D物理應(yīng)用黑白實用教案

1、1例例1.一個一個(y )單單求電場力所作的功求電場力所作的功 . qOrabrrrd11解解:當(dāng)單位當(dāng)單位(dnwi)正電荷距離原正電荷距離原點點 r 時時,由庫侖定律由庫侖定律(k ln dn l)電場力為電場力為2rqkF 則功的元素為則功的元素為rrqkWdd2所求功為所求功為barrqkWd2rqk1ab)11(baqk位正電荷沿直線從距離點電荷位正電荷沿直線從距離點電荷 a 處移動到處移動到 b 處處 (a b) , 在一個帶在一個帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場作用下電荷所產(chǎn)生的電場作用下, 第1頁/共22頁第一頁，共23頁。2S例例2.體體, 求移動求移動(ydng)過程中氣體壓過程

2、中氣體壓力所力所Ox解解:由于氣體的膨脹由于氣體的膨脹, 把容器中的一個面積把容器中的一個面積(min j)為為S 的活塞的活塞從從點點 a 處移動處移動(ydng)到點到點 b 處處 (如圖如圖), 作的功作的功 .ab建立坐標系如圖建立坐標系如圖.xxxd由波義耳由波義耳馬略特定律知壓強馬略特定律知壓強 p 與體積與體積 V 成反比成反比 , 即即,SxkVkp 功元素為功元素為WdxFdxxkd故作用在活塞上的故作用在活塞上的SpFxk所求功為所求功為baxxkWdbaxk lnabkln力為力為在底面積為在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣的圓柱形容器中盛有一定量的氣 第2頁/

3、共22頁第二頁，共23頁。3m3m5例例3.試問試問(shwn)要把桶中的水全部吸出需作多少功要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立建立(jinl)坐標系坐標系如圖如圖.Oxxxxd在任一小在任一小(y xio)區(qū)間區(qū)間d,xxx上的一薄層水的重力為上的一薄層水的重力為gxd32這薄層水吸出桶外所作的功這薄層水吸出桶外所作的功(功元素功元素)為為Wdxxgd9故所求功為故所求功為50Wxxgd9g922xg5 .112( KJ )設(shè)水的密設(shè)水的密度為度為05(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為一蓄滿水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為底圓半徑為3m, 第3頁/共22頁第三頁，共23頁

4、。4面積面積(min j)為為 A 的平板的平板二、液體二、液體(yt)的側(cè)的側(cè)壓力壓力設(shè)液體設(shè)液體(yt)密度密度為為 深為深為 h 處的壓強處的壓強: hgph當(dāng)平板與水面平行時當(dāng)平板與水面平行時, ApP 當(dāng)平板不與水面平行時當(dāng)平板不與水面平行時,所受側(cè)壓力問題就需用積分解決所受側(cè)壓力問題就需用積分解決 .平板一側(cè)所受的壓力為平板一側(cè)所受的壓力為第4頁/共22頁第四頁，共23頁。5小窄條上各點的壓強小窄條上各點的壓強(yqing)xgp332Rg例例4. 的液體的液體 , 求桶的一個求桶的一個(y )端面所受的側(cè)壓力端面所受的側(cè)壓力. 解解: 建立建立(jinl)坐標系如坐標系如圖圖.所

5、論半圓的所論半圓的22xRy)0(Rx 利用對稱性利用對稱性 , 側(cè)壓力元素側(cè)壓力元素RP0 xxRxgd222OxyRxxxd222xR Pdxg端面所受側(cè)壓力為端面所受側(cè)壓力為xd方程為方程為一水平橫放的半徑為一水平橫放的半徑為R 的圓桶的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為內(nèi)盛半桶密度為 第5頁/共22頁第五頁，共23頁。60arcsin224222RRxRxRxgR,d222xxR 說明說明(shumng):當(dāng)桶內(nèi)充滿當(dāng)桶內(nèi)充滿(chngmn)液體時液體時,),(xRg小窄條上的壓強小窄條上的壓強(yqing)為為側(cè)壓力元素側(cè)壓力元素Pd故端面所受側(cè)壓力為故端面所受側(cè)壓力為RRxxRxRgPd)(22

6、2奇函數(shù)奇函數(shù)3Rg)(xRgRxxRgR022d4tRxsin令OxyRxxxd第6頁/共22頁第六頁，共23頁。7三、三、 引力引力(ynl)問題問題質(zhì)量質(zhì)量(zhling)分分別為別為21, mm的質(zhì)點的質(zhì)點(zhdin) , 相距相距 r ,1m2mr二者間的引力二者間的引力 :大小大小:221rmmkF 方向方向:沿兩質(zhì)點的連線沿兩質(zhì)點的連線若考慮若考慮物體物體對質(zhì)點的引力對質(zhì)點的引力, 則需用積分解決則需用積分解決 .第7頁/共22頁第七頁，共23頁。8例例5.設(shè)有一長度設(shè)有一長度(chngd)為為 l, 線密度為線密度為 的均的均勻細直棒勻細直棒,其中垂線上距其中垂線上距 a 單

7、位單位(dnwi)處有一質(zhì)量為處有一質(zhì)量為 m 的的質(zhì)點質(zhì)點 M,M該棒對質(zhì)點該棒對質(zhì)點(zhdin)的引力的引力.解解: 建立坐標系如圖建立坐標系如圖.y2l2ld,xxx細棒上小段細棒上小段對質(zhì)點的引力大小為對質(zhì)點的引力大小為 dkF xm d22xa 故鉛直分力元素為故鉛直分力元素為cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkxOx在在試計算試計算FdxFdyFdxxd第8頁/共22頁第八頁，共23頁。9利用利用(lyng)對對稱性稱性223022)(d2lxaxamkFy222202輊犏= -犏?臌l lx xk mak maaaxaaxm m22412laa

8、lmk棒對質(zhì)點引力棒對質(zhì)點引力(ynl)的水平的水平分力分力.0 xF22412llmkFaa故棒對質(zhì)點的引力故棒對質(zhì)點的引力(ynl)大大小為小為棒對質(zhì)點的引力的鉛直分力為棒對質(zhì)點的引力的鉛直分力為 My2l2laaxOxFdxFdyFdxxd第9頁/共22頁第九頁，共23頁。102lOy2laxxxdx說明說明(shumng):amk22) 若考慮質(zhì)點克服若考慮質(zhì)點克服(kf)引力沿引力沿 y 軸軸從從 a 處處1) 當(dāng)細棒很長時當(dāng)細棒很長時,可視可視 l 為無窮大為無窮大 ,此時引力此時引力(ynl)大大小為小為方向與細棒垂直且指向細棒方向與細棒垂直且指向細棒 .移到移到 b (a b)

9、 處時克服引力作的功處時克服引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyyWdyd則有則有22412llmkFaa第10頁/共22頁第十頁，共23頁。11lOxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力引力(ynl)大大小為小為22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFdsindF注意注意(zh y)正負號正負號3) 當(dāng)質(zhì)點位于棒的左端點垂線當(dāng)質(zhì)點位于棒的左端點垂線(chu xin)上時上時, 第11頁/共22頁第十一頁，共23頁。12四、轉(zhuǎn)動慣量四、轉(zhuǎn)動

10、慣量 (補充補充(bchng)質(zhì)量質(zhì)量(zhling)為為 m 的質(zhì)點關(guān)于軸的質(zhì)點關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量為動慣量為l2rmI 的質(zhì)點系的質(zhì)點系),2, 1(,nimrlii質(zhì)量為的距離為與軸21iniirmI若考慮物體的轉(zhuǎn)動慣量若考慮物體的轉(zhuǎn)動慣量 , 則需用則需用(x yn)積分積分解決解決 .r關(guān)于軸關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為m第12頁/共22頁第十二頁，共23頁。13lR例例6. 求圓盤求圓盤(yun pn)對通過中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)對通過中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量動慣量 ; 求圓盤求圓盤(yun pn)對直徑所在軸的轉(zhuǎn)動對直徑所在軸的轉(zhuǎn)動慣量慣量 .解解: 建立建立(ji

11、nl)坐標系坐標系如圖如圖.設(shè)圓盤面密度為設(shè)圓盤面密度為 .的對應(yīng)于d,xxx小圓環(huán)質(zhì)量小圓環(huán)質(zhì)量xx d2對應(yīng)于對應(yīng)于d,xxx的小圓環(huán)對軸的小圓環(huán)對軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為xxId2d3故圓盤對軸故圓盤對軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為RxxI03d2421 R221RMxxxxd2RM設(shè)有一個半徑為設(shè)有一個半徑為 R , 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的均勻圓盤的均勻圓盤 , O第13頁/共22頁第十三頁，共23頁。14OxRyxxxd平行平行(pngxng) y 軸軸的細條的細條的對應(yīng)于d,xxx關(guān)于關(guān)于(guny) y 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量元素為元素為yId細條細條(x tiao)質(zhì)

12、量質(zhì)量:y2xdxxyd22xxRxd2222故圓盤對故圓盤對y 軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為yIxxRxRRd2222xxRxRd42202)sin(tRx 令tttRdcossin422402441R)(2RM241RM 取旋轉(zhuǎn)軸為取旋轉(zhuǎn)軸為 y 軸軸, 建立坐標系如圖建立坐標系如圖. .第14頁/共22頁第十四頁，共23頁。15內(nèi)容內(nèi)容(nirng)小結(jié)小結(jié)(1) 先用元素先用元素(yun s)法求出它的微分表達式法求出它的微分表達式 dQ一般元素一般元素(yun s)的幾何的幾何形狀有形狀有:扇、扇、片、片、殼殼 等等.(2) 然后用定積分來表示整體量然后用定積分來表示整體量 Q ,

13、并計算之并計算之. 1.用定積分求一個分布在某區(qū)間上的整體量用定積分求一個分布在某區(qū)間上的整體量 Q 的步驟的步驟:2.定積分的物理應(yīng)用定積分的物理應(yīng)用:變力作功變力作功 ,側(cè)壓力側(cè)壓力 ,引力等。引力等。條條、段、段、環(huán)環(huán)、帶、帶、第15頁/共22頁第十五頁，共23頁。16(1999考研考研(ko yn)思考思考(sko)與練習(xí)與練習(xí)提示提示(tsh): 作作 x 軸軸如圖如圖.Ox30 xxd1.為清除井底污泥為清除井底污泥, 用纜繩將抓斗放入井底用纜繩將抓斗放入井底, 泥后提出井口泥后提出井口,纜繩每纜繩每在提升過程中污泥在提升過程中污泥以以20N /s 的的速度從抓斗縫隙中漏掉速度從抓

14、斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度為提升速度為3m /s , 問問克服重力需作多少焦耳克服重力需作多少焦耳( J ) 功功?已知井深已知井深30 m ,抓斗自重抓斗自重400N , 將抓起污泥的抓斗由將抓起污泥的抓斗由抓起污抓起污x 提升提升 dx 所作的功可分為三部分所作的功可分為三部分: 米重米重50N ,第16頁/共22頁第十六頁，共23頁。17提升抓斗提升抓斗(zhu du)中中的污泥的污泥:井深井深 30 m, 抓斗自重抓斗自重(zzhng) 400 N, 纜繩每米重纜繩每米重50N, 抓斗抓

15、起的污泥重抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度為提升速度為3ms, 污泥以污泥以 20Ns 的速度從抓斗縫隙中漏掉的速度從抓斗縫隙中漏掉xWd400d1克服克服(kf)纜纜繩重繩重:xxWd)30(50d2抓斗升至抓斗升至 x 處所需時間處所需時間 :) s (3x(J)91500 xxWxd)202000()30(504003300 xWxd)202000(d33321ddddWWWW克服抓斗自重克服抓斗自重: Ox30 xxd第17頁/共22頁第十七頁，共23頁。18xyABO2. 設(shè)星形線設(shè)星形線taytax33sin,cos上每一點上每一點(y din)處線密處線密度的大小等于該點

16、到原點距離度的大小等于該點到原點距離(jl)的立的立方方,提示提示(tsh): 如如圖圖.2222d)(d23yxsyxkFsyxkd)(2122cosddFFxsyxxyxkd)(222221sxkdsinddFFysykd),(yxsd在點在點O 處有一單處有一單 位質(zhì)點位質(zhì)點 ,求星形線在第一象限的弧段對這質(zhì)點的引力求星形線在第一象限的弧段對這質(zhì)點的引力.第18頁/共22頁第十八頁，共23頁。19同理同理takFx203costttattadcossin3)sin(cos32222tttkadsincos32042253ak253akFy故星形線在第一故星形線在第一(dy)象限的弧段對該

17、質(zhì)點的象限的弧段對該質(zhì)點的2253akF xFd,dsxkyFdsykd;sin,cos33taytax引力引力(ynl)大小為大小為作業(yè)作業(yè)(zuy): P291 2 , 3 , 5 , 9 , 12xyABO),(yxsd第19頁/共22頁第十九頁，共23頁。20銳角銳角(rujio) 取多大時取多大時, 薄板所受的壓力薄板所受的壓力 P 最大最大 .備用備用(biyng)題題斜邊為定長的直角三角形薄板斜邊為定長的直角三角形薄板(bo bn), 垂直垂直放置于放置于解解: 選取坐標系如圖選取坐標系如圖.設(shè)斜邊長為設(shè)斜邊長為 l ,水中水中, 并使一直角邊與水面相齊并使一直角邊與水面相齊, coscotlxyxxygdsin02d)coscot(lxxlxg)cos(cos633lglOyxy則其方程為則其方程為問斜邊與水面交成的問斜邊與水面交成的xxxdsin0lP第20頁/共22頁第二十頁，共23頁。21)cos(cos633lgP,0ddP令33arccos0故得唯一故得唯一(wi y)駐點駐點 故此故此(gc)唯一駐點唯一駐點0即為所求即為所求. 由實際意義可知由實際意義可知(k zh)最大值最大值存在存在 ,即即0sincos3sin2, ),0(2lOyxyxxxd第21頁/共22頁第二十一頁，共