(2.6)第六節(jié)變化率問題舉例及相關(guān)變化率(少學(xué)時(shí)簡約型)

1、應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系所涉及的變量往往應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系所涉及的變量往往不止一個(gè)，這些變量及變化率之間都有著某種不止一個(gè)，這些變量及變化率之間都有著某種依賴關(guān)系和聯(lián)系，這就是所謂相關(guān)變量及相關(guān)依賴關(guān)系和聯(lián)系，這就是所謂相關(guān)變量及相關(guān)變化率問題。變化率問題。 幾乎所有的科學(xué)領(lǐng)域都有變化率問題，前面對函數(shù)幾乎所有的科學(xué)領(lǐng)域都有變化率問題，前面對函數(shù)關(guān)系及變化率問題的討論主要以抽象形式進(jìn)行的，即所關(guān)系及變化率問題的討論主要以抽象形式進(jìn)行的，即所研究的是函數(shù)及其變化率的一般性質(zhì)。這些函數(shù)關(guān)系研究的是函數(shù)及其變化率的一般性質(zhì)。這些函數(shù)關(guān)系及變化率問題其實(shí)都有著具體的實(shí)及變化率問題其實(shí)都有著具體的實(shí)際背景

2、和廣泛的應(yīng)用。際背景和廣泛的應(yīng)用。 為更感性地理解這種函數(shù)關(guān)為更感性地理解這種函數(shù)關(guān)系及變化率的概念，以下考察系及變化率的概念，以下考察一些具體背景及應(yīng)用問題。一些具體背景及應(yīng)用問題。例：例：如果如果 s = f( t )表示質(zhì)點(diǎn)沿?cái)?shù)軸作直線運(yùn)動時(shí)的位置表示質(zhì)點(diǎn)沿?cái)?shù)軸作直線運(yùn)動時(shí)的位置函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的物理意義可知， 代表質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻代表質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻 t 時(shí)時(shí)的瞬時(shí)速度的瞬時(shí)速度，即位移關(guān)于時(shí)間的變化率。，即位移關(guān)于時(shí)間的變化率。 設(shè)設(shè)質(zhì)點(diǎn)位置函數(shù)的具體表達(dá)式為質(zhì)點(diǎn)位置函數(shù)的具體表達(dá)式為 s = f( t )= t 3 - - 6 t 2 + 9 t，其中其中 t、s 的單

3、位分別為的單位分別為 s 和和 m .(1) 求速度表達(dá)式，并求速度表達(dá)式，并分別寫出分別寫出 2s 和和 4s 時(shí)時(shí)的速度；的速度；(2) 何時(shí)質(zhì)點(diǎn)靜止不動；何時(shí)質(zhì)點(diǎn)靜止不動；(3) 何時(shí)質(zhì)點(diǎn)沿?cái)?shù)軸正向運(yùn)動；何時(shí)質(zhì)點(diǎn)沿?cái)?shù)軸正向運(yùn)動；(4) 畫出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動草圖；畫出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動草圖；(5) 求出前求出前 5s 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的路程。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的路程。ddst2s, ,4s 速度函數(shù)是位置函數(shù)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，給定位置函數(shù)速度函數(shù)是位置函數(shù)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，給定位置函數(shù) s = f( t )= t 3 - - 6 t 2 + 9 t，故求得速度函數(shù)為故求得速度函數(shù)為 當(dāng)當(dāng) t = 2 時(shí)，時(shí)， v( 2 )= 3t

4、2 - - 12 t + 9 t = 2 = 3 2 2 - - 12 2 + 9 = - -3 m / /s， 當(dāng)當(dāng) t = 4 時(shí)，時(shí)， v( 4 )= 3t 2 - - 12 t + 9 t = 4 = 3 4 2 - - 12 4 + 9 = 9 m / /s . . 322dd693129ddstttv ttttt . . 質(zhì)點(diǎn)的靜止不動點(diǎn)就是速度為零的點(diǎn)，于是令質(zhì)點(diǎn)的靜止不動點(diǎn)就是速度為零的點(diǎn)，于是令 v( t )= 3t 2 - - 12 t + 9 = 3( t 2 - - 4 t + 3 )= 3( t - - 1 )( t - - 3 )= 0，解得解得 t = 1 和和

5、t = 3 是質(zhì)點(diǎn)的靜止不動點(diǎn)。是質(zhì)點(diǎn)的靜止不動點(diǎn)。 質(zhì)點(diǎn)沿?cái)?shù)軸正向運(yùn)動的時(shí)間段就是速度方向與數(shù)軸質(zhì)點(diǎn)沿?cái)?shù)軸正向運(yùn)動的時(shí)間段就是速度方向與數(shù)軸方向一致的時(shí)間段，即方向一致的時(shí)間段，即 v( t ) 0 的情形的情形，于是令，于是令 v( t )= 3t 2 - - 12 t + 9 = 3( t - - 1 )( t - - 3 ) 0，解得解得 t 3 . . 作質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的圖形通常就是作質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌跡圖，作質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的圖形通常就是作質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌跡圖，而不是位移函數(shù)的二維圖形。而不是位移函數(shù)的二維圖形。 由前幾問的討論知：由前幾問的討論知： 當(dāng)當(dāng) t 3 時(shí)，時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿?cái)?shù)軸正向運(yùn)動，質(zhì)點(diǎn)沿?cái)?shù)軸正

6、向運(yùn)動， 當(dāng)當(dāng) 1 t 3 時(shí)，時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿?cái)?shù)軸反向運(yùn)動。質(zhì)點(diǎn)沿?cái)?shù)軸反向運(yùn)動。于是可作出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌跡圖如下：于是可作出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌跡圖如下：s00ts14ts30ts 因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng) t 1 時(shí)，時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿?cái)?shù)軸正向運(yùn)動，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿?cái)?shù)軸正向運(yùn)動，當(dāng) 1 t 3 時(shí)，時(shí)，質(zhì)點(diǎn)又沿?cái)?shù)軸質(zhì)點(diǎn)又沿?cái)?shù)軸正向運(yùn)動。因此質(zhì)點(diǎn)在正向運(yùn)動。因此質(zhì)點(diǎn)在 5s 內(nèi)走過的路程應(yīng)逐段考察。內(nèi)走過的路程應(yīng)逐段考察。 質(zhì)點(diǎn)從質(zhì)點(diǎn)從 t = 0 到到 t = 1 內(nèi)走過的路程為內(nèi)走過的路程為 f( 1 )- - f( 0 ) = 4 - - 0 = 4( m )； 質(zhì)點(diǎn)從質(zhì)點(diǎn)從 t = 1 到到 t = 3 內(nèi)走過的路程為內(nèi)走過的

7、路程為 f( 3 )- - f( 1 ) = 0 - - 4 = 4( m )； 質(zhì)點(diǎn)從質(zhì)點(diǎn)從 t = 3 到到 t = 5 內(nèi)走過的路程為內(nèi)走過的路程為 f( 5 )- - f( 3 ) = 20 - - 0 = 20( m )；于是求得于是求得質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在 5s 內(nèi)走過的路程為內(nèi)走過的路程為 4 + 4 + 20 = 28( m ) . .例：例：如果金屬桿是均勻的，則其線密度如果金屬桿是均勻的，則其線密度 是不變的，此是不變的，此時(shí)可用單位長度的質(zhì)量來定義其密度，其單位為時(shí)可用單位長度的質(zhì)量來定義其密度，其單位為kg/ /m . 現(xiàn)考慮不現(xiàn)考慮不均勻桿的密度定義，假設(shè)從左端算起長度均勻桿

8、的密度定義，假設(shè)從左端算起長度為為 x 的一段桿的質(zhì)量為的一段桿的質(zhì)量為 m = f( x )，桿位于桿位于 x = x 1 和和 x = x 2之間部分的之間部分的質(zhì)量為質(zhì)量為 m = f( x 2 )- - f( x 1), ,其平均其平均線密度為線密度為 2121f xf xmxxx . .這部分質(zhì)量為這部分質(zhì)量為 f( ( x ) )x1x2x x 隨著隨著 x 0 ( 即即 x 2 x 1 ) ，平均平均線密度線密度的極限就是金屬桿在的極限就是金屬桿在 x = x 1 處的處的線密度線密度 ，即線密度是，即線密度是質(zhì)量關(guān)于長度的變化率或?qū)?shù)。質(zhì)量關(guān)于長度的變化率或?qū)?shù)。 用符號表示就

9、是用符號表示就是例如例如：設(shè)設(shè) m = f( x )= ， 則桿在則桿在1,1.2 上的平均上的平均線密線密度為度為而在而在 x = 1 處的處的線密度為線密度為 112121f xxf xf xf xmxxxx 1100dlimlimdxxf xxf xmmxxx . . x 1.211.210.48 kg m1.210.2ffmx . . 1d10.50 kg md2xmxx . . 如果有一固定的條件聯(lián)系著幾個(gè)變量，這些變量又如果有一固定的條件聯(lián)系著幾個(gè)變量，這些變量又都隨著另一個(gè)變量的改變而改變，那么它們的變化率之都隨著另一個(gè)變量的改變而改變，那么它們的變化率之間必然也有一定的關(guān)系。具

10、有這種連帶關(guān)系的變化率就間必然也有一定的關(guān)系。具有這種連帶關(guān)系的變化率就叫做相關(guān)變化率。在這種相關(guān)變化率問題中，一個(gè)變化叫做相關(guān)變化率。在這種相關(guān)變化率問題中，一個(gè)變化率往往能由其它變化率計(jì)算出來。率往往能由其它變化率計(jì)算出來。 設(shè)已知變量設(shè)已知變量 x，y 間的關(guān)系滿足方程間的關(guān)系滿足方程 F( x , ,y )= 0 .若變量若變量 x、y 還和另一變量還和另一變量 t 之間存在函數(shù)關(guān)系：之間存在函數(shù)關(guān)系： x = ( t )，y = ( t )，則三變量則三變量 x、y 、t 間的關(guān)系滿足方程間的關(guān)系滿足方程 F( x , ,y )= F ( t ), ( t )= 0 . . 將此方程

11、兩邊對變量將此方程兩邊對變量 t 求導(dǎo)可得方程求導(dǎo)可得方程 G x , ,y , , ( t ), ( t )= 0 . . 由于已知由于已知 x = ( t ), ,y = ( t )，故只要知道了故只要知道了 ( t ) ( t )中的一個(gè)，解方程就可求得另一個(gè)，由此還可進(jìn)中的一個(gè)，解方程就可求得另一個(gè)，由此還可進(jìn)一步求得一步求得 ddyx . .例：例：有一底半徑為有一底半徑為 R( cm )，高為高為 h( cm )的圓錐形容器的圓錐形容器, ,今以每秒今以每秒 A( cm 3 )的速率自頂部向容器內(nèi)注水，試求：的速率自頂部向容器內(nèi)注水，試求：當(dāng)容器內(nèi)水位達(dá)到錐高一半時(shí)，水面上升的速率

12、當(dāng)容器內(nèi)水位達(dá)到錐高一半時(shí)，水面上升的速率？ 容器內(nèi)水位高度容器內(nèi)水位高度 x 顯然顯然是時(shí)間是時(shí)間 t 的函數(shù)，記為的函數(shù)，記為x = x( t )，于是問題歸結(jié)為求，于是問題歸結(jié)為求由于由于 x = x( t )難以寫出，直難以寫出，直接求接求 x 對時(shí)間的變化率有困難。對時(shí)間的變化率有困難。 注意到水注入速率，即容器注意到水注入速率，即容器內(nèi)水的體積內(nèi)水的體積 V 的變化速率的變化速率 已知的，故考慮先求出體積已知的，故考慮先求出體積 V 與與 t 的函數(shù)關(guān)系，再間接求的函數(shù)關(guān)系，再間接求x 設(shè)圓錐形容器的容積為設(shè)圓錐形容器的容積為V 0，容器內(nèi)尚未被水填充，容器內(nèi)尚未被水填充 部分的體

13、積為部分的體積為 V 1，則有，則有 V = V 0 - - V 1 . . 易求得易求得 由圖可得由圖可得故有故有hA每每秒秒xV0V1VrR22 0111 33VR hVrhx, , , rhxhxrRRhh即即 ,2113Vrhx 213hxRhxh 2323Rhxh , , 求得容器中水的體積求得容器中水的體積 V 與液面高度與液面高度 x 的函數(shù)關(guān)系為的函數(shù)關(guān)系為 將上式兩邊對將上式兩邊對 t 求導(dǎo)有求導(dǎo)有 代入條件代入條件 232012133RV xVVR hhxh . .2322dd1dd33VRR hhxtth 222222dd03d3dRRxxhxhxthht , ,222d

14、dddxhVttRhx 即即 . .3d dVA cmt 得 得秒秒222d0dxAhxhtRhx , . , . 于是求得當(dāng)于是求得當(dāng) x = h/ /2 時(shí)有時(shí)有 2211222ddxhxhAhxtRhx 2222412AhARRhh . .例：例：甲船以每小時(shí)甲船以每小時(shí) 24( km )的速度向北行駛的速度向北行駛，同時(shí)在正同時(shí)在正東東 10( km )處有乙船以每小時(shí)處有乙船以每小時(shí) 20( km )的速度向東行的速度向東行駛駛, ,問：從這一時(shí)刻起經(jīng)一小時(shí)后，兩船間的距離按怎樣的問：從這一時(shí)刻起經(jīng)一小時(shí)后，兩船間的距離按怎樣的速率變化速率變化？ 這是求相對速率這是求相對速率的問題。

15、由于速率是路程的問題。由于速率是路程函數(shù)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，為求函數(shù)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，為求速率應(yīng)先確定路程函數(shù)。速率應(yīng)先確定路程函數(shù)。為確定路程函數(shù)應(yīng)先建立為確定路程函數(shù)應(yīng)先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。ddSt 以甲船最初時(shí)刻所在位置為原點(diǎn)以甲船最初時(shí)刻所在位置為原點(diǎn) O，以甲船行駛的，以甲船行駛的正北方向?yàn)檎狈较驗(yàn)?y 軸方向，以乙船行駛方向?yàn)檩S方向，以乙船行駛方向?yàn)?x 軸方向建立軸方向建立坐標(biāo)系。坐標(biāo)系。 由所設(shè)坐標(biāo)系，甲船最由所設(shè)坐標(biāo)系，甲船最初時(shí)刻位于原點(diǎn)初時(shí)刻位于原點(diǎn) O，乙船最，乙船最初時(shí)刻所在位置為初時(shí)刻所在位置為 C 點(diǎn)。點(diǎn)。甲船行駛方甲船行駛方向向 乙船行駛方向乙船行駛方向C10 設(shè)設(shè) t 小時(shí)后，甲船行駛了小時(shí)后，甲船行駛了y( km )到達(dá)到達(dá) A 點(diǎn)，乙船行點(diǎn)，乙船行駛了駛了 x( km )到達(dá)到達(dá) B 點(diǎn)，甲乙兩船的距離為點(diǎn)，甲乙兩船的距離為 S，則，則 S , ,x , ,y 都是時(shí)間都是時(shí)間 t 的函數(shù)，即有的函數(shù)，即有 OA = y = y( t )， OB = x = x( t )， AB = S = S( t ) 由條件有由條件有CB SS t10A 22 10.S txy