復(fù)變函數(shù)與積分變換第01章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

1、北京交通大學(xué)理學(xué)院北京 2011.9北京交通大學(xué)本科生工程數(shù)學(xué)電子教案北京交通大學(xué)本科生工程數(shù)學(xué)電子教案課程名稱課程名稱復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換教教 材材工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)- -復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)( (第四版第四版) ) 西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室 編編總總 學(xué)學(xué) 時(shí)時(shí)32學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)教師姓名黃曉鳴黃曉鳴研究對(duì)象研究對(duì)象復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）主要任務(wù)主要任務(wù)研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積

2、分、級(jí)數(shù)、留數(shù)、共形映射等。共形映射等。復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、學(xué)習(xí)方法復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處。但又有不同之處，在學(xué)習(xí)之處。但又有不同之處，在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。果。復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們?cè)诮獯鷶?shù)方程時(shí)引進(jìn)的。復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們?cè)诮獯鷶?shù)方程時(shí)引進(jìn)的。為使負(fù)數(shù)開方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)為使負(fù)數(shù)開方有意義，需要再一次擴(kuò)

3、大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，由于對(duì)復(fù)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，由于對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又?jǐn)?shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長(zhǎng)時(shí)期人們把復(fù)數(shù)得到一些矛盾，所以，在歷史上長(zhǎng)時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的看作不能接受的“虛數(shù)虛數(shù)”。直到十八世紀(jì)，。直到十八世紀(jì)，J.DJ.DAlembertAlembert(1717-1783)(1717-1783)與與L.EulerL.Euler(1707-1783)(1707-1783)等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清

4、了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問(wèn)題。復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)體力學(xué)等方面的一些問(wèn)題。復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。 復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是十九世紀(jì)奠定的。復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是十九世紀(jì)奠定的。 A.L.CauchyA.L.Cauchy（1789-1866)1789-1866)和和K.WeierstrassK.Weierstrass(1815-(1815-1 8 9 7 )1 8 9 7 ) 分 別 應(yīng) 用 積 分 和 級(jí) 數(shù) 研 究 復(fù) 變 函 數(shù) ，分 別 應(yīng) 用

5、 積 分 和 級(jí) 數(shù) 研 究 復(fù) 變 函 數(shù) ，G.F.B.RiemannG.F.B.Riemann(1826-1866)(1826-1866)研究復(fù)變函數(shù)的映照性研究復(fù)變函數(shù)的映照性質(zhì)。他們是這一時(shí)期的三位代表人物。經(jīng)過(guò)他們的質(zhì)。他們是這一時(shí)期的三位代表人物。經(jīng)過(guò)他們的巨大努力，復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲巨大努力，復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支，同時(shí)，它在熱力學(xué)，流體透到了數(shù)學(xué)的許多分支，同時(shí)，它在熱力學(xué)，流體力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用。力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用。二十世紀(jì)以來(lái)，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理二十世紀(jì)以來(lái)，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理

6、論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切。它分支的聯(lián)系也日益密切。& 1. 1. 復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念& 2. 2. 代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算& 3. 3. 共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)A 一般一般, , 任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。1. 復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念定義定義 對(duì)任意兩實(shí)數(shù)對(duì)任意兩實(shí)數(shù)x、y ,稱稱 z=x+iy或或z=x+yi為為復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)。稱為虛單位。稱為虛單位。其中其中ii,1 2 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z 的實(shí)部的實(shí)部 Re(z) = x ; 虛部虛部 Im(z) = y . (real part) (imaginar

7、y part)0|22 yxz 復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的模0)Im()Re(0,222111212121 zzziyxziyxzyyxxzz其中其中 判斷復(fù)數(shù)相等判斷復(fù)數(shù)相等定義定義 z1=x1+iy1與與z2=x2+iy2的的和、差、積和商和、差、積和商為：為： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)0(|222211222212121 zzyxyxizyyxxzzz2. 代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3

8、；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律交換律、結(jié)合律、分配律。（與實(shí)數(shù)相同與實(shí)數(shù)相同）即，）即，2121)()1(zzzz 2121)(zzzz 2121)(zzzz zz )2(2|1zzz 2222)Im()Re()3(yxzzzz )Im(2 )Re(2)4(zizzzzz 3.共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)定義定義 若若z=x+iy , 稱稱 z=x-iy 為為z 的的共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù).(conjugate).,)( ,43,55:1212121虛部虛部及它們的實(shí)部及它們的實(shí)部求求設(shè)設(shè)例例zzzziziz 574355:21 iiizz解解41

9、1:2 ii求求例例iii 11)(.,0aaaa . 3011-1nn現(xiàn)現(xiàn)實(shí)實(shí)多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的零零點(diǎn)點(diǎn)成成對(duì)對(duì)出出也也是是其其根根則則的的根根是是實(shí)實(shí)系系數(shù)數(shù)方方程程證證明明若若例例zxxxznn 22212212212:. 4zzzzzz 證證明明例例1. 點(diǎn)的表示點(diǎn)的表示),(yxiyxz一一對(duì)對(duì)有有序序?qū)崒?shí)數(shù)數(shù)易易見(jiàn)見(jiàn)， ( , )( , )( , )P x yx yzxiyP x y在平面上取定直角坐標(biāo)系，則任意點(diǎn)一對(duì)有序?qū)崝?shù)平面上的點(diǎn)().zxiyxyP復(fù)數(shù)可用平面上坐標(biāo)為 ， 的點(diǎn) 表示此時(shí)，xyz軸實(shí)軸軸虛軸平面復(fù)平面或平面)(yxPiyxz，復(fù)復(fù)平平面面上上的的點(diǎn)點(diǎn) 點(diǎn)的表示

10、：點(diǎn)的表示：A 數(shù)數(shù)z z與點(diǎn)與點(diǎn)z z同義同義. .無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)怎么表示？無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)怎么表示？擴(kuò)充復(fù)平面：擴(kuò)充復(fù)平面：復(fù)球面：復(fù)球面：xPNS擴(kuò)充復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)擴(kuò)充復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 與復(fù)球面上的北極對(duì)應(yīng)！與復(fù)球面上的北極對(duì)應(yīng)！.,)(iyxzOPyxOPyxPiyxz 表表示示可可用用向向量量，點(diǎn)點(diǎn)2. 向量表示法向量表示法A 00 OPzzyxrOPzArg:,|22記記作作輻輻角角模模： oxy(z)P(x,y)rz xy 稱向量的長(zhǎng)度為復(fù)數(shù)稱向量的長(zhǎng)度為復(fù)數(shù)z=x+iy的的模?；蚧蚪^對(duì)值絕對(duì)值；以正實(shí)軸為始邊以正實(shí)軸為始邊, 以向量以向量 為終邊的角的為終邊的角的弧度數(shù)稱為復(fù)數(shù)弧度數(shù)稱

11、為復(fù)數(shù) z=x+iy 的的輻角輻角(z0時(shí)時(shí)).OP 輻角無(wú)窮多：輻角無(wú)窮多：Arg z=0+2k， kZ，xyzz/)Argtan(0 時(shí)，時(shí)， 0把其中滿足把其中滿足 的的0稱為輻角稱為輻角Argz的主值，的主值，記作記作0=argz。A z=0z=0時(shí)，輻角不確定。時(shí)，輻角不確定。 0, 00, 0arctan0, 02, 0arctanargyxyxxyyxRyxxyz 計(jì)算計(jì)算argz(z0) 的公式的公式A 當(dāng)當(dāng)z z落于一落于一, ,四象限時(shí)，不變。四象限時(shí)，不變。 A 當(dāng)當(dāng)z z落于第二象限時(shí)，加落于第二象限時(shí)，加 。 A 當(dāng)當(dāng)z z落于第三象限時(shí)，減落于第三象限時(shí)，減 。 a

12、rctan22yx請(qǐng)注意復(fù)數(shù)的幅角主值的計(jì)算！oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z112121212)(:zzzzzzzz 三三角角不不等等式式由由此此得得由向量表示法知由向量表示法知之間的距離之間的距離與與點(diǎn)點(diǎn)2112zzzz 3. 三角表示法三角表示法)sin(cos irz cossinxryr由得4. 指數(shù)表示法指數(shù)表示法:cossiniEulerei再由公式得 irez 引進(jìn)復(fù)數(shù)的幾何表示，可將平面圖形用復(fù)數(shù)方程引進(jìn)復(fù)數(shù)的幾何表示，可將平面圖形用復(fù)數(shù)方程（或不等式）表示；反之，也可由給定的復(fù)數(shù)方（或不等式）表示；反之，也可由給定的復(fù)數(shù)方程（或不等式）來(lái)確定它所表示的平面圖形。

13、程（或不等式）來(lái)確定它所表示的平面圖形。例例1 用復(fù)數(shù)方程表示用復(fù)數(shù)方程表示:（1）過(guò)兩點(diǎn)）過(guò)兩點(diǎn) zj=xj+iyj (j=1,2)的直線；的直線；（2）中心在點(diǎn)）中心在點(diǎn)(0, -1), 半徑為半徑為2的圓。的圓。oxy(z)Lz1z2z解解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-t 0為半徑的為半徑的圓圓 | z -z 0|(或或 0 | z z 0| 0, 對(duì)任意對(duì)任意 z D, 均有均有 zG=z | |z|R，則，則D是有界是有界區(qū)域區(qū)域；否則無(wú)界。；否則無(wú)界。閉區(qū)域閉區(qū)域 區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,.D記記為為.,00為為半半徑徑的的圓圓內(nèi)內(nèi)

14、所所有有的的點(diǎn)點(diǎn)以以為為圓圓點(diǎn)點(diǎn)表表示示以以rzrzz Re,Imyxzz表示分別平行于 軸和 軸的直線。.,.,1020201幾個(gè)點(diǎn)幾個(gè)點(diǎn)只是邊界增加了一個(gè)或只是邊界增加了一個(gè)或它仍然是區(qū)域它仍然是區(qū)域幾個(gè)點(diǎn)幾個(gè)點(diǎn)如果在其中去掉一個(gè)或如果在其中去掉一個(gè)或組成組成它的邊界由兩個(gè)圓周它的邊界由兩個(gè)圓周而且是有界的而且是有界的表示一個(gè)圓環(huán)表示一個(gè)圓環(huán)rzzrzzrzzr .0Im,0Re表表示示下下半半復(fù)復(fù)平平面面表表示示右右半半復(fù)復(fù)平平面面 zz2. 2. 簡(jiǎn)單曲線（或簡(jiǎn)單曲線（或JardanJardan曲線曲線) ),)()(),()()(baCtytxbtatyytxx 、實(shí)實(shí)變變函函數(shù)數(shù)表

15、表示示為為：平平面面上上一一條條連連續(xù)續(xù)曲曲線線可可令令z(t)=x(t)+iy(t) atb ;則曲線方程可記為：則曲線方程可記為：z=z(t)， atb.0)( )( ,)( )( 22則則稱稱該該曲曲線線為為光光滑滑的的且且、若若 tytxbaCtytx有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線分段光滑曲線。 設(shè)連續(xù)曲線設(shè)連續(xù)曲線C：z=z(t)，atb，對(duì)于對(duì)于t1(a，b), t2 a, b,當(dāng)當(dāng)t1t2時(shí)，若時(shí)，若z(t1)=z(t2)，稱稱z(t1)為曲線為曲線C的重點(diǎn)。的重點(diǎn)。 稱稱沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線C為簡(jiǎn)單曲線或?yàn)楹?jiǎn)單曲線或 Jar

16、dan曲線曲線;若簡(jiǎn)單曲線若簡(jiǎn)單曲線C 滿足滿足z(a)=z(b)時(shí)，則稱時(shí)，則稱此曲線此曲線C是是簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)單閉曲線或或Jordan閉曲線閉曲線 。 z(a)=z(b)簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡(jiǎn)單閉曲線不是簡(jiǎn)單閉曲線3. 3. 單連通域與多連通域單連通域與多連通域任一條簡(jiǎn)單閉曲線任一條簡(jiǎn)單閉曲線 C：z=z(t)， ta，b，把復(fù)，把復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的部分：一個(gè)是有平面唯一地分成三個(gè)互不相交的部分：一個(gè)是有界區(qū)域，稱為界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個(gè)是無(wú)界區(qū)域，稱為的內(nèi)部；一個(gè)是無(wú)界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個(gè)是它們的公共邊界。的外部；還有一個(gè)是它們的公共邊界。

17、z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內(nèi)部?jī)?nèi)部外部外部邊界邊界定義定義 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域 B ，如果如果B內(nèi)的任何簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)的任何簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)部總在內(nèi)部總在B內(nèi)，就稱內(nèi)，就稱 B為單連通為單連通域；非單連通域稱為多連通域。域；非單連通域稱為多連通域。例如例如 |z|0）是單連通的；）是單連通的； 0r|z|R是多連通的。是多連通的。單連通域單連通域多連通域多連通域多連通域多連通域單連通域單連通域Page 31-33 1（）（）；2；4（1）（3）；8（）（）（）；14（）（）； 19；21（）（）（）；22（）（）（）；1. 復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義與實(shí)變函數(shù)定義

18、相類似與實(shí)變函數(shù)定義相類似定義定義).(, zfwzwivuwGzfiyxzG 記記作作）的的函函數(shù)數(shù)（簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)是是復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)則則稱稱復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)與與之之對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)就就有有一一個(gè)個(gè)或或幾幾個(gè)個(gè)使使得得存存在在法法則則的的非非空空集集合合是是一一個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)A 是是多多值值函函數(shù)數(shù). .值值，稱稱多多個(gè)個(gè)是是單單值值函函數(shù)數(shù); ;值值，稱稱一一個(gè)個(gè)若若)( )(zfwzzfwz。論的函數(shù)均為單值函數(shù)論的函數(shù)均為單值函數(shù)今后無(wú)特別聲明，所討今后無(wú)特別聲明，所討面面區(qū)區(qū)域域（定定義義域域）的的定定義義集集合合，常常常常是是平平)(zfG函函數(shù)數(shù)值值集集合合, )(*GzzfwwG

19、 ),(),( )()(),();,(yxivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故),(),()(yxvvyxuuivuzfw 2222()()2wzzxiywuivwuivxiyxyxyi令 則例例12222wzuxyvxy所以，例例2222211( )11f zxiyxyxy 若已知( )f zz將表示成的函數(shù)。1( )f zzz11,(),()22zxiyxzzyzzi設(shè) 則oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，在幾何上， w=f(z)可以看作：可以看作：).() (*)(變換變換平面）的映射平面）的映射平面平面wGwzGzzf

20、w 的的原原象象。稱稱為為，而而映映象象的的象象點(diǎn)點(diǎn)為為稱稱wzzw)( 定義域定義域函數(shù)值集合函數(shù)值集合 2. 映射的概念映射的概念復(fù)變函數(shù)的幾何意義復(fù)變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)wA 以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。A 在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的 對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)表達(dá)兩對(duì)變量對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)表達(dá)兩對(duì)變量 u，v 與與 x，y 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變 函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可借助于幾何直觀函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可借助于幾何直觀. .復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個(gè)映射（變換）復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個(gè)映射

21、（變換）.所構(gòu)成的映射所構(gòu)成的映射研究研究zw 例例3 iirezreirz )sin(cos設(shè)設(shè)解解關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的一個(gè)映射關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的一個(gè)映射見(jiàn)圖見(jiàn)圖1-11-2旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換(映射映射)即，即，)sinsin()sincos( )(sin(cos yxiyxiyxiivuw 見(jiàn)圖見(jiàn)圖2.( 實(shí)常數(shù)）所構(gòu)成的映射實(shí)常數(shù)）所構(gòu)成的映射研究研究 zewi 例例4)( iiiiirereezewrez設(shè)設(shè)解解 sinsinsincosyxvyxuoxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o 圖圖1-1圖圖1-2圖圖2uv(w)o.2所所構(gòu)構(gòu)成成的的映映射射研研究究zw

22、例例5oxy(z)ouv(w) 2 oxy(z)ouv(w)R=2R=46 3 422 yx2zw 2zw 2zw 2zw 3. 反函數(shù)或逆映射反函數(shù)或逆映射例例 設(shè)設(shè) z=w2 則稱則稱 為為z=w2的反函數(shù)或逆映射的反函數(shù)或逆映射zw )1 , 0(22 kezzwk為多值函數(shù)為多值函數(shù),2支支.定義定義 設(shè)設(shè) w =f (z) 的定義集合為的定義集合為G,函數(shù)值集合為函數(shù)值集合為G*Gz *)(Gwzfw *Gw )()(wzGz 或或幾幾個(gè)個(gè)一一個(gè)個(gè)則稱則稱 為為 的反函數(shù)（的反函數(shù)（逆映射逆映射）。）。* ( ) ( )wfwwGzf zzG 顯然有當(dāng)反函數(shù)單值時(shí)( ( )zf z一

23、般( )zw( )wf z()( )()()()( )wf zzwwf zGG當(dāng)函數(shù) 映射和其反函數(shù) 逆映射都是單值的，則稱函數(shù) 映射是一一的。也稱集合與集合是一一對(duì)應(yīng)的。例例 已知映射已知映射w = z3 ，求區(qū)域，求區(qū)域 在平面在平面w上的象。上的象。例例?1:,122平平面面上上怎怎樣樣的的曲曲線線映映射射成成被被平平面面上上的的曲曲線線判判斷斷已已知知映映射射wyxzzw 0arg3z1. 函數(shù)的極限函數(shù)的極限AzfzzAzfzzzfAAzfzzAzUzzfwzz )()(lim)(,)(,0, 0),(),( 000)000時(shí)時(shí)，或或當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的極極限限，記記作作當(dāng)當(dāng)為為則則稱稱有有

24、時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)）（，若若存存在在數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)（定義定義uv(w)oA xy(z)o 0z)(zfw 幾何意義幾何意義: 當(dāng)變點(diǎn)當(dāng)變點(diǎn) z 一旦進(jìn)一旦進(jìn)入入 z0 的充分小去的充分小去心鄰域時(shí)心鄰域時(shí),它的象它的象點(diǎn)點(diǎn) f(z) 就落入就落入A的的一個(gè)預(yù)先給定的一個(gè)預(yù)先給定的 鄰域中鄰域中A (1) (1)意義中意義中 的方式是任意的的方式是任意的. . 與一元實(shí)變函數(shù)相比較要求更高與一元實(shí)變函數(shù)相比較要求更高. .0zz(2) A是復(fù)數(shù). 2. 運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部極限的關(guān)系：復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部極限的關(guān)系：000( )( , )( , ) f zu x yiv x yzxi

25、y zxiy設(shè)定理定理1(3) 若f(z)在 處有極限,其極限是唯一的.0z000000( , )(,)000( , )(,)lim( , )lim( )lim( , )x yxyzzx yxyu x yuf zAuivv x yv則 BAzgzgzfzgzfABzgzfzgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz )0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim)(lim000000000000則則若若定理定理2A 以上定理用極限定義證以上定理用極限定義證! !例例1.)(22在在平平面面上上處處