第三章高數(shù)課件何滿喜第七節(jié)

1、第三章第三章 微分中值定理微分中值定理 與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7 3.7 曲線的曲率曲線的曲率 3.7.1 3.7.1 弧微分弧微分3.7.3 3.7.3 小結(jié)小結(jié)*3.7.2 3.7.2 平面曲線的曲率平面曲線的曲率3.7.1 3.7.1 弧微分弧微分( )yf x( , )a b0 xxC000(,)Mxy函數(shù)函數(shù)在在內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)現(xiàn)把內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)現(xiàn)把時(shí)曲線時(shí)曲線上的點(diǎn)記為上的點(diǎn)記為，見圖，見圖3-133-13 xC( , )M x y0M M0M M0s 0s s規(guī)定：一是依規(guī)定：一是依增大的方向作為曲線增大的方向作為曲線二是對(duì)曲線上任一點(diǎn)二是對(duì)曲線上任一點(diǎn)，有向弧段，有向弧段的

2、值的值的大小等于該段弧的大小等于該段弧的方向與曲線的正向一致的方向與曲線的正向一致，相反時(shí)，相反時(shí)時(shí)時(shí)的正向的正向,的長(zhǎng)度，有向弧段的長(zhǎng)度，有向弧段的單調(diào)遞增函數(shù)，可記為的單調(diào)遞增函數(shù)，可記為因此弧因此弧xs是是( ),s x00sM MM MMM xMM0limlim1MMxMMsMMMM 其增量為其增量為，當(dāng)，當(dāng)很小時(shí)，很小時(shí)，來近似，即來近似，即弧的增量可用弧長(zhǎng)弧的增量可用弧長(zhǎng)而而222()()MMxy 22200lim()lim()()xxMMssxMMx 220lim(1 () )1 ()xyyx 21 ()dsydx ，所以，所以即即因因0dsdx，于是得，于是得 21 ()dsy

3、dx21 ()dsydxds 或或 把把稱為曲線的稱為曲線的弧微分弧微分 （1 1）( ),yy t( ),xx t( ,)t 22( ( )( )dsx ty tdt若平面曲線以參數(shù)方程給出：若平面曲線以參數(shù)方程給出：，且函數(shù)在該區(qū)間，且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，（2 2）則弧微分公式為則弧微分公式為*3.7.2 3.7.2 平面曲線的曲率平面曲線的曲率ABBCABBC在圖在圖3-143-14中，設(shè)曲線弧中，設(shè)曲線弧與與的長(zhǎng)度相等，的長(zhǎng)度相等，的彎曲比較緩慢，而曲線弧的彎曲比較緩慢，而曲線弧的彎曲比較厲害當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿曲線移動(dòng)時(shí)，從點(diǎn)的彎曲比較厲害當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿曲線移動(dòng)時(shí)，從點(diǎn)但曲線弧

4、但曲線弧ABBC移到點(diǎn)移到點(diǎn)時(shí)，切線轉(zhuǎn)時(shí)，切線轉(zhuǎn)不大，而點(diǎn)不大，而點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，切線轉(zhuǎn)過的角度時(shí)，切線轉(zhuǎn)過的角度明顯比明顯比圖圖3-153-15中，曲線弧中，曲線弧過的角度過的角度（稱為（稱為轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角）,AB11AB的長(zhǎng)度不相等，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度不相等，當(dāng) 大大 AB動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)1A1B時(shí)，切線轉(zhuǎn)過的角度與點(diǎn)時(shí)，切線轉(zhuǎn)過的角度與點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)的切線轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)角都是的切線轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)角都是 .可見，曲線（弧）的彎曲程度不僅與轉(zhuǎn)角可見，曲線（?。┑膹澢潭炔粌H與轉(zhuǎn)角有關(guān)，而且還與弧長(zhǎng)有關(guān)有關(guān)，而且還與弧長(zhǎng)有關(guān) MPs,M P,. MP.sMP.Ks在圖在圖3-163-16中，設(shè)曲

5、線弧中，設(shè)曲線弧的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為在點(diǎn)在點(diǎn)處的切線的傾角分別為處的切線的傾角分別為當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從移動(dòng)到移動(dòng)到時(shí)，切線的轉(zhuǎn)角為時(shí)，切線的轉(zhuǎn)角為把比值把比值稱為曲線弧稱為曲線弧的的平均曲率平均曲率，記作，記作，曲線，曲線CP( , )M x y0limss ( , )M x y0limsKs 0limss .dKds定義定義 在曲線在曲線上上, ,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿曲線趨于點(diǎn)沿曲線趨于點(diǎn)時(shí)，如果時(shí)，如果存在，則稱此極限為曲線在點(diǎn)存在，則稱此極限為曲線在點(diǎn)記作記作當(dāng)極限當(dāng)極限存在時(shí)有存在時(shí)有（4 4）處的處的曲率曲率, ,（3 3）Mtanyx2sec,dydx從圖從圖3-163-16可見，在動(dòng)點(diǎn)可見，

6、在動(dòng)點(diǎn)處有處有，即，即的大小與變量的大小與變量有關(guān)，所以得有關(guān)，所以得即即222sec1tan1dyyydxy 21yddxy21 ()dsydx322(1)yKy( )yf xM于是于是，而，而所以由（所以由（4 4）可得）可得式（式（5 5）就是函數(shù)曲線）就是函數(shù)曲線在點(diǎn)在點(diǎn)曲率曲率計(jì)算公式計(jì)算公式 （5 5）處的處的RsR 01limsKsR 對(duì)于半徑為對(duì)于半徑為的圓來講，因的圓來講，因，所以得，所以得，即圓的曲率是其半徑的倒數(shù)，即圓的曲率是其半徑的倒數(shù). ( )yf xMK0K 1K設(shè)曲線設(shè)曲線在點(diǎn)在點(diǎn)處的曲率為處的曲率為，當(dāng)，當(dāng)時(shí)把時(shí)把就稱為曲線的就稱為曲線的曲率半徑曲率半徑. .（

7、6 6）( )yf xMM( )yf xDDMDM設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處的曲率半徑為處的曲率半徑為.在點(diǎn)在點(diǎn)處的曲線處的曲線的法線上，且在曲線凹的的法線上，且在曲線凹的,使使, ,則把以則把以為圓心，為圓心，為半徑的圓稱為點(diǎn)為半徑的圓稱為點(diǎn)處的曲率圓處的曲率圓, ,圖圖3-17.3-17. 一側(cè)取一點(diǎn)一側(cè)取一點(diǎn)2yaxbxc2,2yaxb ya例例1 1 求拋物線求拋物線解解 因因所以有所以有 上最大的曲率上最大的曲率3222(1 (2) )aKaxb2bxa 22axb因此當(dāng)因此當(dāng)時(shí)時(shí)可取得可取得最小值最小值0 0 2 .Ka所以說，該拋物線所以說，該拋物線在其頂點(diǎn)處的曲率為最大在其頂點(diǎn)處的

8、曲率為最大. .經(jīng)計(jì)算得最大曲率為經(jīng)計(jì)算得最大曲率為(1 sin )cosxatyat0a ttan0,tdydx例例2 2 設(shè)設(shè)在在處的曲率處的曲率 , ,求曲線求曲線解解 因因 2231(tan )cosd ydtdxdxat 22311costd ydxaa 所以有所以有3221.(1)yKay3.7.3 3.7.3 小結(jié)小結(jié)作業(yè)作業(yè) *習(xí)題習(xí)題3-7:1,3,4,63-7:1,3,4,6曲線的曲線的弧微分公式弧微分公式: :21 ()dsydx22( ( )( )dsx ty tdt322(1)yKy平面曲線的曲率公式平面曲線的曲率公式: :1K平面曲線的曲率半徑平面曲線的曲率半徑: :人有了知識(shí)，就會(huì)具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱