電磁場與電磁波chap4

1、主要內(nèi)容： 靜態(tài)的場唯一性定理 分離變量方法 Green函數(shù)方法 鏡像原理第四章第四章 靜態(tài)電磁場求解靜態(tài)電磁場求解4.1 4.1 靜態(tài)場的唯一性定理靜態(tài)場的唯一性定理1 1 靜態(tài)電磁場的方程靜態(tài)電磁場的方程 靜電場由電荷激發(fā)，電荷是靜電場的通量源。靜電場由電荷激發(fā)，電荷是靜電場的通量源。 恒定磁場由恒定電流激發(fā)，電流是靜態(tài)磁場的恒定磁場由恒定電流激發(fā)，電流是靜態(tài)磁場的 渦旋源。靜態(tài)電磁場與時間無關(guān)，具有相同的渦旋源。靜態(tài)電磁場與時間無關(guān)，具有相同的 基本特性。基本特性。 靜態(tài)電磁場與時間無關(guān)，屬于時不變場， 數(shù)學(xué)上滿足同一類方程（Poisson方程） rr2為介質(zhì)的電磁特性參數(shù) 靜態(tài)電磁場（

2、恒定電流磁場源區(qū)）具有 無旋特性，可以用標量函數(shù)（稱為位函 數(shù)或勢函數(shù)）的梯度來表示，即 在介質(zhì)的分界面上，位函數(shù)滿足 rrF sSSSSnn|2121rr靜態(tài)電磁場的定解問題為： MnM|，或邊界邊界rrrr2 r rn2 2 唯一性定理唯一性定理 設(shè)在區(qū)域V內(nèi)源已知，在區(qū)域的邊界S上： 或 已知（M為邊界上 的變點）。則在區(qū)域V內(nèi)存在唯一的解， 它在該區(qū)域內(nèi)滿足Poisson方程；在區(qū)域 的邊界上滿給定的邊界條件。稱為靜態(tài)電 磁場的唯一性定理。 M|邊界r Mn|邊界r 311rArrE 322rArrEttEE21nnDD212122112ddd21QAQSSSSESESD設(shè)兩個同心導(dǎo)體

3、球殼之間充滿兩種介質(zhì)。內(nèi)導(dǎo)體帶電，電荷量為Q，外導(dǎo)體球殼接地。 分離變量方法又稱為Fourier級數(shù)方法。其實質(zhì)是通過變量分離將原來的偏微分方程變?yōu)楹写▍?shù)的常微（本征值）方程，求解本征值方程得到本征值和本征函數(shù)。利用本征函數(shù)的完備性展開表示待求函數(shù)；把求待求函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求展開系數(shù)。通過邊界條件等確定展開的系數(shù)，從而求出問題的解 4.2 分離變量方法 CAB 02,00,0,0,0,0,0,00CyxyxzBxzxzyAzyr【例【例4-1】長方形盒的長為A、寬為B、高為C，上蓋電位為 ，其余接地，求盒內(nèi)的電位分布。 0 0000000000000dd1dd1dd1222222Z, y

4、, xYBYz , xz ,B, xXAXz , y,z , y,AzZZyYYxXX zZyYxXr0 00dd222AXXxXkxX 00dd222BYYxYlyY 00dd222ZzZpzZ0222plk ,m,Aml,yBmAyY,n,Ank,xAnAxX321sin321sin21 zlkCzZkl22sinhzBmAnyBmxAnCz , y, xm, nnmsinhsinsin221CBmAnmnCmmsinh162220上述求解過程，歸納分離變量方法的基本程序如下：上述求解過程，歸納分離變量方法的基本程序如下： 提煉出定解問題的數(shù)學(xué)表達式，即方程和邊界條件；提煉出定解問題的數(shù)學(xué)

5、表達式，即方程和邊界條件； 根據(jù)邊界條件選取適合變量分離的正交坐標系；根據(jù)邊界條件選取適合變量分離的正交坐標系； 把方程和邊界條件進行變量分離，得到本征值方程；把方程和邊界條件進行變量分離，得到本征值方程； 求解本征值方程，確定本征值和本征函數(shù)；求解本征值方程，確定本征值和本征函數(shù)； 根據(jù)線性疊加原理，由本征函數(shù)構(gòu)造定解問題的解；根據(jù)線性疊加原理，由本征函數(shù)構(gòu)造定解問題的解； 利用邊界條件確定展開系數(shù)，利用邊界條件確定展開系數(shù)， 驗證解的正確性。驗證解的正確性。 【例【例4-24-2】無窮長導(dǎo)體圓筒，半徑為a，厚度 可以忽略不計。圓筒分成相等的兩個半片， 相互絕緣。其中的一半的電位為 ，另一

6、半電位為 ，求圓筒內(nèi)的電位分布。0V0V0V0V 20011002222,V,a,V,arrrrrr有限值, r, rn, rr0lim2 rRr nn202 有限值rRRndrdRrdrdrr02lim0 , ,n,nn3210sincos 00,ln00nnrbrarbarRnnnn當當0sincos,nnnnnBnArr20sincos000,V,VnBnAa,annnn012012sin1214nkkarkV, r4.3 Green 函數(shù)方法函數(shù)方法 VVrrrrrrr41d4dd小電荷元在 r 點產(chǎn)生的電位V V上體電荷在空間上體電荷在空間產(chǎn)生的電位是全體產(chǎn)生的電位是全體電荷元產(chǎn)生電

7、位的電荷元產(chǎn)生電位的疊加，表示為：疊加，表示為： VGVVVd4drrr,rrrr以電荷產(chǎn)生電位為例以電荷產(chǎn)生電位為例1 1Green Green 函數(shù)方法的基本思想函數(shù)方法的基本思想 上述分析說明，只要點電荷元上述分析說明，只要點電荷元 在空間在空間的電位求得，任意電荷分布的電位即可知。的電位求得，任意電荷分布的電位即可知。此即此即Green函數(shù)的基本思想。因此一個復(fù)雜的。因此一個復(fù)雜的靜電場問題就可以通過先求解小電荷元的電靜電場問題就可以通過先求解小電荷元的電位而獲得最終的。而小電荷元的電位的求解位而獲得最終的。而小電荷元的電位的求解又歸結(jié)為單位點電荷的電位，即又歸結(jié)為單位點電荷的電位，即

8、GreenGreen函數(shù)函數(shù)的的 求解。求解。 V dr)(rr,G2 Poisson2 Poisson方程的方程的GreenGreen函數(shù)函數(shù) MhnMrr2012nGG,Grr,rr,rrrr0)()(0nGnG,G,Grr,r ,rrrrr sn)(GhVGsVddrr,rrr,rrSVSVd)d(2應(yīng)用當?shù)?r把 還原 ，又可表示為，以靜電場為例 rh snGnGVGsVd)()()()(drr,rrrr,rr,rr 區(qū)域內(nèi)體電荷對電位的貢獻區(qū)域邊界面上電荷對電位的貢獻區(qū)域邊界面上區(qū)域邊界面上電偶極矩貢獻電偶極矩貢獻ns sGGn rr,Prr,r兩個特例：（1)1)第一類邊界條件的G

9、reen函數(shù) MMrr2012|s,G,Grrrrrr snGVGsVd)(drr,rrr,rr物理模型rrGreenGreen函數(shù)其物理意義是：函數(shù)其物理意義是： 接地導(dǎo)體殼內(nèi)單位點電荷產(chǎn)生的電位接地導(dǎo)體殼內(nèi)單位點電荷產(chǎn)生的電位（2)2)第二類邊界條件的Green函數(shù) Mnrrr2012|sn,G,Grrrrrr sGVGrsVd )(drrr,rr,r物理模型物理模型rrGreenGreen函數(shù)其物理意義是：函數(shù)其物理意義是： 封閉絕熱邊界條件下區(qū)域內(nèi)部單位熱源產(chǎn)生的封閉絕熱邊界條件下區(qū)域內(nèi)部單位熱源產(chǎn)生的恒定的溫度場，這是一個與物理原理相矛盾的結(jié)果恒定的溫度場，這是一個與物理原理相矛盾的

10、結(jié)果絕熱邊界條件：絕熱邊界條件：不與外界交換能量的邊界條件不與外界交換能量的邊界條件3 Green3 Green函數(shù)的對稱性函數(shù)的對稱性 在應(yīng)用Green函數(shù)方法求 解靜態(tài)電磁場問題的一般 解時，為了解決表達式中 源點與場點出現(xiàn)矛盾的問 題，有一個重要的假設(shè)：00n)(Gn)(GGGrr,r ,rrr,r ,r物理意義：物理意義： 點的源在點的源在r r 點點產(chǎn)產(chǎn)生的場等于生的場等于 r r 點的點的源在源在 點點 產(chǎn)生的產(chǎn)生的場，具有互易性場，具有互易性 。rr,rrGrr ,G Green函數(shù)的求解： Green函數(shù)本身也是一個數(shù)學(xué)物理方程，所 有關(guān)于數(shù)學(xué)物理方程的求解方法也是Green

11、函數(shù)的求解方法，包括： 分離變量方法、積分變換方法 靜電鏡像方法、復(fù)變函數(shù)方法鏡像方法、復(fù)變函數(shù)方法 積分公式方法、積分公式方法、Fourier級數(shù)方法級數(shù)方法 【例【例4-34-3】求一無窮長矩形】求一無窮長矩形金屬殼內(nèi)單位線源的單位，金屬殼內(nèi)單位線源的單位，導(dǎo)體殼接地。導(dǎo)體殼接地。100sinsinm,nnmyamxanAy,x|y, xG設(shè)：（x0，y0）010000002|b ,ya ,x,Gyy,xx,Grrrrba122002sinsinm,nnmbymaxnbmanAy,x|y,xG 001221sinsinyyxxbymaxnbmanAm,nnm2200sin4sinbmana

12、bybnxanAnm4.4 鏡像方法 1 鏡像方法的基本思想鏡像方法的基本思想 以靜電場以靜電場Green函數(shù)滿足的函數(shù)滿足的方程為例：方程為例： 物理上它表示接地導(dǎo)體殼內(nèi)物理上它表示接地導(dǎo)體殼內(nèi) 單位點電荷的電位，它由單單位點電荷的電位，它由單 位電荷在直接激發(fā)的電位和位電荷在直接激發(fā)的電位和 邊界感應(yīng)電荷激發(fā)的電位兩邊界感應(yīng)電荷激發(fā)的電位兩個部分疊加而成。個部分疊加而成。 012|s,G,Grrrrrr感應(yīng)面電荷 上述表達式中，單位點電荷在空間產(chǎn)生的電位已 知道，因此方程的求解最終歸結(jié)為求出邊界感應(yīng) 電荷產(chǎn)生的電位。為了得到感應(yīng)電荷及其產(chǎn)生的 電位，人們試圖尋找一個或者多個想象的點電荷 來

13、等效邊界面上感應(yīng)電荷對電位的貢獻，這個想 象的一個或者多個點電荷稱為像電荷。這一方法 稱為鏡像方法。 無窮大接地導(dǎo)體平板上方單位點電荷在上半空間的電位。定解問題是： 001002|z,Gz,Grrrrrr導(dǎo)體平板上方的電位為單位點電荷的貢獻和導(dǎo)體平板面上感應(yīng)電荷的貢獻的疊加。如果能找到一個與導(dǎo)體平板感應(yīng)電荷在上半空間產(chǎn)生電位等效的像電荷Q來代替導(dǎo)體平板上的感應(yīng)電荷，那么導(dǎo)體平板上方的電位可以表示為 2010441RQRGrr,R1R2001002|z,Gz,GrrrrrrQ,Grrrrrr021在上半空間等效在上半空間等效 像電荷的位置不在上半空間 像電荷像電荷在原電荷與感應(yīng)電荷中心的連線上

14、像電荷與原電荷的符號相反 像與原電荷在平面xoy上的電位為零原電荷像電荷所以：fe zr0Q22222201141hzyxhzyxGrr,0441020100|zzRQRGrr,he z rhf 上半空間的上半空間的Green函數(shù)函數(shù)(1) 鏡像原理的基本思想是尋找一個或幾個想象 的電荷等效邊界感應(yīng)電荷的貢獻(2) 像電荷須在區(qū)域的外部，并且與區(qū)域原電荷 符號相反 (3) 像電荷在界面感應(yīng)電荷與原點電荷連線的延 長線上。理論證明，區(qū)域外部像電荷位置與 區(qū)域內(nèi)原電荷的位置互為共軛點對。利用邊 界條件確定像電荷大小和位置。 接地導(dǎo)體球殼外部空間的Green函數(shù) 00102|ar,Grr,Grrrr

15、rr，2010441RQRGrr,cos212121addrRcos222222addrR0121arRQR0)(cos2)( )(212212222ddQadaQda00)()(212212222dd Q,da Qda122dad1daQ4.5 4.5 勢函數(shù)的多極矩展開勢函數(shù)的多極矩展開1. 1. 無界空間中勢函數(shù)需要計算：無界空間中勢函數(shù)需要計算：上述體積分的精確計算是困難的，其上述體積分的精確計算是困難的，其原因在于被積函數(shù)中包含了場點變量原因在于被積函數(shù)中包含了場點變量在內(nèi)。今天，利用數(shù)值計算的方法，在內(nèi)。今天，利用數(shù)值計算的方法，借助計算機能夠給出空間任意場點的借助計算機能夠給出空

16、間任意場點的數(shù)值，但希望對于數(shù)值結(jié)果的理解有數(shù)值，但希望對于數(shù)值結(jié)果的理解有一個簡潔而又清楚的物理圖像，以便一個簡潔而又清楚的物理圖像，以便建立相應(yīng)的物理模型。建立相應(yīng)的物理模型。 VVd410rrrr2 2 電位函數(shù)多極矩展開電位函數(shù)多極矩展開 由于激勵源所在區(qū)域的尺度遠小于源到場 點的距離，將Taylor展開公式 應(yīng)用于 得到： rrrrfnfnn!11rr rnrrrnn1!11! 211112rrrrr所以：利用得到其中 r.nVnnnV1!1d4100 rrr rrrQ1:611410DPr VVVQVVVd3ddrrrDrrPr rrrrrrrrfff:2 333231232221131211d3De e De e De e De e De e De e De e De e De e VzzyzxzzyyyxyzxyxxxVrrrD31ddd3321321321j , izx ,yx ,xxxxxx ,x ,xxxDVjiij，其中3 3 展開式各項的意義展開式各項的意義 電多極矩概念電多極矩概念零級展開項：零級展開項：表示電荷全部集中于坐標原表示電荷全部集中于坐標原點時在遠處產(chǎn)生的電位。它點時在遠處產(chǎn)生的電位。它是忽略電荷體中不同電荷元是忽略電荷體中不同電荷元到場點距離差別的直接結(jié)果到場點距離差別的直接結(jié)果 rQ004r VQVdr一級展開項：是小電荷體中電荷分布的