徑向），而散射粒子流（徑向） V rr expexprikrikzfr (4)ijk 第61頁/共94頁為為因此，在因此，在 方向的立體角元方向的立體角元 中單位時(shí)間中單位時(shí)間的出射粒子數(shù)為的出射粒子數(shù)為按截面定義式按截面定義式(1)(1)，有，有這就是這就是散射截面（也稱微分截面，或角分散射截面（也稱微分截面，或角分布）與散射波幅布）與散射波幅 的關(guān)系。的關(guān)系。 22expexp. .2(5)sikrikrijffc crrrkfrd 22(6)skdnj r dfd 21(7)idnfj d f第62頁/共94頁 在理論上，散射波幅在理論上，散射波幅 可以

45、由求解可以由求解SchrdingerSchrdinger方程方程并要求并要求 時(shí)時(shí) 的漸近行為如式的漸近行為如式(4)(4)所示而定出。所示而定出。 求出后即可計(jì)算出微分截面求出后即可計(jì)算出微分截面 ，并與實(shí)驗(yàn)測出的微分截面（按照，并與實(shí)驗(yàn)測出的微分截面（按照(1)(1)式，式， ）比較，還可以計(jì)算出總截面）比較，還可以計(jì)算出總截面 f22( )2V rE r f 2f 20sin(8)tdfd idn dj 第63頁/共94頁上述理論中作了許多近似考慮：上述理論中作了許多近似考慮：（a）實(shí)際的散射實(shí)驗(yàn)中，靶子含有許多散射）實(shí)際的散射實(shí)驗(yàn)中，靶子含有許多散射中心（原子，原子核，或其他粒子），但

46、各散中心（原子，原子核，或其他粒子），但各散射中心之間的距離可認(rèn)為很大，因而從不同的射中心之間的距離可認(rèn)為很大，因而從不同的散射中心出來的散射波的干涉效應(yīng)被忽略了。散射中心出來的散射波的干涉效應(yīng)被忽略了。（b）實(shí)驗(yàn)上往往把靶子做得很薄，使入射粒）實(shí)驗(yàn)上往往把靶子做得很薄，使入射粒子束中絕大部分粒子不受影響（無碰撞）地通子束中絕大部分粒子不受影響（無碰撞）地通過靶子，只有很少一部分粒子經(jīng)受一次散射后過靶子，只有很少一部分粒子經(jīng)受一次散射后即出射（不經(jīng)受多次散射）。即出射（不經(jīng)受多次散射）。（c）截面截面是一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念，入射束流強(qiáng)度要是一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念，入射束流強(qiáng)度要求較大，使散射粒子數(shù)很大，且保證入

47、射粒子求較大，使散射粒子數(shù)很大，且保證入射粒子之間相互作用可以不考慮。之間相互作用可以不考慮。第64頁/共94頁方程方程 下面給出散射問題的一種處理方法，即采下面給出散射問題的一種處理方法，即采用用積分方程的形式積分方程的形式，這個(gè)方法的特點(diǎn)是不去進(jìn)這個(gè)方法的特點(diǎn)是不去進(jìn)行分波，而把散射振幅作為一個(gè)整體，從求解行分波，而把散射振幅作為一個(gè)整體，從求解一個(gè)積分方程得出一個(gè)積分方程得出。這個(gè)方法對于高能量粒子這個(gè)方法對于高能量粒子的散射較為適用的散射較為適用，因?yàn)樵诖饲闆r下，相當(dāng)多的，因?yàn)樵诖饲闆r下，相當(dāng)多的分波都對散射振幅有可觀的貢獻(xiàn)。分波都對散射振幅有可觀的貢獻(xiàn)。第65頁/共94頁粒子被勢場粒

48、子被勢場 的散射，歸結(jié)為求解的散射，歸結(jié)為求解SchrdingerSchrdinger方程方程( ( 是入射粒子能量），是入射粒子能量）， 滿足下列邊條件：滿足下列邊條件：( )V r2222( )( ) ( )krV rr 222Ek ( ) rexp( )exp( , )rik rrik rfr (10)(11)第66頁/共94頁 定義定義GreenGreen函數(shù)函數(shù) ，它滿足，它滿足可以證明可以證明滿足方程滿足方程(10)(10)。因?yàn)?，利用式。因?yàn)?，利用?12)(12)，( , )G r r 22() ( , )()kG r rrr 322( )( , ) ( ) ( )rd r G

49、 r r V rr 22322222() ( )() ( , ) ( ) ( )2( ) ( )krd rkG r r V rrV rr (12)(13)第67頁/共94頁 但式但式(13)(13)解不是唯一的，因?yàn)榻獠皇俏ㄒ坏?，因?yàn)橐矟M足方程也滿足方程(10)(10)，只要，只要 滿足齊次方程滿足齊次方程這種不確定性可由入射波和出射波的邊條件來這種不確定性可由入射波和出射波的邊條件來確定確定。例如，對于有限力程作用。例如，對于有限力程作用 當(dāng)當(dāng) （力（力程），程）， ，要求要求 （入射（入射粒子具有確定粒子具有確定動量動量 ，用平面波描述），用平面波描述） 032(2,14)rrd r G

50、r r V rr 0r 022(105)kr ra0V expririk r k第68頁/共94頁此即此即Lippman-SchwingerLippman-Schwinger方程，通常方程，通常要求滿足出要求滿足出射波邊條件射波邊條件 322exp,iscrik rd r G r r V rrr 322,exp,scrrd r G r r V rrikrfr (17）(16）第69頁/共94頁下面來討論下面來討論GreenGreen函數(shù)的求解函數(shù)的求解。根據(jù)方程。根據(jù)方程(3)(3)的的空間平移不變性，空間平移不變性， 應(yīng)表示成下列形式應(yīng)表示成下列形式其其FourierFourier變換為變換

51、為代入式代入式(3)(3)，利用，利用,G r r ,G r rG rr 3expG rrd qiqrrG q331exp2rrd qiqrr22expexpiqrrqiqrr (18）第70頁/共94頁可得可得或或因此因此 22312qkG q 322112G qqk 332211exp2G rrd qiqrrqk (19）(20）第71頁/共94頁令令 ，則，則( (取取 方向?yàn)闃O軸方向）方向?yàn)闃O軸方向）Rrr332222322000222exp1( )2expcos1sin2exp12iq RG Rd qqkiqRq dqddqkqiqRdqqkiR 是被積函數(shù)的一級極點(diǎn)，容易用殘數(shù)定是

52、被積函數(shù)的一級極點(diǎn)，容易用殘數(shù)定理計(jì)算出積分。理計(jì)算出積分。qkR(21）第72頁/共94頁積分值與積分圍道選取積分值與積分圍道選取有關(guān)，這相當(dāng)于不同的有關(guān)，這相當(dāng)于不同的散射波邊條件，通常感散射波邊條件，通常感興趣的是要求給出出射興趣的是要求給出出射波，此時(shí)，波，此時(shí)， 空間積分空間積分圍道應(yīng)如下選取，見右圍道應(yīng)如下選取，見右圖。此時(shí)圖。此時(shí)即即q 1exp4G RikRR exp4ik rrG rrrr Ckk0(22）第73頁/共94頁代入式代入式(16)(16)，得，得這就是方程這就是方程(1)(1)的解，它滿足邊條件的解，它滿足邊條件(2)(2)。由于由于積分內(nèi)含有待求解的未知函數(shù)積

53、分內(nèi)含有待求解的未知函數(shù) ，所以是一，所以是一個(gè)積分方程。具體計(jì)算時(shí)，往往只能采用逐個(gè)積分方程。具體計(jì)算時(shí)，往往只能采用逐級近似法求解。級近似法求解。 32expexp2rik rik rrd rV rrrr r(23)第74頁/共94頁近似近似 如把入射粒子與靶的相互作用如把入射粒子與靶的相互作用 V V 看成微擾，按看成微擾，按微擾論的精神：作為一級近似，式微擾論的精神：作為一級近似，式(23)(23)中的中的 可用可用 代替，則代替，則此即勢散射問題的此即勢散射問題的BornBorn一級近似解一級近似解。根據(jù)它在。根據(jù)它在 的漸近行為，與式的漸近行為，與式(11)(11)比較，即可求出散

54、射波幅比較，即可求出散射波幅 的一級近似解。的一級近似解。 V rr expV rik r exprik r 32expexp2ik rrd rV rik rrrr f(24)第75頁/共94頁 假設(shè)假設(shè) 具有有限力程，則式具有有限力程，則式(24)(24)中對中對 的積分的積分實(shí)際上局限于空間中一個(gè)有限區(qū)域。當(dāng)實(shí)際上局限于空間中一個(gè)有限區(qū)域。當(dāng) 時(shí)時(shí)式式(24)(24)被積函數(shù)中，分母被積函數(shù)中，分母 是一個(gè)光滑的緩變是一個(gè)光滑的緩變化函數(shù)，當(dāng)化函數(shù)，當(dāng) 時(shí)，可徑直用時(shí)，可徑直用 代替，但分子是代替，但分子是一個(gè)隨一個(gè)隨 迅速振蕩的函數(shù)。迅速振蕩的函數(shù)。 V rrr 1 222221rrrr

55、 rrrr r r rrr rr2expexp1expfik rrikrr r rikrikr (25)第76頁/共94頁其中其中 ， 是出射粒子動量，對于彈性散是出射粒子動量，對于彈性散射，射， 。這樣，由式。這樣，由式(24)(24)、(25)(25)可得出可得出與式與式(11)(11)比較，得比較，得式中式中frkkrfkfkk 32expexp2rscfikrrd ri kkr V rr 32,exp2fff k kd riq r V r fqkk(27)(26)(28)第77頁/共94頁fkkq 是散射過程中粒子的動量轉(zhuǎn)是散射過程中粒子的動量轉(zhuǎn)移（見左圖），移（見左圖）， 是是 與與

56、 的夾的夾角，即角，即散射角散射角。 還與入射粒還與入射粒子能量有關(guān)系，但式子能量有關(guān)系，但式(27)(27)中未明中未明顯標(biāo)記出。顯標(biāo)記出。由圖可看出由圖可看出 和和 越大，則動量轉(zhuǎn)移越大，則動量轉(zhuǎn)移 越大。越大。qfkkf2 sin2qkkq第78頁/共94頁除一個(gè)常數(shù)因子外，散射波幅除一個(gè)常數(shù)因子外，散射波幅(27)(27)即相互作即相互作用用 的的FourierFourier變換。變換。若若 是中心力場（或?qū)κ侵行牧觯ɑ驅(qū)τ谌肷浞较蚓哂休S對稱性），則于入射方向具有軸對稱性），則 與與 角無角無關(guān)。計(jì)算式關(guān)。計(jì)算式(27)(27)的積分時(shí)，可選擇的積分時(shí)，可選擇 方向?yàn)榉较驗(yàn)?軸方向，

57、采用球坐標(biāo)系軸方向，采用球坐標(biāo)系，可得出，可得出而散射截面表為而散射截面表為( )V rVfqz202( )( )sinfr V rqr drq 2224204( )( )( )sinfr V rqr drq (29)(30)第79頁/共94頁q( ) 可以看出，可以看出， 愈大，則愈大，則 愈小，即入射粒子受愈小，即入射粒子受到勢場到勢場 的影響愈小。由此可以看出，對于高的影響愈小。由此可以看出，對于高能入射粒子（能入射粒子（ 很大），很大）， 主要集中在小角度主要集中在小角度范圍內(nèi)。范圍內(nèi)。( )V rk( ) 第80頁/共94頁 Born Born近似的適用條件近似的適用條件在在Born

58、Born近似下近似下如如BornBorn近似為一個(gè)好的近似，就要求近似為一個(gè)好的近似，就要求32( )exp( )expexp2 ( )expscrik rrik rrik rd rrrV rik r( )exp1scrik r第81頁/共94頁勢場勢場 對散射波的影響，在靶子鄰域?qū)ι⑸洳ǖ挠绊懀诎凶余徲?內(nèi)最強(qiáng)，內(nèi)最強(qiáng)，因此上述條件可換成因此上述條件可換成設(shè)設(shè) 為中心場，則為中心場，則此即此即BornBorn近似成立的條件。近似成立的條件。V(0)r(0)1scV3220exp(0)( )exp22exp( )sin1scikrd rV rik rrdrikr V rkrk第82頁/共94

59、頁全同粒子的散射全同粒子的散射 全同粒子相碰撞，由于波函數(shù)的交換對成全同粒子相碰撞，由于波函數(shù)的交換對成 性，將出現(xiàn)一些很有趣的現(xiàn)象。這完全是一種性，將出現(xiàn)一些很有趣的現(xiàn)象。這完全是一種 量子效應(yīng)量子效應(yīng)。為了比較，先討論無自旋的不同粒。為了比較，先討論無自旋的不同粒 子的碰撞，然后討論無自旋的兩個(gè)全同粒子的子的碰撞，然后討論無自旋的兩個(gè)全同粒子的 碰撞碰撞, ,最后討論自旋為最后討論自旋為 的全同粒子的碰撞。的全同粒子的碰撞。 1. 1. 粒子與氧原子核的碰撞粒子與氧原子核的碰撞 粒子粒子( )( )與氧原子核與氧原子核( )( )的基態(tài)自旋都是的基態(tài)自旋都是0 0，考慮，考慮 碰撞。碰撞。242He168OO第83頁/共94頁 (a) (b) 圖圖10.710.7圖圖10.710.7是質(zhì)心系中的圖像。是質(zhì)心系中的圖像。 與與 是兩個(gè)探測是兩個(gè)探測器。圖器。圖10.7(a)10.7(a)是在是在 方向測得的一個(gè)方向測得的一個(gè) 粒子。粒子。2D1DOO2D1DOOO1D2D第84頁/共94頁而在而在( )( )方向方向 測得一個(gè)測得一個(gè) 核。圖核。圖10.7(b)10.7(b)則正好則正好