數(shù)學(xué)建模課件第二章

1、 第第二二章章 初等模型初等模型2.1 光盤的數(shù)據(jù)容量光盤的數(shù)據(jù)容量2.2 雙層玻璃窗的功效雙層玻璃窗的功效2.3 劃艇比賽的成績劃艇比賽的成績2.4 實物交換實物交換2.5 污水均流池的設(shè)計污水均流池的設(shè)計2.6 交通流與道路通行能力交通流與道路通行能力2.7 核軍備競賽核軍備競賽2.8 揚帆遠航揚帆遠航2.9 天氣預(yù)報的評價天氣預(yù)報的評價 研究對象的機理比較簡單研究對象的機理比較簡單 用靜態(tài)、線性、確定性模型即可達到建模目的用靜態(tài)、線性、確定性模型即可達到建模目的可以利用初等數(shù)學(xué)方法來構(gòu)造和求解模型可以利用初等數(shù)學(xué)方法來構(gòu)造和求解模型盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具來建模盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具來建模

2、如果用初等和高等的方法建立的模型，其應(yīng)用效果如果用初等和高等的方法建立的模型，其應(yīng)用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受歡迎差不多，那么初等模型更高明，也更受歡迎.初初 等等 模模 型型2.1 光盤的數(shù)據(jù)容量光盤的數(shù)據(jù)容量背景和問題背景和問題 20世紀(jì)世紀(jì)80年代出現(xiàn)激光唱片年代出現(xiàn)激光唱片(CD)與激光視盤與激光視盤(LD), 統(tǒng)稱統(tǒng)稱光盤，用于儲存數(shù)字聲頻、視頻信號和計算機數(shù)據(jù)等光盤，用于儲存數(shù)字聲頻、視頻信號和計算機數(shù)據(jù)等. 20世紀(jì)世紀(jì)90年代出現(xiàn)數(shù)字視頻光盤年代出現(xiàn)數(shù)字視頻光盤(DVD). 21世紀(jì)初光盤集計算機、光學(xué)記錄和影視技術(shù)為一體世紀(jì)初光盤集計算機、光學(xué)記錄和影視技術(shù)為一體

3、, 帶動了出版、廣播、通信、互聯(lián)網(wǎng)等行業(yè)的發(fā)展帶動了出版、廣播、通信、互聯(lián)網(wǎng)等行業(yè)的發(fā)展. CD的數(shù)據(jù)容量的數(shù)據(jù)容量: 單層單層650MB(兆字節(jié)兆字節(jié))DVD的數(shù)據(jù)容量的數(shù)據(jù)容量: 單層單層4.7GB(千兆字節(jié)千兆字節(jié))從數(shù)學(xué)建模的角度研究從數(shù)學(xué)建模的角度研究 : 光盤的數(shù)據(jù)容量是光盤的數(shù)據(jù)容量是怎么確定的，在一定條件下怎樣使其最大化怎么確定的，在一定條件下怎樣使其最大化.調(diào)查和分析調(diào)查和分析45mm120mm2mm信道間距信道間距信道信道(螺旋線螺旋線)經(jīng)過編碼的數(shù)字信息，以經(jīng)過編碼的數(shù)字信息，以一定深度和寬度、不同長一定深度和寬度、不同長度的凹坑的形式，用燒蝕度的凹坑的形式，用燒蝕技術(shù)存

4、儲在光盤表面呈螺技術(shù)存儲在光盤表面呈螺旋線形狀的信道上旋線形狀的信道上. 當(dāng)盤片上環(huán)形區(qū)域面積一定時，當(dāng)盤片上環(huán)形區(qū)域面積一定時，數(shù)據(jù)容量數(shù)據(jù)容量的大小的大小取決于取決于信道的總長度信道的總長度與信道上存儲數(shù)據(jù)的與信道上存儲數(shù)據(jù)的線密度線密度. 決定信道長度和線密度大小的主要因素是所用決定信道長度和線密度大小的主要因素是所用激光的波長激光的波長，和，和驅(qū)動光盤的機械形式驅(qū)動光盤的機械形式.調(diào)查和分析調(diào)查和分析 當(dāng)光盤運轉(zhuǎn)時激光束要能識別出信道上的凹坑當(dāng)光盤運轉(zhuǎn)時激光束要能識別出信道上的凹坑所攜帶的信息，必須精確地聚焦所攜帶的信息，必須精確地聚焦. 數(shù)據(jù)容量數(shù)據(jù)容量 激光波長激光波長 驅(qū)動形式驅(qū)

5、動形式 信道長度信道長度 線密度線密度激光波長激光波長 光的衍射使激光束在光盤上形成圓狀的光斑光的衍射使激光束在光盤上形成圓狀的光斑. 為了提高存儲數(shù)據(jù)的線密度，應(yīng)該使光斑盡量小，為了提高存儲數(shù)據(jù)的線密度，應(yīng)該使光斑盡量小，而光斑的大小與激光波長成正比而光斑的大小與激光波長成正比. 激光器激光器激光波長激光波長（m）光斑直徑光斑直徑（m）信道間距信道間距（m）數(shù)據(jù)線密度數(shù)據(jù)線密度（字節(jié)（字節(jié)/mm）紅外紅外(CD)0.7821.6121紅色紅色(DVD)0.640.9250.74387藍色藍色(DVD)0.410.40.32800調(diào)查和分析調(diào)查和分析恒定角速度恒定角速度(CAV)驅(qū)動光盤的機械

6、形式驅(qū)動光盤的機械形式每一圈螺旋線上存儲每一圈螺旋線上存儲同等數(shù)量的數(shù)據(jù)信息同等數(shù)量的數(shù)據(jù)信息容量取決于最內(nèi)圈的長容量取決于最內(nèi)圈的長度、線密度以及總?cè)?shù)度、線密度以及總?cè)?shù) 各圈螺旋線上數(shù)據(jù)各圈螺旋線上數(shù)據(jù)的線密度不變的線密度不變 容量取決于固定的線容量取決于固定的線密度和螺旋線總長度密度和螺旋線總長度 恒定線速度恒定線速度(CLV )從光盤的容量比較，從光盤的容量比較，CLV優(yōu)于優(yōu)于CAV. 數(shù)據(jù)讀取時間數(shù)據(jù)讀取時間: CLV每圈轉(zhuǎn)速不同，當(dāng)讀出磁頭在內(nèi)外每圈轉(zhuǎn)速不同，當(dāng)讀出磁頭在內(nèi)外圈移動時，需要等待光盤加速或減速，而圈移動時，需要等待光盤加速或減速，而CAV不需要不需要. 對音樂、影像

7、、計算機文件等按順序播放的信息，多用對音樂、影像、計算機文件等按順序播放的信息，多用CLV;對詞典、數(shù)據(jù)庫、人機交互等常要隨機查找的信息，多用對詞典、數(shù)據(jù)庫、人機交互等常要隨機查找的信息，多用CAV.模型建立模型建立 CLV(恒定線速度恒定線速度)光盤光盤R1光盤環(huán)形區(qū)域內(nèi)圓半徑光盤環(huán)形區(qū)域內(nèi)圓半徑, R2 外圓半徑外圓半徑, d 信道間距信道間距CLVCLVLCLCLV 信道總長度信道總長度 1CLV102 ()nkLRkd2121()()RRRRdd2221CLV()RRLd環(huán)形區(qū)域面積環(huán)形區(qū)域面積/信道間距信道間距 同心圓平均周長同心圓平均周長*總?cè)?shù)總?cè)?shù) 2121CLV22RR RR

8、Ld 數(shù)據(jù)容量數(shù)據(jù)容量線密度線密度,(n總?cè)?shù)總?cè)?shù))其他方法建模其他方法建模模型建立模型建立 CAV(恒定角速度恒定角速度)光盤光盤螺旋線最內(nèi)圈的長度近似為螺旋線最內(nèi)圈的長度近似為2R1, 總?cè)?shù)可視為總?cè)?shù)可視為dRR12 21CAV12RRLRd數(shù)據(jù)容量數(shù)據(jù)容量LCLV 信道總長度信道總長度 線密度線密度,CAVCAVLC當(dāng)線密度當(dāng)線密度、信道間距、信道間距d和外徑和外徑R2給定后，給定后， 可選擇可選擇環(huán)形區(qū)域的內(nèi)圓半徑環(huán)形區(qū)域的內(nèi)圓半徑R1，使數(shù)據(jù)容量最大，使數(shù)據(jù)容量最大 .模型求解模型求解 CLV(恒定線速度恒定線速度)光盤光盤激光器激光器激光波長激光波長(m)信道長度信道長度(m

9、m)信息容量信息容量, (MB)影像時間影像時間(min)紅外紅外(CD)0.785,611,17967918紅色紅色(DVD)0.6412,132,2794,695126藍色藍色(DVD)0.4128,055,89522,445603R2=58 mm , R1=22.5 mm 2221CLV()RRLdCD信道長度在信道長度在5km以上，容量約以上，容量約680 MB; DVD容量在容量在GB量級量級. 影像時間按照每秒鐘占用影像時間按照每秒鐘占用0.62 MB計算計算 .模型求解模型求解 激光器激光器激光波長激光波長 (m)信道長度信道長度 (mm)信息容量信息容量, (MB)影像時間影像

10、時間(min)紅外紅外(CD)0.783,302,59940011紅色紅色(DVD)0.647,140,7552,76474藍色藍色(DVD)0.4116,512,99613,210355CAV(恒定角速度恒定角速度)光盤光盤21CAV12RRLRdCAVCAVLC222Rd即使在內(nèi)圓半徑的最佳選擇下，即使在內(nèi)圓半徑的最佳選擇下，CAV光盤光盤的信息容量也小于的信息容量也小于CLV光盤光盤 .R1=R2/2時時LCA V最大最大 2d墻墻室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2dd墻墻l室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2問問題題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失

11、玻璃窗相比，減少多少熱量損失.假假設(shè)設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對流熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對流.T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài)不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài).材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù).建建模模熱傳導(dǎo)定律熱傳導(dǎo)定律dTkQQ1Q2Q 單位時間單位面積傳導(dǎo)的熱量單位時間單位面積傳導(dǎo)的熱量 T溫差溫差, d材料厚度材料厚度, k熱傳導(dǎo)系數(shù)熱傳導(dǎo)系數(shù)2.2 雙層玻璃窗的功效雙層玻璃窗的功效雙層雙層單單層層dd墻墻l室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度

12、k1玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2空氣空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)的熱傳導(dǎo)系數(shù)dTTkQa111dlhkkhssdTTkQ,)2(212111建模建模lTTkba2dTTkb21記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q2dTTkQ221122d墻墻室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比dlhkkhssQQ,22212121QQ k1=48 10-3 (J/cmskwh), k2=2.5 10-4, k1/k2=16 32對對Q1比比Q2的減少量的減少量作最保守的估計，作最保守的估計，取取k1/k2 =16dlhhQQ,18121)2(2111sdT

13、TkQ建模建模hQ1/Q242O0.060.030.026模型應(yīng)用模型應(yīng)用取取 h=l/d=4, 則則 Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，材料的單層玻璃窗相比，可減少可減少97%的熱量損失的熱量損失.結(jié)果分析結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣的熱傳導(dǎo)系所以如此小，是由于層間空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)數(shù)k2 2極低極低, , 而這要求空氣非常干燥、不流通而這要求空氣非常干燥、不流通. .房間通過天花板、墻壁、房間通過天花板、墻壁、損失的熱量更多損失的熱量更多.dlhhQQ,18121實際上雙層窗的功效不會如此之大實際上雙層窗的功效不會如此之大!2.

14、3 劃艇比賽的成績劃艇比賽的成績賽艇賽艇 2000m成績成績 t (min)種類種類 1 2 3 4 平均平均單人單人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21雙人雙人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84空艇重空艇重w0(kg) 槳槳手數(shù)手數(shù)n 16.3 13.6 18.1 14.7對四種賽艇對四種賽艇 (單人、雙人、四人、八人單人、雙人、四人、八人) 4次國際次國際大賽冠軍的成績進行比較，發(fā)現(xiàn)與大賽冠軍的成績進行比較，發(fā)現(xiàn)與槳槳手數(shù)有某手數(shù)有某種關(guān)系種關(guān)系

15、. 試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系.問問題題準(zhǔn)準(zhǔn)備備調(diào)查賽艇的尺寸和質(zhì)量調(diào)查賽艇的尺寸和質(zhì)量l /b, w0/n 基本不變基本不變艇長艇長l 艇寬艇寬b l/b (m) (m) 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0問題分析問題分析 前進阻力前進阻力 浸沒部分與水的摩擦力浸沒部分與水的摩擦力 前進動力前進動力 槳手的劃槳功率槳手的劃槳功率分析賽艇速度與槳手數(shù)量之間的關(guān)系分析賽艇速度與槳手數(shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進動力和前進阻力決定賽艇速度由前進動力和前進阻力決定:劃槳劃槳功率功率 賽

16、艇賽艇速度速度賽艇賽艇速度速度前進前進動力動力前進前進阻力阻力槳手槳手數(shù)量數(shù)量 艇艇重重浸沒浸沒面積面積 對槳手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定對槳手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定. . 運用合適的物理定律建立模型運用合適的物理定律建立模型. .模型假設(shè)模型假設(shè)1）艇形狀相同）艇形狀相同(l/b為常數(shù)為常數(shù)), w0與與n成正比成正比2）v是常數(shù)，阻力是常數(shù)，阻力 f與與 sv2成正比成正比符號：艇速符號：艇速 v, 浸沒面積浸沒面積 s, 浸沒體積浸沒體積 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 槳手數(shù)槳手數(shù) n, 槳手功率槳手功率 p, 槳手體重槳手體重 w, 艇重艇重

17、W.艇的靜態(tài)特性艇的靜態(tài)特性艇的動態(tài)特性艇的動態(tài)特性3）w相同，相同，p不變，不變，p與與w成正比成正比槳手的特征槳手的特征模型模型建立建立f sv2,p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3,A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/9比賽成績比賽成績 t n 1/9np fv,模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗n t1 7.212 6.884 6.328 5.84bant 11. 021. 7ntnbatloglog線性最小二乘法線性最小二乘法利用利用4次國際大賽冠軍的平均次國際大賽冠軍的平均成績對模型成績對模型 t n 1/ 9 進行檢驗進行檢驗.與模型吻合！與模型吻合！tn12487.216

18、.886.325.84O劃艇比賽的成績劃艇比賽的成績 對實際數(shù)據(jù)做比較、分析，發(fā)現(xiàn)并提出問題對實際數(shù)據(jù)做比較、分析，發(fā)現(xiàn)并提出問題. 利用物理基本知識分析問題利用物理基本知識分析問題. 模型假設(shè)比較粗糙模型假設(shè)比較粗糙. 利用合適的物理定律及簡單的比例利用合適的物理定律及簡單的比例方法建模方法建模(只考慮各種艇的相對速度只考慮各種艇的相對速度). 模型結(jié)果與實際數(shù)據(jù)十分吻合模型結(jié)果與實際數(shù)據(jù)十分吻合 (巧合！巧合！)問問題題甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 雙方為滿足更高的需要，雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分商定相互交換一部分. 研究實物交換方案研究實物交換方案.yxp.用

19、用x,y分別表示甲分別表示甲(乙乙)占有占有X,Y的數(shù)量的數(shù)量. 設(shè)交換前甲占設(shè)交換前甲占有有X的數(shù)量為的數(shù)量為x0, 乙占有乙占有Y的的數(shù)量為數(shù)量為y0, 作圖：作圖：若不考慮雙方對若不考慮雙方對X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點的偏愛，則矩形內(nèi)任一點 p(x,y)都是一種交換方案：甲占有都是一種交換方案：甲占有(x,y) ，乙占有，乙占有(x0 -x, y0 -y). xyy0Ox02.4 實物交換實物交換xyy0y1y2Ox1x2x0p1p2.甲的無差別曲線甲的無差別曲線分析與建模分析與建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)與占有與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度具有同樣的滿意程度,即即p

20、1, p2對甲是無差別的對甲是無差別的.MN將將所有與所有與p1, p2無差別的點無差別的點連接起來連接起來, 得到一條得到一條無差別無差別曲線曲線MN.線上各點的滿意度相同線上各點的滿意度相同, 線的形狀反映對線的形狀反映對X,Y的偏愛程度的偏愛程度.N1M1p3(x3,y3).比比MN各點滿意度更高的點如各點滿意度更高的點如p3，在另一條無差別曲，在另一條無差別曲線線M1N1上上, 于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）.yxp1.yxp2.c1 yOxf(x,y)=c1無差別曲線族的性質(zhì)：無差別曲線族的性質(zhì)： 單調(diào)減單調(diào)減(x增加增加, y減小減小) 下凸下凸(

21、凸向原點凸向原點) 互不相交互不相交在在p1點占有點占有x少、少、y多，多，寧愿以較多的寧愿以較多的 y換取換取較少的較少的 x;在在p2點占有點占有y少、少、x多，多，就要以較多的就要以較多的 x換取換取較少的較少的 y.甲的無差別曲線族記作甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1c1滿意度滿意度（f 等滿意度曲線）等滿意度曲線）甲的無差別曲線甲的無差別曲線xyOg(x,y)=c2c2 乙的無差別曲線族乙的無差別曲線族 g(x,y)=c2具有具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）相同性質(zhì)（形狀可以不同）. 雙方的交換路徑雙方的交換路徑xyy0Ox0f=c1Oxyg=c2乙的無差別曲線族乙的無差別曲線族

22、g=c2 (坐標(biāo)系坐標(biāo)系xOy, 且反向）且反向）甲的無差別曲線族甲的無差別曲線族 f=c1ABp P 雙方滿意的交換方案必雙方滿意的交換方案必在在AB（交換路徑）上（交換路徑）上! !因為在因為在AB外的任一點外的任一點p, (雙方雙方)滿意度低于滿意度低于AB上的點上的點p.兩族曲線切點連線記作兩族曲線切點連線記作AB分析與建模分析與建模AB 交換方案的進一步確定交換方案的進一步確定交換方案交換方案 交換后甲的占有量交換后甲的占有量 (x,y)0 x x0, 0 y y0矩形內(nèi)任一點矩形內(nèi)任一點交換路交換路徑徑AB雙方的無差別曲線族雙方的無差別曲線族X,Y用貨幣衡量其價值，設(shè)用貨幣衡量其價

23、值，設(shè)交換前交換前x0,y0價值相同，則等價值相同，則等價交換原則下交換路徑為價交換原則下交換路徑為CD(x0,0), (0,y0) 兩點的連線兩點的連線CD.AB與與CD的交點的交點p設(shè)設(shè)X單價單價a, Y單價單價b, 則等價交換下則等價交換下ax+by=s (s=ax0=by0)等價交等價交換原則換原則x0yy0O.xp.2.5 污水均流池的設(shè)計污水均流池的設(shè)計城市生活污水的流量是時刻變化的城市生活污水的流量是時刻變化的, 在凈化處理在凈化處理前需要先進入一個集中、儲存的大池子，再通前需要先進入一個集中、儲存的大池子，再通過水泵和輸水管以恒定的流量流向凈化設(shè)備過水泵和輸水管以恒定的流量流向

24、凈化設(shè)備. 背景和問題背景和問題集中、儲存、均衡調(diào)節(jié)流量的池子稱為集中、儲存、均衡調(diào)節(jié)流量的池子稱為均流池均流池.根據(jù)污水的流量設(shè)計根據(jù)污水的流量設(shè)計均流池的容積均流池的容積及水泵和輸水及水泵和輸水管的規(guī)格；在一定條件下按照施工成本最小的原管的規(guī)格；在一定條件下按照施工成本最小的原則確定則確定均流池的具體尺寸均流池的具體尺寸.調(diào)查和分析調(diào)查和分析除了節(jié)假日等特殊情況以外，生活污水進入均流池除了節(jié)假日等特殊情況以外，生活污水進入均流池的流量是的流量是以天為周期以天為周期變化的變化的.典型調(diào)查得到以小時為單位間隔、一天的污水流量典型調(diào)查得到以小時為單位間隔、一天的污水流量(m3/s) 時間時間(h

25、)01234567流量流量0.04170.03210.02360.01850.01890.01990.02280.0369時間時間(h)89101112131415流量流量0.05140.06300.06850.06970.07250.07540.07610.0775時間時間(h)1617181920212223流量流量0.08100.08390.08630.08070.07810.06900.05840.0519污水一天污水一天進入均流池的平均流量進入均流池的平均流量（忽略蒸發(fā)等損失）（忽略蒸發(fā)等損失） =從均流池用水泵從均流池用水泵打入凈化設(shè)備的恒定流量打入凈化設(shè)備的恒定流量 由以小時為單

26、位間隔的由以小時為單位間隔的污水流入量污水流入量和從均流池到凈化設(shè)和從均流池到凈化設(shè)備的備的恒定流出量恒定流出量，可得，可得均流池均流池中污水隨時間變化中污水隨時間變化的容量的容量. 調(diào)查和分析調(diào)查和分析 均流池的容積應(yīng)該按照污水的均流池的容積應(yīng)該按照污水的最大容量最大容量，并考慮留有，并考慮留有一定一定裕量裕量來設(shè)計來設(shè)計. 均流池的均流池的面積面積可以由它的容積和深度得到可以由它的容積和深度得到. 均流池的均流池的施工成本施工成本：底部單位面積的成本，四條邊上：底部單位面積的成本，四條邊上單位長度的施工成本單位長度的施工成本. 均流池的形狀一般為均流池的形狀一般為矩形矩形，其，其深度深度通

27、常按照工程需要通常按照工程需要（底部需安裝設(shè)備、進行清理等）確定（底部需安裝設(shè)備、進行清理等）確定. 模型假設(shè)與建立模型假設(shè)與建立 以調(diào)查得到的一天的污水流量為依據(jù)，并留有以調(diào)查得到的一天的污水流量為依據(jù)，并留有25%的的裕量進行均流池的設(shè)計裕量進行均流池的設(shè)計. 均流池的深度為均流池的深度為3m，施工成本：底部面積，施工成本：底部面積 340元元/m2，兩條長邊及一條短邊兩條長邊及一條短邊250元元/m，另一條短邊，另一條短邊450元元/m. 模型模型1 均流池的恒定流出量和最大容量模型均流池的恒定流出量和最大容量模型230)(241ttfg流量單位換算成流量單位換算成m3/h,記為記為f(

28、t)平均流入量平均流入量=恒定流出恒定流出量量=203.67(m3/h )設(shè)計流量設(shè)計流量255 m3/h (25%的裕量的裕量)051015202550100150200250300350tfg= 203.67f(t)模型模型1均流池中污水的容量為均流池中污水的容量為c(t) (m3)0()24(,23, 2 , 1 , 0,)()() 1(cctgtftctc時間時間01234567容量容量0 53.55141.66260.37397.44533.07665.10786.69時間時間89101112131415容量容量857.52876.15853.02810.09762.84705.51

29、637.74567.45時間時間1617181920212223容量容量492.12404.19305.82198.81111.96 34.4710.2616.83時間時間01234567容量容量876.15822.60734.49615.78478.71343.08211.0589.46時間時間89101112131415容量容量18.63023.1366.06113.31170.64238.41308.70時間時間1617181920212223容量容量384.03471.96570.33677.34764.19841.68886.41892.98設(shè)設(shè)c(0)=0 c(9)最小最小設(shè)設(shè)c(

30、9)=0 c(23)最大最大模型模型1051015202550100150200250300350tfg= 203.67f(t)0510152025-1000-50005001000tcc(0)=0c(0)=876.15c(t)f(t)gc(t) 最小最小 f(t)g f(t)gc(t) 最大最大 最大容量為最大容量為892.98m 設(shè)計容量設(shè)計容量1116 m3 (25%的裕量的裕量)模型模型2 均流池的具體尺寸模型均流池的具體尺寸模型設(shè)計容量設(shè)計容量1116 m3, 深度深度3m施工成本：底部面積施工成本：底部面積 340元元/m2, 兩長邊及一短邊兩長邊及一短邊250元元/m,另一短邊另

31、一短邊450元元/m. l長邊長度，長邊長度， w短邊長度短邊長度底部面積底部面積 l w=372, w =372/ l lllS/260400500126480)(82.22500/260400l建造一個建造一個23 m16.5m的均流池，成本約的均流池，成本約15萬元萬元. wwllwwlS450)2(250340),(S(l)=149301元元, w =16.30m2.6 交通流與道路通行能力交通流與道路通行能力現(xiàn)代城市生活中交通擁堵是普遍存在的現(xiàn)象，現(xiàn)代城市生活中交通擁堵是普遍存在的現(xiàn)象，在許多平面交叉路口，紅燈后面總是排著長長在許多平面交叉路口，紅燈后面總是排著長長的汽車隊伍等待放行

32、的汽車隊伍等待放行. 背景和問題背景和問題通過信號燈控制等管理手段提高道路通行能力，通過信號燈控制等管理手段提高道路通行能力，已經(jīng)成為城市交通工程面臨的重要課題之一已經(jīng)成為城市交通工程面臨的重要課題之一. 介紹交通流的基本參數(shù)及它們之間的關(guān)系介紹交通流的基本參數(shù)及它們之間的關(guān)系; 討論一般道路及信號燈控制的十字路口的通行能力討論一般道路及信號燈控制的十字路口的通行能力. 交通流的基本參數(shù)及其特性交通流的基本參數(shù)及其特性流量流量q某時刻單位時間內(nèi)通過道路某斷面的車輛數(shù)某時刻單位時間內(nèi)通過道路某斷面的車輛數(shù)(輛輛/h ) 密度密度k某時刻通過道路某斷面單位長度內(nèi)的車輛數(shù)某時刻通過道路某斷面單位長度

33、內(nèi)的車輛數(shù)(輛輛/km ) 速度速度v 某時刻通過道路某斷面的車輛速度某時刻通過道路某斷面的車輛速度(km/h) 交通流交通流 標(biāo)準(zhǔn)長度的小型汽車在單方向道路上行駛形標(biāo)準(zhǔn)長度的小型汽車在單方向道路上行駛形成的車流，沒有外界因素如岔路、信號燈等的影響成的車流，沒有外界因素如岔路、信號燈等的影響. 借用物理學(xué)概念借用物理學(xué)概念, 將交通流看作一輛輛汽車組成的連續(xù)將交通流看作一輛輛汽車組成的連續(xù)流體流體, 用用流量、速度、密度流量、速度、密度3個參數(shù)描述其基本特性個參數(shù)描述其基本特性. vkq 3個參數(shù)之間的基本關(guān)系個參數(shù)之間的基本關(guān)系 交通流的基本參數(shù)及其特性交通流的基本參數(shù)及其特性速度速度v 與

34、與密度密度k 的關(guān)系的關(guān)系 )/1 (jfkkvv線性模型線性模型 vf 暢行車速暢行車速(k=0時時)kj阻塞密度阻塞密度(v=0時時)適合車流適合車流密度適中密度適中的情況的情況 對數(shù)模型對數(shù)模型 車流車流密度較大密度較大時適用時適用 )/ln(1kkvvj指數(shù)模型指數(shù)模型 )/exp(jfkkvv車流車流密度較小密度較小時適用時適用 v1 k=kj/e時的車速時的車速(理論上理論上), 由觀測數(shù)據(jù)確定由觀測數(shù)據(jù)確定. 車流密度加大車流密度加大 司機被迫減速司機被迫減速 交通流的基本參數(shù)及其特性交通流的基本參數(shù)及其特性)/1 (jfkkkvqvkq )/1 (jfkkvv)/1 (fjvv

35、vkq速度速度v流量流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密度密度k 流量流量qkm=kj/2 最大流量時的密度最大流量時的密度vm=vf/2 最大流量時的速度最大流量時的速度 城市干道的通行能力城市干道的通行能力道路通行能力道路通行能力單位時間內(nèi)通過某斷面的最大車輛數(shù)單位時間內(nèi)通過某斷面的最大車輛數(shù). 交通流量遠小于通行能力時，車速高，呈自由流狀態(tài)交通流量遠小于通行能力時，車速高，呈自由流狀態(tài) 交通流量接近通行能力時，車速低，呈強制流狀態(tài)，交通流量接近通行能力時，車速低，呈強制流狀態(tài)，出現(xiàn)交通擁堵出現(xiàn)交通擁堵.飽和度飽和度流量與通行能力的比值流量與通行能力的比值, 表示道路的負

36、荷程度表示道路的負荷程度.城市干道的通行能力城市干道的通行能力在理想的道路和交通條件下，在理想的道路和交通條件下，當(dāng)具有標(biāo)準(zhǔn)長度和技術(shù)指標(biāo)的車輛，以當(dāng)具有標(biāo)準(zhǔn)長度和技術(shù)指標(biāo)的車輛，以前后兩車最小前后兩車最小車頭間隔連續(xù)行駛車頭間隔連續(xù)行駛時，單位時間內(nèi)通過道路某斷面的時，單位時間內(nèi)通過道路某斷面的最大車輛數(shù)最大車輛數(shù)N (輛輛/h). 城市干道的通行能力城市干道的通行能力dvN/1000v車速車速 (km/h)， d最小車頭間隔最小車頭間隔(m) d 主要由剎車距離決定，剎車距離與車速密切相關(guān)主要由剎車距離決定，剎車距離與車速密切相關(guān). 43204321ddcvvtdddddd1剎車時司機在反

37、應(yīng)時間剎車時司機在反應(yīng)時間t0 內(nèi)汽車行駛的距離內(nèi)汽車行駛的距離. d2剎車時從制動器起作用到汽車停止行駛的距離剎車時從制動器起作用到汽車停止行駛的距離.c與路面阻力、車重、濕度、坡度等有關(guān)的系數(shù)與路面阻力、車重、濕度、坡度等有關(guān)的系數(shù). d3兩車之間的安全距離，兩車之間的安全距離，d4車輛的標(biāo)準(zhǔn)長度車輛的標(biāo)準(zhǔn)長度. 單位時間內(nèi)通過的最大車輛數(shù)單位時間內(nèi)通過的最大車輛數(shù)N城市干道的通行能力城市干道的通行能力dvN/10004320ddcvvtdv102030405060708090100N95812081233117310901006928858797742交通工程的專業(yè)教材交通工程的專業(yè)教材

38、: 司機剎車的反應(yīng)時間司機剎車的反應(yīng)時間t0 =1s，系數(shù)，系數(shù)c=0.01,安全距離安全距離 d3=2m，小型車輛的標(biāo)準(zhǔn)長度，小型車輛的標(biāo)準(zhǔn)長度d4=5m. 當(dāng)當(dāng)t0，c，d3，d4變大時最大通行能力變大時最大通行能力Nm減小減小. )(26 . 31000430ddctNm最大通最大通行能力行能力vddcvtN4306 . 31000cddv43最大制動力與車的質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運動最大制動力與車的質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運動.常數(shù)常數(shù)制動距離與車速的模型制動距離與車速的模型22cvd 制動距離：制動距離：制動器作用力、車重、車速、道路、氣候制動器作用力、車重、車速、道路、氣候設(shè)

39、計制動器的合理原則：設(shè)計制動器的合理原則：剎車時使用最大制動力剎車時使用最大制動力F，F(xiàn)作的功等于汽車動能的作的功等于汽車動能的改變，且改變，且F與車的質(zhì)量與車的質(zhì)量m成正比成正比. F d2= m v2/2F m22cvd模型假設(shè)模型假設(shè)信號燈控制的十字路口的通行能力信號燈控制的十字路口的通行能力西西東東南南北北相位相位A相位相位B相位相位C相位相位D信號燈控制采用信號燈控制采用4相位方案相位方案 典型的十字路口典型的十字路口 東西方向有東西方向有3條車道：條車道：左轉(zhuǎn)、直行、直右混行左轉(zhuǎn)、直行、直右混行 南北方向有南北方向有2條車道：條車道：左轉(zhuǎn)、直右混行左轉(zhuǎn)、直右混行 某一相位下每小時通

40、過停止線某一相位下每小時通過停止線的最大車輛數(shù)的最大車輛數(shù)(單行道單行道) S (輛輛/h) 信號燈控制的十字路口的通行能力信號燈控制的十字路口的通行能力 假設(shè)紅燈時車輛在停止線后排成一列等待，綠燈后假設(shè)紅燈時車輛在停止線后排成一列等待，綠燈后第第1輛車立即啟動通過停止線，其余車輛按照固定時輛車立即啟動通過停止線，其余車輛按照固定時間間隔通過停止線間間隔通過停止線. T(s)信號燈周期，信號燈周期， tg(s)某相位的綠燈時間某相位的綠燈時間.t0(s)綠燈后第綠燈后第1輛車通過停止線的時間輛車通過停止線的時間.ts(s)直行或右轉(zhuǎn)車輛通過停止線的時間直行或右轉(zhuǎn)車輛通過停止線的時間.) 1(3

41、6000sgtttTS 反映車輛通過路口不均勻性的折減系數(shù)反映車輛通過路口不均勻性的折減系數(shù).信號燈控制的十字路口的通行能力信號燈控制的十字路口的通行能力) 1(36000sgtttTSG=tg/T綠燈時間與信號燈周期之比綠燈時間與信號燈周期之比(綠信比綠信比) Q= 3600/ts小時流量小時流量(按每按每ts(s) 通過一輛車計算通過一輛車計算)GQ每小時通過停止線每小時通過停止線的最大車輛數(shù)的最大車輛數(shù)實地調(diào)查高峰時段實地調(diào)查高峰時段 4個相位通行的實際流量個相位通行的實際流量qA, qB, qC, qD 調(diào)整調(diào)整4個相位的綠信比個相位的綠信比, 使使GA:GB:GC:GD qA:qB:

42、qC:qD t0=2.3s，ts=2.5s(小型車輛小型車輛)3.5s(大型車輛大型車輛)，對直行或右轉(zhuǎn)對直行或右轉(zhuǎn) =0.9(左轉(zhuǎn)更小左轉(zhuǎn)更小) 2.7 核軍備競賽核軍備競賽 冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全, 實行實行“核威懾戰(zhàn)略核威懾戰(zhàn)略”, 核軍備競賽不斷升級核軍備競賽不斷升級. 隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束, 雙方通過了雙方通過了一系列核裁軍協(xié)議一系列核裁軍協(xié)議. 在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張, 而存在暫時的平衡狀態(tài)而存在暫時的平衡狀態(tài). 當(dāng)一方采取加強防御、提高武器精

43、度、發(fā)展多當(dāng)一方采取加強防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時彈頭導(dǎo)彈等措施時, 平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化. 估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量,這個數(shù)量受哪些因素影響這個數(shù)量受哪些因素影響.背背景景與與問問題題以雙方以雙方(戰(zhàn)略戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小.假定雙方采取如下同樣的假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：核威懾戰(zhàn)略： 認為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾認為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地； 己方在經(jīng)受第一次核打擊后

44、，應(yīng)保存足夠的己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊核導(dǎo)彈，給對方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊.在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對方的一個核導(dǎo)彈基地導(dǎo)彈只能攻擊對方的一個核導(dǎo)彈基地.摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定攻擊精度和另一方的防御能力決定.模模型型假假設(shè)設(shè)圖圖的的模模型型y=f(x)甲有甲有x枚導(dǎo)彈枚導(dǎo)彈,乙所需的最少導(dǎo)彈數(shù)乙所需的最少導(dǎo)彈數(shù)(乙安全線乙安全線)x=g(y)乙有乙有y枚導(dǎo)彈枚導(dǎo)彈,甲所需的最少導(dǎo)彈數(shù)甲所需的最少導(dǎo)彈

45、數(shù)(甲安全線甲安全線)當(dāng)當(dāng) x=0時時 y=y0，y0乙方的乙方的威懾值威懾值xyy0 xyy0Oxyxfyy00)(y0甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈，乙方甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù)為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù).x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xyOy0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)乙安全區(qū)甲甲安安全全區(qū)區(qū)雙方雙方安全區(qū)安全區(qū)P平衡點平衡點(雙方最少導(dǎo)彈數(shù)雙方最少導(dǎo)彈數(shù))乙安全線乙安全線分析分析模型模型乙方乙方殘存率殘存率 s 甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個基地，基地未被摧毀的概率基地，基地未被摧毀

46、的概率.sx個基地未被摧毀，個基地未被摧毀，yx個基地未被攻擊個基地未被攻擊.xy甲方以甲方以 x枚導(dǎo)彈攻擊乙方枚導(dǎo)彈攻擊乙方 y個基地中的個基地中的 x個個,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy個基地被攻擊個基地被攻擊2次次, s2(xy)個未被摧毀個未被摧毀;y (xy)=2y x個被攻擊個被攻擊1次次, s(2y x )個未被摧毀個未被摧毀.y0= s2(xy)+ s(2y x )x=2yy0=s2yyx2yxssssyy21)2(0y= y0+(1s)xy=y0/sy=y0/s2yxasysyy/00 x=a y,分析分析模型模型x=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2

47、y0威懾值威懾值s殘存率殘存率y=f(x)利用微積分知識可知利用微積分知識可知y是一條上凸的曲線，且是一條上凸的曲線，且 y0變大，曲線上移、變陡變大，曲線上移、變陡. s變大，變大，y減小，曲線變平減小，曲線變平.xyOy0 xy, y= y0+(1s)xx=yx=2yyx2y,xssssyy21)2(0 甲方增加經(jīng)費保護及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo)甲方增加經(jīng)費保護及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo).乙方威懾值乙方威懾值 y0變大變大xyOy0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)mmmmyyxx,甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級.),(mmyxP（其他

48、因素不變）（其他因素不變）乙安全線乙安全線 y=f(x)上移上移模型解釋模型解釋 平衡點平衡點PP 甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進為可移動發(fā)射架甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進為可移動發(fā)射架.乙安全線乙安全線y=f(x)不變不變甲方殘存率變大甲方殘存率變大威懾值威懾值x 0不變不變x減小，甲安全線減小，甲安全線x=g(y)向向y軸靠近軸靠近mmmmyyxx,xyOy0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x),(mmyxP模型解釋模型解釋 甲方這種單獨行為，會使雙方的核導(dǎo)彈減少甲方這種單獨行為，會使雙方的核導(dǎo)彈減少.PP 雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個彈頭可以獨立地摧毀目標(biāo)雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個彈頭可以獨立

49、地摧毀目標(biāo).(x , y仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量)雙方威懾值雙方威懾值x 0, y0和殘存率和殘存率s均減小均減小.y0減小減小 y下移且變平下移且變平xyOy0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)PP s變小變小 y增加且變陡增加且變陡雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細的分析雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細的分析.?PP模型解釋模型解釋 乙安全線乙安全線 y=f(x)?PP 核核 軍軍 備備 競競 賽賽 對對“核威懾戰(zhàn)略核威懾戰(zhàn)略”做一些合理、簡化假設(shè)，用圖做一些合理、簡化假設(shè)，用圖的模型描述雙方核武器相互制約、達到平衡的過程的模型描述雙方核武器相

50、互制約、達到平衡的過程. 提出提出安全曲線安全曲線概念，給出它的一般形式概念，給出它的一般形式. 通過更精細的分析找到影響安全線的參數(shù)：通過更精細的分析找到影響安全線的參數(shù)：威懾值威懾值和殘存率和殘存率，給出安全線的分析表達式，給出安全線的分析表達式. 利用模型對核軍備競賽中的一些現(xiàn)象作出合理解釋利用模型對核軍備競賽中的一些現(xiàn)象作出合理解釋.帆船在海面上乘風(fēng)遠航，確定帆船在海面上乘風(fēng)遠航，確定最佳的航行方向及帆的朝向最佳的航行方向及帆的朝向.簡化問題簡化問題AB 風(fēng)向風(fēng)向北北航向航向帆船帆船海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船要從要從A點駛向正東方的點駛向正東方的B點，點，確定起航時的

51、航向確定起航時的航向 ，帆帆 以及帆的朝向以及帆的朝向 .2.8 揚帆遠航揚帆遠航模型分析模型分析 風(fēng)風(fēng)(通過帆通過帆)對船的推力對船的推力w 風(fēng)對船體部分的阻力風(fēng)對船體部分的阻力p推力推力w的分解的分解 wp阻力阻力p的分解的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型模型假設(shè)假設(shè) w與帆迎風(fēng)面積與帆迎風(fēng)面積s1成正比，成正比，p與船迎風(fēng)面積與船迎風(fēng)面積s2成正比，比例系數(shù)相同且成正比，比例系數(shù)相同且 s1遠大于遠大于 s2 .f1航行方向的推力航行方向的推力p1 航行方向的阻力航行方向的阻力w1=wsin( )f1=w1sin =wsin sin( )p1=

52、pcos 模型模型假設(shè)假設(shè) wpw1w2f1f2p2p1 w2與帆面平行，可忽略與帆面平行，可忽略. f2, p2垂直于船身，可由舵抵消垂直于船身，可由舵抵消.模型模型建立建立w=ks1, p=ks2船在正東方向速度分量船在正東方向速度分量v1=vcos 航向速度航向速度v與力與力f=f1p1成正比成正比.v=k1(f1p1)v1v2) 令令 = /2, v1=k1 w(1cos )/2pcos cos 求求 使使v1最大最大（w=ks1, p=ks2）1) 當(dāng)當(dāng) 固定時求固定時求 使使f1最大最大f1=wcos( 2 )cos /2 = /2 時時 f1=w(1cos )/2最大最大= k1

53、(f1p1)cos f1=w1sin =wsin sin( )p1=pcos 求求 , ,使使 v1最大最大模型建立模型建立v1=vcos wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解模型求解60 75 1 t 2cos)cos1 (21tkv)21(cos41222tttkv1最大最大2),21(21cos12sstt備備注注 只討論起航時的航向，是靜態(tài)模型只討論起航時的航向，是靜態(tài)模型. 航行過程中終點航行過程中終點B將不在正東方，應(yīng)調(diào)整將不在正東方，應(yīng)調(diào)整 和和 . 記記 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 =( k1w/2)1(1+2p/w)cos cos w=ks1, p=ks2

54、1/4cos s22.9 天氣預(yù)報的評價天氣預(yù)報的評價 明天是否下雨的天氣預(yù)報以明天是否下雨的天氣預(yù)報以有雨概率有雨概率形式給出形式給出. 問題問題已得到某地一個月已得到某地一個月4種預(yù)報方法種預(yù)報方法的有雨概率的有雨概率預(yù)報，和實際上有雨或無雨的預(yù)報，和實際上有雨或無雨的觀測結(jié)果觀測結(jié)果. 日期日期 預(yù)報預(yù)報A(%)預(yù)報預(yù)報B (%)預(yù)報預(yù)報C (%) 預(yù)報預(yù)報D (%)實測實測(有雨有雨=1,無雨無雨=0)190309060 1240305080130151030201003031803050100怎樣根據(jù)這些數(shù)據(jù)對怎樣根據(jù)這些數(shù)據(jù)對4種預(yù)報方法給以評價種預(yù)報方法給以評價 9天天有雨有雨2

55、2天天無雨無雨全全相相同同計數(shù)模型計數(shù)模型根據(jù)明天是否有雨的實測，根據(jù)明天是否有雨的實測，統(tǒng)計預(yù)報的統(tǒng)計預(yù)報的正確率正確率 有雨概率有雨概率=50% 毫無意義毫無意義, 不予統(tǒng)計不予統(tǒng)計 預(yù)報預(yù)報C2175預(yù)報預(yù)報實測實測有雨有雨有雨有雨無雨無雨無雨無雨3預(yù)報預(yù)報D26預(yù)報預(yù)報實測實測有雨有雨有雨有雨無雨無雨無雨無雨 0216預(yù)報預(yù)報實測實測有雨有雨有雨有雨無雨無雨無雨無雨10311預(yù)報預(yù)報A預(yù)報預(yù)報實測實測有雨有雨有雨有雨無雨無雨無雨無雨09022預(yù)報預(yù)報B明天有雨概率明天有雨概率50% 預(yù)報有雨預(yù)報有雨明天有雨概率明天有雨概率50% 預(yù)報無雨預(yù)報無雨 正確率正確率0.57正確率正確率0.7

56、1正確率正確率0.81正確率正確率0.93計數(shù)模型計數(shù)模型從實用角度看，更重要的是從實用角度看，更重要的是誤報率誤報率. 預(yù)報無雨預(yù)報無雨而而實測有雨實測有雨的概率的概率P2 預(yù)報有雨預(yù)報有雨而而實測無雨實測無雨的概率的概率P1 預(yù)報預(yù)報C2175預(yù)報預(yù)報實測實測有雨有雨有雨有雨無雨無雨無雨無雨3預(yù)報預(yù)報D26預(yù)報預(yù)報實測實測有雨有雨有雨有雨無雨無雨無雨無雨 0216預(yù)報預(yù)報實測實測有雨有雨有雨有雨無雨無雨無雨無雨10311預(yù)報預(yù)報A設(shè)兩種后果的損失之比為設(shè)兩種后果的損失之比為1 : 2P1=10/16P2=3/14誤報率誤報率P=P1/3+2P2/3=0.35 誤報率誤報率P=0.20 誤報

57、率誤報率P=0.06 造成預(yù)防費用浪費造成預(yù)防費用浪費 預(yù)防不足導(dǎo)致?lián)p失預(yù)防不足導(dǎo)致?lián)p失 誤報率誤報率P=P1/3+2P2/3 缺點缺點: : 未考慮預(yù)報概率的具體值未考慮預(yù)報概率的具體值 記分模型記分模型將預(yù)報有雨概率與實測結(jié)果比較并記分將預(yù)報有雨概率與實測結(jié)果比較并記分 模型模型1 pk第第k天天預(yù)報有雨概率預(yù)報有雨概率vk=1第第k天天有雨，有雨， vk=0無雨無雨第第k天的預(yù)報得分天的預(yù)報得分 0,5 . 01, 5 . 0kkkkkvpvps對對k 求和得到預(yù)報的分數(shù)求和得到預(yù)報的分數(shù)S1 S1 (A) =1.0， S1 (B) = 2.6， S1 (C) = 7.0， S1 (D)

58、 = 6.7 預(yù)報有雨概率預(yù)報有雨概率0.5 得到相應(yīng)的正得到相應(yīng)的正分分 S1越大越好越大越好 記分模型記分模型模型模型2pk第第k天天預(yù)報有雨概率預(yù)報有雨概率vk=1第第k天天有雨，有雨， vk=0無雨無雨kkkvps第第k天的預(yù)報得分天的預(yù)報得分 對對k 求和得到預(yù)報的分數(shù)求和得到預(yù)報的分數(shù)S2 S2越小越好越小越好 S2 (A) =14.5，S2 (B) = 12.9， S2 (C) = 8.5， S2 (D) = 8.8 模型模型32)(kkkvps第第k天的預(yù)報得分天的預(yù)報得分 對對k 求和得到預(yù)報的分數(shù)求和得到預(yù)報的分數(shù)S3 S3越小越好越小越好 S3 (A) =8.95，S3

59、(B) = 6.39， S3 (C) =4.23， S3 (D) =3.21 記分模型記分模型S2 (A) =14.5，S2 (B) = 12.9， S2 (C) = 8.5， S2 (D) = 8.8 S3 (A) =8.95，S3 (B) = 6.39， S3 (C) =4.23， S3 (D) =3.21 S1 (A) =1.0， S1 (B) = 2.6， S1 (C) = 7.0， S1 (D) = 6.7 模型模型1, 2對對4種預(yù)報的優(yōu)劣排序、相對分差都相同種預(yù)報的優(yōu)劣排序、相對分差都相同f理論上的有雨概率理論上的有雨概率 222)1 () 1()()(pfpfvpESE2)()

60、1 (fpff模型模型3的期望分數(shù)的期望分數(shù) p預(yù)報有雨概率預(yù)報有雨概率v=1有雨，有雨， v=0無雨無雨P(guān)(v=1)= f, P(v=0)= 1 f 比較模型比較模型3 3與模型與模型2 2的優(yōu)劣的優(yōu)劣 p=f 時時E(S)最小最小等價等價! nvpS)(考察一般模型考察一般模型 求求E(S)的極值的極值 此意義下模型此意義下模型3 3最佳！最佳！ 僅當(dāng)僅當(dāng)n=2時時p=f才能才能E(S)最小最小 圖形模型圖形模型(1) (1) (1) (3) (1) (2) * * * * * *(1)(1)(2)(3)(3)(1)(3)(2)(4)(2) * * * * * * * * * *0 0.2