理論力學—平面任意力系學習教案

1、會計學1理論力學理論力學平面平面(pngmin)任意力系任意力系第一頁，共74頁。第1頁/共73頁第二頁，共74頁。BAFBAFFFBAFM力的平移定理逆步驟，變可把一個力的平移定理逆步驟，變可把一個(y )力和一個力和一個(y )力偶合成為一個力偶合成為一個(y )力。力。第2頁/共73頁第三頁，共74頁。力的平移定理揭示了力與力偶的關系：力力的平移定理揭示了力與力偶的關系：力 力力+力偶力偶 力平移的條件是附加一個力偶力平移的條件是附加一個力偶m，且，且m與與d有關，有關，m=Fd 力的平移定理是力系簡化的理論基礎。力的平移定理是力系簡化的理論基礎。說明說明(shumng)：第3頁/共73

2、頁第四頁，共74頁。OF1F2F3OF1F3F2F1 M1F2 M2F3 M3OFR MO第4頁/共73頁第五頁，共74頁。 iixiiyiiOOMFyFxFMMiRFF平面(pngmin)任意力系力的平移(pn y)定理=平面匯交力系+平面力偶系平面匯交力系的合力稱為主矢，用 表示RF平面力偶系（原力偶和附加力偶）的合成結果為主矩第5頁/共73頁第六頁，共74頁。主矢等于平面任意力系中所有力(yul)的和；主矩值等于平面任意力系中所有力(yul)對簡化中心的矩之和。平面(pngmin)任意力系=平面(pngmin)匯交力系+平面(pngmin)力偶系平面任意力系=主矢+主矩主矢值與簡化中心無

3、關，作用于簡化中心，主矩值與簡化中心有關，作用于平面上。第6頁/共73頁第七頁，共74頁。AxFAAAAyFAM第7頁/共73頁第八頁，共74頁。四種(s zhn)情況：(1) FR0，MO0 ; (2) FR 0，MO 0 ; (3) FR 0，MO0 ; (4) FR0，MO0 (1)平面任意(rny)力系簡化為一個力偶的情形原力系合成為合力偶。合力偶矩M等于原力系對簡化中心的主矩。此時主矩與簡化中心的位置無關。()OOMM FF4F1F2F3ABCD四個力是否平衡？ FR0，MO0第8頁/共73頁第九頁，共74頁。OMRFRF(1)平面任意力系簡化為一個合力(hl)的情形：合力(hl)矩

4、定理如果主矢不等于零，主矩等于零，平面(pngmin)任意力系簡化為一個合力，合力通過簡化中心。如果主矢不等于零，主矩也不等于零，力系可以進一步簡化，簡化為一個合力。OORFRF dRFO第9頁/共73頁第十頁，共74頁。 iOOROFMMFM第10頁/共73頁第十一頁，共74頁。簡化簡化(jinhu)中心：中心：A點點主矢主矢思考：三角形分布思考：三角形分布(fnb)載荷處理？載荷處理？qlqdxlxRl210主矩主矩2031qlqdxlxxmLlA簡化簡化(jinhu)最終結果最終結果lqlqlRLd3221312yxRmAdRxldxqlxR=qlR21 分布在較大范圍內，不能看作集中力

5、的荷載稱分布荷載。若分布荷載可以簡化為沿物體中心線分布的平行力，則稱此力系為平行分布線荷載，簡稱線荷載。第11頁/共73頁第十二頁，共74頁。第12頁/共73頁第十三頁，共74頁。6341P2P3PABC 例 圖示力系，已知：P1=100N, P2=50N, P3=200N,圖中距離 單位cm。 求：1、力系主矢及對A點之矩？ 2、力系簡化最后(zuhu)結果。解：1、建立(jinl)坐標系xy2、X=Fx=P3 =200NY=Fy=P1+ P2 =100+50 =150N 主矢NYXR2501502002222 8 . 0250200),cos(cosRXxR =36.9R cmN30065

6、06)(2PFmmiAA第13頁/共73頁第十四頁，共74頁。1P2P3PABCxyRcmN300Am2、簡化(jinhu)最終結果LA =cm2 . 1250300RLhmARh主矢NR250 主矩最終(zu zhn)結果合力(hl)大?。篘RR250 方向: =36.9位置圖示：方向： =36.9第14頁/共73頁第十五頁，共74頁。00ROM F22()()()RxyOOiFFFMM F平面任意(rny)力系平衡的必要與充分條件是：力系的主矢和對任一點的主矩都等于零。即第15頁/共73頁第十六頁，共74頁。22()() ,()RxyOOiFFFMM F即：平面任意力系平衡的解析條件是：力

7、系中所有(suyu)各力在其作用面內兩個任選的坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零，所有(suyu)各力對任一點之矩的代數(shù)和等于零。上式稱為平面任意力系的平衡方程。 00()0 xiyiOiFFMF由于所以第16頁/共73頁第十七頁，共74頁。解：以剛架為研究(ynji)對象，受力如圖。0:0 xAxFFqb0:0yAyFFP()0:AMF0212qbPaMA解之得：AxFqbAyFP221qbPaMA例1 求圖示剛架的約束(yush)反力。APabqAPqFAyFAxMA第17頁/共73頁第十八頁，共74頁。第18頁/共73頁第十九頁，共74頁。(1) 二矩式0()0()0 xABFMMFF其中(

8、qzhng)A、B兩點的連線AB不能垂直于投影軸x。由后面兩式知：力系不可能簡化為一力偶(l u)，只能簡化為過A、B兩點的一合力或處于平衡。再加第一條件，若AB連線不垂直于x 軸 (或y 軸），則力系必平衡。第19頁/共73頁第二十頁，共74頁。(2) 三矩式()0()0()0ABCMMMFFF其中(qzhng)A、B、C三點不能在同一條直線上。注意注意(zh y)：以上格式分別有三個獨立方程，只能求出三個未知以上格式分別有三個獨立方程，只能求出三個未知數(shù)。數(shù)。 由前面兩式知：力系不可能簡化為一力偶，只能簡化為過A、B兩點的一合力或處于平衡，再加第三(d sn)條件，力系只能簡化為過A、B、

9、C三點的一合力或處于平衡，若三點不在同一直線上，則力系必平衡。第20頁/共73頁第二十一頁，共74頁。例3 懸臂吊車如圖所示。橫梁AB長l2.5 m，重量P1.2 kN，拉桿CB的傾角a30，質量(zhling)不計，載荷Q7.5 kN。求圖示位置a2 m時拉桿的拉力和鉸鏈A的約束反力。第21頁/共73頁第二十二頁，共74頁。解：取橫梁AB為研究(ynji)對象。ABEHPQFTFAyFAxa0 xFsin0(2)AyTFPFQ()0AMFcos0(1)AxTFF0yFsin0(3)2TllPFQa 從(3)式解出1()13.2 kNsin2TlFPQal代入(1)式解出cos11.43kNA

10、xTFF代入(2)式解出sin2.1kNAyTFQPF第22頁/共73頁第二十三頁，共74頁。CABEHPQFTFAyFAxasin0(2)AyTFPFQcos0(1)AxTFFsin0(3)2TllPFQa ()0BMF如果再分別取B和C為矩心列平衡(pnghng)方程得()0 (4)2AylPQlFla ()0CMFtan0(5)2AxFllPQa 有效的方程(fngchng)組合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；2,4,5 ；3,4,5第23頁/共73頁第二十四頁，共74頁。 力的作用線在同一平面且相互(xingh)平行的力系稱平面平行力系。Oxy 平面平行力系作為平面

11、任意力系的特殊情況，當它平衡時，也應滿足平面任意力系的平衡方程，選如圖的坐標(zubio)，則Fx0自然滿足。于是平面平行力系的平衡方程為：0;()0yOFM F平面平行力系的平衡(pnghng)方程也可表示為二矩式：()0;()0ABMM FF其中AB連線不能與各力的作用線平行。F2F1F3Fn第24頁/共73頁第二十五頁，共74頁。例4 已知：塔式起重機 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如圖。求：保證滿載和空載(kn zi)時不致翻倒，平衡塊Q=？ 當Q=180kN時，求滿載時軌道A、B給起重機輪子的反力？第25頁/共73頁第二十六頁，共74頁。0)(FmB(6 2)

12、2(12 2)(2 2)0APQWN 0ANkN 75Q限制限制(xinzh)條件：條件：解：解： 首先考慮滿載首先考慮滿載(mnzi)時，起重機不向右翻倒的時，起重機不向右翻倒的Q：空載空載(kn zi)時，時，W=0由0)(FmA0) 22(2) 26(BNPQ限制條件為：限制條件為：0BN解得解得kN 350Q因此保證空、滿載均不倒，因此保證空、滿載均不倒，Q應滿足如下關系：應滿足如下關系：kN 350kN 75Q解得解得: :第26頁/共73頁第二十七頁，共74頁。04) 212(2) 26 (BNWPQ0)(FmA0yiF 0BANNWPQ210 kN870 kNABNN求當求當Q=

13、180kN，滿載，滿載W=200kN時，時，NA ,NB為多少為多少(dusho) 由平面平行力系的平衡方程可得：由平面平行力系的平衡方程可得： 解得：解得：第27頁/共73頁第二十八頁，共74頁。 由若干個物體通過(tnggu)約束所組成的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)，簡稱物系。外界物體作用于系統(tǒng)的力稱該系統(tǒng)的外力。系統(tǒng)內各物體間相互作用的力稱該系統(tǒng)的內力。當整個系統(tǒng)平衡時，系統(tǒng)內每個物體都平衡。反之，系統(tǒng)中每個物體都平衡，則系統(tǒng)必然平衡。因此，當研究物體系統(tǒng)的平衡時，研究對象可以是整體，也可以是局部，也可以是單個物體。第28頁/共73頁第二十九頁，共74頁。 在靜力學中求解物體系統(tǒng)的平衡問題時，若未知

14、量的數(shù)目不超過獨立平衡方程(fngchng)數(shù)目，則由剛體靜力學理論，可把全部未知量求出，這類問題稱為靜定問題。若未知量的數(shù)目多于獨立平衡方程(fngchng)數(shù)目，則全部未知量用剛體靜力學理論無法求出，這類問題稱為靜不定問題或超靜定問題。而總未知量數(shù)與總獨立平衡方程(fngchng)數(shù)之差稱為靜不定次數(shù)。第29頁/共73頁第三十頁，共74頁。 靜不定(bdng)問題在強度力學（材力,結力,彈力）中用位移諧調條件來求解。靜定靜定(jn dn)(jn dn)（未知數(shù)三個）（未知數(shù)三個） 靜不定（未知數(shù)四個靜不定（未知數(shù)四個）第30頁/共73頁第三十一頁，共74頁。PPPPFPFPF判斷各圖的超靜

15、定判斷各圖的超靜定(jn dn)次數(shù)次數(shù)第31頁/共73頁第三十二頁，共74頁。例5 求圖示三鉸剛架的支座(zh zu)反力。解：先以整體(zhngt)為研究對象，受力如圖。0:0 xAxBxFFFF0:0yAyByFFFqa()0:3202AByMFaFaqaaF可解得：3124ByFFqaCBqaaaAFFAxFAyqCBAFFBxFBy1142AyFqaF第32頁/共73頁第三十三頁，共74頁。再以AC為研究(ynji)對象，受力如圖。()0:0CAxAyMF aF aF解得：1142AxAyFFqaF1124BxFFqa FAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF第33頁/共73頁

16、第三十四頁，共74頁。例6求圖示多跨靜定(jn dn)梁的支座反力。解：先以CD為研究(ynji)對象，受力如圖。3()0:3302CDMFqF32DFq再以整體(zhngt)為研究對象，受力如圖。0:0 xAxFF0:40yAyBDFFFFFq()0:842460ADBMFFFqF132BFFq1122AyFFqCBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBq解得CDCBAD第34頁/共73頁第三十五頁，共74頁。第35頁/共73頁第三十六頁，共74頁。例8 組合結構如圖所示，求支座(zh zu)反力和各桿的內力。解：先以整體(zhngt)為研究對象，受力如圖。0:0 xAxD

17、FFF0:(2)0yAyFFqab212()0(2)0ADMF aqabF解之得：2(2)2DqabFa2(2)2AxqabFa (2)AyFqabaaabDACEFBq123DACEFBq123FDFAxFAy第36頁/共73頁第三十七頁，共74頁。130:cos450 xFFF230:sin450yFFF23(2)2qabFa 22(2)2qabFaF1F2F3Cxy451DFF再以鉸C為研究對象(duxing)，受力如圖，建立如圖坐標。aaabDACEFBq123第37頁/共73頁第三十八頁，共74頁。例9 圖示結構，各桿在A、E、F、G處均為鉸接，B處為光滑接觸。在C、D兩處分別作用力

18、P1和P2，且P1P2500 N，各桿自重(zzhng)不計，求F處的約束反力。解：先以整體為研究(ynji)對象，受力如圖。()0:AMF214260BFPP解得：1000NBF 2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2P1P2ADEFGBCFAxFAyFB第38頁/共73頁第三十九頁，共74頁。再以DF為研究(ynji)對象，受力如圖。2()0:220EFyMPFF解得：2500 NFyFP 最后(zuhu)以桿BG為研究對象，受力如圖。()0:GMF4220BFyFxFFF解得：1500 NFxF P2DEFFEyFFyFFxFExFGyFBFGBFGxFFyFFx2m2m2m2m

19、2m2mADEFGBCP1P2第39頁/共73頁第四十頁，共74頁。ABCD例10 三根等長同重均質桿(重W)如圖在鉛垂面內以鉸鏈和繩EF構成正方形。已知：E、F是AB、BC中點，AB水平(shupng)，求繩EF的張力。解1：取AB分析(fnx)，受力如圖。不妨設桿長為l。()0:BMFsin450(1)22AyTllF lWF再以整體為研究(ynji)對象，受力如圖。0:yF30(2)AyDyFFWABCDFByFBxABFAxFAyWFTWWWFAxFAyFDxFDy第40頁/共73頁第四十一頁，共74頁。最后以DC為研究(ynji)對象，受力如圖。0(3)2DylF lW聯(lián)立求解(qi

20、 ji)(1)、(2)、(3)得：42TFW()0:CMFFCyFCxDCFDxFDyWABCD第41頁/共73頁第四十二頁，共74頁。解2：先以BC為研究(ynji)對象，受力如圖。sin450(4)2CxTlFlF 再以DC為研究(ynji)對象，受力如圖。0 xFFCxFCyFBxFByBCW()0:BMFFT0(5)DxCxFFABCD第42頁/共73頁第四十三頁，共74頁。聯(lián)立求解(qi ji)(4)、(5)、(6)即可的同樣結果。最后以整體(zhngt)為研究對象，受力如圖。20(6)2DxlF lWWl()0:AMFABCDWWWFAxFAyFDxFDyABCD解2：先以BC為研

21、究(ynji)對象，受力如圖。sin450(4)2CxTlFlF 再以DC為研究對象，受力如圖。0 xF()0:BMF0(5)DxCxFF第43頁/共73頁第四十四頁，共74頁。例11 三無重桿AC、BD、CD如圖鉸接，B處為光滑接觸，ABCD為正方形，在CD桿距C三分之一處作用(zuyng)一垂直力P，求鉸鏈 E 處的反力。解：先以整體為研究(ynji)對象，受力如圖。0:0 xAxFF2()0:03ABMF lPlF0:0yAyBFFFP解得：13AyFP23BFPPlDl2l/3CABEPDCABEFAxFAyFB第44頁/共73頁第四十五頁，共74頁。EPD2l/3CB下面用不同的方法

22、(fngf)求鉸鏈 E 的受力。方法1：先以DC為研究(ynji)對象。2()0:03DCylMFlP F23CyFP再以BDC為研究(ynji)對象。0:0yEyBCyFFFFP13EyFP ()0:0232CExEylllMFPFFExFP 類似地，亦可以DC為研究對象，求FDy，再以ACD為研究對象求解。PD2l/3CFDxFDyFCxFCyFBFExFEyFCxFCy第45頁/共73頁第四十六頁，共74頁。方法2：分別以ACD和AC為研究(ynji)對象。()0:DMF20223AxExEylllF lFFP022AxAyExEyllF lF lFF聯(lián)立求解以上(yshng)兩方程即得

23、同樣結果。類似(li s)地，亦可以BDC和BD為研究對象，進行求解。P2l/3DCAEFExFEyFDxFDyFAxFAyCAEFAxFAyFExFEyFCxFCy()0:CMF第46頁/共73頁第四十七頁，共74頁。方法(fngf)3：分別以BD和AC為研究對象，受力如圖。1202BEF lFl12 23EFP2202AxEAyF lFlF l2223EEFPF 用RE1、RE2表示(biosh)的約束反力和用FEx、FEy表示(biosh)的約束反力本質上是同一個力。CAEFAxFAyFExFEyFE2FE1DBEFDxFDyFE2FE1FB()0:DMF()0:CMF第47頁/共73頁

24、第四十八頁，共74頁。例12 兩根鉛直梁AB、CD與水平梁BC鉸接，B、C、D均為光滑鉸鏈(jiolin)，A為固定支座，各梁的長度均為l2 m，受力情況如圖所示。已知水平力F6 kN，M4 kNm，q3 kN/m。求固定端A及鉸鏈(jiolin)C的約束反力。ABCDF2l/3l/2 Mq0MBCFByFBxFCxFCy解: (1) 取BC分析(fnx)()0:0BCyMMFl F2 kNCyMFl 求得結果為負說明與假設(jish)方向相反。第48頁/共73頁第四十九頁，共74頁。(2) 取CD分析(fnx)FCDFCxFCyFDxFDy2()0:03DCxlMFlF F24 kN3CxF

25、F 求得結果(ji gu)為負說明與假設方向相反。ABCDF2l/3l/2 Mq0第49頁/共73頁第五十頁，共74頁。第50頁/共73頁第五十一頁，共74頁。ABEDax1234EACBD例13 編號(bin ho)為1、2、3、4的四根桿件組成平面結構，其中A、C、E為光滑鉸鏈，B、D為光滑接觸，E為中點，各桿自重不計。在水平桿 2 上作用一鉛垂向下的力 F，試證明無論力 F 的位置 x 如何改變，其豎桿 1 總是受到大小等于F 的壓力。F解：本題為求二力桿（桿1）的內力FA1或FC1。為此(wi c)先取桿2、4及銷釘A為研究對象，受力如圖。FFA1FEyFExFND1NN()0:()0

26、( )2222EABDMbbbbFFxFFaFb上式中FND和FNB為未知量，必須先求得；為此再分別取整體和桿2為研究(ynji)對象。FNB第51頁/共73頁第五十二頁，共74頁。ABFFAyFAxN()0:0CDMFbFxF取整體為研究(ynji)對象，受力如圖。FNBxa1234EACBDbNDFxFbN()0:0ABMF bFxF取水平桿2為研究(ynji)對象，受力如圖。NBFxFb代入（a）式得1AFF FA1為負值為負值(f zh)，說明桿，說明桿1受壓，且與受壓，且與x無關。無關。FFNDFCyFCx第52頁/共73頁第五十三頁，共74頁。F2F1ABCD4.54.53422習

27、題332 構架尺寸(ch cun)如圖所示(尺寸(ch cun)單位為m)，不計各桿件自重，載荷F1=120 kN, F2=75 kN。求AC及CD兩桿所受的力。F2F1ABCFCDFAxFAyFAD解：1.取三角形ABC分析，其中(qzhng)A、C處應帶有銷釘：()0:AMF214327.51240:55CDCDFFFF 43145.83kNCDF CD桿受壓力。（教材參考答案是87.5 kN)第53頁/共73頁第五十四頁，共74頁。F2F1ABCD4.54.53422F1BCFBxFByFCAFCD2. 取BC分析，注意(zh y)在C處應帶有銷釘。()0:BMF122444.5990:

28、5124CDCAFFF 179.19 kNCAF第54頁/共73頁第五十五頁，共74頁。平面簡單桁架平面簡單桁架(hngji)(hngji)的內力分析的內力分析第55頁/共73頁第五十六頁，共74頁。工程中的桁架工程中的桁架(hngji)結構結構第56頁/共73頁第五十七頁，共74頁。第57頁/共73頁第五十八頁，共74頁。 桁架是由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接形成的幾何形狀不變的結構(jigu)。桁架中所有桿件都在同一平面內的桁架稱為平面桁架。桁架中的鉸鏈接頭稱為節(jié)點。 為簡化桁架計算，工程實際中采用以下幾個假設： (1)桁架的桿件都是直桿； (2)桿件用光滑鉸鏈連接； (3)桁架所受的力都作用

29、到節(jié)點上且在桁架平面內； (4)桁架桿件的重量略去不計，或平均分配在桿件兩端的節(jié)點上。這樣的桁架，稱為理想桁架。第58頁/共73頁第五十九頁，共74頁。 桁架內每個節(jié)點都受平面匯交力系作用，為求桁架內每個桿件的內力，逐個取桁架內每個節(jié)點為研究對象(duxing)，求桁架桿件內力的方法即為節(jié)點法。第59頁/共73頁第六十頁，共74頁。 例14 平面桁架的尺寸和支座(zh zu)如圖，在節(jié)點D處受一集中荷載F = 10 kN的作用。試求桁架各桿件所受的內力。解：先以整體為研究(ynji)對象，受力如圖。0,0 xAxFF0,0yAyByFFFF()0, 240AByMFFF2mF2mABCD301

30、3425AB30134DC5 kNByF5 kNAyFFFByFAyFAx第60頁/共73頁第六十一頁，共74頁。再分別以節(jié)點A、C、D為研究(ynji)對象，受力如圖。FAyFAxF1F2AFF3F2F5DF3F4F1C210,cos300 xAxFFFF10,sin300yAyFFF節(jié)點(ji din)A410,cos30cos300 xFFF3140,()sin300yFFFF節(jié)點C520,0 xFFF節(jié)點D解上述5個議程得1234510 kN,8.66 kN,10 kN10 kN,8.66 kNFFFFF 其中1，4桿受壓。第61頁/共73頁第六十二頁，共74頁。三桿節(jié)點無載荷三桿節(jié)點

31、無載荷(zi h)、其中兩桿在、其中兩桿在一條直線上，另一桿必為零力桿。一條直線上，另一桿必為零力桿。12SS且四桿節(jié)點無載荷、其中兩兩在四桿節(jié)點無載荷、其中兩兩在一條直線一條直線(zhxin)上，同一直線上，同一直線(zhxin)上兩桿上兩桿內力等值。內力等值。12SS34SS兩桿節(jié)點無載荷兩桿節(jié)點無載荷(zi h)、且兩桿不在、且兩桿不在一條直線上時，該兩桿是零力桿。一條直線上時，該兩桿是零力桿。特殊桿件的內力判斷特殊桿件的內力判斷021 SS第62頁/共73頁第六十三頁，共74頁。例例13 已知已知 P d,求：求：a.b.c.d四桿的內力四桿的內力(nil)？ 解解：由零桿判式0adcSSS研究(ynji)A點： 0Y由045cosPSobPSb2第63頁/共73頁第六十四頁，共74頁。 用假想的截面將桁架截開，取至少包含(bohn)兩個節(jié)點以上部分為研究對象，考慮其平衡，求出被截桿件內力，這就是截面法。第64頁/共73頁第六十五頁，共74頁。FAyFAxFBy例14 圖示平面桁架，各桿長度(chngd)均為1m，在節(jié)點E，G，F(xiàn)上分別作用荷載FE10 kN， FG7 kN， FF5 kN。試求桿1、2、3的內力