大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)理論課2

1、零部件變形及其不穩(wěn)定零部件變形及其不穩(wěn)定性，信號(hào)處理電路的隨性，信號(hào)處理電路的隨機(jī)噪聲等。機(jī)噪聲等。溫度、濕度、氣壓的變溫度、濕度、氣壓的變化，光照強(qiáng)度、電磁場化，光照強(qiáng)度、電磁場變化等。變化等。瞄準(zhǔn)、讀數(shù)不穩(wěn)定，人瞄準(zhǔn)、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作不當(dāng)?shù)?。為操作不?dāng)?shù)取?例如：用秒表測單擺的周期例如：用秒表測單擺的周期T T，將各測量，將各測量值出現(xiàn)的次數(shù)列表如下。值出現(xiàn)的次數(shù)列表如下。n=n=3030次次10621 05n nx xi i測量值測量值x xi i 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.01 1.02 1.03 1.0

2、4 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 次次 數(shù)數(shù) n n 1 1 2 8 8 5 2 2 1 1 1 2 8 8 5 2 2 1 0 0 測量值測量值x xi i 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.101.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10次次 數(shù)數(shù) n n 0 2 4 10 14 16 7 5 1 1 0 2 4 10 14 16 7 5 1 1n=n=60 60 次次 10206161.05n n測量值測量值1.0561016202630測量值測

3、量值 次數(shù)次數(shù) x xi i n n1.01 11.02 41.03 71.04 231.05 251.06 201.07 111.08 51.09 21.10 2n=n=100100次次n nx xi i 隨著測量次數(shù)增多，統(tǒng)計(jì)顯示隨著測量次數(shù)增多，統(tǒng)計(jì)顯示 出如下規(guī)律。在出如下規(guī)律。在1.051.05附近，測量值附近，測量值 出現(xiàn)的次數(shù)最多，表現(xiàn)為出現(xiàn)的次數(shù)最多，表現(xiàn)為單峰性單峰性。 與與1.051.05相差越多，測量值出現(xiàn)的次相差越多，測量值出現(xiàn)的次 數(shù)越少，表現(xiàn)為數(shù)越少，表現(xiàn)為有界性有界性。偏大的數(shù)。偏大的數(shù) 據(jù)與偏小的數(shù)據(jù)基本相等表現(xiàn)為據(jù)與偏小的數(shù)據(jù)基本相等表現(xiàn)為對對 稱性稱性。大部

4、分?jǐn)?shù)據(jù)存在于確定的范。大部分?jǐn)?shù)據(jù)存在于確定的范 圍內(nèi)，該范圍可評(píng)價(jià)隨機(jī)誤差的大圍內(nèi)，該范圍可評(píng)價(jià)隨機(jī)誤差的大 小。小。 可以預(yù)計(jì)，當(dāng)可以預(yù)計(jì)，當(dāng)測量次數(shù)無限增多測量次數(shù)無限增多時(shí)，曲線將表現(xiàn)為時(shí)，曲線將表現(xiàn)為單峰、有界單峰、有界、嚴(yán)格嚴(yán)格對稱對稱的特征。在有的特征。在有限次測量下，得到限次測量下，得到的所有曲線，是以的所有曲線，是以對稱曲線為中心，對稱曲線為中心，左右擺動(dòng)的曲線族。左右擺動(dòng)的曲線族。n nx xi i3030次次6060次次100100次次在數(shù)理統(tǒng)計(jì)上在數(shù)理統(tǒng)計(jì)上, , 描述具有單峰、有界、對稱的統(tǒng)計(jì)函數(shù)叫描述具有單峰、有界、對稱的統(tǒng)計(jì)函數(shù)叫正態(tài)正態(tài)分布函數(shù)分布函數(shù)。常用來解釋

5、隨機(jī)量測量過程中的隨機(jī)行為與規(guī)律。常用來解釋隨機(jī)量測量過程中的隨機(jī)行為與規(guī)律. .在在測量次數(shù)趨于無窮時(shí)，有：測量次數(shù)趨于無窮時(shí)，有：)2/(2221)(ef0)(dfEdf)(22誤差誤差正態(tài)分布的分布密度函數(shù)為正態(tài)分布的分布密度函數(shù)為 式中：式中：標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差）標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差） e e自然對數(shù)的底，基值為自然對數(shù)的底，基值為2.71822.7182。它的數(shù)學(xué)期望（平均值）為它的數(shù)學(xué)期望（平均值）為 它的方差為：它的方差為： 0)(f)()(ff)(f從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差都具有從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差都具有的四個(gè)特征：對稱性、單峰性、的四個(gè)特征：對稱性、單峰性、有界性、抵償性。由于

6、多數(shù)隨有界性、抵償性。由于多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布，因此機(jī)誤差都服從正態(tài)分布，因此正態(tài)分布在誤差理論中占有十正態(tài)分布在誤差理論中占有十分重要的地位。分重要的地位。0lim1nniin)0()(maxff)0()(ff數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望和和標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是定量描述統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律是定量描述統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律的兩個(gè)重要參數(shù)。的兩個(gè)重要參數(shù)。（1 1）測量值的）測量值的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望等于真值。等于真值。（2 2）誤差的）誤差的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望等于零。等于零。（3 3）標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差反映了測量值與真值的偏離程反映了測量值與真值的偏離程度，即測量值之間的離散程度。度，即測量值之間的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差小，離散程度小，測

7、量精度高。標(biāo)準(zhǔn)差小，離散程度小，測量精度高。 對某量進(jìn)行一系列等精度測量時(shí)，由于存在隨機(jī)誤差，因?qū)δ沉窟M(jìn)行一系列等精度測量時(shí)，由于存在隨機(jī)誤差，因此其獲得的測量值不完全相同，此時(shí)應(yīng)以算術(shù)平均值作為最后此其獲得的測量值不完全相同，此時(shí)應(yīng)以算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。的測量結(jié)果。 設(shè)設(shè) 為為n n次測量所得的值，則算術(shù)平均值為次測量所得的值，則算術(shù)平均值為: : niinlnnlllx1211nlll,211、數(shù)學(xué)期望值、數(shù)學(xué)期望值(算術(shù)平均值算術(shù)平均值)算術(shù)平均值是真值的最佳估值算術(shù)平均值是真值的最佳估值由前面正態(tài)分布隨機(jī)誤差的第四特征可知由前面正態(tài)分布隨機(jī)誤差的第四特征可知 ，因此，因此oi

8、iLl onnnLlll)(2121nioiniinLl11nnlLniiniio110lim1nniin01Lnlxnii下面來證明下面來證明當(dāng)測量次數(shù)無限增加時(shí)，算術(shù)平均值必然趨近于真值當(dāng)測量次數(shù)無限增加時(shí)，算術(shù)平均值必然趨近于真值L Lo o。 由此我們可得出結(jié)論：如果能夠?qū)δ骋涣窟M(jìn)行無限多次測量，由此我們可得出結(jié)論：如果能夠?qū)δ骋涣窟M(jìn)行無限多次測量，就可得到不受隨機(jī)誤差影響的測量值，或其影響很小，可以忽略。這就可得到不受隨機(jī)誤差影響的測量值，或其影響很小，可以忽略。這就是當(dāng)測量次數(shù)無限增大時(shí)，算術(shù)平均值（數(shù)學(xué)上稱之為最大或然值）就是當(dāng)測量次數(shù)無限增大時(shí)，算術(shù)平均值（數(shù)學(xué)上稱之為最大或然

9、值）被認(rèn)為是最接近于真值的理論依據(jù)。但由于實(shí)際上都是有限次測量，被認(rèn)為是最接近于真值的理論依據(jù)。但由于實(shí)際上都是有限次測量，因此，我們只能把算術(shù)平均值近似地作為被測量的真值。因此，我們只能把算術(shù)平均值近似地作為被測量的真值。 一般情況下，被測量的真值為未知，不可能按式求一般情況下，被測量的真值為未知，不可能按式求得隨機(jī)誤差，這時(shí)可用算術(shù)平均值代替被測量的真值得隨機(jī)誤差，這時(shí)可用算術(shù)平均值代替被測量的真值進(jìn)行計(jì)算。此時(shí)的隨機(jī)誤差稱為進(jìn)行計(jì)算。此時(shí)的隨機(jī)誤差稱為殘余誤差殘余誤差，簡稱，簡稱殘差殘差：xlii（一）測量列中單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差）（一）測量列中單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差） 2

10、、測量的標(biāo)準(zhǔn)差、測量的標(biāo)準(zhǔn)差 )2/(2221)(ef（一）測量列中單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差）（一）測量列中單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差） 多次測量，多次測量， ，測量列的標(biāo)準(zhǔn)差為：，測量列的標(biāo)準(zhǔn)差為：2、測量的標(biāo)準(zhǔn)差、測量的標(biāo)準(zhǔn)差 nxlniin120)(limnlll,21當(dāng)測量次數(shù)當(dāng)測量次數(shù)n n 為有限次時(shí)，測量列的算術(shù)平均值作為真值的最為有限次時(shí)，測量列的算術(shù)平均值作為真值的最佳估計(jì)值；標(biāo)準(zhǔn)差常采用貝塞爾法來估計(jì)佳估計(jì)值；標(biāo)準(zhǔn)差常采用貝塞爾法來估計(jì)。xlvnvnxlSiiniinii11)(1212用殘余誤差求得用殘余誤差求得單次測量的標(biāo)準(zhǔn)單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差的估值差的估值由于由于值

11、反映了測量值或隨機(jī)誤差的散布程度，因此值反映了測量值或隨機(jī)誤差的散布程度，因此值可作為隨機(jī)值可作為隨機(jī)誤差的評(píng)定尺度。誤差的評(píng)定尺度。值愈大，函數(shù)值愈大，函數(shù) 減小得越慢；減小得越慢；值愈小，值愈小， 減減小得愈快，即測量到的精密度愈高，如圖小得愈快，即測量到的精密度愈高，如圖2-22-2所示。所示。)(f)(f標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差不是測量到中任何一個(gè)具體測量值的隨機(jī)誤差，不是測量到中任何一個(gè)具體測量值的隨機(jī)誤差，的的大小只說明，在一定條件下等精度測量列隨機(jī)誤差的概率分布情況。大小只說明，在一定條件下等精度測量列隨機(jī)誤差的概率分布情況。在該條件下，任一單次測得值的隨機(jī)誤差在該條件下，任一單次測得值的隨

12、機(jī)誤差，一般都不等于，一般都不等于，但，但卻認(rèn)為這一系列測量列中所有測得值都屬于同樣一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差卻認(rèn)為這一系列測量列中所有測得值都屬于同樣一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的概的概率分布。在不同條件下，對同一被測量進(jìn)行兩個(gè)系列的等精度測量，率分布。在不同條件下，對同一被測量進(jìn)行兩個(gè)系列的等精度測量，其標(biāo)準(zhǔn)差也不相同。其標(biāo)準(zhǔn)差也不相同。 （二）測量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差（二）測量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 在多次測量的測量列中，是以算術(shù)平均值作為測量結(jié)果，在多次測量的測量列中，是以算術(shù)平均值作為測量結(jié)果，因此必須研究算術(shù)平均值不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。因此必須研究算術(shù)平均值不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。 如果在相同條件下對同一量值作多組重復(fù)的系

13、列測量，如果在相同條件下對同一量值作多組重復(fù)的系列測量，每一系列測量都有一個(gè)算術(shù)平均值，由于隨機(jī)誤差的存在，每一系列測量都有一個(gè)算術(shù)平均值，由于隨機(jī)誤差的存在，各個(gè)測量列的算術(shù)平均值也不相同，它們圍繞著被測量的真各個(gè)測量列的算術(shù)平均值也不相同，它們圍繞著被測量的真值有一定的分散，此分散說明了算術(shù)平均值的不可靠性，而值有一定的分散，此分散說明了算術(shù)平均值的不可靠性，而算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差則是表征同一被測量的各個(gè)獨(dú)立測量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差則是表征同一被測量的各個(gè)獨(dú)立測量列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不可靠性的評(píng)算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。定標(biāo)準(zhǔn)。nx算術(shù)

14、平均值的標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差)1()(12nnxlSniix標(biāo)準(zhǔn)差的估值標(biāo)準(zhǔn)差的估值 即在即在n n次測量的等精度測量列中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為次測量的等精度測量列中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測量標(biāo)準(zhǔn)差的單次測量標(biāo)準(zhǔn)差的 ，當(dāng)，當(dāng)n n愈大，算術(shù)平均值越接近被測量愈大，算術(shù)平均值越接近被測量的真值，測量精度也愈高。的真值，測量精度也愈高。 增加測量次數(shù)，可以提高測量增加測量次數(shù)，可以提高測量 精度，但測量精度是與精度，但測量精度是與n n的平方根成的平方根成 反比，因此要顯著提高測量精度，反比，因此要顯著提高測量精度， 必須付出較大的勞動(dòng)。由圖必須付出較大的勞動(dòng)。由圖2-32-3可知可知,

15、 , 一定時(shí)，當(dāng)一定時(shí)，當(dāng)n10n10以后，以后， 的減小很的減小很 慢。此外，由于增加測量次數(shù)難以慢。此外，由于增加測量次數(shù)難以 保證測量條件的恒定，從而引入新的保證測量條件的恒定，從而引入新的 誤差，因此一般情況下取誤差，因此一般情況下取n=10n=10以內(nèi)較為適宜?？傊?，提高測量以內(nèi)較為適宜?？傊岣邷y量精度，應(yīng)采取適當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y量次數(shù)。精度，應(yīng)采取適當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y量次數(shù)。 nxn/1x四、測量的極限誤差四、測量的極限誤差 k , k k置信因子置信因子 , ， ，P=68.3%； ； 2 , 2 ， ，P=95.4%； ； 3 , 3 ， ，P=99.7%

16、3稱稱為為極限極限誤誤差差 測量的極限誤差是測量的極限誤差是極端誤差極端誤差，量，量結(jié)果的誤差不超過該極端誤差的概率結(jié)果的誤差不超過該極端誤差的概率為為P，并使差值（，并使差值（1-P）可以忽略。）可以忽略。1.單次測量的極限誤差單次測量的極限誤差 物理測量的測量值是隨機(jī)變量，無法準(zhǔn)確確定物理量的真物理測量的測量值是隨機(jī)變量，無法準(zhǔn)確確定物理量的真值是多少，只能做概率意義的推斷，即只能說明真值包含在以值是多少，只能做概率意義的推斷，即只能說明真值包含在以估值為中心的某個(gè)區(qū)間的概率是多少，把此區(qū)間成為估值為中心的某個(gè)區(qū)間的概率是多少，把此區(qū)間成為置信區(qū)置信區(qū)間間。該區(qū)間內(nèi)包含真值的概率成為。該區(qū)

17、間內(nèi)包含真值的概率成為置信度置信度或或置信概率置信概率。正態(tài)分布中某些正態(tài)分布中某些k k值的概率值的概率xSx 表明在該區(qū)域內(nèi)存在的概率為表明在該區(qū)域內(nèi)存在的概率為 68.3%68.3%。xSx 2 表明在該區(qū)域內(nèi)存在的概率為表明在該區(qū)域內(nèi)存在的概率為 95%95%。 xSx 3 表明在該區(qū)域內(nèi)存在的概率為表明在該區(qū)域內(nèi)存在的概率為99.7%99.7%。2.算術(shù)平均值的極限誤差算術(shù)平均值的極限誤差隨機(jī)變量隨機(jī)變量t t稱自由度為稱自由度為 的學(xué)生氏的學(xué)生氏t t變量。變量。 t t分布的分布密度分布的分布密度 為（圖為（圖2-92-9）：）： v)(tfv五、隨機(jī)誤差的其他分布五、隨機(jī)誤差的

18、其他分布 t t 分布分布 t t分布的數(shù)學(xué)期望為零，分布曲分布的數(shù)學(xué)期望為零，分布曲線對稱于縱坐標(biāo)軸，但它和標(biāo)準(zhǔn)化線對稱于縱坐標(biāo)軸，但它和標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布密度曲線不同，如圖正態(tài)分布密度曲線不同，如圖2-92-9所所示?？梢宰C明，當(dāng)自由度示。可以證明，當(dāng)自由度( (測量次數(shù)測量次數(shù)較少較少) )較小時(shí)，較小時(shí)，t t分布與正態(tài)分布有分布與正態(tài)分布有明顯區(qū)別，但當(dāng)自由度明顯區(qū)別，但當(dāng)自由度 時(shí)，時(shí)，t t分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。t t分布分布是一種重要分布，當(dāng)是一種重要分布，當(dāng)測量列的測量測量列的測量次數(shù)較少時(shí)，極限誤差的估計(jì)，或次數(shù)較少時(shí)，極限誤差的估計(jì)，或者在檢驗(yàn)測

19、量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時(shí)經(jīng)者在檢驗(yàn)測量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時(shí)經(jīng)常用到它。常用到它。 xStx正態(tài)分布中某些正態(tài)分布中某些k k值的概率值的概率0.6830.100t t分布中不同自由度所對應(yīng)的置信系數(shù)分布中不同自由度所對應(yīng)的置信系數(shù)t tp p的值的值 在一系列重復(fù)測量數(shù)據(jù)中，如有個(gè)別數(shù)據(jù)與其它的有明顯差異，則它在一系列重復(fù)測量數(shù)據(jù)中，如有個(gè)別數(shù)據(jù)與其它的有明顯差異，則它（或它們）很可能含有粗大誤差（簡稱粗差），稱其為可疑數(shù)據(jù)，記為（或它們）很可能含有粗大誤差（簡稱粗差），稱其為可疑數(shù)據(jù)，記為 。根據(jù)隨機(jī)誤差理論，出現(xiàn)大誤差的概率雖然小，但也是可能的。因此，如果根據(jù)隨機(jī)誤差理論，出現(xiàn)大誤差的概率雖然小，但

20、也是可能的。因此，如果不恰當(dāng)剔除含大誤差的數(shù)據(jù)，會(huì)造成測量精密度偏高的假象。反之如果對混不恰當(dāng)剔除含大誤差的數(shù)據(jù)，會(huì)造成測量精密度偏高的假象。反之如果對混有粗大誤差的數(shù)據(jù)，即異常值，未加剔除，必然會(huì)造成測量精密度偏低的后有粗大誤差的數(shù)據(jù)，即異常值，未加剔除，必然會(huì)造成測量精密度偏低的后果。以上兩種情況還都嚴(yán)重影響對果。以上兩種情況還都嚴(yán)重影響對 的估計(jì)。因此，對數(shù)據(jù)中異常值的正的估計(jì)。因此，對數(shù)據(jù)中異常值的正確判斷與處理，是獲得客觀的測量結(jié)果的一個(gè)重要方法。確判斷與處理，是獲得客觀的測量結(jié)果的一個(gè)重要方法。 一、粗大誤差產(chǎn)生的原因一、粗大誤差產(chǎn)生的原因 產(chǎn)生粗大誤差的原因是多方面的，大致可歸納

21、為：產(chǎn)生粗大誤差的原因是多方面的，大致可歸納為： 測量人員的主觀原因測量人員的主觀原因 客觀外界條件的原因客觀外界條件的原因測量者工作責(zé)任感不強(qiáng)、工作過于疲勞、缺乏經(jīng)驗(yàn)操作不當(dāng)，或在測量時(shí)不小心、不耐心、不仔細(xì)等，造成錯(cuò)誤的讀書或記錄。測量條件意外地改變（如機(jī)械沖擊、外界振動(dòng)、電磁干擾等）。dxx二、判別粗大誤差的準(zhǔn)則二、判別粗大誤差的準(zhǔn)則在測量過程中，確實(shí)是因讀錯(cuò)記錯(cuò)數(shù)據(jù)，儀器的突在測量過程中，確實(shí)是因讀錯(cuò)記錯(cuò)數(shù)據(jù)，儀器的突然故障，或外界條件的突變等異常情況引起的異常值，然故障，或外界條件的突變等異常情況引起的異常值，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，就應(yīng)在記錄中除去，但需注明原因。這種一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，就應(yīng)在記錄中除去，

22、但需注明原因。這種從技術(shù)上和物理上找出產(chǎn)生異常值的原因，是發(fā)現(xiàn)和從技術(shù)上和物理上找出產(chǎn)生異常值的原因，是發(fā)現(xiàn)和剔除粗大誤差的首要方法。有時(shí)，在測量完成后也不剔除粗大誤差的首要方法。有時(shí)，在測量完成后也不能確知數(shù)據(jù)中是否含有粗大誤差，這時(shí)可采用統(tǒng)計(jì)的能確知數(shù)據(jù)中是否含有粗大誤差，這時(shí)可采用統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行判別。方法進(jìn)行判別。統(tǒng)計(jì)法的基本思想是：給定一個(gè)置信統(tǒng)計(jì)法的基本思想是：給定一個(gè)置信概率，按一定分布確定一個(gè)臨界值，凡超過這個(gè)界限概率，按一定分布確定一個(gè)臨界值，凡超過這個(gè)界限的誤差，就認(rèn)為它不屬于偶然誤差的范圍，而是粗大的誤差，就認(rèn)為它不屬于偶然誤差的范圍，而是粗大誤差，該數(shù)據(jù)應(yīng)予以剔除。誤差，

23、該數(shù)據(jù)應(yīng)予以剔除。 在判別某個(gè)測得值是否含有粗大誤差時(shí)，要特別在判別某個(gè)測得值是否含有粗大誤差時(shí)，要特別慎重，應(yīng)作充分的分析和研究，并根據(jù)判別準(zhǔn)則予以慎重，應(yīng)作充分的分析和研究，并根據(jù)判別準(zhǔn)則予以確定。常用的判別準(zhǔn)則有：確定。常用的判別準(zhǔn)則有： 33xdx3|xxvdd（一）（一） 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 準(zhǔn)則是最常用也是最簡單的判別粗大誤差的準(zhǔn)則，它是以準(zhǔn)則是最常用也是最簡單的判別粗大誤差的準(zhǔn)則，它是以測量次數(shù)充分大為前提，但通常測量次數(shù)比較少，因此該準(zhǔn)則測量次數(shù)充分大為前提，但通常測量次數(shù)比較少，因此該準(zhǔn)則只是一個(gè)近視的準(zhǔn)則。實(shí)際測量中，常以只是一個(gè)近視的準(zhǔn)則。實(shí)際測量中，常以 代替真值。對某個(gè)代替真值

24、。對某個(gè)可疑數(shù)據(jù)可疑數(shù)據(jù) ，若其殘差滿足：，若其殘差滿足： 則可認(rèn)為該數(shù)據(jù)含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。則可認(rèn)為該數(shù)據(jù)含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。在在n10n10的情形，用的情形，用 準(zhǔn)則剔除粗誤差可能失敗。為此，在測量準(zhǔn)則剔除粗誤差可能失敗。為此，在測量次數(shù)較少時(shí)，最好不要選用次數(shù)較少時(shí)，最好不要選用 準(zhǔn)則。下表是準(zhǔn)則。下表是 準(zhǔn)則的準(zhǔn)則的“棄真棄真”概率，從表中看出概率，從表中看出 準(zhǔn)則犯準(zhǔn)則犯“棄真棄真”錯(cuò)誤的概率隨錯(cuò)誤的概率隨n n的增大而減的增大而減小，最后穩(wěn)定于小，最后穩(wěn)定于0.3%0.3%。3333表表1 1 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 “棄真棄真”概率概率a an 11n 11 16 61 121 3

25、33 16 61 121 333a 0.019 0.011 0.005 0.004 0.003a 0.019 0.011 0.005 0.004 0.0033間接測量間接測量 函數(shù)誤差函數(shù)誤差 間接測得的被測量誤差也應(yīng)是直接測得量及其誤差的函數(shù)，故稱這種間接測量的誤差為函數(shù)誤差函數(shù)誤差 通過直接測得的量與被測量之間的函數(shù)關(guān)系計(jì)通過直接測得的量與被測量之間的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出被測量算出被測量 間接測量的數(shù)學(xué)模型間接測量的數(shù)學(xué)模型 12( ,.,)nyf x xx 與被測量有函數(shù)關(guān)系的各個(gè)直接測量值與被測量有函數(shù)關(guān)系的各個(gè)直接測量值12,nx xx y y 間接測量值間接測量值一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算一、

26、函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算由由 y 的全微分，函數(shù)系統(tǒng)誤差的全微分，函數(shù)系統(tǒng)誤差 的計(jì)算公式的計(jì)算公式y(tǒng)1212.nnfffyxxxxxx 12( ,.,)nyf x xx誤差的合成誤差的合成 間接測量數(shù)據(jù)處理的任務(wù)：間接測量數(shù)據(jù)處理的任務(wù)：根據(jù)直接測量量的測量值估計(jì)出根據(jù)直接測量量的測量值估計(jì)出間接測量量的數(shù)學(xué)期望；根據(jù)直接測量量的測量值和誤差估間接測量量的數(shù)學(xué)期望；根據(jù)直接測量量的測量值和誤差估計(jì)出間接測量量的誤差。計(jì)出間接測量量的誤差。對于這種有確定關(guān)系的誤差的計(jì)算，常稱為誤差的合成。對于這種有確定關(guān)系的誤差的計(jì)算，常稱為誤差的合成。 為各個(gè)輸入量在該測量點(diǎn)處的誤差傳播系數(shù)為各個(gè)輸入量在該測量點(diǎn)處

27、的誤差傳播系數(shù) (1,2, )ifx iniixxf 關(guān)于直接測量量關(guān)于直接測量量x xi i的分誤差的分誤差 二、函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算二、函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算變量中只有隨機(jī)誤差時(shí)的誤差傳遞公式變量中只有隨機(jī)誤差時(shí)的誤差傳遞公式12( ,.,)nyf x xx函數(shù)的一般形式函數(shù)的一般形式 2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx 第第i i個(gè)直接測得量個(gè)直接測得量 的標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差 xiix 第第i i個(gè)測量值和第個(gè)測量值和第j j個(gè)測量值之間的相關(guān)系數(shù)個(gè)測量值之間的相關(guān)系數(shù) ij 第第i i個(gè)測量值和第個(gè)測量值和第j j個(gè)測量值之間的協(xié)方差個(gè)測量值之間的協(xié)方差

28、 ijijxixjD 第第i i個(gè)直接測得量個(gè)直接測得量 對間接量對間接量 在該測量點(diǎn)在該測量點(diǎn) 處的誤差傳播系數(shù)處的誤差傳播系數(shù) ifxixy12( ,)nx xx極限誤差合成極限誤差合成 單項(xiàng)極限誤差單項(xiàng)極限誤差: : 1,2,.,iiikiq 單項(xiàng)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差單項(xiàng)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差 單項(xiàng)極限誤差的置信系數(shù)單項(xiàng)極限誤差的置信系數(shù) 合成極限誤差合成極限誤差: : kiik 合成標(biāo)準(zhǔn)差合成標(biāo)準(zhǔn)差 合成極限誤差的置信系數(shù)合成極限誤差的置信系數(shù) k合成極限誤差計(jì)算公式合成極限誤差計(jì)算公式211()2qqjiiiijijiijiijaka akk k 211()2qqiiijijijiijaa a

29、 21qii0ij1ia 當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布時(shí)，各單項(xiàng)誤差當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布時(shí)，各單項(xiàng)誤差的數(shù)目的數(shù)目q q較多、各項(xiàng)誤差大小相近和獨(dú)立時(shí)，此時(shí)合成的總較多、各項(xiàng)誤差大小相近和獨(dú)立時(shí)，此時(shí)合成的總誤差接近于正態(tài)分布誤差接近于正態(tài)分布12qkkkk合成極限誤差：合成極限誤差： 若和各單項(xiàng)誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，各單項(xiàng)誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，而且他們之間常是線性無關(guān)或近似線性無關(guān)，是較為而且他們之間常是線性無關(guān)或近似線性無關(guān)，是較為廣泛使用的極限誤差合成公式廣泛使用的極限誤差合成公式 時(shí)：此時(shí)1 1、不確定度的概念、不確定度的概念 用誤差

30、來評(píng)估測量結(jié)果的可靠程度，這種做法不盡完善，用誤差來評(píng)估測量結(jié)果的可靠程度，這種做法不盡完善，往往有可能遺漏一些影響測量結(jié)果準(zhǔn)確性的因素，如未定系統(tǒng)往往有可能遺漏一些影響測量結(jié)果準(zhǔn)確性的因素，如未定系統(tǒng)誤差、儀器誤差等。而且誤差是一個(gè)不確定量（不可知性）。誤差、儀器誤差等。而且誤差是一個(gè)不確定量（不可知性）。鑒于上述原因，為了更準(zhǔn)確地表述測量結(jié)果的可靠性，國際上鑒于上述原因，為了更準(zhǔn)確地表述測量結(jié)果的可靠性，國際上提出了采用不確定度的建議和規(guī)定。提出了采用不確定度的建議和規(guī)定。 不確定度表示由于測量誤差的存在而對被測量值不能肯不確定度表示由于測量誤差的存在而對被測量值不能肯定的程度，或者說它是

31、被測量值在某一范圍內(nèi)的一個(gè)評(píng)定。定的程度，或者說它是被測量值在某一范圍內(nèi)的一個(gè)評(píng)定。它它是建立在誤差理論基礎(chǔ)上的一個(gè)新概念，是誤差的數(shù)字指標(biāo)。是建立在誤差理論基礎(chǔ)上的一個(gè)新概念，是誤差的數(shù)字指標(biāo)。 客觀地說：客觀地說： 不確定度是對經(jīng)典誤差理論的一個(gè)補(bǔ)充，是不確定度是對經(jīng)典誤差理論的一個(gè)補(bǔ)充，是現(xiàn)代誤差理論的內(nèi)容之一，但它還有待進(jìn)一步研究、完善與發(fā)現(xiàn)代誤差理論的內(nèi)容之一，但它還有待進(jìn)一步研究、完善與發(fā)展。展。2.2.測量不確定度的評(píng)定方法測量不確定度的評(píng)定方法A A類評(píng)定：通過對一系列觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析類評(píng)定：通過對一系列觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 來評(píng)定來評(píng)定用符號(hào)用符號(hào)A表示表示B B類評(píng)定：基于

32、經(jīng)驗(yàn)或其他信息所認(rèn)定的概率類評(píng)定：基于經(jīng)驗(yàn)或其他信息所認(rèn)定的概率 分布來評(píng)定分布來評(píng)定, ,用符號(hào)用符號(hào)B表示。表示。 3.3.測量不確定度與誤差測量不確定度與誤差聯(lián)系： 測量結(jié)果的精度評(píng)定參數(shù)； 所有的不確定度分量都用標(biāo)準(zhǔn)差表征，由 隨機(jī)誤差或系統(tǒng)誤差引起； 誤差是不確定度的基礎(chǔ)。區(qū)別：區(qū)別： 誤差以真值或約定真值為中心，不確定度以誤差以真值或約定真值為中心，不確定度以被測量的估計(jì)值為中心；被測量的估計(jì)值為中心； 誤差一般難以定值，不確定度可以定量評(píng)定；誤差一般難以定值，不確定度可以定量評(píng)定； 誤差有三類，界限模糊，難以嚴(yán)格區(qū)分；測量誤差有三類，界限模糊，難以嚴(yán)格區(qū)分；測量 不確定度分兩類，

33、界限分明，分析方法簡單。不確定度分兩類，界限分明，分析方法簡單。 若測量若測量同一物理量同一物理量時(shí)，同時(shí)含有不確定度時(shí)，同時(shí)含有不確定度A類分量和不類分量和不確定度確定度B類分量時(shí)，則合成的不確定度為如下式所示：類分量時(shí)，則合成的不確定度為如下式所示：注意：式中所有注意：式中所有A A類分量和類分量和B B類分量必須是測同一物理量時(shí)類分量必須是測同一物理量時(shí)的不確定度。否則，合成不確定度無實(shí)際意義。的不確定度。否則，合成不確定度無實(shí)際意義。 4 4、合成不確定度、合成不確定度 5 5、相對不確定度、相對不確定度 為表示測量結(jié)果的好壞，在測量結(jié)果中應(yīng)表示出相對不確定為表示測量結(jié)果的好壞，在測量

34、結(jié)果中應(yīng)表示出相對不確定度。即度。即：相對不確定度越小，表示測量質(zhì)量越好。相對不確定度越小，表示測量質(zhì)量越好。%100 xB22BA 二、直接測量的結(jié)果評(píng)價(jià)直接測量的結(jié)果評(píng)價(jià) 直接測量是將待測量與標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較，得到待測量的直接測量是將待測量與標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較，得到待測量的大小。如米尺測長度、天平稱質(zhì)量、秒表測時(shí)間等，都屬于大小。如米尺測長度、天平稱質(zhì)量、秒表測時(shí)間等，都屬于直接測量。為了減小誤差，直接測量一個(gè)物理量一般要重復(fù)直接測量。為了減小誤差，直接測量一個(gè)物理量一般要重復(fù)測量多次測量多次。怎樣合理對所測量的物理量給出一個(gè)合理結(jié)果評(píng)怎樣合理對所測量的物理量給出一個(gè)合理結(jié)果評(píng)價(jià)呢？價(jià)呢？ 需要

35、做以下兩步工作（需要做以下兩步工作（假設(shè)所有測量數(shù)據(jù)都已經(jīng)進(jìn)行合理性估假設(shè)所有測量數(shù)據(jù)都已經(jīng)進(jìn)行合理性估計(jì)，也即系統(tǒng)誤差和粗大誤差的大小可以忽略計(jì)，也即系統(tǒng)誤差和粗大誤差的大小可以忽略）：）： 1、求最佳估計(jì)值；、求最佳估計(jì)值；2、求測量不確定度。、求測量不確定度。算術(shù)平均值可表示為式：算術(shù)平均值可表示為式：當(dāng)測量次數(shù)當(dāng)測量次數(shù)n 趨于無窮時(shí)，算術(shù)平均值趨于真值趨于無窮時(shí)，算術(shù)平均值趨于真值。 niixnx111、用算術(shù)平均值作為真值的用算術(shù)平均值作為真值的最佳估計(jì)值最佳估計(jì)值其中其中 xi 為第為第 i 次測得值。次測得值。2、直接測量的不確定度處理直接測量的不確定度處理不確定度不確定度A類

36、類標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)分量：分量：)1()(12nnxxSSniixAA、相同條件下相同條件下多次多次重復(fù)測量的情形重復(fù)測量的情形 假定某一相同條件下的測量列為假定某一相同條件下的測量列為xi (i=1n) 。測測量次數(shù)量次數(shù)n， ，正正態(tài)態(tài)分布分布， ，A類類不確定度不確定度為為： ：,AASxSx表明在該區(qū)域內(nèi)存在的概率為表明在該區(qū)域內(nèi)存在的概率為95%95%。 表明在該區(qū)域內(nèi)存在的概率為表明在該區(qū)域內(nèi)存在的概率為99.7%99.7%表明在該區(qū)域內(nèi)存在的概率為表明在該區(qū)域內(nèi)存在的概率為68.3%68.3%。 2,2AASxSx3,3AASxSx測測量次數(shù)量次數(shù)較較少，少，t分布分布， ，A類類不確定度

37、不確定度為為： ：,AAStxStxt t為一個(gè)大于為一個(gè)大于1 1的因子，是與測量次數(shù)，置信概率有的因子，是與測量次數(shù)，置信概率有關(guān)的量。關(guān)的量。AAStAAkS不確定度的不確定度的B類分量處理：類分量處理：在物理實(shí)驗(yàn)中在物理實(shí)驗(yàn)中B類不確定度一般類不確定度一般只考慮由儀器引入的極限誤差來確定，常用只考慮由儀器引入的極限誤差來確定，常用B來表示。來表示。而不確定度而不確定度B類類標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)分量由儀器的極限誤差估算出，分量由儀器的極限誤差估算出，CSB儀C稱置信系數(shù)稱置信系數(shù)均勻分布函數(shù)：均勻分布函數(shù)：,3C3/儀BS測量值誤差落在測量值誤差落在 -SB，SB 內(nèi)的置信概率為內(nèi)的置信概率為P=0

38、.58 三角分布函數(shù)：三角分布函數(shù)：,6C6/儀BS測量值誤差落在測量值誤差落在 -SB，SB 內(nèi)的置信概率為內(nèi)的置信概率為P=0.74 正態(tài)分布函數(shù)：正態(tài)分布函數(shù)：,3C3/儀BS測量值誤差落在測量值誤差落在 -SB，SB 內(nèi)的置信概率為內(nèi)的置信概率為P=0.68 正態(tài)分布條件下測量值的正態(tài)分布條件下測量值的B類不確定度為類不確定度為CkkSBB/儀k為置信因子。為置信因子。幾種常見儀器的指標(biāo)幾種常見儀器的指標(biāo)儀儀器名稱器名稱 米尺米尺游游標(biāo)標(biāo)卡尺卡尺 千分尺千分尺物理天平物理天平 秒表秒表誤誤差分布差分布 正正態(tài)態(tài)分布分布 均勻分布均勻分布 正正態(tài)態(tài)分布分布 正正態(tài)態(tài)分布分布 正正態(tài)態(tài)分布

39、分布C33333求測量數(shù)據(jù)列的平均值求測量數(shù)據(jù)列的平均值niixnx11 根據(jù)使用儀器得出根據(jù)使用儀器得出 B ) 1()(12nnxxSnii 用貝塞耳公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差用貝塞耳公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差S 標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差S乘以因子來求得乘以因子來求得 A =tS xx 給出直接測量的最后結(jié)果：給出直接測量的最后結(jié)果： 22BA 由由 A、 B合成總不確定度合成總不確定度 相對不確定度：相對不確定度：%100 xB 將合成不確定度乘以一個(gè)與一定置信概率相聯(lián)系的包含因?qū)⒑铣刹淮_定度乘以一個(gè)與一定置信概率相聯(lián)系的包含因子子K，得到增大置信概率的不確定度，叫做，得到增大置信概率的不確定度，叫做展伸不確定度展伸不

40、確定度。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：2268. 068. 0)/()(CStA儀對于正態(tài)分布，取置信概率為對于正態(tài)分布，取置信概率為0.95時(shí)，時(shí)，k=1.96 22268. 068. 095. 0)/()(22CStA儀取置信概率為取置信概率為0.997時(shí)，時(shí)，k=32268. 0997. 0)()(33BASS 不確定度一般最后結(jié)果取不確定度一般最后結(jié)果取1 1位位, ,有有效數(shù)字最后一位與不確定度對齊效數(shù)字最后一位與不確定度對齊。B、單次測量的情形單次測量的情形1xx%1001xB 有時(shí)因條件所限不可能進(jìn)行多次測量，往往只進(jìn)行一次有時(shí)因條件所限不可能進(jìn)行多次測量，往往只進(jìn)行一次測

41、量。測量。 一次測量的表示結(jié)果為：一次測量的表示結(jié)果為：（單位）（單位）其中測量不確定度的大小由儀器的極限誤差來確定其中測量不確定度的大小由儀器的極限誤差來確定BBBA2220電流、電壓表不確定度的計(jì)算電流、電壓表不確定度的計(jì)算 按照我國國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，電表的準(zhǔn)確度等級(jí)分按照我國國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，電表的準(zhǔn)確度等級(jí)分為為0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5共共7個(gè)級(jí)別，個(gè)級(jí)別，級(jí)數(shù)越小的電表越準(zhǔn)確。級(jí)數(shù)越小的電表越準(zhǔn)確。 若用表示電表本身的極限誤差：若用表示電表本身的極限誤差：3,100儀儀其不確定度級(jí)別電表量程B如果只測一次，其不確定度為：如果只測一次，其不確定度為：31003級(jí)別電表

42、量程儀B其相對不確定度為：其相對不確定度為：%1003%100電表指示值電表指示值級(jí)別電表量程 B 從上式可以看出，為了使測量精度最高（即相對不確定從上式可以看出，為了使測量精度最高（即相對不確定度最?。?，應(yīng)該選擇的電表量程，必須使測量值接近量程。度最?。?，應(yīng)該選擇的電表量程，必須使測量值接近量程。電阻的不確定度計(jì)算電阻的不確定度計(jì)算電阻不確定度的計(jì)算目前可以分成兩種：電阻不確定度的計(jì)算目前可以分成兩種：3100級(jí)別讀數(shù)值（或測量值） 另一種：另一種：由于電阻箱用由于電阻箱用PPM形式表示其精度，所以在計(jì)算不形式表示其精度，所以在計(jì)算不確定度時(shí)，需要根據(jù)不同數(shù)量級(jí)的精度來計(jì)算各個(gè)級(jí)別的輸出確定

43、度時(shí)，需要根據(jù)不同數(shù)量級(jí)的精度來計(jì)算各個(gè)級(jí)別的輸出極限誤差，然后再除以平均分布置信因子極限誤差，然后再除以平均分布置信因子 得出電阻箱的輸出得出電阻箱的輸出不確定度。不確定度。 特別強(qiáng)調(diào)的是：電阻不確定度沒有相對不確定度的概念，特別強(qiáng)調(diào)的是：電阻不確定度沒有相對不確定度的概念，其計(jì)算方法與電表不確定度的計(jì)算方法不同。其計(jì)算方法與電表不確定度的計(jì)算方法不同。一種：一種：較早生產(chǎn)的電阻箱或測量電阻的萬用表用較早生產(chǎn)的電阻箱或測量電阻的萬用表用級(jí)別級(jí)別的方式的方式表示其精度，那么這樣的讀數(shù)值或測量值最后的不確定度計(jì)算表示其精度，那么這樣的讀數(shù)值或測量值最后的不確定度計(jì)算應(yīng)使用如下公式：應(yīng)使用如下公式

44、：31.1.某長度測某長度測5 5次次, ,分別為分別為29.18 29.27 29.25 29.2629.18 29.27 29.25 29.26 29.24(cm) 29.24(cm) B=0.02cm=0.02cm cmSUnnxxSXBXXniiX03002.0553530 .0)1()(24.292212 結(jié)結(jié) 果果 為為 Xcm 29240 03不確定度保留不確定度保留1 1位位, ,且與平均值的最后一位對齊且與平均值的最后一位對齊. .取一位取一位取一位取一位 設(shè)設(shè)y為某一間接測量量，為某一間接測量量，x1,x2,，xk為為k個(gè)直個(gè)直接測量量。遵循的函數(shù)形式為：接測量量。遵循的函

45、數(shù)形式為： k21x,.x,xfy 各直接測量量的測量結(jié)果為：各直接測量量的測量結(jié)果為：111xxx222xxxkxkkxx三、三、間接測量的數(shù)據(jù)處理間接測量的數(shù)據(jù)處理間接測量數(shù)據(jù)處理，主要解決以下兩個(gè)問題間接測量數(shù)據(jù)處理，主要解決以下兩個(gè)問題：由上可知，間接測量的最佳估計(jì)值如下式所示由上可知，間接測量的最佳估計(jì)值如下式所示：)x,x,x(fyk 21 由于間接測量量由于間接測量量y與與k個(gè)直接測量量有關(guān)，個(gè)直接測量量有關(guān)，k個(gè)直接測個(gè)直接測量量的誤差必然對間接測量量量量的誤差必然對間接測量量y有影響，也即有影響，也即y的值也存的值也存在著誤差。因此，間接測量量在著誤差。因此，間接測量量y的不

46、確定度也是與各直的不確定度也是與各直接測量量的不確定度有關(guān)的，它們之間的關(guān)系式被稱為接測量量的不確定度有關(guān)的，它們之間的關(guān)系式被稱為不確定度傳播公式或傳遞公式不確定度傳播公式或傳遞公式。 1、間接測量的最佳值、間接測量的最佳值2、間接測量的不確定度處理、間接測量的不確定度處理221ixkiiyxf由統(tǒng)計(jì)理論可推出傳遞公式：由統(tǒng)計(jì)理論可推出傳遞公式：上式中上式中 (i1k)是傳播系數(shù)，是傳播系數(shù)， 是是xi的不確的不確定度。定度。ixf ix計(jì)算間接測量物理量不確定度時(shí)，應(yīng)首先對各直接計(jì)算間接測量物理量不確定度時(shí)，應(yīng)首先對各直接測量量進(jìn)行處理，然后再代入上式進(jìn)行傳遞計(jì)算。測量量進(jìn)行處理，然后再代

47、入上式進(jìn)行傳遞計(jì)算。單位yyy%100yBy綜合綜合1、2所述，間接測量的結(jié)果可表示為：所述，間接測量的結(jié)果可表示為：求直接測量數(shù)據(jù)列的平均值求直接測量數(shù)據(jù)列的平均值niixnx11 根據(jù)使用儀器得出根據(jù)使用儀器得出 B ) 1()(12nnxxSnii 用貝塞耳公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差用貝塞耳公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差S 標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差S乘以因子來求得乘以因子來求得 A =tS xx 給出直接測量的最后結(jié)果：給出直接測量的最后結(jié)果： 22BA 由由 A、 B合成總不確定度合成總不確定度 計(jì)算間接測量平均值；計(jì)算間接測量平均值； 利用傳遞公式計(jì)算間接測量平均值的不確定度；利用傳遞公式計(jì)算間接測量平均值的不確定度；

48、 寫出最后完整的結(jié)果形式。寫出最后完整的結(jié)果形式。例：用長度為例：用長度為2000mm的鋼卷尺測量講桌的面積，長為的鋼卷尺測量講桌的面積，長為120.01cm，寬為，寬為67.46cm，請正確表示各測量值。，請正確表示各測量值。解：由于是單次測量，對鋼卷尺的儀器極限誤差知道解：由于是單次測量，對鋼卷尺的儀器極限誤差知道 j= 儀儀=1mmcmmmSB06. 06 . 03/13/儀29 .8095cmDLS對于面積為對于面積為利用間接測量的不確定度傳播公式得到利用間接測量的不確定度傳播公式得到S的不確定度為的不確定度為按均勻分布則按均勻分布則22222228cmDLxfLDxisi所以測量結(jié)果

49、為所以測量結(jié)果為 cmL06. 001.120%04. 0%1001 .12003 . 0BcmD06. 046.67%08.0%1006 .6743 .0B288096cmS%1 . 0%10046.80958701.413B一、關(guān)于有效數(shù)字的幾個(gè)概念一、關(guān)于有效數(shù)字的幾個(gè)概念 測量值中的測量值中的可靠數(shù)字可靠數(shù)字加上加上可疑數(shù)字可疑數(shù)字統(tǒng)稱為有效數(shù)字。統(tǒng)稱為有效數(shù)字。（一）定義（一）定義有效數(shù)字中所有位數(shù)的個(gè)數(shù)稱為有效數(shù)字的位數(shù)。有效數(shù)字中所有位數(shù)的個(gè)數(shù)稱為有效數(shù)字的位數(shù)。（二）有效數(shù)字來源于測量時(shí)所用的儀器。（二）有效數(shù)字來源于測量時(shí)所用的儀器。有效數(shù)字的位數(shù)多少有效數(shù)字的位數(shù)多少反映了

50、測量儀器的精度反映了測量儀器的精度，有效位數(shù)越多，相應(yīng)的儀器精度越高。有效位數(shù)越多，相應(yīng)的儀器精度越高。我們的任務(wù)是使測量值盡可能準(zhǔn)確地反映出它的真實(shí)值。有兩個(gè)我們的任務(wù)是使測量值盡可能準(zhǔn)確地反映出它的真實(shí)值。有兩個(gè)特征：特征：（1 1）以刻度為依據(jù)可讀到）以刻度為依據(jù)可讀到最小刻度最小刻度所在位。所在位。（2 2）在最小刻度之間可）在最小刻度之間可估計(jì)一位估計(jì)一位11位置為位置為35.0035.00, ,不能寫成不能寫成 35cm35cm。1122位置為位置為35.40cm35.40cm22 33 估計(jì)值只有一位，所以也叫可疑位。估計(jì)值只有一位，所以也叫可疑位。游標(biāo)類器具游標(biāo)類器具（游標(biāo)卡尺

51、、游標(biāo)卡尺、分光計(jì)度盤、分光計(jì)度盤、大氣壓計(jì)等大氣壓計(jì)等）一般讀至游標(biāo)一般讀至游標(biāo)最小分度的整最小分度的整數(shù)倍，即不需數(shù)倍，即不需估讀。估讀。數(shù)顯儀表及有數(shù)顯儀表及有十進(jìn)步式標(biāo)度十進(jìn)步式標(biāo)度盤的儀表盤的儀表（電阻（電阻箱、電橋、電位差箱、電橋、電位差計(jì)、數(shù)字電壓表等）計(jì)、數(shù)字電壓表等）一般應(yīng)直接讀取儀一般應(yīng)直接讀取儀表的示值。表的示值。指針式儀表及指針式儀表及其它器具，讀其它器具，讀數(shù)時(shí)估讀到儀數(shù)時(shí)估讀到儀器最小分度的器最小分度的1/21/21/101/10，或使估讀間隔或使估讀間隔不大于儀器基不大于儀器基本誤差限的本誤差限的1/51/51/31/3。注意指針指注意指針指在整刻度線在整刻度線上

52、時(shí)讀數(shù)的上時(shí)讀數(shù)的有效位數(shù)。有效位數(shù)。測量結(jié)果表達(dá)式中的有效位數(shù)測量結(jié)果表達(dá)式中的有效位數(shù)首位大于首位大于5時(shí)時(shí)，一般取，一般取1位位首位首位為為1、 、2時(shí)時(shí)，一般取，一般取2位位例例 ：估算：估算結(jié)結(jié)果果 =0.548mm時(shí)時(shí)，取，取為為=0.5mm =1.37 時(shí)時(shí)， ， 取取為為=1.4 測量結(jié)果表達(dá)式中的有效位數(shù)測量結(jié)果表達(dá)式中的有效位數(shù)Yy中，被中，被測測量量值值 y 的末位要與不確定度的末位要與不確定度的末位的末位對齊對齊例：例：環(huán)環(huán)的體的體積積不確定度分析不確定度分析結(jié)結(jié)果果最最終結(jié)終結(jié)果果為為： ：V=9.440.08cm3即：不確定度末位在小數(shù)點(diǎn)后第二位，即：不確定度末位在

53、小數(shù)點(diǎn)后第二位，測測量量結(jié)結(jié)果的最后一位果的最后一位也取到小數(shù)點(diǎn)后第二位。也取到小數(shù)點(diǎn)后第二位。32122436. 9)(4cmhDDV 3cm0.08V（四四）“0 0”在有效數(shù)字中的地位在有效數(shù)字中的地位 指數(shù)部分前面系數(shù)為有效數(shù)字，后面的不是。指數(shù)部分前面系數(shù)為有效數(shù)字，后面的不是。（五）有效數(shù)字中的科學(xué)表示法（五）有效數(shù)字中的科學(xué)表示法 數(shù)字前面的數(shù)字前面的0 0不是有效數(shù)字，數(shù)字中間或末尾的不是有效數(shù)字，數(shù)字中間或末尾的0 0卻是卻是有效數(shù)字。有效數(shù)字。（三）有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)位置無關(guān)（三）有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)位置無關(guān)小數(shù)點(diǎn)的位置不影響有效數(shù)字的位數(shù)。小數(shù)點(diǎn)的位置不影響有效數(shù)字

54、的位數(shù)。1.1.若舍去部分?jǐn)?shù)值若舍去部分?jǐn)?shù)值大于大于保留部分末位的半個(gè)單位，則末位加保留部分末位的半個(gè)單位，則末位加1 1二、測量數(shù)據(jù)近似值的取舍原則二、測量數(shù)據(jù)近似值的取舍原則2.2.若舍去部分?jǐn)?shù)值若舍去部分?jǐn)?shù)值小于小于保留部分末位的半個(gè)單位，則末位不加保留部分末位的半個(gè)單位，則末位不加3.3.若舍去部分?jǐn)?shù)值若舍去部分?jǐn)?shù)值等于等于保留部分末位的半個(gè)單位，則末位湊保留部分末位的半個(gè)單位，則末位湊成偶數(shù)。成偶數(shù)。1.1. 有效數(shù)字相互運(yùn)算后仍為有效數(shù)字，即最后一位可疑，其有效數(shù)字相互運(yùn)算后仍為有效數(shù)字，即最后一位可疑，其它位數(shù)可靠；它位數(shù)可靠；2.2. 可疑數(shù)與可疑數(shù)相互運(yùn)算后仍為可疑數(shù)，但進(jìn)位

55、數(shù)可視為可疑數(shù)與可疑數(shù)相互運(yùn)算后仍為可疑數(shù)，但進(jìn)位數(shù)可視為可靠數(shù)；可靠數(shù)；3.3. 可疑數(shù)與可靠數(shù)相互運(yùn)算后為可疑數(shù)；可疑數(shù)與可靠數(shù)相互運(yùn)算后為可疑數(shù)；4.4. 可靠數(shù)與可靠數(shù)運(yùn)算后仍為可靠數(shù)?？煽繑?shù)與可靠數(shù)運(yùn)算后仍為可靠數(shù)。（一）有效數(shù)字的加減法則（一）有效數(shù)字的加減法則 有效數(shù)字經(jīng)過加減運(yùn)算后，得到的最后一位數(shù)應(yīng)該與參有效數(shù)字經(jīng)過加減運(yùn)算后，得到的最后一位數(shù)應(yīng)該與參加運(yùn)算的各個(gè)數(shù)中可疑位數(shù)最高的位數(shù)一致。加運(yùn)算的各個(gè)數(shù)中可疑位數(shù)最高的位數(shù)一致。三、有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則三、有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則 （二）有效數(shù)字的乘除法運(yùn)算法則（二）有效數(shù)字的乘除法運(yùn)算法則 有效數(shù)字經(jīng)過乘除運(yùn)算后，得數(shù)的有效數(shù)字位

56、數(shù)與參與有效數(shù)字經(jīng)過乘除運(yùn)算后，得數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)與參與運(yùn)算的各數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的那個(gè)有效數(shù)字位數(shù)相同。運(yùn)算的各數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的那個(gè)有效數(shù)字位數(shù)相同。（三）乘方、平方的有效數(shù)字運(yùn)算法則（三）乘方、平方的有效數(shù)字運(yùn)算法則 有效數(shù)字經(jīng)過這些運(yùn)算后，得數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)與底數(shù)有效數(shù)字經(jīng)過這些運(yùn)算后，得數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)與底數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。的有效數(shù)字位數(shù)相同。（四）三角函數(shù)、對數(shù)的有效數(shù)字運(yùn)算法則（四）三角函數(shù)、對數(shù)的有效數(shù)字運(yùn)算法則 三角函數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)與角度的有效數(shù)字位數(shù)相同。三角函數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)與角度的有效數(shù)字位數(shù)相同。對數(shù)尾數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)與真數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。對數(shù)尾數(shù)

57、的有效數(shù)字位數(shù)與真數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。（五）特殊數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)（五）特殊數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)加減法加減法21 30033272097 2 13 0 03327 2 09 6 7 3 約簡約簡2 13 0 0333 2 09 6 7 可見，約簡不影響計(jì)算結(jié)果。在加法運(yùn)可見，約簡不影響計(jì)算結(jié)果。在加法運(yùn)算中，各量可約簡到其中位數(shù)最高者的下一算中，各量可約簡到其中位數(shù)最高者的下一位，其結(jié)果的欠準(zhǔn)數(shù)位與參與運(yùn)算各量中位位，其結(jié)果的欠準(zhǔn)數(shù)位與參與運(yùn)算各量中位數(shù)最高者對齊。數(shù)最高者對齊。乘法乘法 在乘除運(yùn)算之前，各量可先約簡到比其中位數(shù)在乘除運(yùn)算之前，各量可先約簡到比其中位數(shù)最少者多一位。一般與位數(shù)最少者

58、相同，特殊情況最少者多一位。一般與位數(shù)最少者相同，特殊情況比最少者多（少）一位。比最少者多（少）一位。5 23 2116 7 多一位的情況多一位的情況1 011 210 83 1 21 1 010 083 968 4 2 0 363 56全部可疑時(shí)，商所在位即為全部可疑時(shí)，商所在位即為為可疑數(shù)位。為可疑數(shù)位。比位數(shù)最少者比位數(shù)最少者少一位的情況。少一位的情況。 5 2 32 1 61 6 0 51 6 6 9 2 4 2初等函數(shù)運(yùn)算初等函數(shù)運(yùn)算四位有效數(shù)字，經(jīng)正弦運(yùn)算后得幾位？四位有效數(shù)字，經(jīng)正弦運(yùn)算后得幾位？52 130 問題是在問題是在 位上有波動(dòng)，比如為位上有波動(dòng)，比如為 ，對正弦值影響

59、到哪一位，哪一位就應(yīng)是可疑對正弦值影響到哪一位，哪一位就應(yīng)是可疑數(shù)所在位。數(shù)所在位。 根據(jù)微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，可知：根據(jù)微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，可知： 1 1ydydxxxx coscos52 131601800 00020知知sin52 130 79030 第四位為可疑數(shù)位。第四位為可疑數(shù)位。一、列表法一、列表法 將數(shù)據(jù)按一定規(guī)律列成表格，可使物理量之間的對應(yīng)關(guān)將數(shù)據(jù)按一定規(guī)律列成表格，可使物理量之間的對應(yīng)關(guān)系簡明、醒目的表達(dá)出來，有助于發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中的規(guī)律。系簡明、醒目的表達(dá)出來，有助于發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中的規(guī)律。1.1.列表要簡單明了，利于記錄、運(yùn)算處理數(shù)據(jù)和檢查處理結(jié)果列表要簡單明了，利于記錄、

60、運(yùn)算處理數(shù)據(jù)和檢查處理結(jié)果2.2.列表要標(biāo)明符號(hào)所代表的物理量的意義。列表要標(biāo)明符號(hào)所代表的物理量的意義。3.3.列表的形式不限，根據(jù)具體情況，決定列出哪些項(xiàng)目。列表的形式不限，根據(jù)具體情況，決定列出哪些項(xiàng)目。4.4.表格記錄的測量值和測量偏差應(yīng)正確反映所用儀器的精度。表格記錄的測量值和測量偏差應(yīng)正確反映所用儀器的精度。二、作圖法二、作圖法 在現(xiàn)有的坐標(biāo)紙上用圖形描述各物理量之間的關(guān)系，將在現(xiàn)有的坐標(biāo)紙上用圖形描述各物理量之間的關(guān)系，將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用幾何圖形表示出來，這就叫做實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用幾何圖形表示出來，這就叫做作圖法作圖法。1.1.作圖一定要用坐標(biāo)紙。作圖一定要用坐標(biāo)紙。2.2.定坐標(biāo)軸和坐標(biāo)標(biāo)度