第二章第二節(jié)線性子空間

1、設(shè)設(shè)V是數(shù)域是數(shù)域P上的線性空間，集合上的線性空間，集合()WV W 若若W對(duì)于對(duì)于V中的兩種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域中的兩種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域P上的線性上的線性空間空間,則稱則稱W為為V的一個(gè)的一個(gè)線性子空間線性子空間，簡(jiǎn)稱為，簡(jiǎn)稱為子空間子空間注：注： 線性子空間也是數(shù)域線性子空間也是數(shù)域P上一線性空間，它也上一線性空間，它也 任任一線性子空間的維數(shù)不能超過整個(gè)空間的一線性子空間的維數(shù)不能超過整個(gè)空間的有基與維數(shù)的概念有基與維數(shù)的概念. . 維數(shù)維數(shù). .()W ，若，若W對(duì)于對(duì)于V中兩種運(yùn)算封閉，即中兩種運(yùn)算封閉，即 ,;WW 有有則則W是是V的一個(gè)子空間的一個(gè)子空間 ：設(shè)：設(shè)V為數(shù)域?yàn)閿?shù)域P上的線性

2、空間，集合上的線性空間，集合 WV ,WkPkW 有有,.Wa bP abW ：V為數(shù)域?yàn)閿?shù)域P上的線性空間上的線性空間, , (),WV W 則則W是是V的子空間的子空間 ， . . 且對(duì)且對(duì) ， W WW由數(shù)乘運(yùn)算由數(shù)乘運(yùn)算封閉，有封閉，有 ( 1)W ，即，即W中元素的負(fù)元素就是中元素的負(fù)元素就是它在它在V中的負(fù)元素，中的負(fù)元素，4）成立）成立就是就是V中中的零元，的零元， 3）成立）成立由于由于 WV，規(guī)則，規(guī)則1）、）、2）、）、5）、）、6）、）、7）、）、8）是顯然成立的下證是顯然成立的下證3）、）、4）成立）成立 由加法封閉，有由加法封閉，有 , ,即即W中的零元中的零元0()

3、W 證明證明：要證明：要證明W也為數(shù)域也為數(shù)域P上的線性空間，上的線性空間，即證即證W中的向量滿足線性空間定義中的八條規(guī)則中的向量滿足線性空間定義中的八條規(guī)則 例例2設(shè)設(shè)V為所有實(shí)函數(shù)所成集合構(gòu)成的線性空間為所有實(shí)函數(shù)所成集合構(gòu)成的線性空間, ,則則Rx為為V的一個(gè)子空間的一個(gè)子空間 例例3Pxn是是Px的的線性子空間的的線性子空間 例例1設(shè)設(shè)V為數(shù)域?yàn)閿?shù)域P上的線性空間，只含零向量的上的線性空間，只含零向量的子集合是子集合是V的一個(gè)線性子空間，稱之為的一個(gè)線性子空間，稱之為V的的零子空間零子空間線性空間線性空間V本身也是本身也是V的一個(gè)子空間的一個(gè)子空間. . 這兩個(gè)子空間有時(shí)稱為這兩個(gè)子空

4、間有時(shí)稱為平凡子空間平凡子空間，而其它的，而其它的子空間稱為子空間稱為非平凡子空間非平凡子空間 0W 的全部解向量所成集合的全部解向量所成集合W對(duì)于通常的向量加法和數(shù)對(duì)于通常的向量加法和數(shù) ()的的解空間解空間W的維數(shù)的維數(shù)n秩秩(A)， ；()ijs nAa 例例4n元齊次線性方程組元齊次線性方程組 111122121122221122000nnnnsssnna xa xa xa xa xaxa xa xa x ( () ) ( () )的一個(gè)基礎(chǔ)解系就是解空間的一個(gè)基礎(chǔ)解系就是解空間W的一組基的一組基.空間，稱空間，稱W為方程組為方程組()的的解空間解空間量乘法構(gòu)成的線性空間是量乘法構(gòu)成的

5、線性空間是 n 維向量空間維向量空間 Pn 的一個(gè)子的一個(gè)子例例5判斷判斷Pn的下列子集合哪些是子空間：的下列子集合哪些是子空間： 11212(,)0,nniWx xxxxxxP解解：W1 、W3是是Pn的子空間，的子空間， W2不是不是Pn的子空間的子空間. .21212(,)1,nniWx xxxxxxP3121(,0),1,2,1niWx xxxP in 若為若為Pn的子空間，求出其維數(shù)與一組基的子空間，求出其維數(shù)與一組基. .事實(shí)上，事實(shí)上，W1 是是n元齊次線性方程組元齊次線性方程組的解空間的解空間. . 所以，維所以，維W1 n n1 1，的一個(gè)基礎(chǔ)解系的一個(gè)基礎(chǔ)解系120nxxx

6、就是就是W1 的一組基的一組基. .1(1, 1,0,0), 1(1,0,0, 1)n ,2(1,0, 1,0,0), 而在而在 W2中任取兩個(gè)向量，設(shè)中任取兩個(gè)向量，設(shè), 1212(,),(,)nnxxxyyy 1122()()()nnxyxyxy但但是是1212()()112nnxxxyyy1122(,)nnxy xyxy2,W 則則故故W2不是不是Pn的子空間的子空間. .故，故，W3為為V的一個(gè)子空間，且維的一個(gè)子空間，且維W3 n n1 1 ，1213(,0)nkkx kxkxW 1122113(,0)nnxy xyxyW則有則有 其次，其次， 3,WkP 121121(,0),(,

7、0)nnxxxyyy 設(shè)設(shè)330(0,0,0),WW 首首先先下證下證W3是是Pn的子空間的子空間. .(0,0,1,0,0),1,2,1iiin 就是就是W3的一組基的一組基. .例例6設(shè)設(shè)V為數(shù)域?yàn)閿?shù)域P上的線性空間，上的線性空間， 12,rV 1122,1,2, rriWkkkkP ir令令則則W關(guān)于關(guān)于V的運(yùn)算作成的運(yùn)算作成V的一個(gè)子空間的一個(gè)子空間 即的一切線性即的一切線性組合所成集合組合所成集合.12,r 稱為稱為V的由的由 生成的子空間生成的子空間，12,r 定義定義：V為數(shù)域?yàn)閿?shù)域P上的線性空間，上的線性空間， 則子空間則子空間 12,rV ，1122,1,2, rriWkkk

8、kP ir記作記作 12(,)rL 稱稱 為為 的一組的一組 生成元生成元.12,r 12(,)rL 例例7在在Pn 中中， 21 (1, ,)nnP xLx xx (0,0,1,0,0),1,2,iiin 為為Pn的的一組基，一組基，12(,)nna aaP 1 122nnaaa有有12(,)nnPL 故故有有即即 Pn 由它的一組基生成由它的一組基生成.類似地，還有類似地，還有 1011011,nnnaa xaxa aaP 事實(shí)上，任一有限事實(shí)上，任一有限維線性空間都可由維線性空間都可由它的一組基生成它的一組基生成.設(shè)設(shè)W為為n維線性空間維線性空間V的任一子空間，的任一子空間， 是是W的一

9、組基，則有的一組基，則有12,r 12(,)rWL （） 1） ； 為線性空間為線性空間V中的中的兩組向量，則兩組向量，則12,s 1212(,)(,)rsLL 12,r 與與 等價(jià)等價(jià) 12,r 12,s 2）生成子空間）生成子空間 的維數(shù)的維數(shù)12(,)rL 向量組向量組 的秩的秩12,r 證：證：1）若）若 1212(,)(,)rsLL 則對(duì)則對(duì) ,1,2, ,iir 有有 ， 12(,)isL 從而從而 可被可被12,s i 線性表出；線性表出；同理每一個(gè)同理每一個(gè)也可被也可被 線性表出線性表出. . 12,r i 所以，所以， 與與 等價(jià)等價(jià) 12,r 12,s 12(,)rL ，

10、可被可被 線性表出，線性表出， 12,r 從而可被從而可被 線性表出，即線性表出，即 12,s 12(,),sL 反之，反之， 與與 等價(jià)等價(jià) 12,r 12,s 1212(,)(,)rsLL 所以所以, , 1212(,)(,).rtLL 同理可得，同理可得， 1212(,)(,)srLL 故，故， 1212(,)(,)rsLL 由由3 3定理定理1 1， 2）設(shè)向量組）設(shè)向量組 的秩的秩t，不妨設(shè)，不妨設(shè) 12,r 為它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組 12,()ttr 因?yàn)橐驗(yàn)?與與 等價(jià)，等價(jià)， 12,r 12,t 就是就是 的一組基，的一組基， 12(,)rL 12,t 所以，所

11、以， 的維數(shù)的維數(shù)t12(,)rL 無(wú)關(guān)組，則無(wú)關(guān)組，則推論：推論：設(shè)是線性空間設(shè)是線性空間V V中不全為零中不全為零12,s 的一組向量，是它的一個(gè)極大的一組向量，是它的一個(gè)極大12,()riiirs 1212(,)(,)rsiiiLL 設(shè)設(shè) 為為P上上n維線性空間維線性空間V的一組基，的一組基，12,n 則則 的維數(shù)秩的維數(shù)秩(A).12(,)sL 1212(,)(,)snA A為為P上一個(gè)上一個(gè) 矩陣，若矩陣，若ns 證：設(shè)秩證：設(shè)秩(A)r，不失一般性，設(shè)，不失一般性，設(shè)A的前的前r列線列線性無(wú)關(guān)，并將這性無(wú)關(guān)，并將這r 列構(gòu)成的矩陣記為列構(gòu)成的矩陣記為A1，其余，其余s-r列列構(gòu)成的

12、矩陣記為構(gòu)成的矩陣記為A2， 則則A(A1, A2)，且，且秩秩(A1)秩秩(A)r，12121(,)(,)rnA 設(shè)即設(shè)即11220,rrkkk112(,)0,rrkk 下證線性無(wú)關(guān)下證線性無(wú)關(guān).12,r 12,n 是是V的一組基，的一組基，110rkAk 又秩又秩(A1)r，方程組方程組只有零解，即只有零解，即120,rkkk12,r 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).從而從而1121(,)0nrkAk 1212(,)(,)rjnjB 任取任取 (1,2, ),jjs 將將A的第的第 j 列添在列添在A1的右邊構(gòu)成的矩陣記為的右邊構(gòu)成的矩陣記為Bj ，則，則則有則有1121(,)0njrrlBll 112

13、1(,)0,rjrrlll 即即設(shè)設(shè)112210,rrrjllll 從而有從而有110jrrlBll 而秩而秩(Bj)r， 有非零解，故有不全為零的數(shù)有非零解，故有不全為零的數(shù)121, , ,rrl ll l 使使故為的極大無(wú)關(guān)組，故為的極大無(wú)關(guān)組，12,r 12,s 所以所以 的維數(shù)的維數(shù)r秩秩(A).12(,)sL 112210,rrrjllll 線線性性相相關(guān)關(guān).1 2,rj 則向量組則向量組 與矩陣與矩陣A的列向量組具有相同的列向量組具有相同12,s 線性相關(guān)性線性相關(guān)性.所以可對(duì)矩陣所以可對(duì)矩陣A作初等行變換化階梯作初等行變換化階梯陣來(lái)求向量組陣來(lái)求向量組 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，從而的一

14、個(gè)極大無(wú)關(guān)組，從而12,s 求出生成子空間的維數(shù)與一組基求出生成子空間的維數(shù)與一組基.12(,)sL 1212(,)(,)snA 由證明過程可知，若由證明過程可知，若 為為V的一組基，的一組基，12,n 為為 V 的一組基即在的一組基即在 V 中必定可找到中必定可找到 nm 個(gè)向量個(gè)向量設(shè)設(shè)W為為 n 維線性空間維線性空間 V 的一個(gè)的一個(gè) m 維子空間，維子空間，（）為為W的一組基，則這組向量必定可擴(kuò)充的一組基，則這組向量必定可擴(kuò)充12,m ，使，使 為為 V 的一組基的一組基12,n 12,mmn擴(kuò)基定理擴(kuò)基定理 證明證明：對(duì)：對(duì)nm作數(shù)學(xué)歸納法作數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)當(dāng) nm0時(shí)，即時(shí)，即nm，定

15、理成立定理成立12,m 就是就是V的一組基的一組基.假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)nmk時(shí)結(jié)論成立時(shí)結(jié)論成立.因因 n( (m1) )( (nm) )1( (k1) )1k，下面我們考慮下面我們考慮 nmk1 的情形的情形必定是線性無(wú)關(guān)的必定是線性無(wú)關(guān)的121,mm 既然既然 還不是還不是V的一組基，它又是線的一組基，它又是線性無(wú)關(guān)的，那么在性無(wú)關(guān)的，那么在V中必定有一個(gè)向量不能被中必定有一個(gè)向量不能被 線性表出，把它添加進(jìn)去，則線性表出，把它添加進(jìn)去，則12,m 1m 12,m 由定理由定理3，子空間，子空間 是是m1維的維的121(,)mL 可以擴(kuò)充為整個(gè)空間可以擴(kuò)充為整個(gè)空間V的一組基由歸納原理得證的一組

16、基由歸納原理得證. . 由歸納假設(shè)，由歸納假設(shè)， 的基的基121(,)mL 121,mm 它擴(kuò)充為它擴(kuò)充為P4的一組基，其中的一組基，其中例例8 求求 的維數(shù)與一組基，并把的維數(shù)與一組基，并把12345(,)L 1(1, 1,2,4), 5(2,1,5,6) 4(1, 1,2,0), 3(3,0,7,14), 2(0,3,1,2), 解：對(duì)以為列向量的矩陣解：對(duì)以為列向量的矩陣A作作12345, 初等行變換初等行變換10 3121 3 01 12 1 72 542 14 06A 1 0 3120 3 3030 1 1010 2 2421 0 3120 1 1010 0 0000 0 0441

17、0 3 1 20 1 1 0 10 0 0 1 10 0 0 0 0B 由由B知，為知，為 的一個(gè)極大的一個(gè)極大124, 12345, 故，維故，維 3 3，12345(,)L 就是就是 的一組基的一組基.124, 12345(,)L 無(wú)關(guān)組無(wú)關(guān)組. .10 101 31 0.2 12 142 0 0可可逆逆10 11 31120,42 0 又又(0,0,1,0) 令令則則 線性無(wú)關(guān)，從而為線性無(wú)關(guān)，從而為P4的一組基的一組基. .124, 設(shè)設(shè)V為數(shù)域?yàn)閿?shù)域P上的線性空間，為上的線性空間，為V1234, 的一組基，且的一組基，且123,V 1123412(,),34 2123421(,),31 3123413(,),03 求求 的一組基，并把它擴(kuò)充為的一組基，并把它擴(kuò)充為V的一組基的一組基. .123(,)L 令對(duì)令對(duì)A作初等