電磁場與電磁波課件(王)第1章矢量代數(shù)

1、內(nèi) 容1.1 1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1.2 1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3 1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度1.4 1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度1.5 1.5 矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度1.6 1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場1.7 1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8 1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理復(fù)雜現(xiàn)象的緊湊描述直觀想象和運(yùn)算變換矢量運(yùn)算公式在電磁理論中其重要作用1.1 1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1. 1. 標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量為矢量的單位矢量標(biāo)量：一個只用大小描述的物理量。矢量：一個既有大小又有方向特

2、性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示 注意：單位矢量不一定是常矢量。 A矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。 AAeA矢量的代數(shù)表示|AAAe AeA|AA其中為矢量的模2. 矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的代數(shù)運(yùn)算 1.1 1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1）矢量的加減法：平行四邊形法則平行四邊形法則矢量的加減符合交換律和結(jié)合律交換律ABBA結(jié)合律()()ABCABC1.1 1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)2）標(biāo)量乘矢量AkAe kA3）矢量的標(biāo)積（點積）A B標(biāo)量積 是一標(biāo)量, 其大小等于兩個矢量模值相乘, 再乘以它們夾角 (取小角, 即 )的余

3、弦: A BcosA BABa cosA BaAB 物理意義物理意義：一個矢量的模與另一矢量在該矢量上投影的乘積。如果兩矢量正交兩矢量正交（垂直，又稱為正交矢量正交矢量），則其點積為零；如果兩矢量平行，則其點積的絕對值取最大值。1.1 1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量點積滿足交換律A BB A()ABCA BA C()k A BkB AB kA0ABA B/ /ABA BAB兩矢量正交兩矢量正交兩矢量平行兩矢量平行1.1 1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)4）矢量的矢積（叉積）A B 矢量積 是一個矢量,其大小等于兩個矢量的模值相乘, 再乘以它們夾角()的正弦, 其方向與 , 成右手螺旋關(guān)系, 為所在平面的

4、右手法線方向: A BABnesinnA Be AB意義意義：矢量的叉積可以表征兩矢量間含有垂直分量（正交分量）成分的多少。如果兩矢量正交，則其叉積有最大值；如果兩矢量平行，則其叉積為零。ne5）三重積但不符合交換律。 由定義知, ABBA 矢量的矢積符合分配律：()ABCA CB C標(biāo)量三重積：()()()AB CBCACA B矢量三重積：()()()AB CB A CC A B 1.1 1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)nABA Be AB/ /0ABA B矢量平行矢量平行矢量正交矢量正交1.1 1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)例1.1 若 ，是否意味著 ？ A BA C BC解： 由于A BA C 可以寫

5、為()0ABC于是可作出如下結(jié)論：()ABC或A為零向量或0BCBC所以，只有0BC才有 。1.2 1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系 矢量運(yùn)算的圖形表示只能進(jìn)行一般性討論，從數(shù)學(xué)的觀點，把矢量分解成沿三個相互正交（垂直）方向上的分量來處理更為方便。對電磁學(xué)理論來說，雖然電磁定律不隨坐標(biāo)系變化，但是在求解實際問題時，還需要將這些定理得出的關(guān)系用一個跟已知問題的幾何特征相適合的坐標(biāo)系來表達(dá)。在三維空間中，一個點相當(dāng)于三個面的交點。假定三個面用u1=常數(shù)、u2=常數(shù)、u3=常數(shù)來描述，其中u的值可以不是長度。當(dāng)這三個面兩兩垂直時，可得到正交坐標(biāo)系。在電磁理論中，最常用的坐標(biāo)系為直角坐

6、標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系。1.2 1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系1. 1. 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系坐標(biāo)變量：x,y,z坐標(biāo)單位矢量： ， ，xeyeze位置矢量： xyzre xe ye z矢量運(yùn)算：xxyyzzAe Ae Ae AxxyyzzBe Be Be B設(shè) ,相互正交xyzeee0yzee zxyeee0 xye e yzxeee0zxe e 1xxe e 1yyee 1zze e 0 xxee0zzee0yyee()() ()()() xxyyzzxxyyzzxyzzyyzxxzzxyyxyzzxxyxyzyzzxxyxyzxyzxyzABe Ae Ae Ae B

7、e Be BeA BA BeA BA BeA BA BAAAAAAeeeBBBBBBeeeAAABBB1.2 1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系則有+()()()xxxyyyzzzA BeABeABeAB xxyyzzA BA BA BA B 1.2 1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系例1.2 求從點 到點 的距離矢量 。111,) (P x y z222 ,) (,Q xyz R121212( )xyzRxxyyeee zz例1.3 設(shè) 和 32xyzAeee32xyzBeee求 ，并求 的單位矢量 及其與z軸的夾角23CABCeC直角坐標(biāo)系直

8、角坐標(biāo)系1.2 1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系 在電磁學(xué)研究中，常需完成線、面和體積分，需要關(guān)于長度、面和體微分元的知識。直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系位置矢量微元：xyzdre dxe dye dzxeyeze注意 、 、 的方向不隨x，y，z的變化而變化面元矢量：xxdSe dydzyydSe dxdzzzdSe dxdy體積元：dVdxdydz1.2 1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系2. 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系002z ,zee e zeeezeeezeee0ee0zee0zee1ee1ee1zzee0ee0ee0zzeer位置矢量：zre ze1.2 1.2 三種

9、常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系矢量 在柱坐標(biāo)系中可用三個分量表示為 AzzAe Ae Ae AzzBe Be Be B若有則+()()()zzzA BeABeABeAB zzA BA BA BA B zzzeeeABAAABBB圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系1.2 1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系注意：注意：圓柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)單位矢量圓柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)單位矢量 和和 都不是常矢都不是常矢量量ee位置矢量微元：()() zzdrdd e zdde dezee？cossinxyeeesincosxyeee 隨 不同而變化(sincos )xydddeeee zeed

10、rdde dzddee e位置矢量：zre ze1.2 1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系面元矢量：dSed dz 體積元：dVdd dz dSe ddzzzdSedd 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系度量系數(shù)（拉梅系數(shù)）：1dhddhd 1zdzhdz長度元坐標(biāo)微分 在電磁學(xué)中，經(jīng)常要計算線積分、在電磁學(xué)中，經(jīng)常要計算線積分、面積分和體積分。每一種情況都需要表示面積分和體積分。每一種情況都需要表示一個坐標(biāo)微分變化對應(yīng)的微分長度變化。一個坐標(biāo)微分變化對應(yīng)的微分長度變化。然而，有些坐標(biāo)不是長度；而且需要一個然而，有些坐標(biāo)不是長度；而且需要一個變換因子將微分變化變換因子將微分變化 轉(zhuǎn)換成長度變化

11、轉(zhuǎn)換成長度變化1.2 1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系zzxxyyzzAe Ae Ae Ae Ae Ae A圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系cossin0sincos0001xyzzAAAAAA=cossin0sincos0001xyzzAAAAAA=矢量變換矢量變換：eexeye1.2 1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系3. 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系0002r sincos ,sinsincosxryrzr右旋法則右旋法則: : reeereeereee1.2 1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系矢量 在柱坐標(biāo)系中可用三個分量表示為 ArrAe Ae Ae ArrBe

12、Be Be B若有則+()()()rrrA Be ABeABeAB rrA BA BA BA B rrreeeABAAABBB球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系1.2 1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系位置矢量微元：()rrrdrdrdrdreee位置矢量：rre rsincossinsincosrxyzeeeesincosxyeee sinrddeede sinree rdrdrde rd球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球球坐標(biāo)系中的坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)系中的坐標(biāo)單位矢量 、 、 都不是常矢量都不是常矢量eerecoscoscossinsinxyzeeee1.2 1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系球坐

13、標(biāo)系球坐標(biāo)系面元矢量：2sinrrdSe rd d sinrdSe rd dredrdhh dSe rdrd體積元：2sin rdhVrdrd ddrddhh 拉梅系數(shù)：1rdrhdrrdhrdsinsinrdhrd 長度元坐標(biāo)微分1.2 1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系矢量變換矢量變換：rrxxyyzzAe Ae Ae Ae Ae Ae Asincoscos cossinsinsincos sincoscossin0 xryzAAAAAA=sincossinsincoscoscoscos sinsinsincos0rxyzAAAAAA=球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系1.2 1.2 三種常用

14、的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系4. 坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系1.3 1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場和矢量場標(biāo)量場和矢量場 確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個場。q 如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場。 例如：溫度場、電位場、高度場等。q 如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。 例如：流速場、重力場、電場、磁場等。q 如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：靜態(tài)標(biāo)量場可表示為：( , , ) u x y z靜態(tài)矢量場：( , , ) F x y z時變( , , , ) u x y z t時變(

15、 , , , ) F x y z t1.3 1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度1 1、標(biāo)量場的等值面、標(biāo)量場的等值面等值面: 標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點 在空間形成的曲面。等值面的特點：意義: 形象直觀地描述了物理量 在空間的分布狀態(tài)空間的分布狀態(tài)。常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。 等值面方程：( , , )u x y zC標(biāo)量場的等值面1.3 1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度方向?qū)?shù)標(biāo)量場在場任一點附近沿不同方向的標(biāo)量場在場任一點附近沿不同方向的空間變化率空間變化率 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)1.3 1.3 標(biāo)量場

16、的梯度標(biāo)量場的梯度2 2、方向?qū)?shù)、方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)定義：定義：00limcoscoscoslMuuuuullxyz 標(biāo)量場 在某點沿 方向的變化率稱為 沿該方向的方向?qū)?shù) 。 它的值與所選取的方向 有關(guān), 設(shè) 的方向余弦是 、 、 ，則有( , , ) u x y zlul/llcoscoscos特點特點：方向?qū)?shù)既與點 有關(guān)也與方向 有關(guān)l0M1.3 1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度方向?qū)?shù)意義：意義：方向?qū)?shù)表示場 在 點沿 方向的空間變化率()u Ml0M0ul場 沿 方向增加()u Ml0ul場 沿 方向減少()u Ml0ul場 沿 方向無變化()u Ml問題問題：在什么方向上變化率

17、最大、其最大的變化率為多少？l 的單位矢量 為：lecoscoscoslxyzeeee所以有因為 =lxyzeeeeuuuulxyz1.3 1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度梯度3 3、標(biāo)量場的梯度、標(biāo)量場的梯度grad xyzeeuuuuuxyze 意義意義：描述標(biāo)量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向定義：定義： 哈密頓(W .R .Hamilton)引入倒三角算符號(讀作“del(德爾)”或“nabla(那勃拉)”)表示矢量形式的微分算子: xyzeexyze grad uu zzzuuuuzuuuzeeehhheee 11 sinrrruuuuh rhhuuureeerreee 圓柱坐

18、標(biāo)系 球坐標(biāo)系1.3 1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度梯度梯度的性質(zhì)：梯度的性質(zhì)： 標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間 某點的方向表示該點場變化最大（增 大）的方向，其數(shù)值表示變化最大 方向上場的空間變化率。 標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)， 是梯度在該方向上的投影。 標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點的等 值面（或切平面）1.3 1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度梯度梯度運(yùn)算的基本公式：梯度運(yùn)算的基本公式： 0()()CCuC uuvuvuvv uu vf ufuuu v 1.3 1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度梯度例1.3 設(shè)一標(biāo)量函數(shù) ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量場。試求： (

19、1) 該函數(shù) 在點 P(1,1,1) 處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。 (2) 求該函數(shù) 沿單位矢量 方向的方向?qū)?shù)，并以點 P(1,1,1) 處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。ooocos60cos45cos60lxyzeeee解 (1)由梯度計算公式，可求得P點的梯度為(1,1.1)22 22 22xyzPPxyzxyzeeeeeeeexyzxyxyez 1.3 1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度梯度表征其方向的單位矢量 22222222213332222( 1)xyzxyzxyzxyzeeeeeeeeeeeee (2) 由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿 方向的

20、方向?qū)?shù)為le121222221 22xyzxyzxylxeeeeyee對于給定的P點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為122Pl1.3 1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度梯度而該點的梯度值為 223xyzPeee 顯然，梯度 描述了P點處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立。PPPl 1.3 1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度梯度例1.4 場點P(x, y, z)與源點P(x, y,z)間的距離為R, 試證： (1)(2)311RRRR rRRRR解：222()()()Rxxxxxx(1)()()() xyzxyzRRRRxyzxxyyzzRRReeeeReRe1.3 1.3 標(biāo)量場的梯

21、度標(biāo)量場的梯度梯度(2)222223111111 xyzxyzRRRRRxRyRzRRRRRReeeeReexyzR R 1111 xyzRxReezeyRR22111()xeRxxxRRxRR 33331()()() xyzxxyeeyzzRRRRReR11RR 而故有證畢1.4 1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度( , , )( , , )( , , )xyzdxdydzF x y zF x y zF x y z 1. 矢量線矢量線 意義意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分 布狀態(tài)。矢量線方程矢量線方程：概念概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一 點的切線方向代表了該點矢量場 的方向

22、。( , , ) =( , , )( , , )( , , )xyxyzzF x y ze F x y ze F x y ze F x y z矢量場矢量場：1.4 1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 2. 矢量場的通量矢量場的通量 問題問題：如何定量描述矢量場的大??？ 引入通量的概念。 通量的概念通量的概念neF開曲面上的面元 面元矢量：面元矢量：ndse dS為面元矢量大小dS為面元的法線方向單位矢量其中，ne右手螺旋的姆指方向dF dS矢量與面元矢量的點積：矢量與面元矢量的點積：表示表示 穿過面元穿過面元 的通量的通量( (穿越能力）。穿越能力）。FdSd1.4 1.4 矢量場的

23、通量與散度矢量場的通量與散度通量通量 將曲面S各面元上的 相加, 它表示 穿過整個曲面S的通量, 也稱為 在曲面S上的面積分: SF dFFcosnssssdSdFF e dSFdS 如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是nSSdSe dFSF開曲面通量開曲面通量：閉曲面通量閉曲面通量：1.4 1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度通量通量 通量的物理意義通量的物理意義矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果000通過閉合曲面有凈的矢量線穿出，這說明S內(nèi)必定有矢量場的源有凈的矢量線進(jìn)入，說明S內(nèi)有洞(負(fù)的源)。進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等，

24、沒有“源”和“洞” 閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。1.4 1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度散度散度 3. 矢量場的散度矢量場的散度 為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：當(dāng)閉合面 S 向某點無限收縮時，矢量 通過該閉合面S 的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場 在該點的散度，以 表示，即FFdivF0divlimSVSVFFd 式中V為封閉面S所包

25、圍的體積。 矢量 的散度是標(biāo)量, 是 通過某點處單位體積的通量(即通量體密度)。FFdiv0F div0F div0F 1.4 1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度散度散度 直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)不失一般性，令包圍P點的微體積V 為一直平行六面體，如圖所示。則000000(,)(,)22xxxPxx FF xy zF xy zx 000000(,)(,)22xxxPxx FF xy zF xy zx 由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為000000(,)(,)22xxxxxFF xy zF xy zy zx y zx 1.4 1.4 矢量場的通量與散

26、度矢量場的通量與散度散度散度 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點P 穿出該六面體的凈通量為SyxzFFFFx y zx y zx y zxSydz 根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達(dá)式為0lidivmxzVySdSFFFFFxzVy因此散度可用哈密頓算符 表示為divxyzxzxyzyFeeee Fe Fe FFxyz 1.4 1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度散度散度 散度的表達(dá)式散度的表達(dá)式：yxzFFFFxyz直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系111 ( )zzzzzFh Fh FFhhhh hzFhFFzh 22(1111si)()()()nsinsin()rrrr

27、rFFh h Fh Fh Fh hrFFFhhhrrrrr球坐標(biāo)系1.4 1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度散度散度 散度的有關(guān)公式散度的有關(guān)公式：););););0;(CCfCfFkFFfFFfFGkFfG C 為常矢量C 為常矢量1.4 1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度散度定理散度定理 4. 散度定理散度定理 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。SVFFdVSd高斯（散度）定理高斯（散度）定理 1.4 1.4 矢量場的通

28、量與散度矢量場的通量與散度例1 .4 點電荷 在離其 處產(chǎn)生的電通量密度為 rq222 1/23,()4xyzqDrre xe ye zrxyxr 求任意點處電通量密度的散度 ，并求穿出r為半徑的球面的電通量。D解：222 3/24()xyzxxyyzze xe ye zqDe De De Dxyz5222/522222/32222/322234)(3)(14)(4rxrqzyxxzyxqzyxxxqxDx例題例題 1.4 1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度例題例題 52252234,34rzrqzDryrqyDzy同理2222533()04yxzDDDqrxyzDxyzr 可見，除

29、點電荷所在源點（r=0）外，空間各點的電通量密度散度均為零。23224444DrsssqqqD dSr e dSdSrqrrr 這證明在此球面上所穿過的電通量 的源正是點電荷q。D1.4 1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度散度定理散度定理 例1 .5 球面S上任意點的位置矢量為 試?yán)蒙⒍榷ɡ碛嬎鉺r dSxyzre xe ye z解：3xyzrxyz334 3343sVVr dSrdvdvrr 1.5 1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度環(huán)流環(huán)流1. 環(huán)流環(huán)流 矢量 沿某封閉曲線的線積分, 定義為 沿該曲線的環(huán)流(或旋渦量、環(huán)量), 記為 FFCF dl 可見，若在閉合有向

30、曲線 C上，矢量場 的方向處處與線元 的方向保持一致，則環(huán)量 0；若處處相反，則 0 ?？梢?，環(huán)量可以用來描述矢量場的旋渦特性。Fdl通量：矢量穿越曲面的能力，通量：矢量穿越曲面的能力， “突圍突圍”能力，能力， 沿法向投影的累計，沿法向投影的累計， 體現(xiàn)了矢量在法線方向分量的量度發(fā)散性；體現(xiàn)了矢量在法線方向分量的量度發(fā)散性；環(huán)量：矢量環(huán)繞曲線的閉合能力，環(huán)量：矢量環(huán)繞曲線的閉合能力，“包圍包圍”能力，沿切向投影的累計，能力，沿切向投影的累計， 體現(xiàn)了矢量在切線方向分量的量度渦旋性；體現(xiàn)了矢量在切線方向分量的量度渦旋性；1.5 1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度環(huán)流環(huán)流環(huán)流面密度環(huán)流

31、面密度環(huán)流面密度環(huán)流面密度 過點M 作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向 與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時，極限ne稱為矢量場在點M 處沿方向 的環(huán)流面密度。ne01rotlimnCSFF dlS 1.5 1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度 由于面元是有方向的, 它與封閉曲線C的繞行方向成右手螺旋關(guān)系。上述極限值對于不同的面元是不同的。 矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。ne2. 矢量場旋度矢量場旋度0max1rotlimCSFnF dlS 1.5 1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的

32、環(huán)流與旋度 矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)面密度的最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法線方向。即： 矢量 的旋度是一個矢量, 大小是矢量 在給定點處的最大環(huán)量面密度, 其方向就是面元矢量的方向。FFrotrotnnFeF 任一取向面元的環(huán)流面密度，是該點最大環(huán)流面密度的投影：SCMFnerotFrotnF旋度旋度 1.5 1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的旋度的計算矢量場的旋度的計算rotxF 直角坐標(biāo)系中 、 、 的表達(dá)式rotyFrotzF推導(dǎo) 的示意圖如圖所示。rotxFoyz yCMzx1234計算 的示意圖 rotxF1234CllllFl

33、FlFlFlFlddddd1234()()yzyzFyFzFyFz而1()yyFF M2()zzzMFFF Myy3()yyyMFFF Mzz4()zzFF M于是yzCFFFlz yyzd旋度旋度 1.5 1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度故得01rotlimyzxCSFFFF dlSyz 同理可得rotxzyFFFzxrotyxzFFFyxrot yyxxzzxyzxyzxyzFFFFFFFeeeyzzxxyeeexyzFFF所以有rot FF 物理意義物理意義：旋渦源密度矢量。rotnnFeF性質(zhì)：性質(zhì)：旋度旋度 旋度計算公式旋度計算公式 1.5 1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量

34、場的環(huán)流與旋度旋度的表達(dá)式旋度的表達(dá)式：xyzxyzeeeFxyzFFF直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系1zzeeeFzFFF2sin1sinsinrrerereFrrFrFrF1231231231231231231uuuuuuh eh eh eFh h huuuh Fh Fh F旋度計算公式旋度計算公式 1.5 1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度3. 斯托克斯定理斯托克斯定理 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即CSFF dldS 斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的

35、剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消1.5 1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度4. 散度和旋度的區(qū)別散度和旋度的區(qū)別 0;0FF0;0FF0;0FF0;0FF例1 .5 點電荷 在離其 處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為 rq222 1/23,()4xyzqErre xe ye zrxyxr 求任意點處 電場強(qiáng)度的旋度 。E解：例題例題 1.5 1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度0r 03334xyzeeeqExyzx ry rz r 33330334 xyzqyxzzeeyzzxrrrryxexyrr例題例題 1.5 1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度因 353yzzyrr 353yy

36、zzrr 可見, 向分量為零; 同樣, 向和 向分量也都為零。 故 xeyeze0E這說明點電荷產(chǎn)生的電場是無旋場。 解：例題例題 1.5 1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度()()()()()()xyzxyzeeeFxyzx zyy xzz yxe zyexzeyx例1 .6 求矢量場()()(),xyzFe x zye y xze z yx 在點 處的旋度。以及沿 方向的環(huán)流面密度。1,0,1M263xyzneee因為2xyzMFeee例題例題 1.5 1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度而所以有 222263263777263xyznxyzeeeeeeerot263 (

37、2) ()777212317 =7777nnMxyzxyzFeFeeeeee1.6 1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場1. 矢量場的源矢量場的源散度源散度源：是標(biāo)量，它產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和， 源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量 場在該點的散度； 旋度源旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場在該點的旋度。2. 矢量場按源的分類矢量場按源的分類（1）無旋場）無旋場僅有散度源而無旋度源的矢量場，0F梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì): 梯度的旋度恒為零梯度的旋度恒為零()0u 0dCFl性質(zhì)： ，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。無旋場可以用標(biāo)量場的梯度表示為0 FFu 例如：靜電場0 EE 1.6 1.6 無旋場與無散場