大學(xué)物理：第 22 章 量子力學(xué)基礎(chǔ)

1、第第 22 章章 量子力學(xué)基礎(chǔ)量子力學(xué)基礎(chǔ)22.1 實(shí)物粒子的波動(dòng)性實(shí)物粒子的波動(dòng)性22.2 波函數(shù)及統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)及統(tǒng)計(jì)解釋22.3 不確定性關(guān)系不確定性關(guān)系第第 22 章章 量子力學(xué)基礎(chǔ)量子力學(xué)基礎(chǔ)22.4 薛定諤方程薛定諤方程22.6 薛定諤方程的應(yīng)用薛定諤方程的應(yīng)用22.5 力學(xué)量算符的本征值問題力學(xué)量算符的本征值問題22.7 氫原子量子理論氫原子量子理論22.8 電子的自旋電子的自旋 泡利不相容原理泡利不相容原理 光具有波粒二象性，那么實(shí)物粒子是否也應(yīng)具有光具有波粒二象性，那么實(shí)物粒子是否也應(yīng)具有波粒二象性？或?qū)嵨锪Ｗ泳哂胁▌?dòng)性嗎？波粒二象性？或?qū)嵨锪Ｗ泳哂胁▌?dòng)性嗎？一、一、 德布羅

2、意物質(zhì)波假設(shè)德布羅意物質(zhì)波假設(shè)德布羅意德布羅意（L.V. de Broglie 1892-1986，法國法國 ）從光具有）從光具有波粒二象性出發(fā)，認(rèn)為實(shí)物波粒二象性出發(fā)，認(rèn)為實(shí)物粒子也應(yīng)具有波動(dòng)性。粒子也應(yīng)具有波動(dòng)性。1924年年11月在巴黎大學(xué)提交的博士論文中提出：月在巴黎大學(xué)提交的博士論文中提出：22.1 實(shí)物粒子的波動(dòng)性實(shí)物粒子的波動(dòng)性“我們因而傾向于假定，任何運(yùn)動(dòng)物體都伴隨著一個(gè)我們因而傾向于假定，任何運(yùn)動(dòng)物體都伴隨著一個(gè)波動(dòng)，而且不可能把物體的運(yùn)動(dòng)跟波的傳播拆開。波動(dòng)，而且不可能把物體的運(yùn)動(dòng)跟波的傳播拆開?！边@種波既不是機(jī)械波也不是電磁波，稱為這種波既不是機(jī)械波也不是電磁波，稱為物質(zhì)

3、波物質(zhì)波或德或德布羅意波。布羅意波。hE 具有能量具有能量E和動(dòng)量和動(dòng)量p的實(shí)物粒子所聯(lián)系的波的頻率的實(shí)物粒子所聯(lián)系的波的頻率 和波長和波長 有關(guān)系：有關(guān)系：ph在在答辯會(huì)上有人問：答辯會(huì)上有人問： “這種波怎樣用實(shí)驗(yàn)來證實(shí)呢？這種波怎樣用實(shí)驗(yàn)來證實(shí)呢？”德布羅意答：德布羅意答：“可以從電子在晶體上散射這樣的實(shí)可以從電子在晶體上散射這樣的實(shí)驗(yàn)驗(yàn) 中檢查到這樣的波。中檢查到這樣的波?！彪m然后來的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證由戴維孫和革末完成了，但當(dāng)雖然后來的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證由戴維孫和革末完成了，但當(dāng)時(shí)純粹是理論推測(cè)時(shí)純粹是理論推測(cè)。朗之萬把德布羅意的文章寄給愛因斯坦，愛因斯坦說：朗之萬把德布羅意的文章寄給愛因斯坦，愛因斯坦

4、說：“揭開了自然界巨大帷幕的一角揭開了自然界巨大帷幕的一角”“瞧瞧吧，看來瘋狂，可真是站得住腳呢瞧瞧吧，看來瘋狂，可真是站得住腳呢”盡管此假說的有待實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，但愛因斯坦還是推薦德盡管此假說的有待實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，但愛因斯坦還是推薦德布羅意取得了博士學(xué)位。布羅意取得了博士學(xué)位。例例22-1 估算估算: m=1g，v=1 cm/s的實(shí)物粒子的波長的實(shí)物粒子的波長phmvhm1062. 610101062. 6292334粒子對(duì)應(yīng)的波長太小，波動(dòng)性無法表現(xiàn)出來！粒子對(duì)應(yīng)的波長太小，波動(dòng)性無法表現(xiàn)出來！對(duì)于電子，對(duì)于電子， m= 9.1 10-31 kg，設(shè)加速電壓為，設(shè)加速電壓為UeUmv 221meUv2

5、emUhmvh2A1V150UA25.12U相當(dāng)于晶格常數(shù)量級(jí)，通過類似于晶體對(duì)相當(dāng)于晶格常數(shù)量級(jí)，通過類似于晶體對(duì)X射線的衍射線的衍射，可以實(shí)現(xiàn)晶體對(duì)電子的衍射。射，可以實(shí)現(xiàn)晶體對(duì)電子的衍射。例例22-2 德布羅意把物質(zhì)波假設(shè)用于氫原子認(rèn)為：如德布羅意把物質(zhì)波假設(shè)用于氫原子認(rèn)為：如果電子在經(jīng)典的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，它對(duì)應(yīng)于一個(gè)環(huán)形駐果電子在經(jīng)典的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，它對(duì)應(yīng)于一個(gè)環(huán)形駐波，滿足波，滿足.) .3 , 2 , 1( ,2nnr 2nr 2 mvhnrmvL 2hn玻爾量子化條件玻爾量子化條件德布羅意用物質(zhì)波的概念成功地解釋了玻爾提出的德布羅意用物質(zhì)波的概念成功地解釋了玻爾提出的 軌道量子化條

6、件軌道量子化條件 。二、物質(zhì)波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證二、物質(zhì)波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證貝耳電話公司實(shí)驗(yàn)室貝耳電話公司實(shí)驗(yàn)室的戴維遜和革末研究的戴維遜和革末研究電子在鎳單晶上的衍電子在鎳單晶上的衍射（射（1927）。）。電子槍電子槍1. 戴維遜戴維遜革末實(shí)驗(yàn)（革末實(shí)驗(yàn)（ CJDavisson，18811958； LHGermer，18951971 ）實(shí)驗(yàn)裝置示意圖實(shí)驗(yàn)裝置示意圖假如電子具有波動(dòng)性，假如電子具有波動(dòng)性，應(yīng)滿足布喇格公式應(yīng)滿足布喇格公式 kdsin2此時(shí)電表中應(yīng)出現(xiàn)最此時(shí)電表中應(yīng)出現(xiàn)最大的電流。大的電流。探測(cè)器探測(cè)器I Id若固定若固定 角，角，改變加速電壓，會(huì)多次出現(xiàn)電流極大改變加速電壓，會(huì)多次出現(xiàn)電流極大

7、, 3 , 2 , 1kUkd25.12sin2sin225.12dkU ,.sin225.123 ,sin225.122 ,sin225.12dddsin225.12dkU ,.sin225.123 ,sin225.122 ,sin225.12ddd若固定若固定 角，角，改變加速電壓，會(huì)多次出現(xiàn)電流極大改變加速電壓，會(huì)多次出現(xiàn)電流極大21UI實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)結(jié)果: :2. G.P.湯姆遜實(shí)驗(yàn)湯姆遜實(shí)驗(yàn)1927年英國物理學(xué)家年英國物理學(xué)家G.P.湯姆遜做了電子通過金湯姆遜做了電子通過金多晶薄膜的衍射實(shí)驗(yàn)多晶薄膜的衍射實(shí)驗(yàn)1929年年 德布洛意獲諾貝爾物理獎(jiǎng)。德布洛意獲諾貝爾物理獎(jiǎng)。1937年年 戴

8、維遜戴維遜 與與 G.P.湯姆遜獲諾貝爾物理獎(jiǎng)。湯姆遜獲諾貝爾物理獎(jiǎng)。3. 約恩遜實(shí)驗(yàn)約恩遜實(shí)驗(yàn)1961年年C. Jnsson運(yùn)用銅箔中形成的運(yùn)用銅箔中形成的2-5條細(xì)縫條細(xì)縫得到了電子的多縫干涉圖樣。得到了電子的多縫干涉圖樣。1930年艾斯特曼年艾斯特曼(Estermann)、斯特恩、斯特恩(Stern)、和他們的同事們證實(shí)了普通原子具有波動(dòng)性。和他們的同事們證實(shí)了普通原子具有波動(dòng)性。后來實(shí)驗(yàn)又驗(yàn)證了質(zhì)子、中子等實(shí)物粒子都具有后來實(shí)驗(yàn)又驗(yàn)證了質(zhì)子、中子等實(shí)物粒子都具有波動(dòng)性。波動(dòng)性。4. 其它實(shí)驗(yàn)其它實(shí)驗(yàn)三、微觀粒子波動(dòng)性的應(yīng)用三、微觀粒子波動(dòng)性的應(yīng)用 1933年，德國的年，德國的E.Rus

9、ka和和Knoll等人研制成功第等人研制成功第一臺(tái)電子顯微鏡。一臺(tái)電子顯微鏡。 1982年，年，IBM的的G.Binnig和和H.Rohrer研制成功第研制成功第一臺(tái)隧道掃描顯微鏡（一臺(tái)隧道掃描顯微鏡（STM）。）。魯斯卡：電子物理領(lǐng)域的基礎(chǔ)魯斯卡：電子物理領(lǐng)域的基礎(chǔ)研究工作，設(shè)計(jì)出世界上第一研究工作，設(shè)計(jì)出世界上第一臺(tái)電子顯微鏡，臺(tái)電子顯微鏡，賓尼：設(shè)計(jì)出掃描式賓尼：設(shè)計(jì)出掃描式隧道效應(yīng)顯微鏡隧道效應(yīng)顯微鏡羅雷爾：設(shè)計(jì)出掃描羅雷爾：設(shè)計(jì)出掃描式隧道效應(yīng)顯微鏡式隧道效應(yīng)顯微鏡END22.2 波函數(shù)及統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)及統(tǒng)計(jì)解釋一、一、波函數(shù)波函數(shù)既然粒子具有波動(dòng)性，應(yīng)該有描述波動(dòng)性的函數(shù)既然粒子具

10、有波動(dòng)性，應(yīng)該有描述波動(dòng)性的函數(shù)波函數(shù)。波函數(shù)。奧地利物理學(xué)家薛定諤（奧地利物理學(xué)家薛定諤（ESchrdinger）1925年提出用波函數(shù)年提出用波函數(shù)(r, t)描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。按德布羅意假設(shè)：能量按德布羅意假設(shè)：能量E、動(dòng)量、動(dòng)量 p 的的“自由粒子自由粒子”沿沿x方向運(yùn)動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的物質(zhì)波應(yīng)為物質(zhì)波應(yīng)為“單色平面波單色平面波”：)(0),(kxtietx)(0),(pxEtietx 0為待定常數(shù)為待定常數(shù),Ekp或由關(guān)系數(shù)或由關(guān)系數(shù)可將波函數(shù)改寫為可將波函數(shù)改寫為若粒子為三維自由運(yùn)動(dòng)若粒子為三維自由運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)可表示為波函數(shù)可表示為)(0),(tErpietr

11、波函數(shù)的物理意義是什么？粒子的什么性質(zhì)在波動(dòng)？波函數(shù)的物理意義是什么？粒子的什么性質(zhì)在波動(dòng)？二、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋二、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋對(duì)應(yīng)粒子波動(dòng)性的波函數(shù)做為一個(gè)重要的新概念登對(duì)應(yīng)粒子波動(dòng)性的波函數(shù)做為一個(gè)重要的新概念登上量子力學(xué)舞臺(tái)后，其本身的物理意義卻模糊不清，上量子力學(xué)舞臺(tái)后，其本身的物理意義卻模糊不清，使許多物理學(xué)家感到迷惑不解而大傷腦筋。使許多物理學(xué)家感到迷惑不解而大傷腦筋。愛因斯坦為了解釋光粒子（光量子或光子）和波的二愛因斯坦為了解釋光粒子（光量子或光子）和波的二象性，把光波的強(qiáng)度解釋為光子出現(xiàn)的幾率密度。象性，把光波的強(qiáng)度解釋為光子出現(xiàn)的幾率密度。玻恩玻恩( (MBorn，188

12、21970)在這個(gè)觀在這個(gè)觀念的啟發(fā)下，馬上將其推廣到念的啟發(fā)下，馬上將其推廣到函數(shù)上：函數(shù)上：|2必須是電子（或其它粒子）的幾率必須是電子（或其它粒子）的幾率密度密度” 。1954年，年，玻恩獲諾貝爾物理獎(jiǎng)。玻恩獲諾貝爾物理獎(jiǎng)。 （ , ,t t）的物理意義在于：的物理意義在于：波函數(shù)的模的平方（波的強(qiáng)度）代波函數(shù)的模的平方（波的強(qiáng)度）代表時(shí)刻表時(shí)刻 t、在空間、在空間 點(diǎn)處，單位體點(diǎn)處，單位體積元中微觀粒子出現(xiàn)的概率。積元中微觀粒子出現(xiàn)的概率。rr不同于經(jīng)典波的波函數(shù)，它無直接的物理意義。不同于經(jīng)典波的波函數(shù)，它無直接的物理意義。),(tr 有意義的是有意義的是對(duì)單個(gè)粒子，對(duì)單個(gè)粒子，給出

13、粒子的概率分布密度給出粒子的概率分布密度；2 對(duì)對(duì)N 個(gè)粒子，個(gè)粒子，2 N給出粒子數(shù)的分布密度。給出粒子數(shù)的分布密度。trtrtrtr,*2VtrtrVtrd,d),(*在時(shí)刻在時(shí)刻 t、空間、空間 點(diǎn)處，體積元點(diǎn)處，體積元 dV 中發(fā)現(xiàn)微觀粒子中發(fā)現(xiàn)微觀粒子的概率為：的概率為：r對(duì)對(duì)N 粒子系，在體積元粒子系，在體積元 dV 中發(fā)現(xiàn)的粒子數(shù)為中發(fā)現(xiàn)的粒子數(shù)為VtrtrNNd,d*說明說明：1.讓入射電子幾乎一個(gè)一個(gè)地通過單縫讓入射電子幾乎一個(gè)一個(gè)地通過單縫隨著電子數(shù)增大，逐漸形成衍射圖隨著電子數(shù)增大，逐漸形成衍射圖樣樣衍射圖樣來源于衍射圖樣來源于“單個(gè)電子單個(gè)電子”所具有的波動(dòng)性所具有的波

14、動(dòng)性統(tǒng)計(jì)規(guī)律。統(tǒng)計(jì)規(guī)律。底片上出現(xiàn)一個(gè)一個(gè)的點(diǎn)子，開始時(shí)底片上出現(xiàn)一個(gè)一個(gè)的點(diǎn)子，開始時(shí)點(diǎn)子無規(guī)則分布點(diǎn)子無規(guī)則分布 說明說明電子具有電子具有“粒子性粒子性”，但不滿足經(jīng)典的決定論。，但不滿足經(jīng)典的決定論。一個(gè)電子重復(fù)許多次相同實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)一個(gè)電子重復(fù)許多次相同實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)出的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。出的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。例例22-2 用幾率波說明用幾率波說明弱電子流單弱電子流單縫衍射縫衍射數(shù)百個(gè)電子數(shù)百個(gè)電子少數(shù)幾個(gè)電子少數(shù)幾個(gè)電子數(shù)萬個(gè)電子數(shù)萬個(gè)電子德布洛意波（物質(zhì)波）也稱為德布洛意波（物質(zhì)波）也稱為概率波概率波。 2. 如何如何理解微觀粒子的波粒二象性理解微觀粒子的波粒二象性（1）粒子性粒子性指它與物質(zhì)相互作用的指它

15、與物質(zhì)相互作用的 “ “整體性整體性”。但不是。但不是經(jīng)典的粒子，因?yàn)槲⒂^粒子沒有確定的軌道。經(jīng)典的粒子，因?yàn)槲⒂^粒子沒有確定的軌道。(2) 波動(dòng)性波動(dòng)性“彌散性彌散性”、“可疊加性可疊加性”、“干涉干涉”、“衍衍射射”。不。不 是經(jīng)典的波，并不對(duì)應(yīng)某真實(shí)物是經(jīng)典的波，并不對(duì)應(yīng)某真實(shí)物理量的波動(dòng)。理量的波動(dòng)。(3) 在一些情況下，實(shí)物粒子突出顯示出其粒子特在一些情況下，實(shí)物粒子突出顯示出其粒子特性；而在另一些情況下，則突出顯示出波動(dòng)特性；而在另一些情況下，則突出顯示出波動(dòng)特性性即波粒二象性。即波粒二象性?！安▌?dòng)性波動(dòng)性”與與“粒子性粒子性”的聯(lián)系的聯(lián)系玻恩統(tǒng)計(jì)解玻恩統(tǒng)計(jì)解釋。釋。3. 關(guān)于量子

16、力學(xué)的爭論關(guān)于量子力學(xué)的爭論 以玻耳為首，包括以玻耳為首，包括海森堡、狄拉克、玻恩海森堡、狄拉克、玻恩的哥本的哥本哈根學(xué)派：宇宙中事物偶然性是根本的，必然性是哈根學(xué)派：宇宙中事物偶然性是根本的，必然性是偶然性的平均表現(xiàn)。偶然性的平均表現(xiàn)。 以愛因斯坦為首，包括薛定以愛因斯坦為首，包括薛定諤、德布羅意學(xué)派：自然規(guī)律諤、德布羅意學(xué)派：自然規(guī)律根本上是決定論的。根本上是決定論的。“上帝肯上帝肯定不是用擲骰子來決定電子應(yīng)定不是用擲骰子來決定電子應(yīng)如何運(yùn)動(dòng)的！如何運(yùn)動(dòng)的！” “God does not play dice”Einstein: 不相信單個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)是不確定的，可以不相信單個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)是不確

17、定的，可以設(shè)計(jì)更精確的實(shí)驗(yàn)儀器解決。設(shè)計(jì)更精確的實(shí)驗(yàn)儀器解決。Bohr: 所有粒子的不確定性是原則的、本性的。所有粒子的不確定性是原則的、本性的。Einstein: 我不相信上帝會(huì)玩骰子（色子）。我不相信上帝會(huì)玩骰子（色子）。Bohr: 不要指揮上帝去做什么。不要指揮上帝去做什么。Einstein-Bohr 爭論（爭論（1927-1955）Einstein: 按照電子的衍射，某一電子落在何處與前按照電子的衍射，某一電子落在何處與前一個(gè)電子落在何處有關(guān)，這是不可能的。一個(gè)電子落在何處有關(guān)，這是不可能的。Bohr: 不是前后電子之間相互影響，而是單個(gè)電不是前后電子之間相互影響，而是單個(gè)電 子的運(yùn)動(dòng)

18、具有不確定性。子的運(yùn)動(dòng)具有不確定性。在在1927年年Solvey會(huì)議上：會(huì)議上：三、波函數(shù)應(yīng)滿足的條件三、波函數(shù)應(yīng)滿足的條件 1. 自然條件：單值、有限和連續(xù)自然條件：單值、有限和連續(xù)2. 歸一化條件歸一化條件)(全空間 VtrVtrd),( d),( 21d),(),(*Vtrtr粒子出現(xiàn)在粒子出現(xiàn)在dV 體積內(nèi)的幾率為：體積內(nèi)的幾率為：粒子在空間各點(diǎn)的概率總和應(yīng)為粒子在空間各點(diǎn)的概率總和應(yīng)為 l，END22.3 不確定性關(guān)系不確定性關(guān)系按照經(jīng)典波動(dòng)理論，約束在空間某區(qū)域內(nèi)的波不可按照經(jīng)典波動(dòng)理論，約束在空間某區(qū)域內(nèi)的波不可能是單色的能是單色的不可能具有唯一的波長。不可能具有唯一的波長。這一

19、結(jié)論對(duì)物質(zhì)波同樣正確：被束縛在某區(qū)域的粒這一結(jié)論對(duì)物質(zhì)波同樣正確：被束縛在某區(qū)域的粒子不可能具有確定的動(dòng)量，即粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不子不可能具有確定的動(dòng)量，即粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)取確定值，存在一個(gè)能同時(shí)取確定值，存在一個(gè)不確定關(guān)系。不確定關(guān)系。海森堡（海森堡（W. Heisenberg）在）在1927年發(fā)表了著名的位年發(fā)表了著名的位置置動(dòng)量不確定關(guān)系動(dòng)量不確定關(guān)系hpxx以電子的單縫衍射為例說明。電子的單縫衍射以電子的單縫衍射為例說明。電子的單縫衍射“中央亮紋中央亮紋”半角寬度滿足：半角寬度滿足：一、位置一、位置動(dòng)量不確定關(guān)系動(dòng)量不確定關(guān)系pppx ppx xh 如果把單縫看成對(duì)電如果把單縫看

20、成對(duì)電子坐標(biāo)的測(cè)量儀器，子坐標(biāo)的測(cè)量儀器， x相當(dāng)于對(duì)電子相當(dāng)于對(duì)電子坐坐標(biāo)標(biāo)測(cè)量的不確定度。測(cè)量的不確定度。xxppxp單縫存在使電子在單縫存在使電子在x方向的動(dòng)量分量出現(xiàn)不確定性方向的動(dòng)量分量出現(xiàn)不確定性 sinxxsinhpxx 不限制電子坐標(biāo)時(shí)，動(dòng)量可以取確定值。不限制電子坐標(biāo)時(shí)，動(dòng)量可以取確定值。對(duì)坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo) x 測(cè)量得越精確（測(cè)量得越精確（ x 越?。?，動(dòng)量不確定性越?。?，動(dòng)量不確定性 px 就越大就越大(衍射越厲害衍射越厲害)。電子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)確定。電子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)確定。嚴(yán)格的不確定性關(guān)系應(yīng)該是：嚴(yán)格的不確定性關(guān)系應(yīng)該是：222zyxpzpypx例例22-2 氦氖

21、激光器發(fā)光波長氦氖激光器發(fā)光波長 ，632 8nm. 譜線寬度譜線寬度 ，910 nm 求即相干長度，求即相干長度， hp 2hpx2242xpx譜線展寬導(dǎo)致光子動(dòng)量的不確定譜線展寬導(dǎo)致光子動(dòng)量的不確定解：當(dāng)這種光子沿解：當(dāng)這種光子沿 x 方向傳播時(shí)，它的方向傳播時(shí)，它的 x坐標(biāo)的不確坐標(biāo)的不確 定就是即相干長度，也就是波列長度定就是即相干長度，也就是波列長度km4002x將上例激光光子位置將上例激光光子位置- -動(dòng)量不確定性關(guān)系動(dòng)量不確定性關(guān)系2tE二、能量和時(shí)間的不確定關(guān)系二、能量和時(shí)間的不確定關(guān)系2xpx同樣可得粒子處于某狀態(tài)的能量和時(shí)間的不確定性同樣可得粒子處于某狀態(tài)的能量和時(shí)間的不確

22、定性關(guān)系關(guān)系變?yōu)樽優(yōu)?chtc可以解釋為什么原子譜線自然寬度可以解釋為什么原子譜線自然寬度2tEtE2eV1017 0EnE譜線寬度：譜線寬度：hEHz1018與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果吻合！與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果吻合！原子基態(tài)壽命無窮長，基態(tài)有確定的能量值。原子基態(tài)壽命無窮長，基態(tài)有確定的能量值。例例22-3 原子在激發(fā)態(tài)的壽命為原子在激發(fā)態(tài)的壽命為10-8 s，由不確定關(guān)系由不確定關(guān)系不確定性關(guān)系限定了使用經(jīng)典語言的范圍和度不確定性關(guān)系限定了使用經(jīng)典語言的范圍和度不確定性的物理根源是粒子的波動(dòng)性。不確定性的物理根源是粒子的波動(dòng)性。說明：說明：不確定性與測(cè)量沒有關(guān)系，是微觀粒子不確定性與測(cè)量沒有關(guān)系，是微觀粒子

23、波波粒二象性的體現(xiàn)。粒二象性的體現(xiàn)。例例22-4 氫原子中的電子的軌道運(yùn)動(dòng)速度氫原子中的電子的軌道運(yùn)動(dòng)速度為為106m/s，速度的不確定度：速度的不確定度：mpv xm 12，vv但威爾遜云室可看到一條白亮的粒子徑跡但威爾遜云室可看到一條白亮的粒子徑跡10-4 cm ，由此可得：由此可得：p p，波動(dòng)性不是很明顯波動(dòng)性不是很明顯，軌道概念軌道概念仍仍適用。適用。m/skg1028p m/skg10 23pm/s106可見波動(dòng)性十分明顯，不能用可見波動(dòng)性十分明顯，不能用軌道概念描述軌道概念描述! ! 但但END按照經(jīng)典波動(dòng)理論，波動(dòng)的物理量滿足如下形按照經(jīng)典波動(dòng)理論，波動(dòng)的物理量滿足如下形式的波

24、動(dòng)方程：式的波動(dòng)方程：22.4 薛定諤方程薛定諤方程22222xyVtyV為波速為波速物質(zhì)波的物質(zhì)波的波動(dòng)方程是什么？波動(dòng)方程是什么？德布洛意關(guān)于電子波動(dòng)性的假設(shè)傳到蘇黎士后，德布洛意關(guān)于電子波動(dòng)性的假設(shè)傳到蘇黎士后，德拜德拜(P.Debye，The Nobel Prize in Chemistry 1936)說，說，“一個(gè)沒有波動(dòng)方程的波動(dòng)理論太膚一個(gè)沒有波動(dòng)方程的波動(dòng)理論太膚淺了！淺了！”。當(dāng)時(shí)年輕的薛定諤在場。在一周后聚。當(dāng)時(shí)年輕的薛定諤在場。在一周后聚會(huì) 時(shí) 薛 定 諤 說 ：會(huì) 時(shí) 薛 定 諤 說 ： “ 我 找 到 了 一 個(gè) 波 動(dòng) 方我 找 到 了 一 個(gè) 波 動(dòng) 方程！程！”

25、。量子力學(xué)中的基本動(dòng)力學(xué)方程。量子力學(xué)中的基本動(dòng)力學(xué)方程。一、薛定諤方程的建立一、薛定諤方程的建立自由粒子波函數(shù)自由粒子波函數(shù)對(duì)波函數(shù)微分得對(duì)波函數(shù)微分得),(),(txEittx)(0),(EtxxpietxtiE 能量算符能量算符),(),(txEttxi),(),(txpixtxxxipx),(),(txpxtxix 動(dòng)量算符動(dòng)量算符),(),(),(2222txtitxEtxxm自由粒子的薛定諤方程自由粒子的薛定諤方程),(2) ,(222txxmtxti),(),(2222txpxtxx由由mpEx22和和),(),(txEtxti 把自由粒子把自由粒子運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)算符推廣到非自由粒子運(yùn)

26、動(dòng)，粒子算符推廣到非自由粒子運(yùn)動(dòng)，粒子所處的勢(shì)場為所處的勢(shì)場為U(x,t)，粒子的能量，粒子的能量),(22txUmpEx薛定諤方程變?yōu)檠Χㄖ@方程變?yōu)?,(),(2 222txtxUxm這就是這就是含時(shí)含時(shí)薛定諤方程薛定諤方程),(2 222txUxmH稱為哈密頓算符，則稱為哈密頓算符，則令令 推廣到推廣到三維勢(shì)場三維勢(shì)場U( r, t) 中中),(2222trUmpppEzyx),(),(trHtrtikzjyix令令薛定諤方程薛定諤方程形式不變形式不變哈密頓算符哈密頓算符變?yōu)樽優(yōu)?,()(2 2222222trUzyxmH),(2 22trUmH),(),(trHtrti薛定諤方程不是推導(dǎo)

27、出來的，而是依據(jù)實(shí)驗(yàn)事實(shí)和薛定諤方程不是推導(dǎo)出來的，而是依據(jù)實(shí)驗(yàn)事實(shí)和基本假定基本假定“建立建立”的，是否正確則由實(shí)驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)。的，是否正確則由實(shí)驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)。 薛定諤方程薛定諤方程描述非相對(duì)描述非相對(duì)論實(shí)物粒子在勢(shì)場中的狀態(tài)論實(shí)物粒子在勢(shì)場中的狀態(tài)隨時(shí)間的變化，反映了微觀隨時(shí)間的變化，反映了微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。說明：說明：薛定諤（薛定諤（Schrdinger 1887-1961）1933年薛定諤獲諾貝爾物理獎(jiǎng)。年薛定諤獲諾貝爾物理獎(jiǎng)。奧地利物理學(xué)家奧地利物理學(xué)家，提出量子提出量子力學(xué)最基本的方程力學(xué)最基本的方程。二、定態(tài)薛定諤方程二、定態(tài)薛定諤方程若微觀粒子處在穩(wěn)定的勢(shì)場中，則

28、勢(shì)能函數(shù)若微觀粒子處在穩(wěn)定的勢(shì)場中，則勢(shì)能函數(shù)U與時(shí)間無與時(shí)間無關(guān)關(guān)，稱這類問題為，稱這類問題為定態(tài)問題定態(tài)問題。自由運(yùn)動(dòng)粒子自由運(yùn)動(dòng)粒子 rerU2041例如：例如： 0rU氫原子中的電子氫原子中的電子此時(shí)，哈密頓算此時(shí)，哈密頓算符與時(shí)間無關(guān)，符與時(shí)間無關(guān)，薛定諤方程可用薛定諤方程可用分分離變量離變量法求解：波函數(shù)法求解：波函數(shù) 可以分離為空間坐標(biāo)函數(shù)可以分離為空間坐標(biāo)函數(shù)和時(shí)間函數(shù)的乘積。和時(shí)間函數(shù)的乘積。設(shè)設(shè) )( ) (),(tTrtrE 可得只含變量可得只含變量 t 和和只含只含變量變量 r 的的兩個(gè)方程兩個(gè)方程：)()()(d)(dtTrHrttTi)()(1)(1d)(drHrt

29、TttTi(1) )(d)(dtETttTi(2) )()(rErH1. 方程（方程（1）是）是關(guān)于關(guān)于變量為變量為t 的微分方程的微分方程，解為：解為：時(shí)間振動(dòng)因子時(shí)間振動(dòng)因子2. 方程（方程（2）是關(guān)于變量為）是關(guān)于變量為x、y、z的微分方程：的微分方程：),(),(),(222zyxEzyxzyxUm稱為稱為定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程，又稱為能量算符的本征方程，又稱為能量算符的本征方程其解其解 (x,y,z) 與粒子所處的外力場與粒子所處的外力場U 和邊界條件和邊界條件有關(guān)有關(guān)。EtietT)(3. 波函數(shù)是以上兩部分的乘積波函數(shù)是以上兩部分的乘積粒子出現(xiàn)在空間的幾率與時(shí)間無關(guān)粒子出現(xiàn)

30、在空間的幾率與時(shí)間無關(guān)定態(tài)定態(tài)粒子出現(xiàn)在空間的幾率：粒子出現(xiàn)在空間的幾率： 2)( r可見，定態(tài)問題最后歸結(jié)為求解定態(tài)可見，定態(tài)問題最后歸結(jié)為求解定態(tài)薛定諤薛定諤方程。方程。ENDEtiertr)(),(22|)(| ),( ),(Etiertrtr22.5 力學(xué)量算符的本征值問題力學(xué)量算符的本征值問題一、力學(xué)量的算符表示一、力學(xué)量的算符表示在量子力學(xué)中，系統(tǒng)的任何力學(xué)量均對(duì)應(yīng)一算符，在量子力學(xué)中，系統(tǒng)的任何力學(xué)量均對(duì)應(yīng)一算符，力學(xué)量所能取的值是其相應(yīng)算符的本征值力學(xué)量所能取的值是其相應(yīng)算符的本征值。例如：例如： 動(dòng)量算符動(dòng)量算符ipp這是量子力學(xué)的又一基本假設(shè)這是量子力學(xué)的又一基本假設(shè)對(duì)一維

31、運(yùn)動(dòng)對(duì)一維運(yùn)動(dòng)xipdd 坐標(biāo)算符坐標(biāo)算符rrr（就是它自己）（就是它自己）xx 222iippp 動(dòng)能算符：動(dòng)能算符：mpE22kmmppE2222k)(222rUmH)(22rUmpE 能量算符能量算符: : 角動(dòng)量算符角動(dòng)量算符: :prLprLzyxpppzyxkjiyzxpzpyLzxypxpzLxyzpypxL2222zyxLLLLLL )()(rErH二、算符的本征值問題二、算符的本征值問題利用定態(tài)薛定諤方程求解能量和定態(tài)波函數(shù)實(shí)際上利用定態(tài)薛定諤方程求解能量和定態(tài)波函數(shù)實(shí)際上是一個(gè)能量算符的本征值問題。是一個(gè)能量算符的本征值問題。E E ：稱為稱為能量算符的能量算符的本征值本征

32、值。能量算符能量算符 H的的本征值方程本征值方程為了使波函數(shù)單值、連續(xù)、有限，能量的取值受到為了使波函數(shù)單值、連續(xù)、有限，能量的取值受到了限制。了限制。：稱為：稱為能量算符的能量算符的本征函數(shù)（本征態(tài)）本征函數(shù)（本征態(tài)） )(r對(duì)于對(duì)于處在處在束縛態(tài)勢(shì)場中的粒子能量只能取一系列的束縛態(tài)勢(shì)場中的粒子能量只能取一系列的分立值分立值：E1，E2，.，En，.同理，通過求解動(dòng)量算符、角動(dòng)量算符同理，通過求解動(dòng)量算符、角動(dòng)量算符的本征方的本征方程可得到相應(yīng)算符的本征函數(shù)和本征值。程可得到相應(yīng)算符的本征函數(shù)和本征值。END22.6 薛定諤方程的應(yīng)用薛定諤方程的應(yīng)用 確定粒子的確定粒子的哈密頓量；哈密頓量；

33、 在全空間寫出粒子的能量本征方程；在全空間寫出粒子的能量本征方程； 利用波函數(shù)的自然條件確定確定能量本征值和利用波函數(shù)的自然條件確定確定能量本征值和波函數(shù)。波函數(shù)。步驟：步驟：處理的問題：處理的問題： 勢(shì)阱中的粒子勢(shì)阱中的粒子粒子被束縛在某勢(shì)場中；粒子被束縛在某勢(shì)場中； 勢(shì)壘對(duì)粒子的散射勢(shì)壘對(duì)粒子的散射自由粒子入射到某勢(shì)場中。自由粒子入射到某勢(shì)場中。一、一維無限深勢(shì)阱中的粒子一、一維無限深勢(shì)阱中的粒子金屬中的電子由于金屬表面勢(shì)金屬中的電子由于金屬表面勢(shì)能（勢(shì)壘）的束縛被限制在一能（勢(shì)壘）的束縛被限制在一個(gè)有限的個(gè)有限的空間空間范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)。范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)。稱為一維無限深方勢(shì)阱。稱為一維無限深方勢(shì)阱。

34、-e-e-e-e-e-e-e如果金屬表面勢(shì)壘很高，可以如果金屬表面勢(shì)壘很高，可以將金屬表面看為一剛性盒子。將金屬表面看為一剛性盒子。如果只考慮一維運(yùn)動(dòng)，就是一如果只考慮一維運(yùn)動(dòng)，就是一維剛性盒子維剛性盒子。勢(shì)能函數(shù)為：。勢(shì)能函數(shù)為：V V = 0= 0V(x)x x無限深方勢(shì)阱無限深方勢(shì)阱0L) , 0( )0 ( 0)(LxxLxxV 在勢(shì)阱內(nèi)，定態(tài)薛定諤方程在勢(shì)阱內(nèi)，定態(tài)薛定諤方程令令222mEk 得得解為：解為：待定常數(shù)待定常數(shù)C 和和解解由波函數(shù)的自然條件確定。由波函數(shù)的自然條件確定。)()(dd2ii222xExxm0ddi22i2kx）（ 1 )sin()(ikxCxV V = 0

35、= 0V(x)x x無限深方勢(shì)阱無限深方勢(shì)阱0L 波函數(shù)在阱壁上的連續(xù)條件、本征能量波函數(shù)在阱壁上的連續(xù)條件、本征能量該方程的解只能是：該方程的解只能是：）（2 0)(ex 在勢(shì)阱外，定態(tài)薛定諤方程在勢(shì)阱外，定態(tài)薛定諤方程）（3 0)0()0(ei）（4 0)()(eiLL)()(dd2ee222xExxm 由式（由式（3）可得）可得 由式（由式（4）可得）可得0 nkL ,.2 , 1n 思考：為什么思考：為什么n不取零和負(fù)整數(shù)？不取零和負(fù)整數(shù)？Lnk 粒子的能量：粒子的能量：12222EnmkE22212mLE其中其中0sinC0sinkLC能量取分立值（能級(jí)），能量是能量取分立值（能級(jí)）

36、，能量是量子化的。量子化的。11) 12(EnEEEnn n =1321E19E14E能量能量間隔為：間隔為：EL,Em ,能 級(jí) 增 大能 級(jí) 增 大 , , 能能級(jí)間隔遞增級(jí)間隔遞增En ,阱變寬阱變寬, ,能級(jí)能級(jí)間隔下降間隔下降大質(zhì)量粒子的大質(zhì)量粒子的能級(jí)能級(jí)間隔小間隔小L 很大或很大或 m 很大，很大，能級(jí)幾乎連續(xù)能級(jí)幾乎連續(xù) 最低能量最低能量( (零點(diǎn)能零點(diǎn)能) ) 波動(dòng)性波動(dòng)性22212mLELhnLnmEpnn22nLphnn2說明勢(shì)阱中粒子的每一個(gè)能量本征態(tài)正好對(duì)應(yīng)于說明勢(shì)阱中粒子的每一個(gè)能量本征態(tài)正好對(duì)應(yīng)于德布羅意波的一個(gè)特定波長的駐波。德布羅意波的一個(gè)特定波長的駐波。 勢(shì)

37、阱中粒子的動(dòng)量和波長勢(shì)阱中粒子的動(dòng)量和波長LC2定態(tài)波函數(shù)定態(tài)波函數(shù)為為 歸一化常數(shù)歸一化常數(shù)C和和定態(tài)波函數(shù)定態(tài)波函數(shù)1d)(d)(2xxxx1dsind)(0222LxLxnCxxLxxLxxLnLx ,0 , 00 ,sin2)(粒子在阱內(nèi)的粒子在阱內(nèi)的波函數(shù)為波函數(shù)為EtiikxikxeeeLi)(221221)()(pxEtipxEtieeLiEtiEtikxeLextxsin2)(),(i波函數(shù)為波函數(shù)為頻率相同、波長相同、傳播方向相反的兩單頻率相同、波長相同、傳播方向相反的兩單色平面波的疊加色平面波的疊加形成駐波。形成駐波?？芍黑鍖挒轳v波半波長的整數(shù)倍。可知：阱寬為駐波半波長的

38、整數(shù)倍。由關(guān)系由關(guān)系粒子在勢(shì)阱中的幾率分布：粒子在勢(shì)阱中的幾率分布：LxxLxxLnLxx,0 , 0 0 ,sin2)()(222nnL)x( 2)x( 221)(kxxU哈密頓量哈密頓量定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程二、一維諧振子（拋物線勢(shì)阱）二、一維諧振子（拋物線勢(shì)阱）晶體中原子圍繞平衡位置作小振動(dòng)時(shí)可近似認(rèn)為是晶體中原子圍繞平衡位置作小振動(dòng)時(shí)可近似認(rèn)為是諧振動(dòng)，諧振動(dòng)，勢(shì)函數(shù)為：勢(shì)函數(shù)為：222221dd2kxxmH)()()21dd2(2222xExkxxm或或利用級(jí)數(shù)展開法解該微分方程。波函數(shù)滿足的自然條利用級(jí)數(shù)展開法解該微分方程。波函數(shù)滿足的自然條件進(jìn)一步限制了能量件進(jìn)一步限制了能

39、量E的取值的取值。主要結(jié)論如下：。主要結(jié)論如下： 1. 諧振子能量諧振子能量 能量間隔均勻：能量間隔均勻： h )21( nEn,n210 能量能量E是量子化的是量子化的mk0)21(2dd22222xmEmx 最低能量最低能量( (零點(diǎn)能零點(diǎn)能) )不為零不為零0210E與與Planck假設(shè)不同！假設(shè)不同！E02/ E123/ E225/ E327/ U(x)E0 0 x 2. 諧振子諧振子波函數(shù)波函數(shù)，22212/ 1)()!2()(xnnexHnnxmHn是厄密（是厄密（Hermite）多項(xiàng)式，）多項(xiàng)式， 最高階是最高階是 nx)(22212/10)()(xex22212/11)(2)2

40、()(xexx例例22-4222122/12)(42)8()(xexxU(x)E0 0 x2(x) E01) 經(jīng)典粒子位置幾率分布經(jīng)典粒子位置幾率分布能量為能量為E0經(jīng)典粒經(jīng)典粒子沿阱壁只能爬子沿阱壁只能爬E0高度，這時(shí)粒高度，這時(shí)粒子的動(dòng)能為零，子的動(dòng)能為零，然后被阱壁反彈然后被阱壁反彈回去?；厝?。U(x)E0 0 x x2(x) E0黑色黑色虛線為經(jīng)典粒虛線為經(jīng)典粒子位置的幾率分布子位置的幾率分布2) 量子粒子位置幾率分布量子粒子位置幾率分布能量為能量為E0量子量子粒粒子沿阱壁爬的高子沿阱壁爬的高度 可 以 大 于度 可 以 大 于 E0（紅色虛線），（紅色虛線），或說能量為或說能量為E0

41、的的粒子可以穿入阱粒子可以穿入阱壁內(nèi)部。壁內(nèi)部。（用經(jīng)典理論（用經(jīng)典理論無法解釋）無法解釋）量子粒子位置幾率分布與經(jīng)典粒子分布有明顯的量子粒子位置幾率分布與經(jīng)典粒子分布有明顯的區(qū)別區(qū)別n=12(x)xn=0(x)xn=02(x)xn=1(x)x3) 諧振子幾個(gè)波函數(shù)和位置幾率密度諧振子幾個(gè)波函數(shù)和位置幾率密度2(x)xn=9n=9x(x)n=2 量子概率分布量子概率分布經(jīng)典概率經(jīng)典概率分布分布(圖示虛線）圖示虛線） 能量量子化能量量子化 能量取連續(xù)值能量取連續(xù)值當(dāng)當(dāng)n時(shí)時(shí)玻爾對(duì)應(yīng)原理玻爾對(duì)應(yīng)原理2(x)xn=2三、一維散射問題三、一維散射問題粒子以確定能量粒子以確定能量E從遠(yuǎn)處入射到某給定勢(shì)場

42、中，確定從遠(yuǎn)處入射到某給定勢(shì)場中，確定粒子的波函數(shù)和位置分布。粒子的波函數(shù)和位置分布。思考：粒子的能量呢？思考：粒子的能量呢？1. 矩形臺(tái)階勢(shì)壘矩形臺(tái)階勢(shì)壘實(shí)際金屬中的電子在表面處遇到的勢(shì)是有限高的：實(shí)際金屬中的電子在表面處遇到的勢(shì)是有限高的：E U0時(shí)，粒子可以時(shí)，粒子可以進(jìn)入進(jìn)入x0區(qū)；區(qū)； 當(dāng)當(dāng)E0區(qū)，區(qū)，在壘壁處粒子被反彈回在壘壁處粒子被反彈回xU0EE（總能（總能 量）區(qū)域。量）區(qū)域。經(jīng)典理論：因?yàn)榱Ｗ拥膭?dòng)能不可能小于零，所以經(jīng)典理論：因?yàn)榱Ｗ拥膭?dòng)能不可能小于零，所以 粒子不能進(jìn)入粒子不能進(jìn)入U(xiǎn)E（總能量）區(qū)域。（總能量）區(qū)域。2. 隧道效應(yīng)（勢(shì)壘貫穿）隧道效應(yīng)（勢(shì)壘貫穿） 自由粒子

43、處遇到的勢(shì)是有限高和有限寬的勢(shì)壘：自由粒子處遇到的勢(shì)是有限高和有限寬的勢(shì)壘：EU0axxaxUxU, 0 , 00 ,)(0 xU=U0U= 00aikxBeikxAex)(120)(2EUmk22mEk xkFexkDex)(2ikxCex)(3透射波（只有向右傳播的波）透射波（只有向右傳播的波）利用薛定諤方程可以求得波函數(shù)：利用薛定諤方程可以求得波函數(shù)：入射波入射波+ +反射波反射波指數(shù)衰減波指數(shù)衰減波其中其中待定常數(shù)待定常數(shù) B、C、D、F由下列邊界條件確定：由下列邊界條件確定：)0()0(21)0()0(21)()(32aa)()(32aaxU=U0U= 00a透射系數(shù)透射系數(shù)T：粒子

44、穿透勢(shì)壘的概率：粒子穿透勢(shì)壘的概率)(220EUmaeTxU=U0U= =0 0O Oa可以證明：可以證明：( (x) 可見：可見：m、a、( U0 E ) 越小，則穿透率越小，則穿透率 T 越大。越大。向墻壁上扔一球，按經(jīng)典力向墻壁上扔一球，按經(jīng)典力學(xué)該球被墻壁反彈回來；學(xué)該球被墻壁反彈回來；例如：電子例如：電子 a=210-10 m, (U0-E) = 1 eV T0.51但按量子力學(xué)小球有可能進(jìn)入但按量子力學(xué)小球有可能進(jìn)入墻壁中（當(dāng)墻壁中（當(dāng)m 很大時(shí)很大時(shí)，T 可能可能很?。┖苄。?. STM原理原理利用探針在樣品表面掃描利用探針在樣品表面掃描時(shí)，樣品表面和針尖之間時(shí)，樣品表面和針尖之

45、間間距有間隙，形成了電子間距有間隙，形成了電子的勢(shì)壘，間隙越小勢(shì)壘寬的勢(shì)壘，間隙越小勢(shì)壘寬度越窄，隧道電流度越窄，隧道電流I 越大越大。三、掃描隧穿顯微鏡（三、掃描隧穿顯微鏡（STM）掃描隧穿顯微鏡掃描隧穿顯微鏡(Scanning Tunneling Microscope)是是可以觀測(cè)原子的超高倍顯微鏡可以觀測(cè)原子的超高倍顯微鏡。掃描隧道顯微鏡示意圖掃描隧道顯微鏡示意圖通過測(cè)量電路中的電流，反推出距離通過測(cè)量電路中的電流，反推出距離S，繪出樣品表，繪出樣品表面形貌圖（立體圖）面形貌圖（立體圖）隧道電流隧道電流I 樣品和針尖間距離樣品和針尖間距離S的關(guān)系的關(guān)系SAUeI S 樣品和針尖間的距離樣

46、品和針尖間的距離U 加在樣品和針尖間的微小電壓加在樣品和針尖間的微小電壓A 常數(shù)常數(shù) 平均勢(shì)壘高度平均勢(shì)壘高度掃描探針顯微鏡掃描探針顯微鏡 包含類型：包含類型：隧道掃描、隧道掃描、磁力掃描、磁力掃描、橫向力掃描、橫向力掃描、力調(diào)制掃描、力調(diào)制掃描、相檢測(cè)掃描、相檢測(cè)掃描、靜電力掃描靜電力掃描 超高真空掃描探針顯微鏡超高真空掃描探針顯微鏡05090307010(nm)硅晶體表面的硅晶體表面的STM掃描圖象掃描圖象2. STM掃描圖象掃描圖象Carbon Monoxide on Platinum (111)Circles on CirclesStadium Corral鑲嵌了鑲嵌了48個(gè)個(gè) Fe

47、原子的原子的 Cu 表面的表面的掃描隧道顯微鏡照片。掃描隧道顯微鏡照片。48 個(gè)個(gè) Fe 原子原子形成形成“電子圍欄電子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波：，圍欄中的電子形成駐波：羅赫爾：羅赫爾： 1986年度年度的諾貝爾的諾貝爾物理獎(jiǎng)物理獎(jiǎng)賓尼：賓尼：1986年度年度的諾貝爾的諾貝爾物理獎(jiǎng)物理獎(jiǎng)魯斯卡：魯斯卡：1932年電子年電子顯微鏡的發(fā)顯微鏡的發(fā)明者明者END22.7 氫原子量子理論氫原子量子理論氫原子中的電子在中心力場中運(yùn)動(dòng)氫原子中的電子在中心力場中運(yùn)動(dòng)UmH222rerU024)()(21222222rUmrLrrrrmH采用球坐標(biāo)系采用球坐標(biāo)系2222sinsinsinzLLiLz一、角

48、動(dòng)量算符的本征值問題一、角動(dòng)量算符的本征值問題其中其中L2為電子繞核的軌道角動(dòng)量平方算符為電子繞核的軌道角動(dòng)量平方算符Lz的為軌道角動(dòng)量在的為軌道角動(dòng)量在z分量：分量：通過求解通過求解L2和和Lz 的本征方程得到本征函數(shù)和本征的本征方程得到本征函數(shù)和本征值如下值如下(過程略過程略)：lml,2, 1,0,2, 1 ,0),() 1(),(,2,2mlmlYllYL),(),(,mlmlzYmYL其中其中),(,mlY為球諧函數(shù)為球諧函數(shù), 例如例如：41),(0,0Y)0, 0(ml)0, 1(ml) 1, 1(mlcos43),(0, 1YieYsin83),(1, 1) 1( llL角動(dòng)量

49、角動(dòng)量L的取值是量子化的（量子力學(xué)很自然地給出角的取值是量子化的（量子力學(xué)很自然地給出角動(dòng)量的量子化），最小值可取零（與玻爾假設(shè)不同）動(dòng)量的量子化），最小值可取零（與玻爾假設(shè)不同）1. 主要結(jié)論主要結(jié)論 和和 有共同的本征函數(shù)有共同的本征函數(shù) Yl, m(, )2LzL 的本征值為的本征值為2L22)1(llL角動(dòng)量的大?。航莿?dòng)量的大?。簂=0,1,2 稱為角量子數(shù)稱為角量子數(shù),.6,2, 0mLz 可的本征值取可的本征值取zL角動(dòng)量在空間的取向也是量子化的。角動(dòng)量在空間的取向也是量子化的。m=-l,-l+1,l-1,l 稱為稱為磁量子數(shù)磁量子數(shù)lLz ,.2 , , 0對(duì)于一定的角量子數(shù)對(duì)于

50、一定的角量子數(shù)l ,磁量子數(shù)磁量子數(shù) m 可取可取(2 l +1)個(gè)值，個(gè)值，角動(dòng)量在空間角動(dòng)量在空間 z 方向的取向只有方向的取向只有(2 l +1)種可能。種可能。2. 角動(dòng)量空間量子化的經(jīng)典矢量模型角動(dòng)量空間量子化的經(jīng)典矢量模型該矢量在該矢量在Lz軸上的投影在軸上的投影在 到到 之間。之間。l l但對(duì)矢量的具體方位但對(duì)矢量的具體方位 不能限制，可以在半頂角不能限制，可以在半頂角的圓的圓錐面上的任意方位錐面上的任意方位 （其中（其中 ）, 若若Lz取取定值，則定值，則 完全不確定。完全不確定。)l( l/m1 61 )l ( l|L|0-2 Lz =2 - Lz將角動(dòng)量想象為一長度為將角動(dòng)

51、量想象為一長度為 的經(jīng)典矢量的經(jīng)典矢量)l ( lL1 LLzLz =2 L注：以上矢量模型完全是為了使角動(dòng)量空間取向量子注：以上矢量模型完全是為了使角動(dòng)量空間取向量子化的描述更形象，是一種輔助方法?；拿枋龈蜗?，是一種輔助方法。量子理論中由于測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的限制，電子繞原子核量子理論中由于測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的限制，電子繞原子核的角動(dòng)量方向在任何時(shí)刻均是不確定的。的角動(dòng)量方向在任何時(shí)刻均是不確定的。3. Zeeman效應(yīng)證明效應(yīng)證明角動(dòng)量空間取向的量子化角動(dòng)量空間取向的量子化氫原子從第一激發(fā)態(tài)（氫原子從第一激發(fā)態(tài)（l=1）躍遷到基態(tài)（）躍遷到基態(tài)（l=0）時(shí)，）時(shí)，發(fā)射光譜只有一條譜線。發(fā)射光譜只有一條

52、譜線。但在外磁場中發(fā)現(xiàn)，該條譜線分裂為三條。但在外磁場中發(fā)現(xiàn)，該條譜線分裂為三條。B=0時(shí)光譜線時(shí)光譜線l=1l=0對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)B0時(shí)光譜線時(shí)光譜線l=1l=0Lmel02電子的軌道角動(dòng)量對(duì)應(yīng)于軌道磁矩電子的軌道角動(dòng)量對(duì)應(yīng)于軌道磁矩在外磁場中電子的軌道磁矩具有的附加磁能為：在外磁場中電子的軌道磁矩具有的附加磁能為：稱光譜這種分裂現(xiàn)象為稱光譜這種分裂現(xiàn)象為塞曼效應(yīng)塞曼效應(yīng)。BElBLmez02BLme02Bmem02 ) 1( 2)0( 0) 1( 200mmBemmmBe解釋：解釋：由于電子軌道角動(dòng)量空間取向的量子化，氫原子的能級(jí)由于電子軌道角動(dòng)量空間取向的量子化，氫原子的能級(jí)在外加磁場出

53、現(xiàn)了分裂現(xiàn)象，進(jìn)一步導(dǎo)致譜線的分裂。在外加磁場出現(xiàn)了分裂現(xiàn)象，進(jìn)一步導(dǎo)致譜線的分裂。1902諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主塞曼塞曼塞曼效應(yīng)的塞曼效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)和研究發(fā)現(xiàn)和研究二、氫原子的能量和電子的幾率密度二、氫原子的能量和電子的幾率密度定態(tài)薛定格方程為定態(tài)薛定格方程為可以用分離變量法得電子的波函數(shù)可表示為可以用分離變量法得電子的波函數(shù)可表示為（此處略）：（此處略）：u(r) 稱為徑向波函數(shù)稱為徑向波函數(shù)),(Y為球諧函數(shù)為球諧函數(shù)),(),(420222rErrem),()(),()(),(YrruYrRr電子的能量本征值電子的能量本征值)eV(16 .131)4(2222024nnmeE

54、n1, 2 , 1 , 0nl對(duì)角量子數(shù)的限制對(duì)角量子數(shù)的限制n = 1, 2, 3，1. 主要結(jié)論：主要結(jié)論：n稱為主量子數(shù)稱為主量子數(shù)例如：例如：基態(tài)基態(tài) n=1, l=0; 第一激發(fā)態(tài)第一激發(fā)態(tài) n=2, l=0、1第二激發(fā)態(tài)第二激發(fā)態(tài) n=3, l=0、1、2徑向波函數(shù)徑向波函數(shù) Rnl(r)= unl( r )/r02/300, 1exp21araR002/300,22exp221araraR002/301 ,22exp321araraR其中其中a0=0h2/me2為玻耳半徑為玻耳半徑2. 電子的幾率密度分布和電子云電子的幾率密度分布和電子云在空間點(diǎn)（在空間點(diǎn)（r, , ）處）處,小

55、體積元小體積元 dV 中電子出現(xiàn)的概中電子出現(xiàn)的概率為：率為：一般是與一般是與 r 、 、 有關(guān)有關(guān) 電子徑向幾率分布電子徑向幾率分布考慮電子在考慮電子在 r r+dr 球殼的幾率球殼的幾率dddsin),(22rrrml nddsin),()(22drYrumll n(由于球諧函數(shù)是歸一的由于球諧函數(shù)是歸一的)電子沿徑向的幾率分布電子沿徑向的幾率分布是連續(xù)的是連續(xù)的不同于經(jīng)不同于經(jīng)典的軌道概念。典的軌道概念。在基態(tài)，電子在在基態(tài)，電子在r=a0處出處出現(xiàn)的幾率最大，與經(jīng)典軌現(xiàn)的幾率最大，與經(jīng)典軌道對(duì)應(yīng)。道對(duì)應(yīng)。a0 0rrrRYrrWnllmnld)(d),(d)(222rrrRnld)(2

56、2rrunld)(2電子角向幾率分布電子角向幾率分布電子在基態(tài)和激發(fā)態(tài)時(shí)的角向幾率分布電子在基態(tài)和激發(fā)態(tài)時(shí)的角向幾率分布( (其中基態(tài)時(shí)其中基態(tài)時(shí)是球?qū)ΨQ分布的是球?qū)ΨQ分布的) )。l=0, 1, 2 ,3,分別分別對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) s, p, d, f, 軌道。軌道。規(guī)定：規(guī)定：ENDd),( d)(d),(222lmnlnlYrrrRWd),(2lmY22.8 電子的自旋電子的自旋 泡利不相容原理泡利不相容原理 一、一、 電子的自旋（電子的自旋（spin）無磁場無磁場有磁場有磁場1. 斯特恩蓋拉赫實(shí)驗(yàn)（斯特恩蓋拉赫實(shí)驗(yàn)（1921）實(shí)驗(yàn)結(jié)果：銀原子束穿過實(shí)驗(yàn)結(jié)果：銀原子束穿過非均勻磁場后非均勻磁場后分裂為兩束。分裂為兩束。s1s2P基態(tài)銀原子基態(tài)銀原子射線射線NS非均勻