機械優(yōu)化設(shè)計整版

1、機械優(yōu)化設(shè)計機械優(yōu)化設(shè)計第一講第一講主講教師：李風(fēng)學(xué)時：主講教師：李風(fēng)學(xué)時：16課程介紹 優(yōu)化是從處理各種事物的一切可能的方案中，尋求優(yōu)化是從處理各種事物的一切可能的方案中，尋求最優(yōu)的方案。最優(yōu)的方案。 優(yōu)化的原理與方法，在科學(xué)的、工程的和社會的實優(yōu)化的原理與方法，在科學(xué)的、工程的和社會的實際問題中的應(yīng)用，便是優(yōu)化設(shè)計。際問題中的應(yīng)用，便是優(yōu)化設(shè)計。 1-1 1-1 緒論緒論機械優(yōu)化設(shè)計機械優(yōu)化設(shè)計 就是把機械設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計理論及方法相結(jié)合，就是把機械設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計理論及方法相結(jié)合，借助電子計算機，自動尋找實現(xiàn)預(yù)期目標的最優(yōu)設(shè)計方案和借助電子計算機，自動尋找實現(xiàn)預(yù)期目標的最優(yōu)設(shè)計方案和最佳設(shè)計

2、參數(shù)。最佳設(shè)計參數(shù)。 優(yōu)化設(shè)計流程優(yōu)化設(shè)計流程 常規(guī)設(shè)計流程常規(guī)設(shè)計流程 歷史上最早記載下來的最優(yōu)化問題可追溯到古希臘的歐幾歷史上最早記載下來的最優(yōu)化問題可追溯到古希臘的歐幾里得（里得（Euclid，公元前公元前300年左右），他指出：在周長相同的一年左右），他指出：在周長相同的一切矩形中，以正方形的面積為最大。十七、十八世紀切矩形中，以正方形的面積為最大。十七、十八世紀微積分微積分的的建立給出了求函數(shù)極值的一些準則，對最優(yōu)化的研究提供了某建立給出了求函數(shù)極值的一些準則，對最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎(chǔ)。然而，在以后的兩個世紀中，最優(yōu)化技術(shù)的進展些理論基礎(chǔ)。然而，在以后的兩個世紀中，最優(yōu)化技術(shù)

3、的進展緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問題，發(fā)展了緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問題，發(fā)展了變分法變分法。 直到上世紀直到上世紀4040年代初，由于軍事上的需要產(chǎn)生了年代初，由于軍事上的需要產(chǎn)生了運籌學(xué)運籌學(xué)，并使優(yōu)化技術(shù)首先應(yīng)用于解決戰(zhàn)爭中的實際問題，例如轟炸機并使優(yōu)化技術(shù)首先應(yīng)用于解決戰(zhàn)爭中的實際問題，例如轟炸機最佳俯沖軌跡的設(shè)計等。最佳俯沖軌跡的設(shè)計等。 50 50年代末年代末數(shù)學(xué)規(guī)劃方法數(shù)學(xué)規(guī)劃方法被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設(shè)計中求優(yōu)方法的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)規(guī)劃方法是在第二次世界化設(shè)計中求優(yōu)方法的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來

4、的一個新的數(shù)學(xué)分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)大戰(zhàn)期間發(fā)展起來的一個新的數(shù)學(xué)分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容。劃是其主要內(nèi)容。 近十幾年來，最優(yōu)化設(shè)計方法已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、近十幾年來，最優(yōu)化設(shè)計方法已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機床、汽車、自動控制系統(tǒng)、冶金、鐵路、航天航空、造船、機床、汽車、自動控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機、電器等工程設(shè)計領(lǐng)域，并取得了顯著效果。電力系統(tǒng)以及電機、電器等工程設(shè)計領(lǐng)域，并取得了顯著效果。其中在機械設(shè)計方面的應(yīng)用雖尚處于早期階段，但也已經(jīng)取得其中在機械設(shè)計方面的應(yīng)用雖尚處于早期階段，但也已經(jīng)取得了豐碩的成果。一般說來，對于工程設(shè)計問題，

5、所涉及的因素了豐碩的成果。一般說來，對于工程設(shè)計問題，所涉及的因素愈多，問題愈復(fù)雜，最優(yōu)化設(shè)計結(jié)果所取得的效益就愈大。愈多，問題愈復(fù)雜，最優(yōu)化設(shè)計結(jié)果所取得的效益就愈大。 最優(yōu)化設(shè)計是在數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是最優(yōu)化設(shè)計是在數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是6 6O O年年代初電子計算機引入結(jié)構(gòu)設(shè)計領(lǐng)域后逐步形成的一種有效的設(shè)計代初電子計算機引入結(jié)構(gòu)設(shè)計領(lǐng)域后逐步形成的一種有效的設(shè)計方法。利用這種方法，不僅使設(shè)計周期大大縮短，計算精度顯著方法。利用這種方法，不僅使設(shè)計周期大大縮短，計算精度顯著提高，而且可以解決傳統(tǒng)設(shè)計方法所不能解決的比較復(fù)雜的最優(yōu)提高，而且可以解決傳統(tǒng)設(shè)計方法所不能

6、解決的比較復(fù)雜的最優(yōu)化設(shè)計問題。大型電子計算機的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬化設(shè)計問題。大型電子計算機的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個重要分支，并在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)勃發(fā)展，成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個重要分支，并在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中得到應(yīng)用。域中得到應(yīng)用。l 第二階段第二階段數(shù)學(xué)規(guī)劃方法優(yōu)化數(shù)學(xué)規(guī)劃方法優(yōu)化：從三百多年前牛頓發(fā)明微積：從三百多年前牛頓發(fā)明微積分算起，電子計算機的出現(xiàn)推動數(shù)學(xué)規(guī)劃方法在近五十年來得分算起，電子計算機的出現(xiàn)推動數(shù)學(xué)規(guī)劃方法在近五十年來得到迅速發(fā)展。到迅速發(fā)展。l 第三階段第三階段工程優(yōu)化工程優(yōu)化：近二十余年來，計算機技術(shù)的發(fā)展給：近二十余年來，計算機

7、技術(shù)的發(fā)展給解決復(fù)雜工程優(yōu)化問題提供了新的可能，非數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)＜议_發(fā)解決復(fù)雜工程優(yōu)化問題提供了新的可能，非數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)＜议_發(fā)了一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法不能勝任了一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法不能勝任的工程優(yōu)化問題。在處理多目標工程優(yōu)化問題中，基于經(jīng)驗和的工程優(yōu)化問題。在處理多目標工程優(yōu)化問題中，基于經(jīng)驗和直覺的方法得到了更多的應(yīng)用。優(yōu)化過程和方法學(xué)研究，尤其直覺的方法得到了更多的應(yīng)用。優(yōu)化過程和方法學(xué)研究，尤其是建模策略研究引起重視，開辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途是建模策略研究引起重視，開辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途徑。徑。l 第四階段第四階段現(xiàn)代優(yōu)化方法：現(xiàn)代優(yōu)

8、化方法：如遺傳算法、如遺傳算法、 模擬退火算法、模擬退火算法、 蟻群算法、蟻群算法、 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，并神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，并采用專家系統(tǒng)技術(shù)實現(xiàn)尋優(yōu)采用專家系統(tǒng)技術(shù)實現(xiàn)尋優(yōu)策略的自動選擇和優(yōu)化過程的自動控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)策略的自動選擇和優(yōu)化過程的自動控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展。展。機械優(yōu)化設(shè)計應(yīng)用機械優(yōu)化設(shè)計應(yīng)用實例實例 美國波音飛機公司對大型機翼用美國波音飛機公司對大型機翼用138個設(shè)計變量進行結(jié)構(gòu)個設(shè)計變量進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，使重量減少了三分之一；大型運輸艦用優(yōu)化，使重量減少了三分之一；大型運輸艦用10個變量進行優(yōu)個變量進行優(yōu)化設(shè)計，使成本降低約化設(shè)計，使成本降低約10%。 實踐證明，最優(yōu)化

9、設(shè)計是保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能，減輕實踐證明，最優(yōu)化設(shè)計是保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能，減輕自重或體積，降低產(chǎn)品成本的一種有效設(shè)計方法。同時也可使自重或體積，降低產(chǎn)品成本的一種有效設(shè)計方法。同時也可使設(shè)計者從大量繁瑣和重復(fù)的計算工作中解脫出來，使之有更多設(shè)計者從大量繁瑣和重復(fù)的計算工作中解脫出來，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設(shè)計，并大大提高設(shè)計效率。的精力從事創(chuàng)造性的設(shè)計，并大大提高設(shè)計效率。3. 本課程的任務(wù)本課程的任務(wù)該課程的主要該課程的主要： 了解和基本掌握機械優(yōu)化設(shè)計的基本知識；了解和基本掌握機械優(yōu)化設(shè)計的基本知識； 擴大視野，并初步具有應(yīng)用機械優(yōu)化設(shè)計的擴大視野，并初步具有應(yīng)用機械優(yōu)化設(shè)計的

10、基本理論和基本方法解決簡單工程實際問題的素質(zhì)?；纠碚摵突痉椒ń鉀Q簡單工程實際問題的素質(zhì)。 優(yōu)化設(shè)計就是借助最優(yōu)化數(shù)值計算方法與計算優(yōu)化設(shè)計就是借助最優(yōu)化數(shù)值計算方法與計算機技術(shù)，求取工程問題的最優(yōu)設(shè)計方案。機技術(shù)，求取工程問題的最優(yōu)設(shè)計方案。 優(yōu)化設(shè)計包括：優(yōu)化設(shè)計包括： （1）必須將實際問題加以數(shù)學(xué)描述，形成數(shù)學(xué)）必須將實際問題加以數(shù)學(xué)描述，形成數(shù)學(xué)模型；模型； （2）選用適當?shù)囊环N最優(yōu)化數(shù)值方法和計算程）選用適當?shù)囊环N最優(yōu)化數(shù)值方法和計算程序運算求解。序運算求解。x1x2x3123,x x x122313min2()Sx xx xx x123123500100 xxxx x x設(shè)計參數(shù)

11、：設(shè)計參數(shù)：設(shè)計目標：設(shè)計目標：約束條件：約束條件：,ABxxmaxAABBPP xP xCACBEAEBLALBa xb xCa xb xEa xb xL設(shè)計參數(shù)：設(shè)計參數(shù)：設(shè)計目標：設(shè)計目標：約束條件：約束條件： 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型是描述實際優(yōu)化問題的設(shè)計內(nèi)容、優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型是描述實際優(yōu)化問題的設(shè)計內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計條件和意圖的數(shù)學(xué)表達式，它反映了物變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計條件和意圖的數(shù)學(xué)表達式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進行優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)。理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進行優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)。1212 ,Tnnxxx xxxx 由由n n個設(shè)計變量個設(shè)計變量 為坐標所組成的

12、實空間稱為坐標所組成的實空間稱作作。一個。一個“設(shè)計設(shè)計”，可用設(shè)計空間中的一點表示。，可用設(shè)計空間中的一點表示。12,nx xx 設(shè)計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計的維數(shù)，如設(shè)計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計的維數(shù)，如n n個設(shè)計變量，個設(shè)計變量，則稱為則稱為n n維設(shè)計問題。維設(shè)計問題。 按照產(chǎn)品設(shè)計變量的取值特點，按照產(chǎn)品設(shè)計變量的取值特點，設(shè)計變量設(shè)計變量可分為可分為連續(xù)變量連續(xù)變量（例如軸徑、輪廓尺寸等）和（例如軸徑、輪廓尺寸等）和離散變量離散變量（例如各種標準規(guī)格等）。（例如各種標準規(guī)格等）。 圖1-1 設(shè)計變量所組成的設(shè)計空間設(shè)計變量所組成的設(shè)計空間（a a）二維設(shè)計問題二維設(shè)計問題 （b b）

13、三維設(shè)計問題三維設(shè)計問題 只有兩個設(shè)計變量的二維設(shè)計問題可用圖只有兩個設(shè)計變量的二維設(shè)計問題可用圖1-11-1（a a）所示所示的平面直角坐標表示；有三個設(shè)計變量的三維設(shè)計問題可用的平面直角坐標表示；有三個設(shè)計變量的三維設(shè)計問題可用圖圖1-11-1（b b）所表示的空間直角坐標表示。所表示的空間直角坐標表示。 設(shè)計空間的維數(shù)表征設(shè)計的自由度，設(shè)計變量愈多，則設(shè)設(shè)計空間的維數(shù)表征設(shè)計的自由度，設(shè)計變量愈多，則設(shè)計的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，設(shè)計愈靈活，但難度計的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，設(shè)計愈靈活，但難度亦愈大、求解亦愈復(fù)雜。亦愈大、求解亦愈復(fù)雜。 小型設(shè)計問題：小型設(shè)計問題：一般含

14、有一般含有2 21010個設(shè)計變量；個設(shè)計變量； 中型設(shè)計問題：中型設(shè)計問題：10105050個設(shè)計變量；個設(shè)計變量； 大型設(shè)計問題：大型設(shè)計問題：5050個以上的設(shè)計變量。個以上的設(shè)計變量。 目前已能解決目前已能解決200200個設(shè)計變量的大型最優(yōu)化設(shè)計問題。個設(shè)計變量的大型最優(yōu)化設(shè)計問題。如何選定設(shè)計變量如何選定設(shè)計變量？ 任何一項產(chǎn)品，是眾多設(shè)計變量標志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。任何一項產(chǎn)品，是眾多設(shè)計變量標志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會增加建模的難變量越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。所以設(shè)計變量時應(yīng)注意以下幾點：度和造成優(yōu)

15、化規(guī)模過大。所以設(shè)計變量時應(yīng)注意以下幾點： （1 1）抓主要，舍次要。）抓主要，舍次要。 對產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為設(shè)計變量，影響小對產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為設(shè)計變量，影響小的可先根據(jù)經(jīng)驗取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。的可先根據(jù)經(jīng)驗取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。（2 2）根據(jù)要解決設(shè)計問題的特殊性來選擇設(shè)計變量。）根據(jù)要解決設(shè)計問題的特殊性來選擇設(shè)計變量。 例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設(shè)計變量有例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設(shè)計變量有4 4個，即鋼絲直徑個，即鋼絲直徑d d，彈簧中徑彈簧中徑D D，工作圈數(shù)工作圈數(shù)n n和自由高度和自由高度H H。在設(shè)計中，將材料的許在設(shè)

16、計中，將材料的許用剪切應(yīng)力用剪切應(yīng)力 和剪切模量和剪切模量等作為設(shè)計常量。在給定徑向空間內(nèi)等作為設(shè)計常量。在給定徑向空間內(nèi)設(shè)計彈簧，則可把彈簧中徑設(shè)計彈簧，則可把彈簧中徑D D作為設(shè)計常量。作為設(shè)計常量。 設(shè)計空間是所有設(shè)計方案的集合，但這些設(shè)計方案有些是設(shè)計空間是所有設(shè)計方案的集合，但這些設(shè)計方案有些是工程上所不能接受的。如一個設(shè)計滿足所有對它提出的要求，工程上所不能接受的。如一個設(shè)計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設(shè)計。就稱為可行設(shè)計。 一個可行設(shè)計必須滿足某些設(shè)計限制條件，這些限制條件一個可行設(shè)計必須滿足某些設(shè)計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。稱作約束條件，簡稱約束。 約

17、束又可按其數(shù)學(xué)表達形式分成等式約束和不等式約約束又可按其數(shù)學(xué)表達形式分成等式約束和不等式約束兩種類型：束兩種類型：(1)(1)等式約束等式約束(2)(2)不等式約束不等式約束( )0hx( )0gx顯式約束顯式約束 隱式約束隱式約束 約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計變量之間明約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式 , ,如例中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的如例中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過有限元等方法性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過有限元等方法計算求得。計算求得。根據(jù)約束的性質(zhì)

18、可以把它們區(qū)分成根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成：性能約束性能約束針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性等要求如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性等要求；邊界約束邊界約束只是對設(shè)計變量的取值范圍加以限制的約束稱作只是對設(shè)計變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊邊界界約束。例如，允許約束。例如，允許機床主軸機床主軸選擇的尺寸范圍，對選擇的尺寸范圍，對軸段長度軸段長度的限的限定范圍就屬于定范圍就屬于邊界邊界約束。約束。圖圖1-2 設(shè)計空間中的約束面（或約束線）設(shè)計空間中的約束面（或約束線） (

19、(a)a)二變量設(shè)計空間中的約束線二變量設(shè)計空間中的約束線 ( (b) b) 三變量設(shè)計空間中的約束面三變量設(shè)計空間中的約束面 如圖如圖1-1-3 3上畫出了滿足兩項約束條件上畫出了滿足兩項約束條件g g1 1（X X）=x=x1 12 2x x2 22 216 O16 O和和g g2 2（X X）2 2X X2 200的二維設(shè)計問題的可行域的二維設(shè)計問題的可行域D D，它位于它位于X X2 2=2=2的上面和圓的上面和圓 x x1 12 2x x2 22 2=16=16的圓弧的圓弧ABCABC下面并包括線段下面并包括線段ACAC和圓弧和圓弧ABCABC在內(nèi)。在內(nèi)。圖圖1-3 約束條件規(guī)定的可

20、行域約束條件規(guī)定的可行域D 在設(shè)計空間中，滿足在設(shè)計空間中，滿足所有約束條件的所有約束條件的所構(gòu)成的所構(gòu)成的空間空間 。 在優(yōu)化過程中，通過設(shè)計變量的不斷向在優(yōu)化過程中，通過設(shè)計變量的不斷向F F( (X X) )值改善的方向值改善的方向自動調(diào)整，最后求得自動調(diào)整，最后求得F F( (X X) )值最好或最滿意的值最好或最滿意的X X值。在構(gòu)造目標值。在構(gòu)造目標函數(shù)時，應(yīng)注意目標函數(shù)必須包含全部設(shè)計變量，所有的設(shè)計函數(shù)時，應(yīng)注意目標函數(shù)必須包含全部設(shè)計變量，所有的設(shè)計變量必須包含在約束函數(shù)中。在機械設(shè)計中，可作為參考目標變量必須包含在約束函數(shù)中。在機械設(shè)計中，可作為參考目標函數(shù)的有：函數(shù)的有：

21、 體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)運動精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動運動精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動負荷最小等等。負荷最小等等。 12( )()nF xF xxx， ， ， 為了對設(shè)計進行定量評價，必須構(gòu)造包含設(shè)計變量的評價為了對設(shè)計進行定量評價，必須構(gòu)造包含設(shè)計變量的評價函數(shù)，它是優(yōu)化的目標，稱為目標函數(shù)，以函數(shù)，它是優(yōu)化的目標，稱為目標函數(shù)，以F(X)F(X)表示。表示。 在最優(yōu)化設(shè)計問題中，可以只有一個目標函數(shù)，稱為單目標在最優(yōu)化設(shè)計問題中，可以只有一個目標函數(shù)，稱為單目標函數(shù)。當在同一

22、設(shè)計中要提出多個目標函數(shù)時，這種問題稱為多函數(shù)。當在同一設(shè)計中要提出多個目標函數(shù)時，這種問題稱為多目標函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的機械最優(yōu)化設(shè)計中，多目標函目標函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的機械最優(yōu)化設(shè)計中，多目標函數(shù)的情況較多。目標函數(shù)愈多，設(shè)計的綜合效果愈好，但問題的數(shù)的情況較多。目標函數(shù)愈多，設(shè)計的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復(fù)雜。求解亦愈復(fù)雜。 在實際工程設(shè)計問題中，常常會遇到在多目標函數(shù)的某些在實際工程設(shè)計問題中，常常會遇到在多目標函數(shù)的某些目標之間存在矛盾的情況，這就要求設(shè)計者正確處理各目標函目標之間存在矛盾的情況，這就要求設(shè)計者正確處理各目標函數(shù)之間的關(guān)系。數(shù)之間的關(guān)系。 ( )Fc

23、x 目標函數(shù)是目標函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空維空間中描述出來。為了在間中描述出來。為了在n維設(shè)計空間中反映目標函數(shù)的變化情維設(shè)計空間中反映目標函數(shù)的變化情況，常采用目標函數(shù)等值面的方法。況，常采用目標函數(shù)等值面的方法。 目標函數(shù)的等值面（線）數(shù)學(xué)表達式為：目標函數(shù)的等值面（線）數(shù)學(xué)表達式為： c為一系列常數(shù)，代表一族為一系列常數(shù)，代表一族n維超曲面。如在二維設(shè)計空維超曲面。如在二維設(shè)計空間中，間中，F(xiàn)(x1,x2)=c 代表代表x-x設(shè)計平面上的一族曲線。設(shè)計平面上的一族曲線。 對于具有相等目標函數(shù)值的設(shè)計點構(gòu)成的平面曲線或曲面對于具有相

24、等目標函數(shù)值的設(shè)計點構(gòu)成的平面曲線或曲面稱為稱為等值線等值線或或等值面等值面。圖圖1-4 等值線等值線 圖圖1-1-4 4表示目標函數(shù)表示目標函數(shù)f f（X X）與兩個設(shè)計變量與兩個設(shè)計變量x x1 1，x x2 2階所構(gòu)成階所構(gòu)成的關(guān)系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標函數(shù)值的設(shè)的關(guān)系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標函數(shù)值的設(shè)計點所構(gòu)成的平面曲線。當給目標函數(shù)以不同值時，可得到一計點所構(gòu)成的平面曲線。當給目標函數(shù)以不同值時，可得到一系列的等值線，它們構(gòu)成目標函數(shù)的等值線族。在極值處目標系列的等值線，它們構(gòu)成目標函數(shù)的等值線族。在極值處目標函數(shù)的等值線聚成一點，并位于等值線族的中心。

25、當目標函數(shù)函數(shù)的等值線聚成一點，并位于等值線族的中心。當目標函數(shù)值的變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明目標函數(shù)值的變化愈值的變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明目標函數(shù)值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖象形象地表現(xiàn)出目標函數(shù)平緩。利用等值線的概念可用幾何圖象形象地表現(xiàn)出目標函數(shù)的變化規(guī)律。的變化規(guī)律。 從等值線上，可以清除地看到函數(shù)值的變化情況。其中從等值線上，可以清除地看到函數(shù)值的變化情況。其中F F=40=40的等值線就是使的等值線就是使F(xF(x1 1,x,x2 2)=40)=40的各點的各點 x x1 1,x,x2 2 T T所組成的連所組成的連線。線。 如圖函數(shù)如圖函數(shù) 的等值線

26、圖。的等值線圖。2212121212( ,)60 104F x xxxxxx x圖圖1-5 等值線等值線12 ,TnXx xx()minF X ()0(1,2, )kh Xkl()0(1,2,)jgXjm12min()(),. .()01,2,()01,2,nnjkF XF xxxXRst gXjmh Xkl， ， ，求設(shè)計變量向量求設(shè)計變量向量使目標函數(shù)使目標函數(shù) 對于復(fù)雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、完對于復(fù)雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、完善的數(shù)學(xué)模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為善的數(shù)學(xué)模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為復(fù)雜。這時要抓住關(guān)鍵因素，適當忽略不重

27、要的成分，使復(fù)雜。這時要抓住關(guān)鍵因素，適當忽略不重要的成分，使問題合理簡化，以易于列出數(shù)學(xué)模型，這樣不僅可節(jié)省時問題合理簡化，以易于列出數(shù)學(xué)模型，這樣不僅可節(jié)省時間，有時也會改善優(yōu)化結(jié)果。間，有時也會改善優(yōu)化結(jié)果。 最優(yōu)化設(shè)計的目標函數(shù)通常為求目標函數(shù)的最小值。若最優(yōu)化設(shè)計的目標函數(shù)通常為求目標函數(shù)的最小值。若目標函數(shù)的最優(yōu)點為可行域中的最大值時，則可看成是求目標函數(shù)的最優(yōu)點為可行域中的最大值時，則可看成是求- -F F（X X）的最小值，因為的最小值，因為minmin-F-F（X X）與與maxFmaxF（X X）是是等價的。當然，也可看成是求等價的。當然，也可看成是求1 1F F（X X）

28、的極小值。的極小值。1）根據(jù)設(shè)計要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗等，對）根據(jù)設(shè)計要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗等，對優(yōu)化對象進行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)設(shè)計中的公式進行改優(yōu)化對象進行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)設(shè)計中的公式進行改進，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進步的成果。進，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進步的成果。2）對結(jié)構(gòu)諸參數(shù)進行分析，以確定設(shè)計的原始參數(shù)、設(shè)計常）對結(jié)構(gòu)諸參數(shù)進行分析，以確定設(shè)計的原始參數(shù)、設(shè)計常數(shù)和設(shè)計變量。數(shù)和設(shè)計變量。3）根據(jù)設(shè)計要求，確定并構(gòu)造目標函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，）根據(jù)設(shè)計要求，確定并構(gòu)造目標函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，有時要構(gòu)造多目標函數(shù)。有時

29、要構(gòu)造多目標函數(shù)。4）必要時對數(shù)學(xué)模型進行規(guī)范化，以消除諸組成項間由于量）必要時對數(shù)學(xué)模型進行規(guī)范化，以消除諸組成項間由于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。 以最低成本確定滿足動物所需營養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。設(shè)每以最低成本確定滿足動物所需營養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。設(shè)每天需要混合飼料的批量為天需要混合飼料的批量為100磅，這份飼料必須含：至少磅，這份飼料必須含：至少0.8%而不超過而不超過1.2%的鈣的鈣;至少至少22%的蛋白質(zhì)的蛋白質(zhì);至多至多5%的粗纖維。假的粗纖維。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的主要營養(yǎng)定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。這些配料

30、的主要營養(yǎng)成分為：成分為：1231231231232323123min0.01640.04630.1250. .1000.3800.0010.0020.012 1000.3800.0010.0020.008 1000.090.500.22 1000.020.080.05 100000Zxxxstxxxxxxxxxxxxxxxx解解:根據(jù)前面介紹的建模要素得出此問題的數(shù)學(xué)模型如下根據(jù)前面介紹的建模要素得出此問題的數(shù)學(xué)模型如下:設(shè)設(shè) 是生產(chǎn)是生產(chǎn)100磅混合飼料所須的石灰石、谷物、磅混合飼料所須的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。大豆粉的量（磅）。321xxx對于最優(yōu)化問題一般可作如下分類：對于最優(yōu)

31、化問題一般可作如下分類：還有其它的一些劃分方法：還有其它的一些劃分方法： 如按設(shè)計變量的性質(zhì)分：連續(xù)變量、離散變量、整數(shù)變量如按設(shè)計變量的性質(zhì)分：連續(xù)變量、離散變量、整數(shù)變量規(guī)劃問題規(guī)劃問題: 二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機規(guī)劃等。二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機規(guī)劃等。約束無約束動態(tài)問題非線性規(guī)劃線性規(guī)劃約束問題維問題一維問題非線性問題線性問題無約束問題靜態(tài)問題最優(yōu)化問題nl無約束優(yōu)化無約束優(yōu)化問題就是在沒有限制的條件下，對設(shè)計變問題就是在沒有限制的條件下，對設(shè)計變量求目標函數(shù)的極小點。在設(shè)計空間內(nèi)，目標函數(shù)是量求目標函數(shù)的極小點。在設(shè)計空間內(nèi)，目標函數(shù)是以等值面的形式反映出來的，則以等值面的形式反映出來

32、的，則無約束優(yōu)化問題的極無約束優(yōu)化問題的極小點即為等值面的中心。小點即為等值面的中心。l約束優(yōu)化約束優(yōu)化問題是在可行域內(nèi)對設(shè)計變量求目標函問題是在可行域內(nèi)對設(shè)計變量求目標函數(shù)的極小點，此極小點在數(shù)的極小點，此極小點在可行域內(nèi)或在可行域邊界可行域內(nèi)或在可行域邊界上。上。等值線等高線等值線等高線：等值線等高線：它是由許多具有相它是由許多具有相同目標函數(shù)值的設(shè)同目標函數(shù)值的設(shè)計點所構(gòu)成的平面計點所構(gòu)成的平面曲線曲線目標函數(shù)的等值線目標函數(shù)的等值線數(shù)學(xué)表達式為：數(shù)學(xué)表達式為：()Fcx2212111222123142min( )44 s.t.( )20( )10( )0( )0Fxxxgxxgxxgx

33、gx xxxxx例例1：如下二維非線性規(guī)劃問題：如下二維非線性規(guī)劃問題 通過二維約束優(yōu)化問題的幾何求解來直觀地描述優(yōu)化設(shè)通過二維約束優(yōu)化問題的幾何求解來直觀地描述優(yōu)化設(shè)計的基本思想。計的基本思想。2212111222123142min( )44 s.t.( )20( )10( )0( )0Fxxxgxxgxxgxgx xxxxx 目標函數(shù)等值線是以點（目標函數(shù)等值線是以點（2，0）為圓心的一組同心圓。）為圓心的一組同心圓。 如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：*(2,0)x，*()0Fx約束方程所圍成的可行域是約束方程所圍成的可行域是D。01234-1f(x

34、)=3.821x1x2DAx*=0.58, 1.34Tg1(x)=0g3(x)=0g2(x)=0g4(x)=0221212min21. .50 s txxxxl由圖易見約束直線與等值線的切點是最優(yōu)點，利用解析幾由圖易見約束直線與等值線的切點是最優(yōu)點，利用解析幾何的方法得該切點為何的方法得該切點為 ， 對應(yīng)的最優(yōu)值為對應(yīng)的最優(yōu)值為 l (見圖）見圖）*3,2TX 2fXx2x12f 1f Ol解：先畫出目標函數(shù)等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲解：先畫出目標函數(shù)等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲線是一條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點就是可行域上線是一條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點就是可

35、行域上使等值線具有最小值的點。使等值線具有最小值的點。122122122122min21.5050,0 xxs txxxxxxxl解：先畫出等式約束曲線解：先畫出等式約束曲線 的圖形。的圖形。 這是一條拋物線，如圖這是一條拋物線，如圖052221xxxl再畫出不等式約束區(qū)域，如圖（選定哪側(cè)區(qū)域）再畫出不等式約束區(qū)域，如圖（選定哪側(cè)區(qū)域）l最后畫出目標函數(shù)等值線，特別注意可行集邊界點，最后畫出目標函數(shù)等值線，特別注意可行集邊界點，x1x2123456135ABCD2122125050 xxxxx( 4 1)TX，4fXl得出：得出：x1x2123456135ABCD 例例4 人字架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計人

36、字架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計如圖所示的人字架由兩個鋼管構(gòu)成，其頂點承受外力為如圖所示的人字架由兩個鋼管構(gòu)成，其頂點承受外力為2F=3105N。人字架跨。人字架跨度度2B152cm，鋼管壁厚，鋼管壁厚T0.25 cm，鋼管材料的彈性模量，鋼管材料的彈性模量E2.1105MPa ,材料密度為材料密度為7.8103Kg/m3,許用壓應(yīng)力許用壓應(yīng)力y420420MPa 。求在鋼管壓應(yīng)力。求在鋼管壓應(yīng)力不超過不超過許用壓應(yīng)力許用壓應(yīng)力y和失穩(wěn)臨界應(yīng)力和失穩(wěn)臨界應(yīng)力e的條件下。人字架的高的條件下。人字架的高h和鋼管平均直徑和鋼管平均直徑D，使鋼管總質(zhì)，使鋼管總質(zhì)量量m為最小。為最小。 根據(jù)題意，可以把人字架的優(yōu)化設(shè)計

37、問題歸結(jié)為根據(jù)題意，可以把人字架的優(yōu)化設(shè)計問題歸結(jié)為求求ThDx 使結(jié)構(gòu)質(zhì)量使結(jié)構(gòu)質(zhì)量min)(xm但應(yīng)滿足強度約束條件但應(yīng)滿足強度約束條件yx)(和穩(wěn)定約束條件和穩(wěn)定約束條件ex)(),()(minhDmxm.tseyxx)()(數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型：鋼管所受的壓力鋼管所受的壓力hhBFhFLF21221)(壓桿失穩(wěn)的臨界力壓桿失穩(wěn)的臨界力)(8)(2222222hBDTEALEIFe鋼管截面慣性矩鋼管截面慣性矩)(8)(42244DTArRI鋼管截面面積（鋼管截面面積（r，R為截面內(nèi)外半徑）為截面內(nèi)外半徑）TDrRA)(22rRDrRT鋼管所受的壓應(yīng)力鋼管所受的壓應(yīng)力TDhhBFAF21221

38、)()(8)(22222hBDTEAFee鋼管的臨界應(yīng)力鋼管的臨界應(yīng)力強度約束條件強度約束條件y可以寫成可以寫成yTDhhBF2122)(穩(wěn)定約束條件穩(wěn)定約束條件e可以寫成可以寫成)(8)()(222222122hBDTETDhhBF解析法解析法 假定使人字架總值量假定使人字架總值量2122)(22),(hBTDALhDm為最小的最優(yōu)解剛好滿足強度條件，即有為最小的最優(yōu)解剛好滿足強度條件，即有yhD),(從而可以將設(shè)計變量從而可以將設(shè)計變量D用設(shè)計變量用設(shè)計變量h表示表示hThBFDy2122)(將將D帶入目標函數(shù)帶入目標函數(shù)m ( D, h ) 中，得中，得hhBFhmy222)(0)1 (

39、2)(22222hBFhhBdhdFdhdmyy根據(jù)極值必要條件根據(jù)極值必要條件得kgFBmcmTFDcmBhyy47.8443.6276把所得參數(shù)帶入穩(wěn)定把所得參數(shù)帶入穩(wěn)定條件，可以證明條件，可以證明),(),(hDhDe即穩(wěn)定條件得到滿足。所以即穩(wěn)定條件得到滿足。所以h* ，D* 這兩個參數(shù)是滿足強度約束和穩(wěn)定這兩個參數(shù)是滿足強度約束和穩(wěn)定約束，且使結(jié)構(gòu)最輕的最佳參數(shù)。約束，且使結(jié)構(gòu)最輕的最佳參數(shù)。作圖法在設(shè)計平面在設(shè)計平面D-h上畫出代表上畫出代表(D,h)(D,h)(D,h)ey的兩條曲線。的兩條曲線?？尚杏驐l件可行域條件ey然后再畫出一族等然后再畫出一族等質(zhì)量等值線質(zhì)量等值線ChDm

40、),(C為一系列常數(shù)。為一系列常數(shù)。X*的坐標：的坐標：D*6.43 h*76 m*8.47 討論討論：若若ayMP703對于具有不等式約束條件的優(yōu)化問題，判斷那些約束是對于具有不等式約束條件的優(yōu)化問題，判斷那些約束是起作用的，那些約束是不起作用的，這對求解優(yōu)化問題起作用的，那些約束是不起作用的，這對求解優(yōu)化問題是很關(guān)鍵的。是很關(guān)鍵的。按解析法求解得按解析法求解得kgFhmcmTFDcmBhyy06.5484.3276111用作圖法求解得用作圖法求解得kgmcmDcmh45.575.43.51111 即利用數(shù)學(xué)分析即利用數(shù)學(xué)分析( (微分、變分等）的方法，微分、變分等）的方法，根據(jù)根據(jù)函數(shù)（泛

41、函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析函數(shù)（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析解的解的求解方法求解方法 。在目標函數(shù)比較簡單時，求解還可以。在目標函數(shù)比較簡單時，求解還可以。 局限性：局限性：工程優(yōu)化問題的目標函數(shù)和約束條件往往比較復(fù)工程優(yōu)化問題的目標函數(shù)和約束條件往往比較復(fù)雜，有時甚至還無法用數(shù)學(xué)方程描述，在這種情況下應(yīng)用數(shù)雜，有時甚至還無法用數(shù)學(xué)方程描述，在這種情況下應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法就會帶來麻煩。學(xué)分析方法就會帶來麻煩。 最優(yōu)化方法是與近代電子計算機的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數(shù)最優(yōu)化方法是與近代電子計算機的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數(shù)值計算法比解析法更能適應(yīng)電子計算機的工作特點，因為數(shù)值計

42、值計算法比解析法更能適應(yīng)電子計算機的工作特點，因為數(shù)值計算的迭代方法具有以下特點：算的迭代方法具有以下特點： 1 1）是數(shù)值計算而不是數(shù)學(xué)分析方法；）是數(shù)值計算而不是數(shù)學(xué)分析方法； 2 2）具有簡單的邏輯結(jié)構(gòu)并能進行反復(fù)的同樣的算術(shù)計算；）具有簡單的邏輯結(jié)構(gòu)并能進行反復(fù)的同樣的算術(shù)計算； 3 3）最后得出的是逼近精確解的近似解。）最后得出的是逼近精確解的近似解。這些特點正與計算機的工作特點相一致。這些特點正與計算機的工作特點相一致。這是一種數(shù)值近似計算方法，又稱為數(shù)值迭代這是一種數(shù)值近似計算方法，又稱為數(shù)值迭代方法。它是根據(jù)目標函數(shù)的變化規(guī)律，以適當?shù)牟介L沿著能使目方法。它是根據(jù)目標函數(shù)的變化

43、規(guī)律，以適當?shù)牟介L沿著能使目標函數(shù)值下降的方向，逐步向目標函數(shù)值的最優(yōu)點進行探索，逐標函數(shù)值下降的方向，逐步向目標函數(shù)值的最優(yōu)點進行探索，逐步逼近到目標函數(shù)的最優(yōu)點或直至達到最優(yōu)點。數(shù)值解法（迭代步逼近到目標函數(shù)的最優(yōu)點或直至達到最優(yōu)點。數(shù)值解法（迭代法）是優(yōu)化設(shè)計問題的基本解法。法）是優(yōu)化設(shè)計問題的基本解法。 其中也可能用到解析法，如最速下降方向的選取、最優(yōu)步長的確定等。 數(shù)值迭代法的數(shù)值迭代法的是進行反復(fù)的數(shù)值計算，尋是進行反復(fù)的數(shù)值計算，尋求求目標目標函數(shù)值不斷下降的可行計算點，直到最后獲得足夠精函數(shù)值不斷下降的可行計算點，直到最后獲得足夠精度的度的最優(yōu)點最優(yōu)點。這種方法的求優(yōu)過程大致可

44、歸納為以下步驟：這種方法的求優(yōu)過程大致可歸納為以下步驟： 1 1）首先初選一個盡可能靠近最小點的初始點）首先初選一個盡可能靠近最小點的初始點X X（0 0），從從X X（0 0）出發(fā)按照一定的原則尋找可行方向和初始步長，向前跨出一步出發(fā)按照一定的原則尋找可行方向和初始步長，向前跨出一步達到達到X X（1 1）點；點； 2 2）得到新點）得到新點X X（1 1）后再選擇一個新的使函數(shù)值迅速下降的后再選擇一個新的使函數(shù)值迅速下降的方向及適當?shù)牟介L，從方向及適當?shù)牟介L，從X X（1 1）點出發(fā)再跨出一步，達到點出發(fā)再跨出一步，達到X X（2 2）點，點，并依此類推，一步一步地向前探索并重復(fù)數(shù)值計算，

45、最終達到并依此類推，一步一步地向前探索并重復(fù)數(shù)值計算，最終達到目標函數(shù)的最優(yōu)點。目標函數(shù)的最優(yōu)點。在中間過程中每一步的迭代形式為：在中間過程中每一步的迭代形式為：11()()kkkkkkSFF k=0,1,2,xxxx 圖圖1-8 迭代計算機逐步逼近最優(yōu)點過程示意圖迭代計算機逐步逼近最優(yōu)點過程示意圖 上式中：上式中：X X（k k）第第k k步迭代計算所得到的點，稱第步迭代計算所得到的點，稱第k k步迭代點，步迭代點， 亦為第亦為第k k步設(shè)計方案；步設(shè)計方案； a a（k k）第第k k步迭代計算的步長；步迭代計算的步長； S S（k k）第第k k步迭代計算的探索方向。步迭代計算的探索方向

46、。 用迭代法逐步逼近最優(yōu)點用迭代法逐步逼近最優(yōu)點的探索過程如圖的探索過程如圖1-81-8所示。所示。1()()kkFFxx1kkkkSxx（3）給定收斂準則）給定收斂準則收收斂：斂：迭代法要解決的問題：迭代法要解決的問題：k01mpnmpiiimpiiin11kkxx（1 1）點距準則）點距準則12kkiixx或或ffkfk+1f*xkoxk+1x*x(a)13()()kkFFxx（2）函數(shù)值下降量函數(shù)值下降量 準則準則14()()()kkkFFFxxx或或xoffkfk+1f*xkxk+1x*(b)5()kFx251010 (1,5)ii 上述準則都在一定程度上反映了逼近最優(yōu)點的程上述準則都

47、在一定程度上反映了逼近最優(yōu)點的程度，但都有一定的局限性。在實際應(yīng)用中，可取其中度，但都有一定的局限性。在實際應(yīng)用中，可取其中一種或多種同時滿足來進行判定。一種或多種同時滿足來進行判定。采用哪種收斂準則，可視具體問題而定。可以?。翰捎媚姆N收斂準則，可視具體問題而定。可以?。?否是問題分析問題分析建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型選擇優(yōu)化方法選擇優(yōu)化方法編寫計算機程序編寫計算機程序準備初始數(shù)據(jù)，上機計算準備初始數(shù)據(jù)，上機計算確定最優(yōu)設(shè)計方案確定最優(yōu)設(shè)計方案方案評價與決策方案評價與決策010120210200(,)(,)limSFF xx xxF xxss x一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)二元函數(shù)在點二元函數(shù)在點x

48、0處沿某一方向處沿某一方向s s的的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)Ox2x1x10 x20 x0 x1 x2 sxS 1 2Ox2x1x10 x20 x0 x1 x2 sxS 1 2圖圖2-1方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系是方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系是0001212coscosFFFsxxxxx方向?qū)?shù)是偏導(dǎo)數(shù)概念的推廣。方向?qū)?shù)是偏導(dǎo)數(shù)概念的推廣。123f01020300000123123coscoscosFFFFsxxxxxxx0000012121coscoscoscosnnniiiFFFFsxxxFxxxxxx0001212coscosFFFsxxxxx01212coscosFFxxx001012

49、2()TFxFFFFxxxxxx為函數(shù)F(x1，x2)在x0點處的梯度。1212coscoscos,TFFFsxxFsFsF s 2212FFFxx設(shè)12coscoss梯度方向和s方向重合時，方向?qū)?shù)值最大。12coscoss圖圖2-2 梯度方向與等值線的關(guān)系梯度方向與等值線的關(guān)系000()() cos(, )TFFsFF ss xxx設(shè)：設(shè)：則有則有 為單位向量。為單位向量。0012012()TnnFxFFFFxFxxxFxxxx00001cos()() cos(, )nTiiiFFFsFF ssx xxxx012201()()niiFFxxx 函數(shù)的梯度方向與函數(shù)等值面相垂直，也就是函數(shù)的

50、梯度方向與函數(shù)等值面相垂直，也就是和等值面上過和等值面上過x0的一切曲線相垂直。的一切曲線相垂直。 由于梯度的模因點而異，即函數(shù)在不同點處的由于梯度的模因點而異，即函數(shù)在不同點處的最大變化率是不同的。因此，梯度是函數(shù)的一種最大變化率是不同的。因此，梯度是函數(shù)的一種局局部性質(zhì)部性質(zhì)。0()Fxl梯度梯度 模：模：圖圖2-2 梯度方向與等值面的關(guān)系梯度方向與等值面的關(guān)系求函數(shù)求函數(shù) 在點在點3,2T 的的 梯度。梯度。22121( )44fxxxx112224( )2fxxfxfxx(1)1(1)2242()24xxfx x在點在點x(1)=3,2T處的梯度為：處的梯度為：l解：解： 121212

51、64,42fXfXxxxxxx 121211200121021644422xxxxfXxxxPfXxxfXx ：試求目標函數(shù)：試求目標函數(shù) 在點在點 處的處的最速下降方向，并求沿這個方向移動一個單位長度后新點的目最速下降方向，并求沿這個方向移動一個單位長度后新點的目標函數(shù)值。標函數(shù)值。2221212143,xxxxxxf00,1TX00,1TX則函數(shù)在則函數(shù)在 處的最速下降方向是處的最速下降方向是解：解： 由于由于10225505511151555XXe00224252514255fXefX 012211222634|255XfXxx xx新點是新點是這個方向上的單位向量是：這個方向上的單位向

52、量是： 1 .002 .3 .2.4 .2TTTfXCfXCfXb XfXbfXX XfXXQfXX QXfXQX常數(shù)則，即，則，則，對稱矩陣。則， 當極值點當極值點X X* *能使能使f f（X X* *）在整個可行域中為最小值時，即在整在整個可行域中為最小值時，即在整個可行域中對任一個可行域中對任一X X都有都有f f（X X）f f（X X* *）時，則時，則X X* *就是最優(yōu)點，就是最優(yōu)點，且稱為且稱為。若。若f f（X X* *）為局部可行域中的為局部可行域中的極小值而不是整個可行域中的最小值時，則稱極小值而不是整個可行域中的最小值時，則稱X X* *為為。最優(yōu)化設(shè)計的目標是全域最

53、優(yōu)點。為了判斷某一極。最優(yōu)化設(shè)計的目標是全域最優(yōu)點。為了判斷某一極值點是否為全域最優(yōu)點，研究一下函數(shù)的凸性很有必要。值點是否為全域最優(yōu)點，研究一下函數(shù)的凸性很有必要。 函數(shù)的凸性表現(xiàn)為單峰性。對于具有凸性特點的函數(shù)來說，函數(shù)的凸性表現(xiàn)為單峰性。對于具有凸性特點的函數(shù)來說，其極值點只有一個，因而該點既是局部最優(yōu)點亦為全域最優(yōu)點。其極值點只有一個，因而該點既是局部最優(yōu)點亦為全域最優(yōu)點。 為了研究函數(shù)的凸性，現(xiàn)引入凸集的概念：為了研究函數(shù)的凸性，現(xiàn)引入凸集的概念： 設(shè)設(shè)D D為為n n維歐氏空間中的一個集合，若其中任意兩點維歐氏空間中的一個集合，若其中任意兩點X X(1)(1)、X X(2)(2)之

54、間的聯(lián)接直線都屬于之間的聯(lián)接直線都屬于D D，則稱這種集合則稱這種集合D D為為n n維維歐氏空間的一個凸集。圖歐氏空間的一個凸集。圖2-32-3（a a）是二維空間的一個凸集，是二維空間的一個凸集，而圖而圖2-32-3（b b）不是凸集。不是凸集。圖圖2-3 二維空間的凸集與非凸集二維空間的凸集與非凸集X X（1 1）、X X（2 2）兩點之間的聯(lián)接直線，可用數(shù)學(xué)式表達為兩點之間的聯(lián)接直線，可用數(shù)學(xué)式表達為: :(1)(2)(1)XXX式中式中 為由為由0 0到到1 1（0 10 1）間的任意實數(shù)。間的任意實數(shù)。凸集的性質(zhì)：凸集的性質(zhì)： 1 1）若）若D D為為凸集，凸集， 是一個實數(shù)，則集

55、合是一個實數(shù)，則集合 D D仍是凸集；仍是凸集； 2 2）若）若D D和和F F均為凸集，則其和（或并）仍是凸集；均為凸集，則其和（或并）仍是凸集； 3 3）任何一組凸集的積（或交）仍是凸集。）任何一組凸集的積（或交）仍是凸集。 具有凸性（表現(xiàn)為單峰性）或只有唯一的局部最優(yōu)值具有凸性（表現(xiàn)為單峰性）或只有唯一的局部最優(yōu)值亦即全域最優(yōu)值的函數(shù)，稱為亦即全域最優(yōu)值的函數(shù)，稱為。其數(shù)學(xué)。其數(shù)學(xué)定義是定義是： 設(shè)設(shè) f f（X X）為定義在為定義在 n n維歐氏空間中的一個凸集維歐氏空間中的一個凸集D D上的函數(shù)，上的函數(shù)，如果對任何實數(shù)如果對任何實數(shù)a a（0a10a 0），），則則 af（X）也必

56、是定義在凸集也必是定義在凸集D D上的凸函數(shù)；上的凸函數(shù)； 3 3）若若f f1 1( (X X），），f f2 2( (X X ) )為定義在凸集為定義在凸集D D上的兩個凸函數(shù)，上的兩個凸函數(shù)，和和為兩個任意正數(shù)，則函數(shù)為兩個任意正數(shù)，則函數(shù) afafl l（X X）ff2 2( (X X) )仍為仍為D D上的凸函上的凸函數(shù)數(shù)。 2 2）定義在凸集定義在凸集D D上的兩個凸函數(shù)上的兩個凸函數(shù)f f1 1( (X X），），f f2 2( (X X) )，其和其和 f f（X X）=f=f1 1（X X）十）十f f2 2（X X）亦必為該凸集上的一個凸函數(shù)；亦必為該凸集上的一個凸函數(shù)；

57、1）若）若f（X）為定義在凸集）為定義在凸集D上且具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，上且具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則則f（X）為凸函數(shù)的充分必要條件為：）為凸函數(shù)的充分必要條件為： 對任意兩點對任意兩點X（1），），X（2），不等式），不等式三、凸性條件三、凸性條件(2)(1)(2)(1)(1)()() ()()Tf Xf XXXf X恒成立恒成立2）設(shè)）設(shè)f（X）為定義在凸集）為定義在凸集R上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則則f（X）在）在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海賽矩陣上為凸函數(shù)的充分必要條件是海賽矩陣G(X)在在R上處處半正定。上處處半正定。 對于約束優(yōu)化問題對于約束優(yōu)化問題

58、12min()(),. .()01,2,nnjF XF xxxXRstgXjm ， ， ， 式中若式中若F F（X X）、 均均為凸函數(shù)，為凸函數(shù)，則稱此問題為則稱此問題為。()jgX 不論是無約束或有約束的優(yōu)化問題，在實際應(yīng)用中，要證明不論是無約束或有約束的優(yōu)化問題，在實際應(yīng)用中，要證明一個優(yōu)化問題是否為凸規(guī)劃，一般比較困難，有時甚至比求解一個優(yōu)化問題是否為凸規(guī)劃，一般比較困難，有時甚至比求解優(yōu)化問題本身還要麻煩。尤其對一些工程問題，由于其數(shù)學(xué)模優(yōu)化問題本身還要麻煩。尤其對一些工程問題，由于其數(shù)學(xué)模型的性態(tài)都比較復(fù)雜，更難實現(xiàn)。因此，在優(yōu)化設(shè)計的求解中，型的性態(tài)都比較復(fù)雜，更難實現(xiàn)。因此，在

59、優(yōu)化設(shè)計的求解中，就不必花精力進行求證，而通常是從幾個初始點出發(fā)，找出幾就不必花精力進行求證，而通常是從幾個初始點出發(fā)，找出幾個局部最優(yōu)解，從中選擇目標函數(shù)值最好的解。個局部最優(yōu)解，從中選擇目標函數(shù)值最好的解。外，最簡單最重要的一類就是二次函數(shù)。外，最簡單最重要的一類就是二次函數(shù)。 在在n元函數(shù)中，除了線形函數(shù)：元函數(shù)中，除了線形函數(shù)：或或 f(X)=aX+c其中其中 均為常數(shù)。均為常數(shù)。若若 ，X0 ，均有均有 0 ，則稱矩陣，則稱矩陣Q是是的。的。在代數(shù)學(xué)中將特殊的二次函數(shù)在代數(shù)學(xué)中將特殊的二次函數(shù) 稱為稱為。對于二次函數(shù)，我們更關(guān)心的是對于二次函數(shù)，我們更關(guān)心的是Q為正定矩陣的情形。為正

60、定矩陣的情形。 若若 ，且，且X0，均有均有 0，則稱，則稱Q是是的。的。定義：設(shè)定義：設(shè)Q為為nn對稱矩陣對稱矩陣其中其中 Q= b= Q為對稱矩陣為對稱矩陣其向量矩陣表示形式是：其向量矩陣表示形式是：二次函數(shù)的一般形式為：二次函數(shù)的一般形式為：解：對稱矩陣解：對稱矩陣Q的三個主子式依次為：的三個主子式依次為：例：判定矩陣例：判定矩陣Q= 是否正定是否正定因此知矩陣因此知矩陣Q是正定的。是正定的。定理：定理： 若二次函數(shù)若二次函數(shù) 中中Q正定，則它的等值正定，則它的等值面是同心橢球面族，且中心為面是同心橢球面族，且中心為證明：作變換證明：作變換 ，代入二次函數(shù)式中：代入二次函數(shù)式中：根據(jù)解析