中考總復習第二十講矩形、菱形和正方形

1、中考總復習1(2013湖南湘西州)下列說法中，正確的是()A同位角相等B對角線相等的四邊形是平行四邊形C四條邊相等的四邊形是菱形D矩形的對角線一定互相垂直【解析】A兩直線平行，同位角才相等，故本選項錯誤；B對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故本選項錯誤；C四邊相等的四邊形是菱形，故本選項正確；D矩形的對角線互相平分且相等，不一定垂直，故本選項錯誤故選 C.【答案】C2 (2013四川成都)如圖 201， 將矩形 ABCD沿對角線 BD 折疊， 使點 C 和點 C重合若 AB2，則 CD 的長為()A1B2C3D4【解析】在矩形 ABCD 中，CDAB.矩形 ABCD 沿對角線 BD 折疊后點

2、 C 和點 C重合，CDCDAB2.【答案】B3(2012湖南長沙)如圖 202，菱形 ABCD中，對角線 AC 與 BD 交于點 O， OEDC且交 BC 于點 E，AD6 cm，則 OE 的長為()A6 cmB4 cmC3 cmD2 cm【解析】提示：OE12AB12AD3 cm.【答案】C4(2012天津)如圖 203，在邊長為 2 的正方形ABCD 中，M 為邊 AD 的中點，延長 MD 至點 E，使 MEMC，以 DE 為邊作正方形DEFG， 點 G 在邊 CD 上， 則 DG 的長為()A. 31B3 5C. 51D. 51【解析】四邊形 ABCD 是正方形，M 為邊 DA 的中點

3、，DM12DA1，MC DC2DM2 5.MEMC 5.DEMEDM 51，四邊形 EDGF 是正方形，DGDE 51.【答案】D5(2012江蘇鹽城)如圖 204，在四邊形ABCD 中，已知 ABDC，ABDC.在不添加任何輔助線的前提下， 要使該四邊形成為矩形， 只需再加上的一個條件是(填上你認為正確的一個答案即可)【解析】以A90為例，理由如下：ABDC，ABDC，四邊形 ABCD 是平行四邊形A90，平行四邊形 ABCD 是矩形【答案】A90(答案不唯一)考點一矩形的性質與判定考點一矩形的性質與判定1矩形的性質：(1)矩形的四個角都是直角；(2)矩形的對角線相等且互相平分；(3)矩形既

4、是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸2矩形的判定：(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；(2)有三個角是直角的四邊形是矩形；(3)對角線相等的平行四邊形是矩形考點點撥1矩形是有一角為直角的特殊平行四邊形，它具有平行四邊形的一切性質2判定矩形往往先判定一個四邊形是平行四邊形，再結合一個直角或對角線相等來證明【精選考題 1】(2013浙江湖州)如圖 205，已知四邊形 ABCD 是矩形，把矩形沿直線 AC 折疊，使點 B 落在點 E 處，連結 DE.若 DEAC35，則ADAB的值為()A.12B.33C.23D.22點評：(1)本題主要考查矩形的性質、等腰三角形的性質、相似三角形的判

5、定與性質，難度中等(2)熟記各圖形的性質是解決本題的關鍵解析：矩形沿直線 AC 折疊，點 B 落在點 E 處，BACEAC，AEABCD.矩形 ABCD 的對邊 ABCD，DCABAC，EACDCA.設 AE 與 CD 交于點 F，則 AFCF，AEAFCDCF，即 DFEF，DFFCEFAF.又AFCEFD，ACFEDF，DFFCDEAC35.設 DF3x，F(xiàn)C5x，則 AF5x，在 RtADF 中，AD AF2DF2 （5x）2（3x）24x.又ABCDDFFC3x5x8x，ADAB4x8x12.答案：A【預測演練 1】如圖 206，在ABC 中，點 O 是 AC邊(端點除外)上的一個動點

6、， 過點O作直線MNBC.設 MN 交BCA 的平分線于點 E，交BCA 的外角平分線于點 F，連結 AE，AF.那么當點 O 運動到何處時，四邊形 AECF 是矩形？并證明你的結論解析： 當點 O 運動到 AC 的中點(或當 OAOC)時， 四邊形 AECF 是矩形證明：CE 平分BCA，BCEACE.又NMBC，BCEDEC，DECACE，EOCO.同理：FOCO.EOFO.又OAOC，四邊形 AECF 是平行四邊形BCEACE，ACFFCG，BCEFCGACEACF.又BCEFCGACEACF180，ACEACF90.AECF 是矩形考點二菱形的性質與判定考點二菱形的性質與判定1菱形的性

7、質：(1)菱形的四條邊都相等；(2)菱形的對角線互相垂直且平分，并且每條對角線平分一組對角；(3)菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸2菱形的判定：(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(2)四條邊相等的四邊形是菱形(3)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形考點點撥1菱形是有一組鄰邊相等的特殊平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質2菱形的對角線互相垂直平分，矩形的對角線相等且平分，兩者應于以區(qū)分3菱形面積的計算方法：(1)邊長高；(2)兩條對角線長乘積的一半【精選考題 2】(2013浙江金華)如圖207，四邊形 ABCD 與四邊形AEFG都是菱形， 其中點C在AF 上，點 E， G

8、 分別在 BC， CD 上 若BAD 135 ， EAG 75 ， 則ABAE點評：(1)本題考查菱形的性質及解直角三角形的知識， 難度中等(2)解決本題的關鍵是掌握菱形的對角線平分一組對角解析：BAD135，EAG75，四邊形 ABCD 與四邊形 AEFG 都是菱形，B180BAD45，BAEBACEAC12BAD12EAG30.過點 E 作 EMAB 于點 M，如解圖 1，設EMx.在 RtAEM 中，BAE30，AE2EM2x，AM 3x.在 RtBEM 中，B45，BMEMx.ABAEAMBMAE312.答案：312【預測演練 2】如圖 208，在ABCD 中，E，F(xiàn) 分別為邊 AB，

9、CD 的中點，BD 是對角線，過點 A 作 AGDB 交 CB 的延長線于點 G.(1)求證：DEBF；(2)若G90，求證：四邊形 DEBF 是菱形解析：(1)在ABCD 中，ABCD，ABCD.E，F(xiàn) 分別為 AB，CD 的中點，DF12DC，BE12AB，DFBE，四邊形 DEBF 為平行四邊形，DEBF.(2)AGBD，GDBC90，DBC 為直角三角形又F 為邊 CD 的中點BF12DCDF.又四邊形 DEBF 為平行四邊形，四邊形 DEBF 是菱形考點三正方形的性質與判定考點三正方形的性質與判定1正方形的性質：(1)正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；(2)正方形的對角線相等，并

10、且互相垂直、平分，每條對角線平分一組對角2正方形的判定：(1)一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形；(2)有一個角是直角的菱形是正方形；(3)有一組鄰邊相等的矩形是正方形；(4)對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形考點點撥1正方形具有平行四邊形、矩形和菱形的所有性質，正方形有四條對稱軸2正方形的對角線與邊的夾角為 45，正方形的面積等于其對角線平方的一半3證明一個四邊形是正方形，往往先證明它是矩形或菱形，再證明【精選考題 3】(2013江蘇南京)如圖 209，在四邊形 ABCD 中，ABCB，對角線 BD 平分ABC，P 是 BD 上一點，過點 P 作 PMAD，PNCD，

11、垂足分別為 M，N.(1)求證：ADBCDB；(2)若ADC90，求證：四邊形 MPND 是正方形點評： (1)本題主要考查全等三角形的判定和性質及正方形的判定，難度中等(2)解決本題的關鍵是熟記各種幾何圖形的性質和判定方法解析：(1)對角線 BD 平分ABC，ABDCBD.在ABD 和CBD 中，ABCB，ABDCBD，BDBD，ABDCBD(SAS)，ADBCDB.(2)PMAD，PNCD，PMDPND90.又ADC90，四邊形 MPND 是矩形ADBCDB，即 DB 平分ADC，PMPN，四邊形 MPND 是正方形【預測演練 3】如圖 2010，將三角尺放在正方形 ABCD 上，使三角尺

12、的直角頂點 E 與正方形 ABCD 的頂點 A 重合， 三角尺的一邊交 CD 于點 F.另一邊交 CB 的延長線于點 G.(1)求證：EFEG；(2)如圖 2010，移動三角尺，使頂點 E 始終在正方形 ABCD 的對角線 AC上，其他條件不變，(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明； 若不成立，請說明理由；(3)如圖 2010，將(2)中的“正方形 ABCD”改為“矩形 ABCD”，且使三角尺的一邊經過點 B，其他條件不變若 ABa，BCb，求EFEG的值解析：(1)GEBBEF90，DEFBEF90，DEFGEB.又EDBE，DGBE90，F(xiàn)EDGEB，EFEG.(2)成立證明：如

13、解圖，過點 E 分別作 BC，CD 的垂線，垂足分別為 H，I，則 EHEI，HEI90.GEHHEF90，IEFHEF90，IEFGEH，F(xiàn)EIGEH，EFEG.(3)如解圖，過點 E 分別作 BC，CD 的垂線，垂足分別為 M，N，則MEN90，EMAB，ENAD.CENCAD，CEMCAB，NEADCECA，EMABCECA，NEADEMAB，即ENEMADABba.NEFFEMGEMFEM90，GEMFEN.GMEFNE90，GMEFNE，EFEGENEM，EFEGba.1.在判定矩形、菱形或正方形時，要弄清是在“四邊形”還是在“平行四邊形”的基礎上來求證的，要熟悉各種判定定理的聯(lián)系和

14、區(qū)別，解題時要認真審題，通過仔細分析已知條件來確定用哪一種判定方法2平行四邊形、矩形、菱形和正方形之間的聯(lián)系：(1)在平行四邊形的基礎上，增加條件“一個角是直角”或“對角線相等”，可得到矩形；(2)在平行四邊形的基礎上，增加條件“一組鄰邊相等”或“對角線互相垂直”，可得到菱形；(3)在平行四邊形的基礎上，要證該平行四邊形是正方形，可以先證明它是矩形， 再證明它是菱形， 或先證明它是菱形， 再證明它是矩形，即可得到正方形3平行四邊形、矩形、菱形和正方形的性質與判定方法很多，很容易混淆，復習時要從這幾種圖形的定義入手，從邊、角、對角線三個角度考慮，準確掌握這幾種圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系1(2013浙江

15、衢州)如圖 2011，在菱形ABCD 中，邊長為 10，A60.順次連結菱形 ABCD 各邊中點， 可得四邊形 A1B1C1D1；順次連結四邊形A1B1C1D1各邊中點，可得四邊形A2B2C2D2；順次連結四邊形 A2B2C2D2各邊中點，可得四邊形 A3B3C3D3；按此規(guī)律繼續(xù)下去則四邊形A2B2C2D2的周長是；四邊形 A2013B2013C2013D2013的周長是點評：(1)本題主要考查菱形的性質以及矩形的性質，難度中等(2)根據已知條件得出邊長變化規(guī)律是解決本題的關鍵解析： 菱形 ABCD 中， 邊長為 10， A60， 順次連結菱形 ABCD，A1B1C1D1各邊中點，AA1D1

16、是等邊三角形，四邊形 A2B2C2D2是菱形，A1D15，C1D112AC5 3，A2B2C2D2C2B2A2D25，四邊形 A2B2C2D2的周長是 5420.同理： A3D3512， C3D35 312， A5D55122， C5D55 3122，四邊形 A2013B2013C2013D2013的周長是：2(55 3)121006(55 3)121005.答案：20(55 3)1210052(2013浙江紹興)在矩形 ABCD 中，AB4，AD3，P，Q 是對角線 BD 上不重合的兩點，點 P 關于直線 AD，AB 的對稱點分別是點 E，F(xiàn)，點 Q 關于直線 BC，CD的對稱點分別是點 G

17、，H.若由點 E，F(xiàn)，G，H 構成的四邊形恰好為菱形，則 PQ 的長為點評：(1)本題是幾何變換綜合題，難度較大(2)首先根據題意畫出圖形，然后結合軸對稱、矩形及菱形的性質進行分析，明確線段之間的數量關系，最后由等腰三角形和勾股定理求得結果答案：2.8解析：在矩形 ABCD 中，由 AB4，AD3，可得對角線 ACBD5.依題意畫出圖形，如解圖 3 所示由軸對稱性質可知，PAFPAE2PAB2PAD2(PABPAD)180，點 A 在菱形 EFGH 的邊 EF 上同理可知，點 B，C，D 均在菱形 EFGH 的邊上APAEAF，點 A 為 EF 的中點同理可知，點 C 為 GH 的中點連結 A

18、C 交 BD 于點 O，則有 AFCG，且 AFCG，四邊形 ACGF 為平行四邊形，F(xiàn)GAC5，即菱形 EFGH 的邊長等于矩形 ABCD 的對角線長EFFG5.APAEAF，AP12EF2.5.OA12AC2.5，APAO，即APO 為等腰三角形過點 A 作 ANBD 交 BD 于點 N，則點 N 為 OP 的中點由 SABD12ABAD12ACAN，可得 AN2.4.在 RtAON 中，由勾股定理，得 ON OA2AN2 2.522.420.7，OP2ON1.4.同理可得 OQ1.4.PQOPOQ1.41.42.8.3(2013浙江舟山)某校的校門是伸縮門(如圖 2012)，伸縮門中的每

19、一行菱形有 20 個， 每個菱形邊長為 30 cm.校門關閉時，每個菱形的銳角度數為 60(如圖 2012)；校門打開時，每個菱形的銳角度數從 60縮小為 10(如圖 2012) 問： 校門打開了多少米(結果精確到 1 m， 參考數據：sin 50.0872，cos 50.9962，sin 100.1736，cos 100.9848)?圖 2012點評：(1)本題主要考查菱形的性質和解直角三角形的應用， 難度中等(2)解決本題的關鍵是讀懂題意，把實際問題轉化為數學問題，只要把實際問題抽象到解直角三角形中，一切將迎刃而解解析：如解圖 4，校門關閉時，取其中一個菱形 ABCD.根據題意，得BAD60，AB0.3 m.在菱形 ABCD 中，ABAD，BAD 是等邊三角形，BDAB0.3 m，此時伸縮門的寬是 0.3206(m)；如解圖 4，校門打開時，取其中一個菱形 A1B1C1D1.根據題意，得B1A1D110，A1B10.3 m.在菱形 A1B1C1D1中，A1C1B1D1，B1A1O15，在 RtA1B1O1中，B1O1A1B1sinB1A1O10.3sin 50.02616(m)，B1