第5章特征值與特征向量

1、-2-矩陣的特征值與特征向量都有著廣泛和重要的應(yīng)用。如：矩陣的特征值與特征向量都有著廣泛和重要的應(yīng)用。如：工程技術(shù)中的振動問題工程技術(shù)中的振動問題;數(shù)值計算中的穩(wěn)定性問題；數(shù)值計算中的穩(wěn)定性問題；經(jīng)濟學中的主成分分析經(jīng)濟學中的主成分分析(PCA);微分方程組的求解微分方程組的求解;搜索引擎中的網(wǎng)頁排序搜索引擎中的網(wǎng)頁排序 .-3- 引例引例1 1 (物種繁衍問題物種繁衍問題) 假設(shè)剛出生的雌雄一對小兔過兩個假設(shè)剛出生的雌雄一對小兔過兩個月就能生下雌雄一對小兔月就能生下雌雄一對小兔, 此后每月生下一對雌雄小兔此后每月生下一對雌雄小兔. 如果如果養(yǎng)了初生的一對小兔養(yǎng)了初生的一對小兔, 問問 k 個

2、月后共可得多少對兔子個月后共可得多少對兔子. :1,1,2,3,5,8,13,21,kF它滿足（令它滿足（令 ）00F 11,1,2,kkkFFFk(1)解解 設(shè)第設(shè)第 個月共有個月共有 對兔子對兔子. 則數(shù)列則數(shù)列 為為kFkkF上述數(shù)列上述數(shù)列 稱為稱為斐波那契（斐波那契（Fibonacci）數(shù)列）數(shù)列 .方程方程(1)稱稱為為差分方程差分方程.kF如何求解差分方程如何求解差分方程(1)？-4-經(jīng)計算得經(jīng)計算得通過矩陣特征值與特征向量的知識可求得通過矩陣特征值與特征向量的知識可求得11515225kkkF12144F 182584F 1111,1,2,10kkkkFFkFF10111,01

3、0kkkFxxAF 由由記記1kkxAx0kkxA x則則-5-引例引例2 (條件極值問題條件極值問題) 設(shè) n 元函數(shù) 12,1( ,)nnijiji jf x xxa x x這里這里 .求求 f 在單位球面在單位球面ijjiaa222121nxxx上的最大值與最小值上的最大值與最小值. 解解 記對稱矩陣記對稱矩陣 , ,向量向量 , ,則函數(shù)則函數(shù) f 可寫成可寫成 ()ijn nAaT12,nxx xxT( )f xx Ax這種函數(shù)是我們下一章要重點學習的這種函數(shù)是我們下一章要重點學習的二次型二次型.-6-上述問題就歸結(jié)為下面的條件極值問題上述問題就歸結(jié)為下面的條件極值問題TTmin(m

4、ax)( ). .1f xx Axstx x用用Lagrange乘數(shù)法得乘數(shù)法得 T,1Axx x xTT( )f xx Axx x如何求出滿足上式的數(shù)如何求出滿足上式的數(shù) , 這將歸結(jié)矩陣的特征值問題這將歸結(jié)矩陣的特征值問題.這時這時-7-把把(1)改寫為改寫為0(1)A 0()0(2)EA定義定義設(shè)設(shè) , 如果存在數(shù)如果存在數(shù) 和和向量向量 滿足滿足n nAC0CnC則稱數(shù)則稱數(shù) 為為A的的特征值特征值, 稱稱非零向量非零向量 為為A的對應(yīng)于的對應(yīng)于( (或?qū)儆诨驅(qū)儆? )特征特征值值 的的特征向量特征向量. .00由由(2)得得00EA 是是A的特征值的特征值 0 是是A的屬于特征值的屬

5、于特征值 的特征向量的特征向量0是齊次方程組是齊次方程組 的非零解的非零解0()0EA x-8-121121( 1)( 1)nnnnnnncccc 由代數(shù)基本定理，由代數(shù)基本定理，n次代數(shù)方程在復數(shù)域上恰有次代數(shù)方程在復數(shù)域上恰有 n 個根個根(重根重根按重數(shù)計算按重數(shù)計算)。因此，。因此，n 階方陣在復數(shù)域上恰有階方陣在復數(shù)域上恰有 n 個特征值個特征值. 關(guān)于特征值、特征向量的討論在復數(shù)域上進行關(guān)于特征值、特征向量的討論在復數(shù)域上進行.記記稱稱 為為 A 的的特征多項式特征多項式，稱，稱 為為 A 的的特征方特征方程程. 由前面的分析，特征方程的根即為由前面的分析，特征方程的根即為A的特征

6、值的特征值.( )0AfEA( )AfnnnnnnaaaaaaaaaAEf212222111211)(-9-nnnnnnaaaaaaaaaAEf212222111211)(nnnnnnncccc)1()1(112211 (注：注： 可以求得可以求得 ， )nnaaac 22111Acn 稱為稱為 A 的的特征多項式特征多項式，而，而 稱為稱為 A 的的特征方程特征方程。0)( AEf -10-解特征方程解特征方程例例1 1求矩陣求矩陣 的特征值的特征值0110A21( )11fEA12i ,ii1 解解 求特征多項式求特征多項式2( )10f 得特征值為得特征值為-11-例例2 2111212

7、22nnnnaaaaaAa求矩陣求矩陣 的特征值的特征值.得得 A 的的 n 個特征值為個特征值為111222,nnnaaa問問 對角矩陣對角矩陣,下三角矩陣的特征值等于什么？下三角矩陣的特征值等于什么？解解 由由1122()()()nnaaaEA22anna11a-12-例例3 3366636669A求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.366636669EA解解3663636101366303600123336663630313rr 31cc -13-1233,3 A 的特征值為的特征值為對于對于 ，解方程組，解方程組131()0EA x1066101360601166120

8、00EAEA 1323xxxx 同解方程組為同解方程組為 ，令，令 ，得基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系31x T11,1,1因此，對應(yīng)于特征值因此，對應(yīng)于特征值 的所有特征向量為的所有特征向量為1111(0)kk-14-對于特征值對于特征值 ，解方程組，解方程組233 2()0EA x26661113666000666000EAEA 同解方程組為同解方程組為 ，令，令123xxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系2310,01xx T21, 1,0 ,T31,0, 1因此，對應(yīng)于特征值因此，對應(yīng)于特征值 的所有特征向量為的所有特征向量為233 2233kk23(,)k k 不同時為零-15-(1) 向量向量 滿足滿

9、足 , 0A0是是 A 的特征向量嗎？的特征向量嗎？(2) 實矩陣的特征值與特征向量一定是實的嗎實矩陣的特征值與特征向量一定是實的嗎?(4) 矩陣矩陣 A 是可逆矩陣的充要條件是是可逆矩陣的充要條件是 A 的所有特征值的所有特征值_.(5)設(shè)設(shè) ，A 必有一個特征值為必有一個特征值為_.0AE(3) 設(shè)設(shè) ，A 有一個特征值為有一個特征值為_.0A 設(shè)設(shè) 可逆可逆, A 的特征值一定不等于的特征值一定不等于_.AE(6) A 的特征值與的特征值與 的特征值有什么關(guān)系？的特征值有什么關(guān)系？TA(7) 一個特征值對應(yīng)于幾個特征向量一個特征值對應(yīng)于幾個特征向量?其中線性無關(guān)的特征其中線性無關(guān)的特征

10、向量有幾個？向量有幾個？-16-例例4 4 證明：一個特征向量只能對應(yīng)一個特征值證明：一個特征向量只能對應(yīng)一個特征值. 證證 假設(shè)假設(shè) 是是 A 的一個特征向量，其對應(yīng)的特征值有兩個的一個特征向量，其對應(yīng)的特征值有兩個 和和 .12移項移項12A 12()0, 120則則例例5 5 設(shè)設(shè) ，證明，證明 A 的特征值只能是的特征值只能是0 0或或1.1.2AA 證證 設(shè)設(shè) 是是 A 的一個特征向量，對應(yīng)的特征向量為的一個特征向量，對應(yīng)的特征向量為 .則則22,AAA 由由2220AAOAA 20001或再再-17-性質(zhì)性質(zhì)1 1 A 與與 有相同的特征值有相同的特征值.TA性質(zhì)性質(zhì)2 2 設(shè)設(shè)

11、n 階矩陣階矩陣 A 的的 n 個特征值為個特征值為 ，12,n 2012( )mmzcc zc zc z是一多項式，則是一多項式，則2012( )mmAc Ec Ac Ac A的的 n 個特征值為個特征值為 12(), (), ()n 且對應(yīng)的特征向量相同且對應(yīng)的特征向量相同. 例如：設(shè)例如：設(shè)2階矩陣階矩陣A的兩個特征值為的兩個特征值為 ，則，則 的兩個的兩個特征值為特征值為1, 11,12A-18-性質(zhì)性質(zhì)3 3 設(shè)設(shè) n 階可逆矩陣階可逆矩陣 A 的的 n 個特征值為個特征值為 ，12,n 則則 的的 n 個特征值為個特征值為 且對應(yīng)的特征且對應(yīng)的特征向量相同向量相同.1A11112,

12、n性質(zhì)性質(zhì)4 4 設(shè)設(shè) n 階可逆矩陣階可逆矩陣 的的 n 個特征值為個特征值為 ，12,n ijAa則則121122(1)tr( )nnnaaaA12(2)nA-19-例例6 6 設(shè)設(shè)3階矩陣階矩陣A的三個特征值為的三個特征值為 , 求求1, 1,232AAE解解112AA AA 1232,A 1( )32232AAAEAAE 的三個特征值為的三個特征值為1()232, (1,2,3)iiiii 計算得計算得1231,3,3 123329AAE 因此因此矩陣矩陣-20-123123tr( )AA 4xy解解 由7147144yAx例例7 7 已知矩陣已知矩陣 的的3個特征值為個特征值為 ，3

13、,3,12得得14184944940108xxyxy解之解之求求 x，y.-21-定義定義 設(shè)設(shè)A，B都是都是 n 階矩陣，若存在可逆矩陣階矩陣，若存在可逆矩陣 P，使得，使得1P APB則稱則稱A與與B相似相似 ，記為，記為AB. 特別地，如果矩陣特別地，如果矩陣 A 與對角矩陣相似，則稱與對角矩陣相似，則稱 A 是是可對角可對角化的化的. 對對 A 進行的矩陣變換進行的矩陣變換 稱為相似變換，其中稱為相似變換，其中 P 稱稱為相似變換矩陣為相似變換矩陣.1PAP-22-相似變換的性質(zhì)相似變換的性質(zhì)(1) 相似關(guān)系是一種等價關(guān)系相似關(guān)系是一種等價關(guān)系(滿足三條滿足三條);(2) 設(shè)設(shè)AB,

14、則則 ； (3) 設(shè)設(shè)AB, 則則 ;(4)設(shè)設(shè)AB，則則 A 與與 B 有相同的特征值有相同的特征值;(5)設(shè)設(shè)AB，則則 ;(6)設(shè)設(shè)AB，則則 ;(7)設(shè)設(shè)AB，則則 與與 相似，其中相似，其中 是一多項式是一多項式; (8)設(shè)設(shè)AB，且且 A 可逆可逆, 則則 與與 相似。相似。tr( )tr( )ABEAEBAB( )A( )B1A1B( ) zrankrankAB-23- 解解20022311Aa12Bb例例1 1 設(shè)設(shè) 與與 相似，相似，求求 a 與與 b , 以及以及 A 的特征值的特征值.32( )(tr)(4)AfEAAaA 32( )(tr)(2)BfEBBbB由由 ，比

15、較兩多項式的系數(shù)得，比較兩多項式的系數(shù)得( )( )ABff11,ab 242 ,ab 42ab 解得解得0,2ab A的特征值即為的特征值即為B的特征值，它們是：的特征值，它們是：1,2, 2.-24- 由相似變換的性質(zhì)知，相似變換保留了原矩陣的很多信息由相似變換的性質(zhì)知，相似變換保留了原矩陣的很多信息. 我們的目標是把一個矩陣用相似變換變?yōu)樽詈唵涡螤?，其中特別我們的目標是把一個矩陣用相似變換變?yōu)樽詈唵涡螤?，其中特別地變?yōu)閷蔷仃嚨刈優(yōu)閷蔷仃? 下面我們重點討論下面我們重點討論.-25-n 階矩陣階矩陣 A 可對角化的充要條件是可對角化的充要條件是 A 有有 n 個線性無個線性無關(guān)的特征向

16、量。關(guān)的特征向量。證證 先證必要性先證必要性. 設(shè)設(shè)A可對角化，即存在可逆矩陣可對角化，即存在可逆矩陣P使得使得12,nP 記記 ，則，則1212,nnA 12n于是于是(1, )iiiAin 112diag(,)nP AP 上式說明，上式說明， 就是對應(yīng)于特征值就是對應(yīng)于特征值 的特征向量的特征向量.由于由于P是可逆矩是可逆矩陣，故陣，故 線性無關(guān)線性無關(guān).ii12,n 把上述證明過程倒推即得充分性的證明把上述證明過程倒推即得充分性的證明.-26-1233,3 可驗證可驗證 線性無關(guān)，故線性無關(guān)，故A可對角化可對角化.見后面注見后面注123, 233EA第第1步步求特征值求特征值 即求即求

17、的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系第第2步步 求線性無關(guān)的特征向量，求線性無關(guān)的特征向量，()0iEA xT1(1,1, 1)13T2(1, 1,0) ,T3(1,0, 1)233 366636669A例例2 2 討論矩陣討論矩陣 是否可對角化是否可對角化.若可以，求若可以，求可逆矩陣可逆矩陣P使使 為對角矩陣為對角矩陣. 1P AP參見參見5.1例例3-27-第第3步步 把線性無關(guān)的特征向量拼成可逆矩陣把線性無關(guān)的特征向量拼成可逆矩陣P.123111,110101P 第第4步步 寫出相似變換及對角矩陣寫出相似變換及對角矩陣.1333PAP 下面的定理告訴我們，本題中下面的定理告訴我們，本題中 的線性無關(guān)性

18、不的線性無關(guān)性不需要驗證需要驗證.123, -28- 不同特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量合并后仍是不同特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量合并后仍是線性無關(guān)的。線性無關(guān)的。即設(shè)即設(shè) 是矩陣是矩陣A的不同的特征值，又設(shè)的不同的特征值，又設(shè) 12,t 對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為11(1)(1)(1)12,s對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為22(2)(2)(2)12,s對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為t( )( )( )12,tttts12(1)(1)(2)(2)( )( )111,tttiii仍是線性無關(guān)的。仍是線性無關(guān)的。則把這些特征向

19、量合并得到的則把這些特征向量合并得到的 個向量個向量12tsss-29- (可對角化的充分條件可對角化的充分條件) n 階矩陣階矩陣 A 如有如有 n 個不同的特個不同的特征值，則它有征值，則它有 n 個線性無關(guān)的特征向量，從而個線性無關(guān)的特征向量，從而 A 可對角化可對角化.-30-特征值特征值 對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)為對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)為irank()iisnEA稱稱 為特征值為特征值 的的幾何重數(shù)幾何重數(shù).isi設(shè)設(shè)n階矩陣階矩陣A的所有不同的特征值為的所有不同的特征值為 ，則，則12,t 1212( )() ()()tnnnAtfEA這里這里 . 稱稱 為特

20、征值為特征值 的的代數(shù)重數(shù)代數(shù)重數(shù) . 12tnnnnini也稱也稱 是是A的的 重特征值重特征值.ini-31-1iisn 單重特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的單重特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的 特征向量有幾個特征向量有幾個? 矩陣矩陣A的任一特征值的任一特征值 的代數(shù)重數(shù)的代數(shù)重數(shù) 與幾何重數(shù)與幾何重數(shù) 有下面關(guān)系：有下面關(guān)系：isini 矩陣矩陣A可對角化的充要條件是可對角化的充要條件是A的每個不同特征值的的每個不同特征值的代數(shù)重數(shù)與幾何重數(shù)相等代數(shù)重數(shù)與幾何重數(shù)相等.-32-122113221A例例3 3 矩陣矩陣 是否可角化？是否可角化？2( )33AfEA解解 由由得得A的特征值為的特征值為1233

21、,3 只需考察二重特征值只需考察二重特征值 的幾何重數(shù)是否等于的幾何重數(shù)是否等于2. 易知易知23 2rank2EA23 故二重特征值故二重特征值 的幾何重數(shù)為的幾何重數(shù)為 223rank12sEA A不可對角化不可對角化.-33-00111100Ax例例4 4 設(shè)設(shè) ，問，問 x 為何值時，為何值時，A 可角化？可角化？ 201111111110EAx 解解 由由得得A的不同的特征值為的不同的特征值為121(),1() 二重單重110110110001101000EAxx A可對角化的充要條件是可對角化的充要條件是 ，即，即 .1rank321EA1x -34- 例例5 5 設(shè)設(shè) A 是是

22、n 階的冪等矩陣（即階的冪等矩陣（即 ），證明），證明 A 必可對必可對角化，并求出相應(yīng)的對角矩陣角化，并求出相應(yīng)的對角矩陣.AA 2 ()rrnAEA證證 由前面的結(jié)果知由前面的結(jié)果知 A 的特征值只可能為的特征值只可能為 0 或或 1，且，且特征值特征值 的幾何重數(shù)為的幾何重數(shù)為 ，特征值，特征值 的幾何的幾何重數(shù)為重數(shù)為 .101( )snr A2()snr EA21故故 A 有有個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量. 從而從而 A 可對角化可對角化.且相應(yīng)的對角矩陣為且相應(yīng)的對角矩陣為12( )()ssnr Anr EAn()diag(1,1,0,0)r A-35-例例1 1（見（

23、見5.1引例引例1） 求解差分方程：求解差分方程：0110,1,2,kkkFFFFk10111,010kkkFxxAF 1,kkxAx0kkxA x則則解解 記記直接計算直接計算 比較困難比較困難, 先把先把 A 對角化對角化. 計算得計算得 A 的特征值與特征的特征值與特征向量為向量為kA1211221515,1122-36-1212,11P 21112111P令令 則則且且111122,P APAPP2121111122211111kkkkkAPP1111121212121212121kkkkkkkk -37-1212111515225kkkkkF12144F 182584F 10kkkk

24、FxA xF111112121212121212110kkkkkkkk 得得例如例如注注 它們確實都是正整數(shù)它們確實都是正整數(shù)!再由再由-38-例例2 2 求解下面微分程組：求解下面微分程組：解解 記記則微分方程組可寫成則微分方程組可寫成12233123( )( )( )6116x txx txx txxx 112233( )( )010d( )( ) ,( ) ,001d( )( )6116x tx txx tx tx tAtx tx t d ( )( )dx tAx tt -39-令令 則則矩陣矩陣A是可角化的，可求得是可角化的，可求得312123ddd,2,3dddyyyyyyttt 即

25、即解得解得111ddddyxPPAxPAPyDytt1PAPD xPy 23112233,tttyc eyc eyc e1111123 ,21493PD -40-由由 ，得，得xPy 2311232321232331232349tttttttttxc ec ec exc ec ec exc ec ec e 123,c c c為任意常數(shù)為任意常數(shù).-41- 例例3 3（馬爾可夫鏈）一個汽車商出租四種類型的汽車：四（馬爾可夫鏈）一個汽車商出租四種類型的汽車：四門轎車、運動車、小貨車、多功能車（門轎車、運動車、小貨車、多功能車（SUV）. 出租的租期為出租的租期為2年年. 統(tǒng)計表明統(tǒng)計表明, 80%現(xiàn)在租用轎車的顧客將在下一個租期繼續(xù)租現(xiàn)在租用轎車的顧客將在下一個租期繼續(xù)租用它用它, 10%現(xiàn)在租用運動車的顧客將改租轎車現(xiàn)在租用運動車的顧客將改租轎車, 5%現(xiàn)在租用小現(xiàn)在租用小貨車的顧客將改租轎車貨車的顧客將改租轎車, 5%現(xiàn)在租用現(xiàn)在租用SUV的顧客將改租轎車的顧客將改租轎車. 這些結(jié)果匯總在下表的第一行這些結(jié)果匯總在下表的第一行. 表中每二行、第三行、第四行表中每二行、第三行、第四行分別給出下一次租用運動車、小貨車、分別給出下一次租用運動車、小貨車、SUV的百分比的百分比. 轎車轎車運動車運動車小貨車小貨車SUV轎車轎車0.800.100.050.05運動車運