物理學下第五版馬文蔚復習PPT(精簡版) 1機械振動(總)

1、1第九章第九章 振動振動9.1 簡諧運動簡諧運動9.2 簡諧運動中的振幅簡諧運動中的振幅 周期周期 頻率和相位頻率和相位9.3 旋轉矢量法旋轉矢量法9.4 簡諧運動的能量簡諧運動的能量9.5 簡諧運動的合成簡諧運動的合成擺動擺動29.1 簡諧運動簡諧運動1. 簡諧振動的動力學方程簡諧振動的動力學方程(1) 彈簧彈簧振子moxF受力受力 F=kx由牛頓第二定律由牛頓第二定律22d xkxmdt令令mk 2 則則0222 xdtxd 凡滿足以上特征的運動叫凡滿足以上特征的運動叫簡諧運動簡諧運動.物體受線性恢復力的作用物體受線性恢復力的作用; 或或加速度與位移大小加速度與位移大小成正比成正比,而方向

2、相反而方向相反; 或或有簡諧運動的微分方程有簡諧運動的微分方程.022xmkdtxd3(2) 單擺單擺PF忽略空氣阻力，質點在平衡忽略空氣阻力，質點在平衡點附近點附近(5)往復運動往復運動mAlO重力矩重力矩：M=mgl sin根據轉動定律：根據轉動定律：22ddtJM 而而 J= ml 2222ddsintmlmgl 小角度條件下小角度條件下 sin ( 5)022 lgdtd2gl令2220ddt 質點作簡諧運動。質點作簡諧運動。單擺的周期單擺的周期取決于擺長和重力加速度。取決于擺長和重力加速度。42. 振動狀態(tài)振動狀態(tài)簡諧運動微分方程的解為簡諧運動微分方程的解為:)cos( tAx那么速

3、度為那么速度為:sin()dxvAtdt cos()2mvt式中式中vm=A為速度振幅為速度振幅加速度為加速度為:)cos(2 tAdtdvacos()mat式中式中am= 2A 為為加速度振幅加速度振幅A、 為待定系數為待定系數0222 xdtxd 5運動曲線運動曲線xt.vt,at運動曲線圖如下：運動曲線圖如下：xt/2/oA-AtvotoaA-A2A-2A彈簧振子彈簧振子69.2 簡諧運動中的振幅簡諧運動中的振幅 周期周期 頻率和相位頻率和相位1) 振幅振幅A由由)cos( tAx其中其中A為振幅為振幅簡諧運動的物體離開平衡位置最大位移的絕對值簡諧運動的物體離開平衡位置最大位移的絕對值速

4、度振幅速度振幅: vm=A加速度振幅加速度振幅:am=2A2) 周期周期 頻率頻率 圓頻率圓頻率周期周期T:物體作一次完全振動所經歷的時間物體作一次完全振動所經歷的時間)cos()(cos)cos( TtATtAtAx 2 T 2 T所以所以彈簧振子彈簧振子:kmT 2 單擺單擺:glT 2 73) 相位和初相位相位和初相位頻率頻率f : 單位時間內物體所作的完全振動的次數單位時間內物體所作的完全振動的次數1(:Hz)2fT單位2f或圓頻率圓頻率 :物體在單位時間內所作的完全振動次物體在單位時間內所作的完全振動次數的數的2倍倍(又叫角頻率又叫角頻率) 單位單位: rad/s彈簧振子彈簧振子12

5、kfmmk 固有頻率固有頻率相位相位(t + ):決定物體在任意時刻的振動狀態(tài)決定物體在任意時刻的振動狀態(tài) 初相位初相位 :決定初始時刻振動物體的運動狀態(tài)決定初始時刻振動物體的運動狀態(tài)相位即可以決定振動狀態(tài)相位即可以決定振動狀態(tài),也常用來比較兩個諧振也常用來比較兩個諧振動是否同步動是否同步89.3 旋轉矢量法旋轉矢量法（用幾何方法表示簡諧振動）（用幾何方法表示簡諧振動） t+ PoxyM0Mx對任意時刻對任意時刻t，作矢量，作矢量A, 使它在使它在oxy平面上繞平面上繞o點點沿逆時針角速度沿逆時針角速度轉動轉動, 其矢量的端點其矢量的端點M在在x軸上軸上的投影點坐標為位移的投影點坐標為位移x.

6、 oM與與x軸正方向的夾角軸正方向的夾角為為t+ 。)cos( tAx t =0 時時,矢端在矢端在M0點點同理速度矢量同理速度矢量v, 加速度矢量加速度矢量a 也可用旋轉矢量表示也可用旋轉矢量表示amvm) 2cos( tvvm)cos( taamAM勻速轉動勻速轉動, P點也隨之作簡諧運動。點也隨之作簡諧運動。旋轉矢量旋轉矢量9相位差相位差:111222cos()cos()xAtxAt21()()tt21(或或2 的整數倍）的整數倍） （或（或 的奇數倍）的奇數倍） x2 比比 x1 超前超前 3 /2我們說我們說x2 比比 x1 超前超前/223210 00步調一致步調一致 步調相反步調

7、相反或說或說x1 比比 x2 超前超前 （一般用此說法）（一般用此說法）21或或 x1 比比x2 落后落后 注意：注意：一般使用一般使用的說法！的說法！10) 2cos( tvvm)cos( taam各量作簡諧振動的關系是各量作簡諧振動的關系是: v比比x超前超前/2; a比比v超前超前/2; a與與x反相反相.)cos( tAxoxyamvmA11運動曲線運動曲線xt.vt,at運動曲線圖如下：運動曲線圖如下：xt/2/otvotoa v比比x超前超前/2; a比比v超前超前/2; a與與x反相反相.12旋轉矢量法的優(yōu)點旋轉矢量法的優(yōu)點(1)把簡諧振動轉化為勻速圓周運動把簡諧振動轉化為勻速圓

8、周運動.(2)利用該方法可方便地畫出利用該方法可方便地畫出x t, v t, a t 圖圖(3)可方便地比較兩個振動的相位可方便地比較兩個振動的相位,方便地求初相位方便地求初相位(4)方便地進行兩個振動的合成方便地進行兩個振動的合成例例1. 試畫出試畫出x=Acos(t+/4)的的xt 圖線圖線oxotxa/4a b T/8b cc dd ee T/25T/8T13ox例題例題3.一 輕 彈 簧 的 右 端 連 著 一 物 體一 輕 彈 簧 的 右 端 連 著 一 物 體 , 彈 簧 的 勁 度 系 數 為彈 簧 的 勁 度 系 數 為k=0.72N/m, 物體的質量物體的質量m =20g.

9、(1)把物體從平衡位置向把物體從平衡位置向右拉到右拉到x = 0.05m 處停下后再釋放處停下后再釋放, 求簡諧運動方程求簡諧運動方程; 解解（1）先求角頻率先求角頻率 、振幅振幅A、初相位初相位 1s0 . 602. 072. 0 mk 0.05mA由旋轉矢量圖知由旋轉矢量圖知 =0所以運動方程為：所以運動方程為：)SI()6cos(05. 0tx A14由運動方程由運動方程由旋轉矢量圖知第一次經過由旋轉矢量圖知第一次經過A/2時時3 toxAA/2/3As /m26. 0sin tAv 設設 x = A cos(6t+ )由旋轉矢量圖知由旋轉矢量圖知t=0時時cos0.05sin0.3/A

10、mAm s0.05 2m,4A ：得0.05 2cos(6)(SI)4xtoxA -/4(2)求物體從初位置運動到第一次經過求物體從初位置運動到第一次經過A/2處時的速率處時的速率; (3)如果物體在如果物體在x = 0.05m處時速度不等于零處時速度不等于零, 而是具有向而是具有向右的初速度右的初速度v0= 0.30m/s, 求其運動方程求其運動方程.AAAA15 例例4：一質量為一質量為0.01kg的物體作簡諧運動的物體作簡諧運動,其振幅為其振幅為0.08m,周期為周期為4s,起始時刻在起始時刻在x=0.04m處處,向向ox軸負方向軸負方向運動運動.試求試求:(1)t=1.0s時時,物體所

11、處的位置和所受的力物體所處的位置和所受的力;(2)由起始位置運動到由起始位置運動到x=0.04m處所需要的最短時間處所需要的最短時間.解解:已知已知 A=0.08m 1s22 T3)32cos(08. 0 tx得得(1) t=1.0s時，由上式知時，由上式知x=0.069mF=kx=m2x=1.70103N 或用或用F=ma(2)由旋轉矢量圖知由旋轉矢量圖知t=/3/32s0.667s/ 23t解得受力為受力為oxAA/2/3由旋轉矢量圖知由旋轉矢量圖知t=0 時時16質點沿質點沿x軸作簡諧振動，振動方程為：軸作簡諧振動，振動方程為：從從t=0時起，到質點位置在時起，到質點位置在x=-2cm處

12、，且向處，且向x軸正方向軸正方向運動的最短時間間隔為多少？運動的最短時間間隔為多少？0.04cos(2/3)()xtSI17 例例5. 一物體沿一物體沿 X 軸作簡諧振動，軸作簡諧振動，A = 12 cm T = 2s 當當 t = 0 時，時，X0 = 6 cm ，且向，且向 X 正正方向運動方向運動.由旋轉矢量看由旋轉矢量看Xcm0 t121 1 3 2 3 （2）t=0.5s 時，物體的時，物體的位置、速度、加速度位置、速度、加速度.)tcos(A )sin( tA)cos(2 tA6cos12 )( 410cm )(9181 s)scm(103x22 2 求求（1） 初位相初位相06a

13、xv時，時， 635 . 0t s5 . 0t, 18（3）在在 x = - 6cm 處且向處且向 X 負負方向運動時，物體的方向運動時，物體的速度速度 、加速度、加速度以及從這一位置回到平衡位置需的以及從這一位置回到平衡位置需的時間。時間。32sin12 )scm(361 )scm(622 avXcm6 2/3)sin( tAvxa2 )cos( tAx 32t 將將 代入代入 v , a 的解析式，求得：的解析式，求得：32t )6(2 19從這一位置回到平衡位置所需的從這一位置回到平衡位置所需的時間：時間： t6523 )(83306565s tXcm6 2/3t （4）從初始時刻開始，

14、第二次通過平衡位置的時刻從初始時刻開始，第二次通過平衡位置的時刻23 611)(611s t t=Xcm0 t ttt 209-4 簡諧運動的能量簡諧運動的能量)cos( tAx)sin( tAv以彈簧振子為例：以彈簧振子為例：當其位移為當其位移為x，速度為，速度為v時時系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的動能)(sin21212222k tAmmvE系統(tǒng)的勢能系統(tǒng)的勢能)(cos2121222p tkAkxE利用利用k = m2 總能總能222pk2121kAAmEEE moxv彈簧振子的總能量與振幅的平方成正比彈簧振子的總能量與振幅的平方成正比.k、A都是常量，因此都是常量，因此總能量守恒總能量守恒. 但動能

15、、勢能相互轉換但動能、勢能相互轉換.21例：彈簧振子中，物體質量為例：彈簧振子中，物體質量為0.10kg，以振幅，以振幅1.0102m作簡諧振運動，其最大加速度為作簡諧振運動，其最大加速度為4.0m/s2，求，求:(1)振振動的周期動的周期;(2)通過平衡位置時的動能通過平衡位置時的動能;(3)總能量總能量;(4)物物體在何處其動能與勢能相等體在何處其動能與勢能相等?解解: (1)12ms20100 . 10 . 4 Aa sT314. 02 (2) 物體通過平衡位置時速度最大物體通過平衡位置時速度最大22max2max,k2121AmmvE=2.0103J(3) 總能量總能量E = Ek,m

16、ax= 2.0103J(4) 當當Ek = Ep時時 , Ep=1.0103J得得由由2222121xmkxEp 242220.5 10 mpExm即即 x=0.707cm 229-5 簡諧運動的合成簡諧運動的合成1.兩個同方向同頻率簡諧運動的合成兩個同方向同頻率簡諧運動的合成設兩個諧運動同方向設兩個諧運動同方向(x), 同頻率同頻率(). 運動方程分別為運動方程分別為:)cos(111 tAx)cos(222 tAx合位移應在同一方向上合位移應在同一方向上(x) x = x1 + x2 旋轉矢量法旋轉矢量法oxx2x1xx2 1A1 2A2 A)(cos2122122212 AAAAA)cos(212212221 AAAA)cos(21 tAxxx22112211coscossinsin AAAAtg 仍為仍為簡諧振動簡諧振動, 角頻率與分振動相同角頻率與分振動相同,振幅振幅A、初相、初相 如上如上.23討論討論(1)若相位差