生命表學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1生命表生命表第一頁，共75頁。第1頁/共74頁第二頁，共75頁。參數(shù)壽命參數(shù)壽命(shumng)分布分布有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡(ninlng)的假設(shè)的假設(shè)生命表的構(gòu)造生命表的構(gòu)造生命表函數(shù)生命表函數(shù)第2頁/共74頁第三頁，共75頁。( )Pr()S xXx( )1( )S xF x ( )( )f xS x xPr()( )( )xXzs xs z第3頁/共74頁第四頁，共75頁。第4頁/共74頁第五頁，共75頁。n一個活到30歲的人活不到60歲的概率。( )1, 0100100 xS xx第5頁/共74頁第六頁，共75頁。100 501(1)Pr(50)(50)1(50)10021

2、00 801(2)Pr(80)(80)10051(3)Pr(6070)Pr(60)Pr(70)(60)(70)10Pr(3060)(30)(60)34 Pr(6030)Pr(30)(30)7XFSXSXXXSSXSSXXXS （ ）第6頁/共74頁第七頁，共75頁。( ()()( )()( )txqPr T XtPr xXxt XxS xS xtS xtxq第7頁/共74頁第八頁，共75頁。剩余壽命(shumng)與壽命(shumng)變量圖示第8頁/共74頁第九頁，共75頁。txpPr( ( )Pr()()( )txpT xtXxt XtS xtS x0( )xpS x第9頁/共74頁第十頁

3、，共75頁。xpxqxt uq1xxpp1xxqqxt uxtxtxt uxt uqqqpp第10頁/共74頁第十一頁，共75頁。( )( (),0G tPr T Xt ttxq第11頁/共74頁第十二頁，共75頁。( )x000( ( )xtxx ttxeE T xt pdtp dt0 xe20220( ( )( ( ) )( ( )2txxVar T xE T xE T xtp dte第12頁/共74頁第十三頁，共75頁。( ) x( )K x(),( )1,0,1,K XkkT xkk11Pr()Pr( )1)kxkxkxkxkxx kxkK XkkT xkqqpppqq第13頁/共74

4、頁第十四頁，共75頁。( ) x11100( )xxxkxx kkxkkeE K xkpqp 122210( )()()(21)xkxxkVar K xE KE Kkpe 第14頁/共74頁第十五頁，共75頁。T（x）=K(x)+S(x)）上的連續(xù)分布，一年的部分，它是（在死亡年所活過的不足為設(shè)10)()(xxS第15頁/共74頁第十六頁，共75頁。剩余壽命剩余壽命(shumng)與整值剩余壽命與整值剩余壽命(shumng)的比較圖示的比較圖示 第16頁/共74頁第十七頁，共75頁。第17頁/共74頁第十八頁，共75頁。( )( )ln ( )( )( )xs xf xs xs xs x )e

5、xp(exp()exp(ln)()(ln)(ln)ln()(ln)()(00tsxxtnsxnxxyxnxnnxxnxxnxxydspdsdyppxsnxsxsnxysdyysysdynxx同樣，對于故積分，有到對上式兩邊從第18頁/共74頁第十九頁，共75頁。函數(shù)的關(guān)系0( )expexpxsx ttxsxs xdspds第19頁/共74頁第二十頁，共75頁。第20頁/共74頁第二十一頁，共75頁。第21頁/共74頁第二十二頁，共75頁。mnntxxtxmnntxxtxntxxttxxtxtdtpqdtpqdtptptxstxsxstxsxstxsdtdqdtdtGtgtgxGxT0010)

6、()()()()()(1)()()()，容易得出根據(jù)死亡力的定義公式顯然，有其中，即的導(dǎo)數(shù)，表示為（它是的概率密度函數(shù)，（以推出引入死亡力函數(shù)后，可第22頁/共74頁第二十三頁，共75頁。( )()( )1( )()( )()( )( )( )( )txx ttxx tS xS xtG tpS xS xtddS xS xtg tG tpdtdtS xS x ( )g t( )( )xf xS x第23頁/共74頁第二十四頁，共75頁。( )x000( ( )xtxx ttxeE T xt pdtp dt0 xe20220( ( )( ( ) )( ( )2txxVar T xE T xE T

7、xtp dte第24頁/共74頁第二十五頁，共75頁。dtpdtptptdtdtpddtptxTEdtptptxxtxtxtxttxxttxxtxtoe0000000)()().(證明：利用分部積分法，容易第25頁/共74頁第二十六頁，共75頁。( ) x11100( )xxxkxx kkxkkeE K xkpqp 122210( )()()(21)xkxxkVar K xE KE Kkpe 第26頁/共74頁第二十七頁，共75頁。01332321022100. . .)()(kxkxxxxxxxkktxtxtxtxxkkkxkxkxxpqqqqqqqkqpqpqkqpkxKEeexKxx故由

8、于表示：的期望值，以它是整值余壽隨機(jī)變量不滿一年的零數(shù)余壽，整數(shù)年數(shù)，不包括歲的人未來平均存活的歲的整值平均余壽是指第27頁/共74頁第二十八頁，共75頁。100( )20 xS x, 0100 x(75),(75)Ff75（ ）第28頁/共74頁第二十九頁，共75頁。10075(75)1(75)10.752011( )( );(75)0.00540100(75)(75)0.02(75)FSf xS xfxfS 第29頁/共74頁第三十頁，共75頁。113120.090,0.170,0.250.xxxqqq111230.0900.1700.250 xxxqqq12xxqq第30頁/共74頁第三

9、十一頁，共75頁。1123230.1700.025xxxxxqppqq121112120.6800.7700.0900.117xxxxxxxpppqpqq120.2300.1170.347xxqq第31頁/共74頁第三十二頁，共75頁。第32頁/共74頁第三十三頁，共75頁。ttxpe0.04250.04 150.06(15)15251540,0.15,15tttttpppteee 02525:2525015250.040.04 150.06(15)01511.284.1315.41tttep dtdtdteee第33頁/共74頁第三十四頁，共75頁。生命表函數(shù)生命表函數(shù)(hnsh)有關(guān)有關(guān)(

10、yugun)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè)生命表的構(gòu)造生命表的構(gòu)造參數(shù)壽命分布參數(shù)壽命分布第34頁/共74頁第三十五頁，共75頁。1( )1 , 0 xxxS xx ( )exp(1)/ln , B0,c1,0 xxxBcS xB ccx第35頁/共74頁第三十六頁，共75頁。( )exp(1)/ln , B0,A-B,c1,0 xxxABcS xAxB ccx1( )exp/(1) , 0,0,0nxnkxS xkxnknx第36頁/共74頁第三十七頁，共75頁。第37頁/共74頁第三十八頁，共75頁。生命表函數(shù)生命表函數(shù)(hnsh)有關(guān)有關(guān)(yugun)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè)參數(shù)壽命分

11、布參數(shù)壽命分布生命表的構(gòu)造生命表的構(gòu)造第38頁/共74頁第三十九頁，共75頁。第39頁/共74頁第四十頁，共75頁。11,.,1 , 0 . 10口存活的最高年齡為人是生命表的年齡上限，：人口生命極限年齡，：同時出生的一批人數(shù)數(shù)。算時點(diǎn)已存活的整數(shù)年完全年齡：從出生到測算時點(diǎn)已存活的時間。確切年齡：從出生到測。歲的人口數(shù)，。存活到確切整數(shù)年齡lxxlx第40頁/共74頁第四十一頁，共75頁。100211100n000,1 . 2xxnxxnxxxdllldlldlldldnnxxd齡上死亡人數(shù)之和。歲存活人數(shù)等于各個年因此，即上存活的人數(shù)為由于在生命表最高年齡一般有，。時，簡記為歲死亡的人數(shù)。

12、當(dāng)。在xnd第41頁/共74頁第四十二頁，共75頁。xnqxnttxnxxxxnxxxxxnxnxxnqqqqqldddldqqnnxxxq1012111.1 . . 3。時，簡記為歲死亡的概率，當(dāng)歲的人在第42頁/共74頁第四十三頁，共75頁。xnL1211222/111 . . 4xxxnxxxnnxnxnnxxnxnllLnllndnlLnlndnxxnxxxL時，有當(dāng)年，故歲的人存活了年，而活到來說存活了平均歲的死亡人數(shù)下，在死亡均勻分布的假設(shè)人年，年是個人存活了合單位，表示人群存活時間的復(fù)數(shù)是歲生存的人年數(shù)。人年歲的人在第43頁/共74頁第四十四頁，共75頁。xT(3.9) 21(3

13、.8) . 5011011iixixxxttxxxxxllTLLLLTxT有在均勻分布的假設(shè)下，人年數(shù)。歲的人群未來累積生存第44頁/共74頁第四十五頁，共75頁。xoe(3.11) )21(1)211(.)212()211 (211.211).()()(211.1 (21 0(3.10) 610012100112111001211001100000100ttttttttoxxxoxtxxtxxxoxodtlddddlddddllllllllLLLllTellLexdtlldtplTexe）均勻分布，即假設(shè)死亡在每個年齡上平均每人存活的年數(shù)。到死亡，表示同一批人從出生表示出生時的平均余壽時，為

14、當(dāng)。明未來平均存活的時間歲人群的平均余壽，表第45頁/共74頁第四十六頁，共75頁。 (3.12) 11nxmxnxmnxnxmnxnxxnxmxmnxmnxnxnnxnxxnxxnxxnxnqppplllldqmnxnxxqqpldllldqnxnxxnnxq義為：歲之間死亡的概率，定歲的人在表示歲死亡的概率。歲的人在的概率，或第年死亡年并在第歲的人存活表示的死亡概率。以算中常用可以定義和表述壽險精運(yùn)用生命表基本函數(shù)，第46頁/共74頁第四十七頁，共75頁。 0 01 01mpqmqmqqqxnxnxnxnxnxmn其中，第47頁/共74頁第四十八頁，共75頁。x0l第48頁/共74頁第四十

15、九頁，共75頁。0lnxdxd1nxxx nxnxxxxxxdlllqdlllqxl0( )xllS x0l第49頁/共74頁第五十頁，共75頁。x ttxyxLl dyoxxyxxxTTl dyel0l0ltxLxT0l第50頁/共74頁第五十一頁，共75頁。x x t txqtxdtxLxTxexl第51頁/共74頁第五十二頁，共75頁。10000(1)100 xxl 30203030303010,dpqq第52頁/共74頁第五十三頁，共75頁。503030312030303060404130303010303050552030 520010000001.100 5 / 7 3 / 7 1

16、/ 702. 1/163. (1)50100ldllplllllqqllllqlTxdxle第53頁/共74頁第五十四頁，共75頁。時間。xl第54頁/共74頁第五十五頁，共75頁。70717273707071117171007171711000800400100(1)2.31000(2)800(1)400800(1)400600400260031(3)(72)2ttllllellttLldtttdtdmLa第55頁/共74頁第五十六頁，共75頁。第56頁/共74頁第五十七頁，共75頁。2211xxxqqqnxqnxq以以 表示表示x歲加入保險，經(jīng)過歲加入保險，經(jīng)過n年在年在x+n時死亡的概率

17、，有：時死亡的概率，有：把同一年齡上相鄰已投報年數(shù)死亡率差異明顯的時期稱為選擇效把同一年齡上相鄰已投報年數(shù)死亡率差異明顯的時期稱為選擇效果明顯期或者簡稱為選擇期，把依據(jù)果明顯期或者簡稱為選擇期，把依據(jù)編制的生命表稱為選擇生命表，它表示隨年齡和已投保期而變動編制的生命表稱為選擇生命表，它表示隨年齡和已投保期而變動的死亡規(guī)律。當(dāng)選擇效果消失時，死亡率只與的死亡規(guī)律。當(dāng)選擇效果消失時，死亡率只與只與年齡有關(guān)，如果選擇期為只與年齡有關(guān)，如果選擇期為r年，投保期超過年，投保期超過r年的同一年齡上年的同一年齡上的死亡概率相等的死亡概率相等(xingdng)，此時死亡概率可以用，此時死亡概率可以用表示，有表

18、示，有 依據(jù)選擇效果消失的死亡資料編制的生命表稱終極表依據(jù)選擇效果消失的死亡資料編制的生命表稱終極表 xqxrrxrrxqqq11第57頁/共74頁第五十八頁，共75頁。 xq5xq1xq2xq3xq4xq5x第58頁/共74頁第五十九頁，共75頁。第59頁/共74頁第六十頁，共75頁。 xq5xq1 xq2xq3 xq4 xq5x第60頁/共74頁第六十一頁，共75頁。 xq5xq1 xq2xq3 xq4 xq5x第61頁/共74頁第六十二頁，共75頁。8656566676869707172(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)0.575403pqqqqqqqq8656566676

19、869707172(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)0.52941pqqqqqqqq第62頁/共74頁第六十三頁，共75頁。生命表函數(shù)生命表函數(shù)(hnsh)生命表的構(gòu)造生命表的構(gòu)造(guzo)參數(shù)壽命分布參數(shù)壽命分布有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè)有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè)第63頁/共74頁第六十四頁，共75頁。第64頁/共74頁第六十五頁，共75頁。()(1) ( )(1) , 01xttxtxtSSS (1)()( )(1) , 01ttSSSxtxxt 11 , 01()( )(1) SSStttxtxx 第65頁/共74頁第六十六頁，共75頁。第66頁/共74頁第六十七頁，共75頁。第67頁/共74頁第六十八頁，共75頁。xtqxtptxyq) (tfTxtqute1xtq1ute1(1)xxpt qxxtqyq11(1)xxyqyt qxqueut21(1)xxxpqt qute1txxxtqq11(1)xxqt q1(1)xxt qtq第68頁/共74頁第六十九頁，共75頁。10000(1)100 xxl 0.5305.255030.5(1)(2)(3)qq第69頁/共74頁第七十頁，共75頁。303130